/專題09平面解析幾何(十一大題型)TOC\o"1-1"\h\u題型012021-2025年高考+春考真題 1題型02直線與方程 2題型03圓與方程 3題型04圓與方程的應用 3題型05圓錐曲線的概念辨析 4題型06圓錐曲線的綜合應用 4題型07角度問題 5題型08向量問題 5題型09與數列結合問題 6題型10空間中軌跡問題 6題型11選擇壓軸辨析題 6【解題規律·提分快招】1、判斷直線與圓的位置關系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關系．(2)代數法：聯立方程之后利用Δ判斷．(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交．2、根據條件求橢圓方程的主要方法(1)定義法：根據題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義．(2)待定系數法：根據題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當不知焦點在哪一個坐標軸上時，一般可設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點位置，用待定系數法求出m，n的值即可．3、(1)雙曲線漸近線的求法：求雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的方法是令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得兩漸近線方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝±\f(b,a)x)).(2)在雙曲線的幾何性質中重點是漸近線方程和離心率，在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±eq\f(b,a)，滿足關系式e2＝1＋k2.題型012021-2025年高考+春考真題

【典例1-1】．（2025?上海）已知雙曲線（a＞0）的左、右焦點分別為F1、F2．通過F2且傾斜角為的直線與雙曲線交于第一象限的點A，延長AF2至B使得AB＝AF1．若△BF1F2的面積為，則a的值為．【分析】由題意作圖，根據三角形面積公式以及直線方程，結合雙曲線的標準方程，可得答案．【解答】解：已知，則b2＝6﹣a2＞0，解得，又，則，，設B（xB，yB），又△BF1F2的面積為，則，解得yB＝﹣3，由題意可得直線AB的斜率，則方程為，將yB＝﹣3代入上式，則，解得，由題意可得，易知．故答案為：．【點評】本題考查了雙曲線的性質，重點考查了雙曲線的定義，屬中檔題．【典例1-2】．（2024?上海）已知拋物線y2＝4x上有一點P到準線的距離為9，那么P到x軸的距離為．【分析】根據已知條件，結合拋物線的定義，即可求解．【解答】解：設P坐標為（x0，y0），P到準線的距離為9，即x0+1＝9，解得x0＝8，代入拋物線方程，可得，故P到x軸的距離為．故答案為：．【點評】本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎題．【典例1-3】．（2024?上海）直線x﹣y+1＝0的傾斜角大小為45°．【分析】求出直線的斜率，根據直線斜率與傾斜角的關系，即可求得傾斜角的大小．【解答】解：由直線x﹣y+1＝0變形得：y＝x+1，設直線的傾斜角為α，即tanα＝1，因為α∈[0，180°），所以α＝45°．故答案為：45°．【點評】本題考查了直線的傾斜角的求法，以及特殊角的三角函數值．熟練掌握直線傾斜角與斜率的關系是解本題的關鍵，同時注意直線傾斜角的范圍，屬基礎題．【典例1-4】．（2024?上海）三角形三邊長為5，6，7，則以邊長為6的兩個頂點為焦點，過另外一個頂點的雙曲線的離心率為3．【分析】利用雙曲線的定義、離心率的計算公式即可得出結論．【解答】解：由雙曲線的定義，2c＝6，2a＝2，解得c＝3，a＝1，∴e＝＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了雙曲線的定義、離心率的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．【典例1-5】．（2023?上海）已知圓x2+y2﹣4x﹣m＝0的面積為π，則m＝﹣3．【分析】先把圓的一般方程化為標準方程，再結合圓的半徑為1求解即可．【解答】解：圓x2+y2﹣4x﹣m＝0化為標準方程為：（x﹣2）2+y2＝4+m，∵圓的面積為π，∴圓的半徑為1，∴4+m＝1，∴m＝﹣3．故答案為：﹣3．【點評】本題主要考查了圓的標準方程，屬于基礎題．【典例1-6】．（2023?上海）已知圓C的一般方程為x2+2x+y2＝0，則圓C的半徑為1．【分析】把圓C的一般方程化為標準方程，可得圓C的圓心和半徑．【解答】解：根據圓C的一般方程為x2+2x+y2＝0，可得圓C的標準方程為（x+1）2+y2＝1，故圓C的圓心為（﹣1，0），半徑為1，故答案為：1．【點評】本題主要考查圓的一般方程和標準方程，屬基礎題．【典例1-7】．（2022?上海）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）兩點均在雙曲線Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，則實數a的取值范圍為[1，+∞）．【分析】取P2的對稱點P3（x2，﹣y2），結合x1x2＞y1y2，可得＞0，然后可得漸近線夾角∠MON≤90°，代入漸近線斜率計算即可求得．【解答】解：設P2的對稱點P3（x2，﹣y2）仍在雙曲線右支，由x1x2＞y1y2，得x1x2﹣y1y2＞0，即＞0恒成立，∴∠P1OP3恒為銳角，即∠MON≤90°，∴其中一條漸近線y＝x的斜率≤1，∴a≥1，所以實數a的取值范圍為[1，+∞）．故答案為：[1，+∞）．【點評】本題考查了雙曲線的性質，是中檔題．【典例1-8】．（2022?上海）雙曲線﹣y2＝1的實軸長為6．【分析】根據雙曲線的性質可得a＝3，實軸長為2a＝6．【解答】解：由雙曲線﹣y2＝1，可知：a＝3，所以雙曲線的實軸長2a＝6．故答案為：6．【點評】本題考查雙曲線的性質，是基礎題．【典例1-9】．（2021?上海）直線x＝﹣2與直線x﹣y+1＝0的夾角為．【分析】先求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角．【解答】解：∵直線x＝﹣2的斜率不存在，傾斜角為，直線x﹣y+1＝0的斜率為，傾斜角為，故直線x＝﹣2與直線x﹣y+1＝0的夾角為﹣＝，故答案為：．【點評】本題主要考查直線的斜率和傾斜角，兩條直線的夾角，屬于基礎題．【典例1-10】．（2021?上海）若x2+y2﹣2x﹣4y＝0，求圓心坐標為（1，2）．【分析】將一般方程化為標準方程，然后確定其圓心坐標即可．【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y＝0，可得圓的標準方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，所以圓心坐標為（1，2）．故答案為：（1，2）．【點評】本題考查了圓的一般方程和標準方程，考查了轉化思想，屬于基礎題．【典例1-11】．（2021?上海）已知拋物線y2＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在拋物線上，焦點為F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直線AB的斜率為．【分析】將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，根據已知條件結合斜率的定義，求出直線AB的斜率即可．【解答】解：如圖所示，設拋物線的準線為l，作AC⊥l于點C，BD⊥l于點D，AE⊥BD于點E，由拋物線的定義，可得AC＝AF＝2，BD＝BF＝4，∴，∴直線AB的斜率．故答案為：．【點評】本題主要考查直線斜率的定義與計算，拋物線的定義等知識，屬于基礎題．【典例1-12】．（2021?上海）已知橢圓x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦點為F1、F2，以O為頂點，F2為焦點作拋物線交橢圓于P，且∠PF1F2＝45°，則拋物線的準線方程是x＝1﹣．【分析】先設出橢圓的左右焦點坐標，進而可得拋物線的方程，設出直線PF1的方程并與拋物線方程聯立，求出點P的坐標，由此可得PF2⊥F1F2，進而可以求出PF1，PF2的長度，再由橢圓的定義即可求解．【解答】解：設F1（﹣c，0），F2（c，0），則拋物線y2＝4cx，直線PF1：y＝x+c，聯立方程組，解得x＝c，y＝2c，所以點P的坐標為（c，2c），所以PF2⊥F1F2，又PF所以PF，則c＝﹣1，所以拋物線的準線方程為：x＝﹣c＝1﹣，故答案為：x＝1﹣．【點評】本題考查了拋物線的定義以及橢圓的定義和性質，考查了學生的運算推理能力，屬于中檔題．【典例1-13】．（2023?上海）已知P，Q是曲線Γ上兩點，若存在M點，使得曲線Γ上任意一點P都存在Q使得|MP|?|MQ|＝1，則稱曲線Γ是“自相關曲線”．現有如下兩個命題：①任意橢圓都是“自相關曲線”；②存在雙曲線是“自相關曲線”，則（）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【分析】根據定義結合圖象，驗證|MP|?|MQ|＝1是否恒成立即可．【解答】解：∵橢圓是封閉的，總可以找到滿足題意的M點，使得|MP|?|MQ|＝1成立，故①正確，在雙曲線中，|PM|max→+∞，|PM|min＝0，當|PM|＝0時，Q點不存在；當|PM|min＝n，0＜n≤1時，|QM|＝，但當|PM|＝＞，此時|QM|＝＜n，這與|PM|min＝n矛盾，故②錯誤．故選：B．【點評】本題主要考查與曲線方程有關的新定義，根據條件結合圖象驗證|MP|?|MQ|＝1是否成立是解決本題的關鍵，是中檔題．【典例1-14】．（2022?上海）設集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}①存在直線l，使得集合Ω中不存在點在l上，而存在點在l兩側；②存在直線l，使得集合Ω中存在無數點在l上；（）A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立【分析】分k＝0，k＞0，k＜0，求出動點的軌跡，即可判定．【解答】解：當k＝0時，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}＝{（0，0）}，當k＞0時，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}，表示圓心為（k，k2），半徑為r＝2的圓，圓的圓心在直線y＝x2上，半徑r＝f（k）＝2單調遞增，相鄰兩個圓的圓心距d＝＝，相鄰兩個圓的半徑之和為l＝2+2，因為d＞l有解，故相鄰兩個圓之間的位置關系可能相離，當k＜0時，同k＞0的情況，故存在直線l，使得集合Ω中不存在點在l上，而存在點在l兩側，故①正確，若直線l斜率不存在，顯然不成立，設直線l：y＝mx+n，若考慮直線l與圓（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|的焦點個數，d＝，r＝，給定m，n，當k足夠大時，均有d＞r，故直線l只與有限個圓相交，②錯誤．故選：B．【點評】本題考查了動點的軌跡、直線與圓的位置關系，屬于中檔題．題型02直線與方程【典例2-1】．（2024·上海嘉定·一模）直線的傾斜角為.（用反三角函數表示）【典例2-2】．（24-25高三上·上海·階段練習）直線l過點，法向量，則l的一般式方程為.【變式2-1】．（24-25高三上·上海·階段練習）設，若直線與直線互相垂直，則．【變式2-2】．（2023·上海靜安·一模）若直線與直線平行，則這兩條直線間的距離是．【變式2-3】．（2024·上海長寧·二模）直線與直線的夾角大小為．題型03圓與方程【典例3-1】．（24-25高三上·上海金山·期末）以為圓心且過點的圓的標準方程是．【典例3-2】．（2024·上海普陀·模擬預測）已知圓的周長為，則實數的值為.【變式3-1】．（24-25高三上·上海·開學考試）已知圓：與圓：外切，則實數．【變式3-1】．（24-25高三上·上海·開學考試）已知圓，則圓心到直線的最大距離為.題型04圓與方程的應用【典例4-1】．（2024·上海·模擬預測）平面點集所構成區域的面積為.【典例4-2】．（2024·上海·模擬預測）正方形草地邊長到距離為到距離為，有個圓形通道經過，且經過上一點，求圓形通道的周長.（精確到）

【變式4-1】．（24-25高三上·上海黃浦·期末）i為虛數單位，若復數滿足，復數滿足，則的最小值為．【變式4-2】．（24-25高三上·上海嘉定·期中）設函數，若點滿足，，記點P構成的圖形為，則的面積是.【變式4-3】．（24-25高三上·上海·期中）已知實數、、、滿足，，，記，則的最大值是.【變式4-4】．（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量滿足，且對任意的實數t，均有則的最小值為題型05圓錐曲線的概念辨析【典例5-1】．（2024·上海崇明·一模）雙曲線的漸近線方程是．【典例5-2】．（2024·上海青浦·二模）橢圓的離心率為，則．【變式5-1】．（2024·上海靜安·一模）到點距離之和為10的動點的軌跡方程為.【變式5-2】．（2022·上海浦東新·一模）若方程表示雙曲線，則此雙曲線的虛軸長等于（

）A． B． C． D．【變式5-3】．（23-24高三下·上海·階段練習）若拋物線的焦點到它的準線距離為1，則實數m=【變式5-4】．（23-24高三下·上海·階段練習）將拋物線:關于直線對稱，得到拋物線，則拋物線的焦點到其準線的距離為.【變式5-5】．（2024高三·全國·專題練習）已知焦點在x軸上的雙曲線的離心率，則k的取值范圍是．題型06圓錐曲線的綜合應用【典例6-1】．（2023·上海虹口·一模）已知是橢圓與拋物線的一個共同焦點，與相交于A，B兩點，則線段AB的長等于（

）A． B． C． D．【典例6-2】．（2024·上海普陀·一模）設橢圓的左、右焦點分別為、，左頂點為，若橢圓的離心率為，則的值為.【變式6-1】．（24-25高三上·上海浦東新·期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，雙曲線上的點在第一象限，且與雙曲線的一條漸近線平行，則的面積為．

【變式6-2】．（24-25高三上·上海·期中）已知拋物線，圓，過圓心作斜率為的直線與拋物線和圓交于四點，自上而下依次為，，，，若，則的值為（

）A． B． C． D．【變式6-3】．（2024高三·上海·專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別是，，經過的直線與雙曲線的右支相交于，兩點，且，則雙曲線的離心率等于（

）A． B． C．2 D．3【變式6-4】．（23-24高三下·上海·期中）設為雙曲線:左、右焦點，點在的右支上，線段與的左支相交于點，且，則.【變式6-5】．（2024·上海·模擬預測）橢圓的左、右焦點分別為，過作軸的垂線交橢圓于，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為.題型07角度問題【典例7-1】．（23-24高三下·上海青浦·階段練習）已知為雙曲線的兩個焦點，P為C虛軸的一個端點，，則C的漸近線方程為．【變式7-1】．（2023·上海閔行·模擬預測）已知橢圓的左右焦點分別為，橢圓存在一點，若，則橢圓的離心率取值范圍為（

）A． B．C． D．題型08向量問題【典例8-1】．（2024·上海閔行·二模）雙曲線的左右焦點分別為，過坐標原點的直線與相交于兩點，若，則.【變式8-1】．（23-24高三下·上海·階段練習）設為坐標原點，為拋物線的焦點，是拋物線上一點，若，則點的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3題型09與數列結合問題【典例9-1】．（2024·上海·三模）已知橢圓C的焦點、都在x軸上，P為橢圓C上一點，的周長為6，且，，成等差數列，則橢圓C的標準方程為．【變式9-1】．（2020·上海·模擬預測）設數列的前項和為，，.已知，是雙曲線：的左右焦點，，若對恒成立，則實數的取值范圍是.題型10空間中軌跡問題【典例10-1】．（23-24高三下·上海·開學考試）已知四棱錐的底面為矩形，平面ABCD，點Q為側棱PA（不含端點的線段）上動點，則點Q在平面上的射影在（

）A．棱PB上 B．內部 C．外部 D．不確定【變式10-1】．（2023·上海閔行·一模）已知點P在正方體的表面上，P到三個平面ABCD、、中的兩個平面的距離相等，且P到剩下一個平面的距離與P到此正方體的中心的距離相等，則滿足條件的點P的個數為．題型11選擇壓軸辨析題【典例11-1】．（23-24高三上·上海寶山·期末）考慮這樣的等腰三角形：它的三個頂點都在橢圓上，且其中恰有兩個頂點為橢圓的頂點.關于這樣的等腰三角形有多少個，有兩個命題：命題①：滿足條件的三角形至少有12個.命題②：滿足條件的三角形最多有20個.關于這兩個命題的真假有如下判斷，正確的是（

）A．命題①正確；命題②錯誤. B．命題①錯誤；命題②正確.C．命題①，②均正確. D．命題①，②均錯誤.【變式11-1】．（2023·上海青浦·一模）定義：如果曲線段可以一筆畫出，那么稱曲線段為單軌道曲線，比如圓、橢圓都是單軌道曲線；如果曲線段由兩條單軌道曲線構成，那么稱曲線段為雙軌道曲線．對于曲線有如下命題：存在常數，使得曲線為單軌道曲線；存在常數，使得曲線為雙軌道曲線．下列判斷正確的是（

）.A．和均為真命題 B．和均為假命題C．為真命題，為假命題 D．為假命題，為真命題【變式11-2】．（23-24高三上·上海虹口·期末）已知曲線的對稱中心為O，若對于上的任意一點A，都存在上兩點B，C，使得O為的重心，則稱曲線為“自穩定曲線”．現有如下兩個命題：①任意橢圓都是“自穩定曲線”；②存在雙曲線是“自穩定曲線”．則（

）A．①是假命題，②是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①②都是假命題 D．①②都是真命題【變式11-3】．（2023·上海黃浦·三模）曲線：，下列兩個命題：命題甲：當時，曲線與坐標軸圍成的面積小于128；命題乙：當k=2n，時，曲線圍成的面積總大于4；下面說法正確的是（

）A．甲是真命題，乙是真命題 B．甲是真命題，乙是假命題C．甲是假命題，乙是真命題 D．甲是假命題，乙是假命題一、填空題1．（2024·上海·模擬預測）已知方程表示的曲線是橢圓，則實數的取值范圍是.2．（2024·上海奉賢·一模）已知拋物線上有一點到準線的距離為，點到軸的距離為，則拋物線的焦點坐標為．3．（2024·上海楊浦·一模）中國探月工程又稱“嫦娥工程”，是中國航天活動的第三個里程碑.在探月過程中，月球探測器需要進行變軌，即從一條橢圓軌道變到另一條不同的橢圓軌道上.若變軌前后的兩條橢圓軌道均以月球中心為一個焦點，變軌后橢圓軌道上的點與月球中心的距離最小值保持不變，而距離最大值擴大為變軌前的4倍，橢圓軌道的離心率擴大為變軌前的2.5倍，則變軌前的橢圓軌道的離心率為.（精確到0.01）4．（2024·上海閔行·一模）已知、分別為橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于、兩點．若，則．5．（2024·上海浦東新·三模）已知點A、B位于拋物線上，，點M為線段的中點，記點M到y軸的距離為d.若d的最小值為7，則當d取該最小值時，直線的斜率為.6．（2024·上海奉賢·三模）已知正方體的棱長為，，，…，為正方形邊上的個兩兩不同的點．若對任意的點，存在點.使得直線與平面以及平面所成角大小均為，則正整數的最大值為．二、單選題7．（2023·上海嘉定·三模）已知雙曲線的離心率為，點的坐標為，若上的任意一點都滿足，則（

）A． B．C． D．8．（2022·上海黃浦·二模）將曲線()與曲線()合成的曲線記作．設為實數，斜率為的直線與交于兩點，為線段的中點，有下列兩個結論：①存在，使得點的軌跡總落在某個橢圓上；②存在，使得點的軌跡總落在某條直線上，那么（

）．A．①②均正確 B．①②均錯誤C．①正確，②錯誤 D．①錯誤，②正確

專題09平面解析幾何(十一大題型)TOC\o"1-1"\h\u題型012021-2025年高考+春考真題 1題型02直線與方程 8題型03圓與方程 9題型04圓與方程的應用 10題型05圓錐曲線的概念辨析 15題型06圓錐曲線的綜合應用 17題型07角度問題 21題型08向量問題 23題型09與數列結合問題 24題型10空間中軌跡問題 25題型11選擇壓軸辨析題 27【解題規律·提分快招】1、判斷直線與圓的位置關系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關系．(2)代數法：聯立方程之后利用Δ判斷．(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交．2、根據條件求橢圓方程的主要方法(1)定義法：根據題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義．(2)待定系數法：根據題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當不知焦點在哪一個坐標軸上時，一般可設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點位置，用待定系數法求出m，n的值即可．3、(1)雙曲線漸近線的求法：求雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的方法是令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得兩漸近線方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝±\f(b,a)x)).(2)在雙曲線的幾何性質中重點是漸近線方程和離心率，在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±eq\f(b,a)，滿足關系式e2＝1＋k2.題型012021-2025年高考+春考真題

【典例1-1】．（2025?上海）已知雙曲線（a＞0）的左、右焦點分別為F1、F2．通過F2且傾斜角為的直線與雙曲線交于第一象限的點A，延長AF2至B使得AB＝AF1．若△BF1F2的面積為，則a的值為．【分析】由題意作圖，根據三角形面積公式以及直線方程，結合雙曲線的標準方程，可得答案．【解析】解：已知，則b2＝6﹣a2＞0，解得，又，則，，設B（xB，yB），又△BF1F2的面積為，則，解得yB＝﹣3，由題意可得直線AB的斜率，則方程為，將yB＝﹣3代入上式，則，解得，由題意可得，易知．故答案為：．【點評】本題考查了雙曲線的性質，重點考查了雙曲線的定義，屬中檔題．【典例1-2】．（2024?上海）已知拋物線y2＝4x上有一點P到準線的距離為9，那么P到x軸的距離為．【分析】根據已知條件，結合拋物線的定義，即可求解．【解析】解：設P坐標為（x0，y0），P到準線的距離為9，即x0+1＝9，解得x0＝8，代入拋物線方程，可得，故P到x軸的距離為．故答案為：．【點評】本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎題．【典例1-3】．（2024?上海）直線x﹣y+1＝0的傾斜角大小為45°．【分析】求出直線的斜率，根據直線斜率與傾斜角的關系，即可求得傾斜角的大小．【解析】解：由直線x﹣y+1＝0變形得：y＝x+1，設直線的傾斜角為α，即tanα＝1，因為α∈[0，180°），所以α＝45°．故答案為：45°．【點評】本題考查了直線的傾斜角的求法，以及特殊角的三角函數值．熟練掌握直線傾斜角與斜率的關系是解本題的關鍵，同時注意直線傾斜角的范圍，屬基礎題．【典例1-4】．（2024?上海）三角形三邊長為5，6，7，則以邊長為6的兩個頂點為焦點，過另外一個頂點的雙曲線的離心率為3．【分析】利用雙曲線的定義、離心率的計算公式即可得出結論．【解析】解：由雙曲線的定義，2c＝6，2a＝2，解得c＝3，a＝1，∴e＝＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了雙曲線的定義、離心率的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．【典例1-5】．（2023?上海）已知圓x2+y2﹣4x﹣m＝0的面積為π，則m＝﹣3．【分析】先把圓的一般方程化為標準方程，再結合圓的半徑為1求解即可．【解析】解：圓x2+y2﹣4x﹣m＝0化為標準方程為：（x﹣2）2+y2＝4+m，∵圓的面積為π，∴圓的半徑為1，∴4+m＝1，∴m＝﹣3．故答案為：﹣3．【點評】本題主要考查了圓的標準方程，屬于基礎題．【典例1-6】．（2023?上海）已知圓C的一般方程為x2+2x+y2＝0，則圓C的半徑為1．【分析】把圓C的一般方程化為標準方程，可得圓C的圓心和半徑．【解析】解：根據圓C的一般方程為x2+2x+y2＝0，可得圓C的標準方程為（x+1）2+y2＝1，故圓C的圓心為（﹣1，0），半徑為1，故答案為：1．【點評】本題主要考查圓的一般方程和標準方程，屬基礎題．【典例1-7】．（2022?上海）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）兩點均在雙曲線Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，則實數a的取值范圍為[1，+∞）．【分析】取P2的對稱點P3（x2，﹣y2），結合x1x2＞y1y2，可得＞0，然后可得漸近線夾角∠MON≤90°，代入漸近線斜率計算即可求得．【解析】解：設P2的對稱點P3（x2，﹣y2）仍在雙曲線右支，由x1x2＞y1y2，得x1x2﹣y1y2＞0，即＞0恒成立，∴∠P1OP3恒為銳角，即∠MON≤90°，∴其中一條漸近線y＝x的斜率≤1，∴a≥1，所以實數a的取值范圍為[1，+∞）．故答案為：[1，+∞）．【點評】本題考查了雙曲線的性質，是中檔題．【典例1-8】．（2022?上海）雙曲線﹣y2＝1的實軸長為6．【分析】根據雙曲線的性質可得a＝3，實軸長為2a＝6．【解析】解：由雙曲線﹣y2＝1，可知：a＝3，所以雙曲線的實軸長2a＝6．故答案為：6．【點評】本題考查雙曲線的性質，是基礎題．【典例1-9】．（2021?上海）直線x＝﹣2與直線x﹣y+1＝0的夾角為．【分析】先求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角．【解析】解：∵直線x＝﹣2的斜率不存在，傾斜角為，直線x﹣y+1＝0的斜率為，傾斜角為，故直線x＝﹣2與直線x﹣y+1＝0的夾角為﹣＝，故答案為：．【點評】本題主要考查直線的斜率和傾斜角，兩條直線的夾角，屬于基礎題．【典例1-10】．（2021?上海）若x2+y2﹣2x﹣4y＝0，求圓心坐標為（1，2）．【分析】將一般方程化為標準方程，然后確定其圓心坐標即可．【解析】解：由x2+y2﹣2x﹣4y＝0，可得圓的標準方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，所以圓心坐標為（1，2）．故答案為：（1，2）．【點評】本題考查了圓的一般方程和標準方程，考查了轉化思想，屬于基礎題．【典例1-11】．（2021?上海）已知拋物線y2＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在拋物線上，焦點為F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直線AB的斜率為．【分析】將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，根據已知條件結合斜率的定義，求出直線AB的斜率即可．【解析】解：如圖所示，設拋物線的準線為l，作AC⊥l于點C，BD⊥l于點D，AE⊥BD于點E，由拋物線的定義，可得AC＝AF＝2，BD＝BF＝4，∴，∴直線AB的斜率．故答案為：．【點評】本題主要考查直線斜率的定義與計算，拋物線的定義等知識，屬于基礎題．【典例1-12】．（2021?上海）已知橢圓x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦點為F1、F2，以O為頂點，F2為焦點作拋物線交橢圓于P，且∠PF1F2＝45°，則拋物線的準線方程是x＝1﹣．【分析】先設出橢圓的左右焦點坐標，進而可得拋物線的方程，設出直線PF1的方程并與拋物線方程聯立，求出點P的坐標，由此可得PF2⊥F1F2，進而可以求出PF1，PF2的長度，再由橢圓的定義即可求解．【解析】解：設F1（﹣c，0），F2（c，0），則拋物線y2＝4cx，直線PF1：y＝x+c，聯立方程組，解得x＝c，y＝2c，所以點P的坐標為（c，2c），所以PF2⊥F1F2，又PF所以PF，則c＝﹣1，所以拋物線的準線方程為：x＝﹣c＝1﹣，故答案為：x＝1﹣．【點評】本題考查了拋物線的定義以及橢圓的定義和性質，考查了學生的運算推理能力，屬于中檔題．【典例1-13】．（2023?上海）已知P，Q是曲線Γ上兩點，若存在M點，使得曲線Γ上任意一點P都存在Q使得|MP|?|MQ|＝1，則稱曲線Γ是“自相關曲線”．現有如下兩個命題：①任意橢圓都是“自相關曲線”；②存在雙曲線是“自相關曲線”，則（）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【分析】根據定義結合圖象，驗證|MP|?|MQ|＝1是否恒成立即可．【解析】解：∵橢圓是封閉的，總可以找到滿足題意的M點，使得|MP|?|MQ|＝1成立，故①正確，在雙曲線中，|PM|max→+∞，|PM|min＝0，當|PM|＝0時，Q點不存在；當|PM|min＝n，0＜n≤1時，|QM|＝，但當|PM|＝＞，此時|QM|＝＜n，這與|PM|min＝n矛盾，故②錯誤．故選：B．【點評】本題主要考查與曲線方程有關的新定義，根據條件結合圖象驗證|MP|?|MQ|＝1是否成立是解決本題的關鍵，是中檔題．【典例1-14】．（2022?上海）設集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}①存在直線l，使得集合Ω中不存在點在l上，而存在點在l兩側；②存在直線l，使得集合Ω中存在無數點在l上；（）A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立【分析】分k＝0，k＞0，k＜0，求出動點的軌跡，即可判定．【解析】解：當k＝0時，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}＝{（0，0）}，當k＞0時，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}，表示圓心為（k，k2），半徑為r＝2的圓，圓的圓心在直線y＝x2上，半徑r＝f（k）＝2單調遞增，相鄰兩個圓的圓心距d＝＝，相鄰兩個圓的半徑之和為l＝2+2，因為d＞l有解，故相鄰兩個圓之間的位置關系可能相離，當k＜0時，同k＞0的情況，故存在直線l，使得集合Ω中不存在點在l上，而存在點在l兩側，故①正確，若直線l斜率不存在，顯然不成立，設直線l：y＝mx+n，若考慮直線l與圓（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|的焦點個數，d＝，r＝，給定m，n，當k足夠大時，均有d＞r，故直線l只與有限個圓相交，②錯誤．故選：B．【點評】本題考查了動點的軌跡、直線與圓的位置關系，屬于中檔題．題型02直線與方程【典例2-1】．（2024·上海嘉定·一模）直線的傾斜角為.（用反三角函數表示）【答案】【分析】由直線的一般式方程求得斜率，根據傾斜角與斜率的關系，建立方程，可得答案.【解析】由直線，則該直線的斜率為，設其傾斜角為，則，解得.故答案為：.【典例2-2】．（24-25高三上·上海·階段練習）直線l過點，法向量，則l的一般式方程為.【答案】【分析】根據題意，由直線方程的點法式代入計算，即可得到結果.【解析】直線l的點法式方程為，化簡可得.故答案為：【變式2-1】．（24-25高三上·上海·階段練習）設，若直線與直線互相垂直，則．【答案】2【分析】利用斜率相乘等于即可求解.【解析】直線的斜率為，直線的斜率為，因為兩直線垂直，所以，解得，故答案為：2【變式2-2】．（2023·上海靜安·一模）若直線與直線平行，則這兩條直線間的距離是．【答案】/【分析】運用兩直線平行求得m的值，再運用兩平行線間的距離公式可求得結果.【解析】由直線與直線平行，可知，即，故直線為，直線變形得，故這兩條直線間的距離為，故答案為：.【變式2-3】．（2024·上海長寧·二模）直線與直線的夾角大小為．【答案】/【分析】先由斜率的定義求出兩直線的傾斜角，然后再利用兩角差的正切展開式計算出夾角的正切值，最后求出結果.【解析】設直線與直線的傾斜角分別為，則，且，所以，因為，所以，即兩條直線的夾角為，故答案為：.題型03圓與方程【典例3-1】．（24-25高三上·上海金山·期末）以為圓心且過點的圓的標準方程是．【答案】【分析】由圓心和圓上的點求出圓的半徑，代入圓的標準方程即可.【解析】圓心為，圓過點，則圓的半徑，所以圓的標準方程是.故答案為：.【典例3-2】．（2024·上海普陀·模擬預測）已知圓的周長為，則實數的值為.【答案】-3【分析】由周長求出圓的半徑，從而根據半徑得到方程，求出實數的值.【解析】設圓的半徑為r，則由題意，故，將圓一般式化為標準式得，則.故答案為：-3【變式3-1】．（24-25高三上·上海·開學考試）已知圓：與圓：外切，則實數．【答案】或【分析】兩圓外切時，兩圓的圓心距等于兩圓半徑之和，先求出兩圓的圓心坐標和半徑，再根據圓心距公式求出的值.【解析】由圓：中，圓心坐標為，半徑為，圓：中，圓心坐標為，半徑為，若兩圓外切，則，即，解得：或，故答案為：或.【變式3-2】．（24-25高三上·上海·開學考試）已知圓，則圓心到直線的最大距離為.【答案】【分析】根據題意，由題意可得直線過定點，當定點與圓心的連線與直線垂直時，距離最大，再由兩點間距離公式，即可得到結果.【解析】因為直線，即，令，解得，所以直線經過的定點為，當圓心與定點的連線與直線垂直時，距離最大為.故答案為：題型04圓與方程的應用【典例4-1】．（2024·上海·模擬預測）平面點集所構成區域的面積為.【答案】【分析】先根據題目得到區域為一個圓環，進而求圓環的面積即可.【解析】點集為以為圓心，為半徑的圓上的點的集合，又點在以為圓心，為半徑的圓上，所以平面點集所構成區域為圖中陰影，面積為.故答案為：.【典例4-2】．（2024·上海·模擬預測）正方形草地邊長到距離為到距離為，有個圓形通道經過，且經過上一點，求圓形通道的周長.（精確到）

【答案】【分析】利用給定條件求解圓的半徑，再求周長即可.【解析】如圖，以為原點建系，易知，連接，

不妨設中點為，直線中垂線所在直線方程為，化簡得，所以圓心為，半徑為，且經過點即，化簡得，解得，結合題意可得，故圓的周長為.故答案為：【變式4-1】．（24-25高三上·上海黃浦·期末）i為虛數單位，若復數滿足，復數滿足，則的最小值為．【答案】/【分析】設，，，，由題設易得對應的點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓面（包括邊界）內，對應的點是直線上一點，進而結合圓上一點到直線上一點的距離最值問題求解即可.【解析】設，，則，由，得，即，則復數對應的點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓面（包括邊界）內，設，，則，由，得，整理得，，則復數對應的點是直線上一點，又，所以表示點與點之間的距離，因為圓心到直線的距離為，所以的最小值為.故答案為：.【變式4-2】．（24-25高三上·上海嘉定·期中）設函數，若點滿足，，記點P構成的圖形為，則的面積是.【答案】【分析】根據已知條件列不等式，畫出圖形，并計算出圖形的面積.【解析】依題意，即，即，不等式表示的點位于圓的圓上和圓內，由此畫出圖形如下圖陰影部分所示，由于，所以，所以圖形的面積為.故答案為：【點睛】思路點睛:不等式的表示與圖形轉換：首先通過分析給定的不等式，將其轉化為幾何圖形，并通過繪制圖形來直觀理解該區域的范圍,這一步是確保解題正確的基礎.結合圖形計算面積：通過對圖形的繪制，結合已知的半徑，利用面積公式求解圖形的面積,繪制準確的圖形能夠幫助更好地理解幾何問題，從而簡化計算過程.【變式4-3】．（24-25高三上·上海·期中）已知實數、、、滿足，，，記，則的最大值是.【答案】【分析】根據題目等式特征可知，實數對都在圓上，利用數形結合再根據可得，再利用不等式求出去掉絕對值后可得，求出的最小值即可求得w的最大值.【解析】根據題意可設圓，，顯然兩點在圓上，由可知，可得；如圖所示：

由不等式，可得，同理可得；所以，當取最小值時，的值最大，由，易知，所以，可得，又，所以，即，當且僅當時取最小值，此時，即的最大值是.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵在于根據題目信息和等式特點，將代數問題轉化成幾何圖形，再利用向量和不等式即可求得結果.【變式4-4】．（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量滿足，且對任意的實數t，均有則的最小值為【答案】【分析】利用向量的坐標運算，再用數形結合思想求出最小值.【解析】如圖，建立直角坐標系，記，因為，所以點，作，設其坐標為，因為，所以點在以點為圓心，1為半徑的圓上，即，因為對任意的實數t，均有，所以，由于上式對任意的實數t的一元二次不等式恒成立，則，即，設又設，則，整理得：，所以可知點在直線上，又因為點在以點為圓心，1為半徑的圓上，且，所以可以把看成兩動點和的距離，顯然距離最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，而點到直線的距離,所以，即的最小值為3,故答案為：3.【點睛】關鍵點點睛：確定B，C點軌跡解決問題的關鍵.題型05圓錐曲線的概念辨析【典例5-1】．（2024·上海崇明·一模）雙曲線的漸近線方程是．【答案】【分析】將雙曲線方程中的1變為0后可得漸近線方程.【解析】雙曲線的漸近線方程為即，故答案為：.【典例5-2】．（2024·上海青浦·二模）橢圓的離心率為，則．【答案】【分析】直接根據橢圓方程得出離心率公式，則a可求.【解析】由題意得橢圓離心率為，解得，故答案為：2.【變式5-1】．（2024·上海靜安·一模）到點距離之和為10的動點的軌跡方程為.【答案】【分析】根據給定條件，利用橢圓的定義求出軌跡方程.【解析】依題意，，則點的軌跡是以為左右焦點，長軸長的橢圓，由，得，所以動點的軌跡方程為.故答案為：【變式5-2】．（2022·上海浦東新·一模）若方程表示雙曲線，則此雙曲線的虛軸長等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據雙曲線標準方程直接判斷.【解析】方程即為，由方程表示雙曲線，可得，所以，，所以虛軸長為，故選：B.【變式5-3】．（23-24高三下·上海·階段練習）若拋物線的焦點到它的準線距離為1，則實數m=【答案】【分析】根據拋物線性質得到方程，求出.【解析】由題意得，解得.故答案為：【變式5-4】．（23-24高三下·上海·階段練習）將拋物線:關于直線對稱，得到拋物線，則拋物線的焦點到其準線的距離為.【答案】【分析】求出對稱后的拋物線方程，再根據拋物線的幾何意義計算可得.【解析】將拋物線:關于直線對稱得到，即拋物線：，所以，則，則拋物線的焦點到其準線的距離為.故答案為：【變式5-5】．（2024高三·全國·專題練習）已知焦點在x軸上的雙曲線的離心率，則k的取值范圍是．【答案】【分析】根據雙曲線的標準方程可得，進而建立不等式組，解之即可求解.【解析】依題意知，，所以，則，有，解得，故k的取值范圍為．故答案為：題型06圓錐曲線的綜合應用【典例6-1】．（2023·上海虹口·一模）已知是橢圓與拋物線的一個共同焦點，與相交于A，B兩點，則線段AB的長等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得A，B兩點的坐標，進而求得線段AB的長【解析】橢圓的右焦點坐標為，則拋物線的焦點坐標為，則，則，拋物線由，解得或則故選：B【典例6-2】．（2024·上海普陀·一模）設橢圓的左、右焦點分別為、，左頂點為，若橢圓的離心率為，則的值為.【答案】【分析】根據題意寫出焦點與左頂點的坐標，表示出線段長，利用離心率寫出等量關系，可得答案.【解析】由題意可得，則，，由橢圓離心率為，可得，則，所以.故答案為：.【變式6-1】．（24-25高三上·上海浦東新·期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，雙曲線上的點在第一象限，且與雙曲線的一條漸近線平行，則的面積為．

【答案】【分析】根據題意先求出直線的方程，再與雙曲線方程聯立求出點的坐標，即可根據三角形的面積公式求出的面積.【解析】雙曲線的焦點，漸近線方程為，依題意，直線的方程為，由，解得，則點的坐標為，所以的面積為.故答案為：【變式6-2】．（24-25高三上·上海·期中）已知拋物線，圓，過圓心作斜率為的直線與拋物線和圓交于四點，自上而下依次為，，，，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據條件，可得圓心為拋物線的焦點，求出弦長，設出直線方程并與拋物線方程聯立，結合韋達定理求解作答.【解析】如圖，圓的圓心為，半徑顯然點為拋物線的焦點，則拋物線的準線方程為，設則，，所以，因此，即有，解得，設直線的方程為，顯然，由，消去得，則有，解得.故選：A.【變式6-3】．（2024高三·上海·專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別是，，經過的直線與雙曲線的右支相交于，兩點，且，則雙曲線的離心率等于（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】設，由已知結合雙曲線的定義用表示，利用等腰三角形性質求出，再在中利用余弦定理列式即可求得雙曲線的離心率．【解析】令，由，得，由雙曲線的定義，得，則，而，因此，，，，在等腰中，，令雙曲線的半焦距為c，在中，由余弦定理得：，即，整理得，則，所以雙曲線的離心率.故選：C【變式6-4】．（23-24高三下·上海·期中）設為雙曲線:左、右焦點，點在的右支上，線段與的左支相交于點，且，則.【答案】3【分析】由雙曲線定義可得，結合條件可求.【解析】因為點在的右支上，為雙曲線左、右焦點，所以，又，，所以.故答案為：.【變式6-5】．（2024·上海·模擬預測）橢圓的左、右焦點分別為，過作軸的垂線交橢圓于，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為.【答案】【分析】根據給定條件，結合橢圓的定義求出離心率.【解析】令橢圓的半焦距為c，由軸，為等腰直角三角形，得，，由橢圓的定義得，即，所以橢圓的離心率.故答案為：

題型07角度問題【典例7-1】．（23-24高三下·上海青浦·階段練習）已知為雙曲線的兩個焦點，P為C虛軸的一個端點，，則C的漸近線方程為．【答案】【分析】由題意可得出為等腰三角形，結合求出，即可求得答案.【解析】由題意知，而，結合雙曲線的對稱性可知為等腰三角形，則，故，結合可得，故C的漸近線方程為，故答案為：【變式7-1】．（2023·上海閔行·模擬預測）已知橢圓的左右焦點分別為，橢圓存在一點，若，則橢圓的離心率取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設，，根據橢圓的定義和余弦定理得，再根據基本不等式和離心率公式可得結果.【解析】設，，則，在中，，所以，所以，所以，因為，當且僅當時，取等號，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以.故選：C題型08向量問題【典例8-1】．（2024·上海閔行·二模）雙曲線的左右焦點分別為，過坐標原點的直線與相交于兩點，若，則.【答案】4【分析】由雙曲線的對稱性可得四邊形為平行四邊形，根據雙曲線的定義和，得，，中，由余弦定理得，，代入求值即可.【解析】雙曲線，實半軸長為1，虛半軸長為，焦距，由雙曲線的對稱性可得，有四邊形為平行四邊形，令，則，由雙曲線定義可知，故有，即，即，，中，由余弦定理，，即，得，.故答案為：4.【變式8-1】．（23-24高三下·上海·階段練習）設為坐標原點，為拋物線的焦點，是拋物線上一點，若，則點的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】設，利用坐標運算計算，然后解方程即可.【解析】由已知，設，則，，由，故選：C.題型09與數列結合問題【典例9-1】．（2024·上海·三模）已知橢圓C的焦點、都在x軸上，P為橢圓C上一點，的周長為6，且，，成等差數列，則橢圓C的標準方程為．【答案】【分析】根據給定條件，結合等差中項的意義及橢圓的定義列式求出即可得解.【解析】令橢圓長半軸長為，半焦距為，依題意，，即，解得，則橢圓短半軸長，所以橢圓C的標準方程為.故答案為：【變式9-1】．（2020·上海·模擬預測）設數列的前項和為，，.已知，是雙曲線：的左右焦點，，若對恒成立，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】根據題意，求得，類比寫出，，兩式作差，整理得出，得到，進而求得，點可化為落在雙曲線的漸近線上，結合雙曲線的定義以及漸近線的性質，得到結果.【解析】，，∵，∴，，，作差得，，∴，，，，，，，，設線段與雙曲線交于點，，得坐標可化為，落在雙曲線：的漸近線上，當時，可近似看成第一象限雙曲線上的點，，∴.故答案為：.【點睛】該題考查的是有關數列與雙曲線的綜合題，涉及到的知識點有根據遞推公式求數列的通項以及前項和，雙曲線的性質，極限思想，屬于較難題目.題型10空間中軌跡問題【典例10-1】．（23-24高三下·上海·開學考試）已知四棱錐的底面為矩形，平面ABCD，點Q為側棱PA（不含端點的線段）上動點，則點Q在平面上的射影在（

）A．棱PB上 B．內部 C．外部 D．不確定【答案】C【分析】將四棱錐補形為長方體，作出輔助線，證明線面垂直，進而得到點的投影落在上，得到答案.【解析】四棱錐的底面為矩形，平面ABCD，將四棱錐補形為長方體，如下，過點作⊥于點，因為⊥平面，平面，所以⊥，因為，平面，故⊥平面，故點在平面的投影為，連接，則當點Q為側棱PA（不含端點的線段）上運動時，點的投影落在上，由圖知：點Q在平面上的射影在外部.故選：C【變式10-1】．（2023·上海閔行·一模）已知點P在正方體的表面上，P到三個平面ABCD、、中的兩個平面的距離相等，且P到剩下一個平面的距離與P到此正方體的中心的距離相等，則滿足條件的點P的個數為．【答案】【分析】確定在平面上，根據得到的軌跡為平面內的一條拋物線，建立坐標系確定拋物線方程，計算交點得到答案.【解析】若P到平面ABCD、距離相等，根據對稱性知在平面上，平面，平面，故平面平面，故到平面的距離即到的距離，設正方體的中心為，即，故的軌跡為平面內的一條拋物線，不妨取正方體邊長為，中點為，以所在的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標系，拋物線方程為，時，，故拋物線與棱和相交，故共有個點滿足條件.故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題考查了立體幾何，拋物線的軌跡方程，意在考查學生的計算能力，空間想象能力和綜合應用能力，其中根據題意得到動點的軌跡方程是解題的關鍵，題型11選擇壓軸辨析題【典例11-1】．（23-24高三上·上海寶山·期末）考慮這樣的等腰三角形：它的三個頂點都在橢圓上，且其中恰有兩個頂點為橢圓的頂點.關于這樣的等腰三角形有多少個，有兩個命題：命題①：滿足條件的三角形至少有12個.命題②：滿足條件的三角形最多有20個.關于這兩個命題的真假有如下判斷，正確的是（

）A．命題①正確；命題②錯誤. B．命題①錯誤；命題②正確.C．命題①，②均正確. D．命題①，②均錯誤.【答案】C【分析】分別以橢圓頂點連線為等腰三角形的腰或底，進行分類討論，得到答案.【解析】不妨設，如圖1，連接，當為等腰三角形的底時，作的垂直平分線交橢圓于兩點，連接，則為等腰三角形，滿足題意，同理當為等腰三角形的底時，也可以各作出2個滿足要求的等腰三角形，共有8個；如圖2，當為等腰三角形的腰時，以為圓心，為半徑作圓，則圓的方程為，聯立，消得，解得或，當時，，則交點有，當，即時，則圓與橢圓相交于點，連接，其中滿足要求，三個頂點均為橢圓頂點，不合題意，同理當為等腰三角形的腰時，也可以各作出2個滿足要求的等腰三角形，共有8個；當，即時，則圓與橢圓相交于點三點，當，即時，則圓與橢圓相交于點兩點，綜上，當為等腰三角形的腰時，符合題意的三角形的個數可能是個或個；如圖3，以為圓心，為半徑作圓，此時圓與橢圓相交于點，連接，此時為等腰三角形，滿足題意，共有2個，如圖4，以為圓心，為半徑作圓，此時圓與橢圓相交于點，連接，此時為等腰三角形，滿足題意，共有2個，由橢圓性質可知，為橢圓中的最長弦，所以不能作為等腰三角形的腰，而作為底時，剛好等腰三角形的頂點為上頂點或下頂點，不合要求，綜上所述，滿足要求的等腰三角形個數為或，所以滿足條件的三角形至少有12個，最多有個，所以命題①，②均正確.故選：C.【點睛】方法點睛：兩圓一線，是平面幾何中等腰三角形存在性問題的通用解法，這里以橢圓為背景進行考察，基本思路沒有變化，但要注意兩圓一線所得到的等腰三角形有不滿足要求的，要舍去.【變式11-1】．（2023·上海青浦·一模）定義：如果曲線段可以一筆畫出，那么稱曲線段為單軌道曲線，比如圓、橢圓都是單軌道曲線；如果曲線段由兩條單軌道曲線構成，那么稱曲線段為雙軌道曲線．對于曲線有如下命題：存在常數，使得曲線為單軌道曲線；存在常數，使得曲線為雙軌道曲線．下列判斷正確的是（

）.A．和均為真命題 B．和均為假命題C．為真命題，為假命題 D．為假命題，為真命題【答案】A【分析】根據方程確定研究曲線的性質，判斷命題的真假．【解析】記，易得，因此曲線關于軸，軸成軸對稱，關于原點成中心對稱，從幾何上講，曲線是到兩定點和的距離乘積為的點的軌跡，由可得，因此它在軸上方和下方分別是兩個函數的圖象，這兩個函數圖象在軸上有公共點（方程的解相同），由得，時，或，所以曲線與軸無公共點，曲線是在軸兩側的兩個曲線構成，是雙軌道曲線，當時，，結合對稱性知，曲線是一個封閉曲線，是單軌道曲線，（實際上上述過程中只要對取一個特定值討論即可）命題均正確，故選：A．【點睛】方法點睛：用方程確定曲線的性質，例如對稱性，在曲線方程中用替換，方程不變，則曲線關于軸對稱，用替換，方程不變，則曲線關于軸對稱，如果同時用替換，替換，方程不變，則說明曲線關于原點對稱，同樣如果互換后方程不變，曲線則關于直線對稱等等，通過方程中變量的變化范圍得出曲線點的坐標的變化范圍，即曲線的范圍，由變量變化的趨勢得出曲線的變化趨勢．【變式11-2】．（23-24高三上·上海虹口·期末）已知曲線的對稱中心為O，若對于上的任意一點A，都存在上兩點B，C，使得O為的重心，則稱曲線為“自穩定曲線”．現有如下兩個命題：①任意橢圓都是“自穩定曲線”；②存在雙曲線是“自穩定曲線”．則（

）A．①是假命題，②是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①②都是假命題 D．①②都是真命題【答案】B【分析】設出橢圓、雙曲線方程及點的坐標，結合三角形重心坐標公式利用點的坐標求出直線方程，再與橢圓或雙曲線方程聯立，判斷是否有兩個不同解即得.【解析】橢圓是“自穩定曲線”.設橢圓方程為，令，則，設，由是的重心，知，直線過點，

當時，若，直線與橢圓有兩個交點，符合題意，若，直線與橢圓有兩個交點，符合題意，則當，即時，存在兩點，使得的重心為原點，同理，當，即時，存在兩點，使得的重心為原點，當時，，兩式相減得，直線的斜率，方程為，即，由消去并整理得：，，即直線與橢圓交于兩點，且是的重心，即當時，對于點，在橢圓上都存在兩點，使得為的重心，綜上，橢圓上任意點，在橢圓上都存在兩點，使得為重心，①為真命題；雙曲線不是“自穩定曲線”.由對稱性，不妨令雙曲線方程為，令，則，設，假設是的重心，則，直線過點，當時，直線或直線與雙曲線都不相交，因此，，兩式相減得，直線的斜率，方程為，即，由消去并整理得：，，即直線與雙曲線不相交，所以不存在雙曲線，其上點及某兩點，為的重心，②是假命題.故選：B【點睛】思路點睛：涉及直線被圓錐曲線所截弦中點及直線斜率問題，可以利用“點差法”，設出弦的兩個端點坐標，代入曲線方程作差求解，還要注意驗證.【變式11-3】．（2023·上海黃浦·三模）曲線：，下列兩個命題：命題甲：當時，曲線與坐標軸圍成的面積小于128；命題乙：當k=2n，時，曲線圍成的面積總大于4；下面說法正確的是（

）A．甲是真命題，乙是真命題 B．甲是真命題，乙是假命題C．甲是假命題，乙是真命題 D．甲是假命題，乙是假命題【答案】A【分析】把代入，變形等式并確定圖形在直線的下方（除點外）判斷命題甲；當取正偶數時，分析曲線的性質，判斷點與曲線的位置關系判斷乙命題作答.【解析】命題甲：當時，曲線：是端點為，在第一象限的曲線段，由，得，，而，當且僅當或時取等號，即有，則曲線除兩個端點外均在直線的下方，因此曲線除端點外，在直線與坐標軸