/專題04統計與概率（六大題型）TOC\o"1-1"\h\u題型01統計估計與概率 1題型02統計圖表與概率 4題型03隨機變量的分布與特征 5題型04線性回歸及其綜合應用 7題型05獨立性檢驗列聯表 11題型06函數的實際應用與統計概率綜合 15【解題規律·提分快招】1、離散型隨機變量分布列的性質的應用(1)利用“概率之和為1”可以求相關參數的值．(2)利用“在某個范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根據性質判斷所得分布列結果是否正確．2、求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每個值的概率．(3)寫出ξ的分布列．(4)由均值、方差的定義求E(ξ)，D(ξ)．3、獨立性檢驗的一般步驟(1)根據樣本數據制成2×2列聯表．(2)根據公式χ2＝計算．(3)比較χ2與臨界值的大小關系，作統計推斷．題型01統計估計與概率【典例1-1】．（24-25高三上·上海金山·期末）某高中舉行了一次知識競賽．為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績作為樣本進行統計．將成績進行整理后，依次分為五組（），其中第1組的頻率為第2組和第4組頻率的等比中項．請根據下面的頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：(1)求a、b的值；(2)從樣本數據在兩個小組內的學生中，用分層抽樣的方法抽取7名學生，再從這7名學生中隨機選出2人，求選出的兩人恰好來自不同小組的概率；(3)某老師在此次競賽成績中抽取了10名學生的分數：已知這10個分數的平均數，方差，若剔除其中的95和81兩個分數，求剩余8個分數的平均數與方差．【典例1-2】．（2024·上海青浦·一模）第七屆中國國際進口博覽會于2024年11月5日至10日在上海舉辦，某公司生產的、三款產品在博覽會上亮相，每一種產品均有普通裝和精品裝兩種款式，該公司每天產量如下表:（單位:個）產品產品產品普通裝

180400精品裝300420600現采用分層抽樣的方法在某一天生產的產品中抽取100個，其中款產品有30個.(1)求的值；(2)用分層抽樣的方法在款產品中抽取一個容量為5的樣本，從樣本中任取2個產品，求其中至少有一個精品裝產品的概率;(3)對抽取到的款產品樣本中某種指標進行統計，普通裝產品的平均數為10，方差為2，精品裝產品的平均數為12，方差為1.8，試估計這天生產的款產品的某種指標的總體方差（精確到0.01）.【變式1-1】．（2024·上海嘉定·一模）在一場盛大的電競比賽中，有兩支實力強勁的隊伍甲和乙進行對決.比賽采用5局3勝制，最終的勝者將贏得10萬元獎金，比賽過程中，每局比賽雙方獲勝的概率相互獨立且甲隊每局獲勝概率為0.4，乙隊每局獲勝概率為0.6.比賽開始后，甲隊先連勝兩局，此時，主辦方記錄了兩隊隊員在這兩局比賽中的一些數據.甲隊隊員的擊殺數（單位：個）數據如下：；乙隊隊員的擊殺數（單位：個）數據如下：然而此時比賽場地突發技術故障，比賽不得不中止.請回答以下問題：(1)根據目前情況（甲隊已連勝兩局），寫出甲?乙兩隊“采用5局3勝制”的比賽結果的樣本空間；(2)根據所給數據，繪制甲?乙兩隊隊員的擊殺數分布的莖葉圖；(3)在目前情況下（甲隊已連勝兩局），估算甲乙兩隊獲勝概率，并據此分配10萬元獎金.【變式1-2】．（2024·上海虹口·一模）2024年法國奧運會落下帷幕．某平臺為了解觀眾對本次奧運會的滿意度，隨機調查了本市1000名觀眾，得到他們對本屆奧運會的滿意度評分（滿分100分），平臺將評分分為共5層，繪制成頻率分布直方圖（如圖1所示）．并在這些評分中以分層抽樣的方式從這5層中再抽取了共20名觀眾的評分，繪制成莖葉圖，但由于某種原因莖葉圖受到了污損，可見部分信息如圖2所示．(1)求圖2中這20名觀眾的滿意度評分的第35百分位數；(2)若從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分的概率；(3)已知這1000名觀眾的評分位于上的均值為67，方差為64.7，位于上的均值為73，方差為134.6，求這1000名觀眾的評分位于上的均值與方差．【變式1-3】．（24-25高三上·上海·期中）某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式.為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式，完成生產任務的工作時間不超過70分鐘的工人為“優秀”，否則為“合格”.根據工人完成生產任務的工作時間（單位：分鐘）繪制了如下莖葉圖：(1)求40名工人完成生產任務所需時間的第75百分位數；(2)獨立地從兩種生產方式中各選出一個人，求選出的兩個人均為優秀的概率；(3)為了解該工廠職工的基本信息，從工廠中抽取了100個職工的體重數據，發現全部介于45公斤到75公斤之間，現將100個體重數據分為6組：第一組，第二組，，第六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.其中第一組有2人，第二組有13人.求與的值.題型02統計圖表與概率【典例2-1】．（2024·上海長寧·一模）2024年第七屆中國國際進口博覽會（簡稱進博會）于11月5日至10日在上海國家會展中心舉行.為了解進博會參會者的年齡結構，某機構隨機抽取了年齡在15-75歲之間的200名參會者進行調查，并按年齡繪制了頻率分布直方圖，分組區間為.把年齡落在區間內的人稱為“青年人”，把年齡落在區間內的人稱為“中年人”，把年齡落在內的人稱為“老年人”.

(1)求所抽取的“青年人”的人數；(2)以分層抽樣的方式從“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名參會者做進一步訪談，發現其中女性共4人，這4人中有3人是“中年人”.再用抽簽法從所抽取的10名參會者中任選2人.①簡述如何采用抽簽法任選2人；②設事件A：2人均為“中年人”，事件B：2人中至少有1人為男性，判斷事件A與事件B是否獨立，并說明理由.【變式2-1】．（2024·上海奉賢·一模）某芯片代工廠生產甲、乙兩種型號的芯片，為了解芯片的某項指標，從這兩種芯片中各抽取100件進行檢測，獲得該項指標的頻率分布直方圖，如圖所示：假設數據在組內均勻分布，以樣本估計總體，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率．(1)求頻率分布直方圖中x的值并估計乙型芯片該項指標的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；(2)已知甲型芯片指標在為航天級芯片，乙型芯片指標在為航天為航天級芯片．現分別采用分層抽樣的方式，從甲型芯片指標在內取2件，乙型芯片指標在內取4件，再從這6件中任取2件，求至少有一件為航天級芯片的概率．【變式2-2】．（24-25高三上·上海松江·期末）某日用品按行業質量標準分成五個等級，等級系數依次為1、2、3、4、5，現從一批該日用品中隨機抽取20件，對其等級系數進行統計分析，得到頻率分布表如下：12345(1)若所抽取的20件日用品中，等級系數為4的恰有3件，等級系數為5的恰有2件，求a、b、c的值；(2)在（1）的條件下，將等級系數為4的3件日用品記為、、，等級系數為5的2件日用品記為、，現從、、、、這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結果，并求這兩件日用品的等級系數恰好相等的概率．題型03隨機變量的分布與特征【典例3-1】．（2024·上海松江·二模）某素質訓練營設計了一項闖關比賽.規定：三人組隊參賽，每次只派一個人，且每人只派一次：如果一個人闖關失敗，再派下一個人重新闖關；三人中只要有人闖關成功即視作比賽勝利，無需繼續闖關.現有甲、乙、丙三人組隊參賽，他們各自闖關成功的概率分別為、、，假定、、互不相等，且每人能否闖關成功的事件相互獨立.(1)計劃依次派甲乙丙進行闖關，若，，，求該小組比賽勝利的概率；(2)若依次派甲乙丙進行闖關，則寫出所需派出的人員數目的分布，并求的期望；(3)已知，若乙只能安排在第二個派出，要使派出人員數目的期望較小，試確定甲、丙誰先派出.【典例3-2】．（24-25高三上·上海奉賢·期中）某市數學競賽初賽結束后，為了解競賽成績情況，從所有學生中隨機抽取名學生，得到他們的成績，將數據分成五組：，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：(1)若只有前的學生能進決賽，則入圍分數應設為多少分？(2)采用分層隨機抽樣的方法從成績為的學生中抽取容量為的樣本，再從該樣本中隨機抽取名學生進行問卷調查，設為其中達到分及以上的學生的人數，求的概率分布及數學期望.【變式3-1】．（24-25高三上·上海·開學考試）為了緩解高三學生學業壓力，學校開展健美操活動，高三某班文藝委員調查班級學生是否愿意參加健美操，得到如下的列聯表.性別愿意不愿意男生610女生186(1)根據該列聯表，并依據顯著水平的獨立性檢驗，判斷能否認為“學生性別與是否愿意參加健美操有關”；(2)在愿意參加的所有學生中，根據性別，分層抽樣選取8位學生組織班級健美操隊，并從中隨機選取2人作為領隊，記這2人中女生人數為隨機變量，求的分布及期望.附：.【變式3-2】．（2023·上海閔行·三模）某學校有兩個餐廳為學生提供午餐與晩餐服務，甲、乙兩位學生每天午餐和晩餐都在學校就餐，近100天選擇餐廳就餐情況統計如下：選擇餐廳情況（午餐，晩餐）甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天為了吸引學生就餐，餐廳推出就餐抽獎活動，獲獎的概率為，而餐廳推出就餐送貼紙活動，每次就餐送一張.假設甲、乙選擇餐廳就餐相互獨立，用頻率估計概率.(1)分別估計一天中甲午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐的概率，乙午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐的概率；(2)記為學生乙在一天中獲得貼紙的數量，求的分布列和數學期望；(3)餐廳推出活動當天學生甲就參加了抽獎活動，已知如果學生甲抽中獎品，則第二天午餐再次去餐廳就餐的概率為，如果學生甲并沒有抽中獎品，第二天午餐依然在餐廳就餐的概率為，若餐廳推出活動的第二天學生甲午餐去餐廳就餐的概率是，求.【變式3-3】．（24-25高三上·上海松江·階段練習）某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如下表：賠償次數01234單數800100603010假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元．假設不同保單的索賠次數相互獨立．用頻率估計概率．(1)估計一份保單索賠次數不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差．（i）記為一份保單的毛利潤，估計的數學期望；（ii）如果無索賠的保單的保費減少4%，有索賠的保單的保費增加20%，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與（i）中估計值的大小．【變式3-4】．（23-24高三下·上海青浦·階段練習）中國首個海外高鐵項目——雅萬高鐵全線長142.3千米，共設有哈利姆站、卡拉旺站、帕達拉朗站、德卡伯爾站4個車站.在運營期間，鐵路公司隨機選取了100名乘客的乘車記錄，統計分析，得到下表（單位：人）：下車站上車站卡拉旺站帕達拉朗站德卡魯爾站總計哈利姆站5201540卡拉旺站102030帕達拉朗站3030總計53065100用頻率代替概率，根據上表解決下列問題：(1)在運營期間，從卡拉旺站上車的乘客中任選3人，設這3人到德卡魯爾站下車的人數為隨機變量，求的分布列及其數學期望；(2)已知地處在哈利姆站與卡拉旺站之間，地居民到哈利姆站乘車的概率為，到卡拉旺站乘車的概率為（地居民不可能在卡拉旺站下車）.在高鐵離開卡拉旺站時，求從哈利姆站上車的乘客來自地的概率與從卡拉旺站上車的乘客來自地的概率的比值.題型04線性回歸及其綜合應用【典例4-1】．（2024·上海·一模）為幫助鄉村脫貧，某勘探隊計劃了解當地礦脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量（單位：克每立方米）與樣本對原點的距離（單位：米）的數據，并作了初步處理，得到了下面的一些統計量的值．（表中）．697.900.212400.1414.1226.13(1)利用相關系數的知識，判斷與哪一個更適宜作為平均金屬含量關于樣本對原點的距離的回歸方程類型；(2)根據（1）的結果建立關于的回歸方程，并估計樣本對原點的距離米時，平均金屬含量是多少？【典例4-2】．（2023·上海楊浦·模擬預測）某科技公司為確定下一年度投入某種產品的研發費，需了解年研發費x（單位：萬元）對年銷售量y（單位：百件）和年利潤（單位：萬元）的影響，現對近6年的年研發費和年銷售量（，2，…，6）數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.

12.52223.5157.5168004.51254270表中，.(1)根據散點圖判斷與哪一個更適宜作為年研發費x的回歸方程類型；（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；(3)已知這種產品的年利潤，根據（2）的結果，當年研發費為多少時，年利潤z的預報值最大？附：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，.【變式4-1】．（2023·上海奉賢·一模）某連鎖便利店從年到年銷售商品品種為種，從年開始，該便利店進行了全面升級，銷售商品品種為種.下表中列出了從年到年的利潤額.年份利潤額/萬元(1)若某年的利潤額超過萬元，則該便利店當年會被評選為示范店；若利潤額不超過萬元，則該便利店當年不會被評選為示范店.試完成列聯表，并判斷商品品種數量與便利店是否為示范店有關？（顯著性水平，）品種為種品種為種總計被評為示范店次數未被評為示范店次數總計(2)請根據年至年（剔除年的數據）的數據建立與的線性回歸模型①；根據年至年的數據建立與的線性回歸模型②.分別用這兩個模型，預測年該便利店的利潤額并說明這樣的預測值是否可靠？（回歸系數精確到，利潤精確到萬元）回歸系數與的公式如下：【變式4-2】．（2024·上海·模擬預測）某航天公司研發了一種火箭推進器，為測試其性能，對推進器飛行距離與損壞零件數進行了統計，數據如下：飛行距離5663717990102110117損壞零件數（個）617390105119136149163(1)建立關于的回歸模型，根據所給數據及回歸模型，求回歸方程及相關系數.（精確到0.1，精確到1，精確到0.0001）(2)該公司進行了第二次測試，從所有同型號推進器中隨機抽取100臺進行等距離飛行測試，對其中60臺進行飛行前保養，測試結束后，有20臺報廢，其中保養過的推進器占比，請根據統計數據完成列聯表，并根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為推進器是否報廢與保養有關？保養未保養合計報廢20未報廢合計60100附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【變式4-3】．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習）環境監測部門為調研汽車流量對空氣質量的影響，在某監測點統計每日過往的汽車流量（單位：輛）和空氣中的的平均濃度（單位：）．調研人員采集了50天的數據，制作了關于的散點圖，并用直線與將散點圖分成如圖所示的四個區域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入對應區域的樣本點的個數依次為6，20，16，8．(1)完成下面的列聯表，并判斷至少有多大把握認為“平均濃度不小于與“汽車日流量不小于1500輛”有關；汽車日流量汽車日流量合計的平均濃度的平均濃度合計(2)經計算得回歸方程為，且這50天的汽車日流量的標準差，的平均濃度的標準差．①求相關系數，并判斷該回歸方程是否有價值；②若這50天的汽車日流量滿足，試推算這50天的日均濃度的平均數．（精確到0.1）參考公式：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828回歸方程，其中．相關系數．若，則認為與有較強的線性相關性．題型05獨立性檢驗列聯表【典例5-1】．（24-25高三上·上海·期中）學校為了解學生對“公序良俗”的認知情況，設計了一份調查表，題目分為必答題和選答題．其中必答題是①、②、③共三道題，選答題為④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道題，被調查者在選答題中自主選擇其中道題目回答即可．現從④、⑥、⑧、⑩四個題目中至少選答一道的學生中隨機抽取名學生進行調查，他們選答④、⑥、⑧、⑩的題目數及人數統計如表：選答④、⑥、⑧、⑩的題目數1道2道3道4道人數(1)現規定：同時選答④、⑥、⑧、⑩的學生為“公序良俗”達人．學校還調查了這位學生的性別情況，研究男女生中“公序良俗”達人的大概比例，得到的數據如下表：性別“公序良俗”達人非“公序良俗”達人總計男性女性總計請完成上述列聯表，并根據小概率值的獨立性檢驗，分析“公序良俗”達人與性別是否有關．(2)從這名學生中任選名，記表示這名學生選答④、⑥、⑧、⑩的題目數之差的絕對值，求隨機變量的分布和數學期望．參考公式：，其中．附表見上圖．【典例5-2】．（24-25高三上·上海·階段練習）為了了解廣大消費者購買新能源汽車意向與年齡是否具有相關性，某汽車APP采用問卷調查形式對400名消費者進行調查，數據顯示這400人中中老年人共有150人，且愿意購買新能源車的人數是愿意購買燃油車的2倍；青年中愿意購買新能源車的人數是愿意購買燃油車的4倍.年齡段購車意向合計愿意購買新能源車愿意購買燃油車青年中老年合計(1)完善2×2列聯表，請根據小概率值的獨立性檢驗，分析消費者對新能源車和燃油車的意向購買與年齡是否有關；(2)采用分層隨機抽樣從愿意購買新能源車的消費者中抽取9人，再從這9人中隨機抽取5人，求這5人中青年人數的分布和期望.附：，.0.050.010.0013.8416.63510.828【變式5-1】．（24-25高三上·上海·階段練習）某校體育鍛煉時間準備提供三項體育活動供學生選擇．為了解該校學生是否同意“三項體育活動中要有籃球”，學校隨機調查了名學生，數據如表：男生女生合計同意50不同意50合計(1)能否有的把握認為學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態度與性別有關?(2)現有足球、籃球、跳繩供學生選擇．若甲、乙兩學生從三項運動中隨機選一種（他們的選擇相互獨立）．若在甲學生選擇足球的前提下，兩人的選擇不同的概率為．記事件為“甲學生選擇足球”，事件為“甲、乙兩名學生的選擇不同”，判斷事件是否獨立，并說明理由．(3)經觀察，該校學生每分鐘跳繩個數，由往年經驗，訓練后每人每分鐘跳繩個數比開始時增加10個，該校有1000名學生，預估經過訓練后每分鐘跳個以上人數（結果四舍五入到整數）．參考公式和數據：，其中；若，則，，．【變式5-2】．（24-25高三上·上海·期中）2024年某瓷器公司計劃向市場推出兩種高檔中國紅瓷杯A和，已知A和燒制成功率分別為和，燒制成功一個A，盈利30元，否則虧損10元；燒制成功一個，盈利80元，否則虧損20元.(1)設為燒制一個A和一個所得的利潤之和，求隨機變量的分布和數學期望；(2)求燒制4個A所得的利潤不少于80元的概率；(3)公司將用戶對中國紅瓷器的喜歡程度分為“非常滿意”（得分不低于85分）和“滿意”（得分低于85分）兩類，通過調查完成下表.年齡低于45歲61442317年齡不低于45歲4647358根據調查數據完成下列列聯表，并依據顯著性水平的獨立性檢驗，判斷居民對瓷器的喜歡程度是否與年齡有關聯？非常滿意滿意合計年齡低于45歲年齡不低于45歲合計附：，，，與的若干對應數值見下表：0.250.050.0051.3233.8417.879【變式5-3】．（24-25高三上·上海·階段練習）近年來，隨著智能手機的普及，網上買菜迅速進入了我們的生活。現將一周網上買菜次數超過3次的市民認定為“喜歡網上買菜”，不超過3次甚至從不在網上買菜的市民認定為“不喜歡網上買菜”．某市社區為了解該社區市民網上買菜情況，隨機抽取了該社區100名市民，得到的統計數據如下表所示：喜歡網上買菜不喜歡網上買菜合計年齡不超過45歲的市民401050年齡超過45歲的市民203050合計6040100(1)能否有95%的把握認為社區的市民是否喜歡網上頭菜與年齡有關？(2)M社區的市民小張周一、二均在網上買菜，且周一等可能地從兩個買菜平臺隨機選擇一個下單買菜如果周一選擇平臺買菜，那么周二選擇平臺買菜的概率為，如果周一選每平臺買菜，那么周二選擇平合買菜的概率為，求小張周二選擇平臺買菜的概率；(3)用頻率估計概率，現從M社區隨機抽取20名市民，記其中喜歡網上買菜的市民人數為隨機變量，并記隨機變量，求、的期望和方差．參考公式：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【變式5-4】．（24-25高三·上海·課堂例題）“日行萬步”正成為健康生活的代名詞．某地一研究團隊統計了該地區1000位居民的日行步數，得到如下表格：日行步數（單位：千步）人數（人）206017020030020050(1)為研究日行步數與居民年齡的關系，以日行步數是否超過8千步為標準進行分層抽樣，從上述1000位居民中抽取200人，得到如下列聯表，請將列聯表補充完整，并根據2列聯表判斷是否有95％把握認為日行步數與居民年齡超過40歲有關；日行步數千步日行步數>8千步總計40歲以上（人）10040歲以下（含40歲）（人）50總計2000.500.400.250.150.0100.050.0250.0100.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635(2)以這1000位居民日行步數超過8千步的頻率，代替該地區1位居民日行步數超過8千的概率，每位居民日行步數是否超過8千相互獨立．為了深入研究，該研究團隊隨機調查了20位居民，其中日行步數超過8千的最有可能（即概率最大）是多少位居民？【變式5-5】．（2024·上海徐匯·二模）為了解中草藥甲對某疾病的預防效果，研究人員隨機調查了100名人員，調查數據如表.（單位：個）未患病者患病者合計未服用中草藥甲服用中草藥甲合計(1)若規定顯著性水平，試分析中草藥甲對預防此疾病是否有效；(2)已知中草藥乙對該疾病的治療有效率數據如下：對未服用過中草藥甲的患者治療有效率為，對服用過中草藥甲的患者治療有效率為.若用頻率估計概率，現從患此疾病的人員中隨機選取2人（分兩次選取，每次1人，兩次選取的結果獨立）使用中草藥乙進行治療，記治療有效的人數為，求的分布和數學期望.附：，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828題型06函數的實際應用與統計概率綜合【典例6-1】．（2023·上海金山·二模）某網站計劃4月份訂購草莓在網絡銷售，每天的進貨量相同，成本價為每盒15元.假設當天進貨能全部售完，決定每晚七點前（含七點）售價為每盒20元，每晚七點后售價為每盒10元.根據銷售經驗，每天晚七點前的購買量與網站每天的瀏覽量（單位：萬次）有關.為確定草莓的進貨量，相關人員統計了前兩年4月份（共60天）網站每天的瀏覽量（單位：萬次）、晚七點前購買草莓的數量（單位：盒）以及達到該流量的天數，如下表所示：每天的瀏覽量0,1每天晚七點前的購買量300900天數3624以每天的瀏覽量位于各區間的頻率代替瀏覽量位于該區間的概率.(1)求4月份草莓一天晚七點前的購買量（單位：盒）的分布；(2)設4月份銷售草莓一天的利潤為（單位：元），一天的進貨量為（單位：盒），為正整數且，當為多少時，的期望達到最大值，并求此最大值.【變式6-1】．（2023·上海長寧·二模）某地新能源汽車保有量符合阻沛型增長模型，其中為自統計之日起，經過t年后該地新能源汽車保有量、和r為增長系數、M為飽和量．下表是該地近6年年底的新能源汽車的保有量（萬輛）的統計數據：年份20182019202020212022t01234保有量9.612.917.123.231.4假設該地新能源汽車飽和量萬輛．(1)若，假設2018年數據滿足公式，計算的值（精確到0.01）并估算2023年年底該地新能源汽車保有量（精確到0.1萬輛）；(2)設，則與t線性相關．請依據以上表格中相關數據，利用線性回歸分析確定和r的值（精確到0.01）．附：線性回歸方程中回歸系數計算公式如下：.【變式6-2】．（2023·上海浦東新·模擬預測）為幫助鄉村脫貧，某勘探隊計劃了解當地礦脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量（單位：）與樣本對原點的距離（單位：）的數據，并作了初步處理，得到了下面的一些統計量的值.（表中）660(1)利用樣本相關系數的知識，判斷與哪一個更適宜作為平均金屬含量關于樣本對原點的距離的回歸方程類型？(2)根據（1）的結果回答下列問題：（i）建立關于的回歸方程；（ii）樣本對原點的距離時，金屬含量的預報值是多少？(3)已知該金屬在距離原點米時的平均開采成本（單位：元）與關系為，根據（2）的結果回答，為何值時，開采成本最大？【變式6-3】．（2023·上海松江·二模）某城市響應國家號召，積極調整能源結構，推出多種價位的新能源電動汽車．根據前期市場調研，有購買新能源車需求的約有2萬人，他們的選擇意向統計如下：車型ABCDEF價格9萬元12萬元18萬元24萬元30萬元40萬元占比5%15%25%35%15%5%(1)如果有購車需求的這些人今年都購買了新能源車，今年新能源車的銷售額預計約為多少億元？(2)車企推出兩種付款方式：全款購車：購車時一次性付款可優惠車價的3%；分期付款：無價格優惠，購車時先付車價的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付車價的．①某位顧客現有a萬元現金，欲購買價值a萬元的某款車，付款后剩余的資金全部用于購買半年期的理財產品（該理財產品半年期到期收益率為1.8%），到期后，可用資金（含理財收益）繼續購買半年期的理財產品，問：顧客選擇哪一種付款方式收益更多？（計算結果精確到0.0001）②為了激勵購買理財產品，銀行對采用分期付款方式的顧客，贈送價值1888元的大禮包，試問：這一措施對哪些車型有效？（計算結果精確到0.0001）一、解答題1．（2023·上海普陀·一模）我國隨著人口老齡化程度的加劇，勞動力人口在不斷減少，“延遲退休”已成為公眾關注的熱點話題之一，為了了解公眾對“延遲退休”的態度，某研究機構對屬地所在的一社區進行了調查，并將隨機抽取的50名被調查者的年齡制成如圖所示的莖葉圖.(1)經統計發現，投贊成票的人均年齡恰好是這50人年齡的第60百分位數，求此百分位數；(2)經統計年齡在的被調查者中，投贊成票的男性有3人，女性有2人，現從該組被調查者中隨機選取男女各2人進行跟蹤調查，求被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率（結果用最簡分數表示）2．（2024·上海徐匯·一模）某企業招聘員工，指定“英語聽說”?“信息技術”?“邏輯推理”作為三門考試課程，有兩種考試方案.方案一：參加三門課程的考試，至少有兩門及格為通過；方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，并參加這兩門課程的考試，兩門都及格為通過.假設某應聘者參加三門指定課程考試及格的概率分別是.，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.(1)分別求該應聘者選方案一考試通過的概率和選方案二考試通過的概率；(2)試比較該應聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小，并說明理由.3．（2024·上海奉賢·三模）在剛剛結束的杭州亞運會上，中國羽毛球隊延續了傳統優勢項目，以4金3銀2銅的成績傲視亞洲．在舊制的羽毛球賽中，只有發球方贏得這一球才可以得分，即如果發球方在此回合的爭奪中輸球，則雙方均不得分．但發球方輸掉此回合后，下一回合改為對方發球．(1)在舊制羽毛球賽中，中國隊某運動員每一回合比賽贏球的概率均為，且各回合相互獨立．若第一回合該中國隊運動員發球，求第二回合比賽有運動員得分的概率；(2)羽毛球比賽中，先獲得第一分的隊員往往會更加占據心理上的優勢，給出以下假設：假設1：各回合比賽相互獨立；假設2：比賽雙方運動員甲和乙的實力相當，即每回合比賽中甲獲勝的概率均為；求第一回合發球者在整場比賽中先得第一分的概率，并說明舊制是否合理？4．（2024·上海·模擬預測）為了解某地初中學生體育鍛煉時長與學業成績的關系，從該地區29000名學生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時長與學業成績的數據如下表所示：時間范圍學業成績優秀5444231不優秀1341471374027(1)該地區29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時人數約為多少？(2)估計該地區初中學生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）(3)是否有的把握認為學業成績優秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關？（附：其中，．）5．（2024·上海·三模）某學校為了解本學期學生參加公益勞動的情況，從學校內隨機抽取了500名高中學生進行在線調查，收集了他們參加公益勞動時間（單位:小時）分配情況等數據，并將樣本數據分成，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)現認為大于10小時的公益勞動時間為長，小于10小時的公益勞動時間為短，填寫下列列聯表，并判斷是否有95%把握認為公益勞動時間與學生性別有關.性別公益勞動時間合計長短男110女120合計(2)為進一步了解這500名學生參加公益勞動時間的分配情況，從參加公益勞動時間在三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人.記參加公益勞動時間在內的學生人數為，求的分布列和期望；(3)以調查結果的頻率估計概率，從該學校所有高中學生中隨機抽取20名學生，用“”表示這20名學生中恰有名學生參加公益勞動時間在]（單位:小時）內的概率，其中.當最大時，寫出的值.0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.6356．（2024·上海·三模）為了解人們是否喜歡跑步，某機構在一小區隨機抽取了40人進行調查，統計結果如下表．喜歡不喜歡合計男12820女101020合計221840(1)根據以上數據，判斷能否有95%的把握認為人們對跑步的喜歡情況與性別有關？附：，其中，(2)該小區居民張先生每天跑步或開車上班，據以往經驗，張先生跑步上班準時到公司的概率為，張先生跑步上班遲到的概率為．對于下周（周一～周五）上班方式張先生作出如下安排：周一跑步上班，從周二開始，若前一天準時到公司，當天就繼續跑步上班，否則，當天就開車上班，且因公司安排，周五開車去公司（無論周四是否準時到達公司）．設從周一開始到張先生第一次開車去上班前跑步上班的天數為X，求X的分布列及數學期望．7．（2024·上海·三模）在傳染病學中，通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發生作用起，到機體出現反應或開始呈現該疾病對應的相關癥狀時止的這一階段稱為潛伏期，一研究團隊在當地感染某一種傳染病的人群中隨機抽取了200名患者，其中潛伏期超過5天的患者人數為80．(1)為了研究這200名患者中潛伏期超過5天的群體與不超過5天的群體的性別是否有顯著性差異，該團隊將患者按性別分成兩組進行對比，人數分布如下表所示：潛伏期≤5天潛伏期>5天總計男6734101女534699總計12080200請根據表中數據，判斷這兩類人群的性別有無顯著性差異（顯著性水平），并說明理由；（附：，其中，）(2)為了進一步深化研究，該團隊擬在當地隨機抽取名患者開展個案分析．現用200名患者中潛伏期超過5天的頻率值，作為“從當地隨機抽取一名患者，其潛伏期超過5天”的概率的估計值．若該團隊希望事件“這n名患者中，至少有2人的潛伏期超過5天”發生的概率不低于0.9，同時為了保障個案分析的質量，考慮到時間與成本的制約，希望抽取的患者數盡可能少，則該團隊應該抽取多少名患者?8．（2024·上海·三模）某市舉行了一次大型宣傳活動，會后組辦方分別從7個不同的地方的問卷調查中各隨機抽取了相同數量的數據構成一個樣本，依據相關的標準該樣本中各地抽取的數據人均得分構成數列，且，由各地的得分可以認為各地人均得分2服從正態分布，近似為抽取的樣本中7個地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整數）.(1)利用正態分布的知識求；(2)組辦方為此次參加問卷調查的市民制定如下兩種獎勵方案：方案一：（i）得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；（ii）每次獲贈的隨機話費和對應的概率為獲贈的隨機話費（單位：元）50100概率方案二：參加了此次問卷調查的市民可獲得價值100元的“元旦迎新”大型晚會活動入場券，參加了此次問卷調查的市民可選擇其中一種獎勵方案.①市民小李參加了此次問卷調查，記X（單位：元）為小李參加問卷調查獲贈的話費，求X的分布列及數學期望；②請問小李是選擇參加獲贈隨機話費活動，還是獲得價值100元的參加“元旦迎新”入場券？請用統計中相關知識為小李作出決策.（附：若，則，，）

專題04統計與概率（六大題型）TOC\o"1-1"\h\u題型01統計估計與概率 1題型02統計圖表與概率 7題型03隨機變量的分布與特征 10題型04線性回歸及其綜合應用 17題型05獨立性檢驗列聯表 25題型06函數的實際應用與統計概率綜合 36【解題規律·提分快招】1、離散型隨機變量分布列的性質的應用(1)利用“概率之和為1”可以求相關參數的值．(2)利用“在某個范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根據性質判斷所得分布列結果是否正確．2、求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每個值的概率．(3)寫出ξ的分布列．(4)由均值、方差的定義求E(ξ)，D(ξ)．3、獨立性檢驗的一般步驟(1)根據樣本數據制成2×2列聯表．(2)根據公式χ2＝計算．(3)比較χ2與臨界值的大小關系，作統計推斷．題型01統計估計與概率【典例1-1】．（24-25高三上·上海金山·期末）某高中舉行了一次知識競賽．為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績作為樣本進行統計．將成績進行整理后，依次分為五組（），其中第1組的頻率為第2組和第4組頻率的等比中項．請根據下面的頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：(1)求a、b的值；(2)從樣本數據在兩個小組內的學生中，用分層抽樣的方法抽取7名學生，再從這7名學生中隨機選出2人，求選出的兩人恰好來自不同小組的概率；(3)某老師在此次競賽成績中抽取了10名學生的分數：已知這10個分數的平均數，方差，若剔除其中的95和81兩個分數，求剩余8個分數的平均數與方差．【答案】(1)，；(2)；(3)平均數為88，方差為19.【分析】（1）根據頻率直方圖，應用頻率和為1及等比中項性質列方程求參數；（2）根據分層抽樣的等比例性質有來自的分別為2人、5人，結合組合數及古典概型的概率求法求概率；（3）由平均數、方差公式求剔除數據后的平均數和方差.【解析】（1）由題設，且，所以且，故，所以，.（2）由題圖知：在兩個小組內的學生人數比為，所以抽取7名學生中，來自的分別為2人、5人，隨機選出2人，兩人恰好來自不同小組的概率.（3）由題設得，，假設剔除的兩個為，則平均值為，此時方差為.【典例1-2】．（2024·上海青浦·一模）第七屆中國國際進口博覽會于2024年11月5日至10日在上海舉辦，某公司生產的、三款產品在博覽會上亮相，每一種產品均有普通裝和精品裝兩種款式，該公司每天產量如下表:（單位:個）產品產品產品普通裝

180400精品裝300420600現采用分層抽樣的方法在某一天生產的產品中抽取100個，其中款產品有30個.(1)求的值；(2)用分層抽樣的方法在款產品中抽取一個容量為5的樣本，從樣本中任取2個產品，求其中至少有一個精品裝產品的概率;(3)對抽取到的款產品樣本中某種指標進行統計，普通裝產品的平均數為10，方差為2，精品裝產品的平均數為12，方差為1.8，試估計這天生產的款產品的某種指標的總體方差（精確到0.01）.【答案】(1)100；(2)；(3).【分析】（1）由分層隨機抽樣的抽樣比直接計算即可；（2）由古典概型結合組合數公式即可求解；（3）根據分層抽樣總體的方差公式求解即可.【解析】（1）由題意可知，該工廠一天所生產的產品數為現采用分層抽樣的方法在這一天生產的產品中抽取100個，其中B款產品有30個，則，解得.（2）設所抽取的樣本中有個精品裝產品，則，解得所以容量為5的樣本中，有3個精品裝產品，2個普通裝產品.因此從樣本中任取2個產品，至少有1個精品裝產品的概率為（3）由題意，某項指標總體的平均數為，所以由分層抽樣的總體方差公式可得【變式1-1】．（2024·上海嘉定·一模）在一場盛大的電競比賽中，有兩支實力強勁的隊伍甲和乙進行對決.比賽采用5局3勝制，最終的勝者將贏得10萬元獎金，比賽過程中，每局比賽雙方獲勝的概率相互獨立且甲隊每局獲勝概率為0.4，乙隊每局獲勝概率為0.6.比賽開始后，甲隊先連勝兩局，此時，主辦方記錄了兩隊隊員在這兩局比賽中的一些數據.甲隊隊員的擊殺數（單位：個）數據如下：；乙隊隊員的擊殺數（單位：個）數據如下：然而此時比賽場地突發技術故障，比賽不得不中止.請回答以下問題：(1)根據目前情況（甲隊已連勝兩局），寫出甲?乙兩隊“采用5局3勝制”的比賽結果的樣本空間；(2)根據所給數據，繪制甲?乙兩隊隊員的擊殺數分布的莖葉圖；(3)在目前情況下（甲隊已連勝兩局），估算甲乙兩隊獲勝概率，并據此分配10萬元獎金.【答案】(1)；(2)莖葉圖見解析；(3)甲乙獲勝的概率分別為，獎金分別為萬元和萬元.【分析】（1）根據給定條件，寫出比賽結果的樣本空間.（2）繪制擊殺數分布的莖葉圖.（3）利用相互獨立事件的概率及對立事件的概率估計概率，再按概率分配獎金.【解析】（1）用表示甲隊在第局獲勝，則表示乙隊第局獲勝，所以所求樣本空間.（2）甲?乙兩隊隊員的擊殺數分布的莖葉圖，如圖，（3）乙隊獲勝的事件為，則，，因此甲隊獲勝的概率為，由此分配10萬元獎金，甲隊分得（萬元），乙隊分得萬元.【變式1-2】．（2024·上海虹口·一模）2024年法國奧運會落下帷幕．某平臺為了解觀眾對本次奧運會的滿意度，隨機調查了本市1000名觀眾，得到他們對本屆奧運會的滿意度評分（滿分100分），平臺將評分分為共5層，繪制成頻率分布直方圖（如圖1所示）．并在這些評分中以分層抽樣的方式從這5層中再抽取了共20名觀眾的評分，繪制成莖葉圖，但由于某種原因莖葉圖受到了污損，可見部分信息如圖2所示．(1)求圖2中這20名觀眾的滿意度評分的第35百分位數；(2)若從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分的概率；(3)已知這1000名觀眾的評分位于上的均值為67，方差為64.7，位于上的均值為73，方差為134.6，求這1000名觀眾的評分位于上的均值與方差．【答案】(1)(2)(3)這1000名觀眾的評分位于上的均值與方差分別為，.【分析】（1）根據百分位數的定義求解即可；（2）先求出的人數，利用對立事件結合古典概型求解即可；（3）根據題意利用分層抽樣的平均數和方差公式運算求解.【解析】（1）∵，∴第35百分位數為第兩個數的平方數（2）由圖1可知，圖2中有2人，所以從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分設為事件，所以.（3）由題意可知：落在的頻率為，落在的頻率為，因為這1000名觀眾的評分位于上的均值為67，方差為64.7，位于上的均值為73，方差為134.6，所以，設這1000名觀眾的評分位于上的均值與方差分別為，所以，解得：，，解得：.這1000名觀眾的評分位于上的均值與方差分別為，.【變式1-3】．（24-25高三上·上海·期中）某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式.為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式，完成生產任務的工作時間不超過70分鐘的工人為“優秀”，否則為“合格”.根據工人完成生產任務的工作時間（單位：分鐘）繪制了如下莖葉圖：(1)求40名工人完成生產任務所需時間的第75百分位數；(2)獨立地從兩種生產方式中各選出一個人，求選出的兩個人均為優秀的概率；(3)為了解該工廠職工的基本信息，從工廠中抽取了100個職工的體重數據，發現全部介于45公斤到75公斤之間，現將100個體重數據分為6組：第一組，第二組，，第六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.其中第一組有2人，第二組有13人.求與的值.【答案】(1)(2)(3)；【分析】（1）按照求百分數的計算步驟計算即可；（2）分別算出第一種與第二種生產方式中優秀的概率相乘即可；（3）據直方圖面積為1的性質及第一組第二組的人數建立方程組，解出，進而得解.【解析】（1）40名工人完成生產任務所需時間按從小到大排列為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，因為，所以第75百分數為；（2）由題意可知，第一種生產方式中優秀的概率為，第二種生產方式中優秀的概率為，所以選出的兩個人均為優秀的概率為.（3）依題意，則，又因為，所以，因為，所以，所以，所以，.題型02統計圖表與概率【典例2-1】．（2024·上海長寧·一模）2024年第七屆中國國際進口博覽會（簡稱進博會）于11月5日至10日在上海國家會展中心舉行.為了解進博會參會者的年齡結構，某機構隨機抽取了年齡在15-75歲之間的200名參會者進行調查，并按年齡繪制了頻率分布直方圖，分組區間為.把年齡落在區間內的人稱為“青年人”，把年齡落在區間內的人稱為“中年人”，把年齡落在內的人稱為“老年人”.

(1)求所抽取的“青年人”的人數；(2)以分層抽樣的方式從“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名參會者做進一步訪談，發現其中女性共4人，這4人中有3人是“中年人”.再用抽簽法從所抽取的10名參會者中任選2人.①簡述如何采用抽簽法任選2人；②設事件A：2人均為“中年人”，事件B：2人中至少有1人為男性，判斷事件A與事件B是否獨立，并說明理由.【答案】(1)80(2)①答案見解析；②事件A與事件B不獨立，理由見解析【分析】（1）根據頻率分布直方圖求得的值，然后求得“青年人”人數占比，從而可得“青年人”人數；（2）①利用簡單隨機抽樣設計抽簽法任選2人即可；②根據獨立事件判斷公式，結合超幾何分布概率問題求解，從而可得結論.【解析】（1）由頻率分布直方圖可得，解得：，又“青年人”占比為，所以所抽取的“青年人”人數為人；（2）①先將10名參會者進行編號：1、2、、10，并將10個號碼寫在完全相同的紙片上，放入某容器中充分混合均勻，再取出2張，2張紙片上所對應的參會者就是要選取的人，②“青年人”“中年人”“老年人”的人數之比為，所以10人中“中年人”共有5人，2人均為“中年人”的概率，2人中至少有1人為男性的概率，2人均為“中年人”且至少有1人為男性的概率，因為，所以事件A與事件B不獨立.【變式2-1】．（2024·上海奉賢·一模）某芯片代工廠生產甲、乙兩種型號的芯片，為了解芯片的某項指標，從這兩種芯片中各抽取100件進行檢測，獲得該項指標的頻率分布直方圖，如圖所示：假設數據在組內均勻分布，以樣本估計總體，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率．(1)求頻率分布直方圖中x的值并估計乙型芯片該項指標的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；(2)已知甲型芯片指標在為航天級芯片，乙型芯片指標在為航天為航天級芯片．現分別采用分層抽樣的方式，從甲型芯片指標在內取2件，乙型芯片指標在內取4件，再從這6件中任取2件，求至少有一件為航天級芯片的概率．【答案】(1)，.(2).【分析】（1）由頻率和為1求出得值，根據平均數公式求出平均值.（2）根據條件列舉樣本容量和樣本點的方法，列式求解.【解析】（1）由題意得，解得.由頻率分布直方圖得乙型芯片該項指標的平均值：.（2）根據分層抽樣得，來自甲型芯片指標在和的各1件，分別記為和，來自甲型芯片指標在和分別為3件和1件，分別記為，，和，從中任取2件，樣本空間可記為，，，，，，，，，，，，，，共15個，記事件：至少有一件為航天級芯片,則，，，，，，，，共9個，所以.【變式2-2】．（24-25高三上·上海松江·期末）某日用品按行業質量標準分成五個等級，等級系數依次為1、2、3、4、5，現從一批該日用品中隨機抽取20件，對其等級系數進行統計分析，得到頻率分布表如下：12345(1)若所抽取的20件日用品中，等級系數為4的恰有3件，等級系數為5的恰有2件，求a、b、c的值；(2)在（1）的條件下，將等級系數為4的3件日用品記為、、，等級系數為5的2件日用品記為、，現從、、、、這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結果，并求這兩件日用品的等級系數恰好相等的概率．【答案】(1)，，(2)所有可能的結果詳見解析；概率為．【分析】（1）根據頻率和頻數的關系可求的值，根據頻率和為可求的值.（2）用列舉法寫出所有的可能性，再結合古典概型公式求解即可.【解析】（1）因為等級系數為4的恰有3件，所以；等級系數為5的恰有2件，所以；因為，所以.故，，.（2）從、、、、這5件日用品中任取兩件，所有可能得結果有：，，，，，，，，，共10種情況.這兩件日用品的等級系數恰好相等的結果有：，，，，共4個.因為每種結果出現的可能性相同，所以這兩件日用品的等級系數恰好相等的概率為：.題型03隨機變量的分布與特征【典例3-1】．（2024·上海松江·二模）某素質訓練營設計了一項闖關比賽.規定：三人組隊參賽，每次只派一個人，且每人只派一次：如果一個人闖關失敗，再派下一個人重新闖關；三人中只要有人闖關成功即視作比賽勝利，無需繼續闖關.現有甲、乙、丙三人組隊參賽，他們各自闖關成功的概率分別為、、，假定、、互不相等，且每人能否闖關成功的事件相互獨立.(1)計劃依次派甲乙丙進行闖關，若，，，求該小組比賽勝利的概率；(2)若依次派甲乙丙進行闖關，則寫出所需派出的人員數目的分布，并求的期望；(3)已知，若乙只能安排在第二個派出，要使派出人員數目的期望較小，試確定甲、丙誰先派出.【答案】(1)(2)(3)先派出甲【分析】（1）利用獨立事件的概率乘法公式求解；（2）由題意可知，的所有可能取值為1，2，3，利用獨立事件的概率乘法公式求出相應的概率，進而得到的分布，再結合期望公式求解；（3）分別計算出依次派甲乙丙進行闖關和依次派丙乙甲進行闖關，所派出人員數目的期望，再利用作差法比較大小即可．【解析】（1）設事件表示“該小組比賽勝利”，則；（2）由題意可知，的所有可能取值為1，2，3，則，，，所以的分布為：所以；（3）若依次派甲乙丙進行闖關，設派出人員數目的期望為，由（2）可知，，若依次派丙乙甲進行闖關，設派出人員數目的期望為，則，則，因為，所以，，所以，即，所以要使派出人員數目的期望較小，先派出甲．【典例3-2】．（24-25高三上·上海奉賢·期中）某市數學競賽初賽結束后，為了解競賽成績情況，從所有學生中隨機抽取名學生，得到他們的成績，將數據分成五組：，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：(1)若只有前的學生能進決賽，則入圍分數應設為多少分？(2)采用分層隨機抽樣的方法從成績為的學生中抽取容量為的樣本，再從該樣本中隨機抽取名學生進行問卷調查，設為其中達到分及以上的學生的人數，求的概率分布及數學期望.【答案】(1)分(2)分布列見解析，【分析】（1）根據百分位數的定義，結合頻率分布直方圖，可得答案；（2）寫出變量的可能取值，分別求得概率，寫出分布列，利用期望公式，可得答案.【解析】（1）成績在區間的比例為：；成績在區間的比例為：，因此分位數位于區間；因此入圍分數為：，因此入圍分數應設為分.（2）在這六個人中，有兩人的分數在分及以上，因此，，，，變量的分布列為：所以的數學期望為.【變式3-1】．（24-25高三上·上海·開學考試）為了緩解高三學生學業壓力，學校開展健美操活動，高三某班文藝委員調查班級學生是否愿意參加健美操，得到如下的列聯表.性別愿意不愿意男生610女生186(1)根據該列聯表，并依據顯著水平的獨立性檢驗，判斷能否認為“學生性別與是否愿意參加健美操有關”；(2)在愿意參加的所有學生中，根據性別，分層抽樣選取8位學生組織班級健美操隊，并從中隨機選取2人作為領隊，記這2人中女生人數為隨機變量，求的分布及期望.附：.【答案】(1)能(2)分布列見解析，【分析】（1）完善列聯表，作出零假設，根據獨立性檢驗公式計算的值，推斷出零假設成立與否，從而得出判斷；（2）根據列聯表得出選取8人中男生與女生人數，由超幾何分布計算出對應概率值，得出隨機變量的分布列，求出數學期望.【解析】（1）列聯表如下：性別愿意不愿意合計男生61016女生18624合計241640零假設為：是否愿意參加健美操與學生性別無關.根據列聯表中的數據，可得,根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立,既認為是否愿意參加健美操與學生性別有關聯，此判斷犯錯誤的概率不大于0.005.（2）根據列聯表可得愿意參加健美操的學生中女生占全部的，∴選取的8人中，女生有人，男生有人，∴隨機變量的可取值：0,1,2.∴，，.∴隨機變量的分布列：012數學期望.【變式3-2】．（2023·上海閔行·三模）某學校有兩個餐廳為學生提供午餐與晩餐服務，甲、乙兩位學生每天午餐和晩餐都在學校就餐，近100天選擇餐廳就餐情況統計如下：選擇餐廳情況（午餐，晩餐）甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天為了吸引學生就餐，餐廳推出就餐抽獎活動，獲獎的概率為，而餐廳推出就餐送貼紙活動，每次就餐送一張.假設甲、乙選擇餐廳就餐相互獨立，用頻率估計概率.(1)分別估計一天中甲午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐的概率，乙午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐的概率；(2)記為學生乙在一天中獲得貼紙的數量，求的分布列和數學期望；(3)餐廳推出活動當天學生甲就參加了抽獎活動，已知如果學生甲抽中獎品，則第二天午餐再次去餐廳就餐的概率為，如果學生甲并沒有抽中獎品，第二天午餐依然在餐廳就餐的概率為，若餐廳推出活動的第二天學生甲午餐去餐廳就餐的概率是，求.【答案】(1)0.3，0.4(2)，分布列見解析(3)【分析】（1）根據古典概型公式計算即可.（2）求得的可能取值及對應概率完成分布列，根據離散型隨機變量的期望公式求解即可.（3）根據全概率和條件概率公式求解即可.【解析】（1）設事件C為“一天中甲員工午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐”，事件D為“乙員工午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐”，因為100個工作日中甲員工午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐的天數為30，乙員工午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐的天數為40，所以.（2）由題意知，可以取的值為：0，1，2，，，故的分布為：.（3）設表示事件“去餐廳就餐獲獎”，表示事件“學生甲午餐去餐廳就餐”，由題知，，，，，則，解得.即如果學生甲并沒有抽中獎品，第二天午餐依然在餐廳就餐的概率.【變式3-3】．（24-25高三上·上海松江·階段練習）某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如下表：賠償次數01234單數800100603010假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元．假設不同保單的索賠次數相互獨立．用頻率估計概率．(1)估計一份保單索賠次數不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差．（i）記為一份保單的毛利潤，估計的數學期望；（ii）如果無索賠的保單的保費減少4%，有索賠的保單的保費增加20%，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與（i）中估計值的大小．【答案】(1)(2)（i）；（ii）答案見解析【分析】（1）根據題設中的數據可求賠償次數不少2的概率；（2）（i）設為賠付金額，則可取，用頻率估計概率后可求的分布列及數學期望，從而可求；（ii）先算出下一期保費的變化情況，結合（1）的結果可求，從而即可比較大小得解.【解析】（1）設為“隨機抽取一單，賠償不少于2次”，由題設中的統計數據可得：.（2）（i）設為賠付金額，則可取，由題設中的統計數據可得：，，，，，故，故（萬元）.（ii）由題設保費的變化為，故.【變式3-4】．（23-24高三下·上海青浦·階段練習）中國首個海外高鐵項目——雅萬高鐵全線長142.3千米，共設有哈利姆站、卡拉旺站、帕達拉朗站、德卡伯爾站4個車站.在運營期間，鐵路公司隨機選取了100名乘客的乘車記錄，統計分析，得到下表（單位：人）：下車站上車站卡拉旺站帕達拉朗站德卡魯爾站總計哈利姆站5201540卡拉旺站102030帕達拉朗站3030總計53065100用頻率代替概率，根據上表解決下列問題：(1)在運營期間，從卡拉旺站上車的乘客中任選3人，設這3人到德卡魯爾站下車的人數為隨機變量，求的分布列及其數學期望；(2)已知地處在哈利姆站與卡拉旺站之間，地居民到哈利姆站乘車的概率為，到卡拉旺站乘車的概率為（地居民不可能在卡拉旺站下車）.在高鐵離開卡拉旺站時，求從哈利姆站上車的乘客來自地的概率與從卡拉旺站上車的乘客來自地的概率的比值.【答案】(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）首先求出樣本中從卡拉旺站上車的乘客到德卡魯爾站下車的概率，即可得到，根據二項分布的概率公式求出分布列，再計算其期望即可；（2）記事件：該乘客來自地；記事件：該乘客在哈利姆站上車；記事件：該乘客在卡拉旺站上車，依題意得到，，，，再由概率乘法公式得到，從而得到.【解析】（1）從卡拉旺站上車的乘客到德卡魯爾站下車的概率，根據頻率估計概率，從卡拉旺站上車的乘客中任選3人，則這3人到德卡魯爾站下車的人數，即的可能取值為，，，，所以，，，，所以的分布列如下：0123則；（2）由表中數據可知，在高鐵離開卡拉旺站時，在哈利姆站上車的有35人，在卡拉旺站上車的有30人.記事件：該乘客來自地；記事件：該乘客在哈利姆站上車；記事件：該乘客在卡拉旺站上車；，，，，從哈利姆站上車的乘客中是來自地的概率為，從卡拉旺站上車的乘客中是來自地的概率為，，，，，，在高鐵離開卡拉旺站時，所求概率的比值為.題型04線性回歸及其綜合應用【典例4-1】．（2024·上海·一模）為幫助鄉村脫貧，某勘探隊計劃了解當地礦脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量（單位：克每立方米）與樣本對原點的距離（單位：米）的數據，并作了初步處理，得到了下面的一些統計量的值．（表中）．697.900.212400.1414.1226.13(1)利用相關系數的知識，判斷與哪一個更適宜作為平均金屬含量關于樣本對原點的距離的回歸方程類型；(2)根據（1）的結果建立關于的回歸方程，并估計樣本對原點的距離米時，平均金屬含量是多少？【答案】(1)更適宜作為回歸方程類型；(2)，.【分析】（1）根據題意，分別求得相關系數的值，結合和，結合，即可得到結論.（2）（i）根據最小二乘法，求得回歸系數，進而求得回歸方程；（ii）當時，結合回歸方程，即可求得預報值.【解析】（1）因為的線性相關系數，的線性相關系數，因為，所以更適宜作為平均金屬含量關于樣本對原點的距離的回歸方程類型.（2）依題意，，則，于是，所以關于的回歸方程為.當時，金屬含量的預報值為.【典例4-2】．（2023·上海楊浦·模擬預測）某科技公司為確定下一年度投入某種產品的研發費，需了解年研發費x（單位：萬元）對年銷售量y（單位：百件）和年利潤（單位：萬元）的影響，現對近6年的年研發費和年銷售量（，2，…，6）數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.

12.52223.5157.5168004.51254270表中，.(1)根據散點圖判斷與哪一個更適宜作為年研發費x的回歸方程類型；（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；(3)已知這種產品的年利潤，根據（2）的結果，當年研發費為多少時，年利潤z的預報值最大？附：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，.【答案】(1)；(2)；(3)30萬元.【分析】（1）由散點圖可以判斷更適宜作為年研發費x的回歸方程類型；（2）令，建立y關于的線性回歸方程，再利用最小二乘法求出y關于μ的線性回歸方程即得解；（3）求出，再利用導數求函數的最值得解.【解析】（1）由散點圖可以判斷更適宜作為年研發費x的回歸方程類型.（2）令，所以.，，所以y關于μ的線性回歸方程，因此，關于x的回歸方程為.（3）由（2）可知，，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減.所以當研發費為30萬元時，年利潤z的預報值最大.【變式4-1】．（2023·上海奉賢·一模）某連鎖便利店從年到年銷售商品品種為種，從年開始，該便利店進行了全面升級，銷售商品品種為種.下表中列出了從年到年的利潤額.年份利潤額/萬元(1)若某年的利潤額超過萬元，則該便利店當年會被評選為示范店；若利潤額不超過萬元，則該便利店當年不會被評選為示范店.試完成列聯表，并判斷商品品種數量與便利店是否為示范店有關？（顯著性水平，）品種為種品種為種總計被評為示范店次數未被評為示范店次數總計(2)請根據年至年（剔除年的數據）的數據建立與的線性回歸模型①；根據年至年的數據建立與的線性回歸模型②.分別用這兩個模型，預測年該便利店的利潤額并說明這樣的預測值是否可靠？（回歸系數精確到，利潤精確到萬元）回歸系數與的公式如下：【答案】(1)列聯表見解析，商品品種的提升與該便利店是否是示范店有關.(2)答案見解析【分析】（1）列出列聯表后計算出后，與比較大小即可得；（2）分別計算出線性回歸模型后，結合所得數據進行判斷即可得.【解析】（1）列聯表為品種為種品種為種總計被評為示范店次數未被評為示范店次數總計，可以判斷商品品種的提升與該便利店是否是示范店有關.（2）線性回歸模型①：，，則，則，故，當時，預測值為；線性回歸模型②：，，則，，故，當時，預測值為.模型①的預測不可靠，根據（1）可以知道商品品種與便利店的品質有關，影響了利潤額，因此按照經濟發展規律，應該用比較新的數據即品種為3000種的數據進行預測；

模型②的預測不可靠，2022年可能因為受疫情影響或者其它不可因素，其利潤額60.5為異常數據，應該剔除.【變式4-2】．（2024·上海·模擬預測）某航天公司研發了一種火箭推進器，為測試其性能，對推進器飛行距離與損壞零件數進行了統計，數據如下：飛行距離5663717990102110117損壞零件數（個）617390105119136149163(1)建立關于的回歸模型，根據所給數據及回歸模型，求回歸方程及相關系數.（精確到0.1，精確到1，精確到0.0001）(2)該公司進行了第二次測試，從所有同型號推進器中隨機抽取100臺進行等距離飛行測試，對其中60臺進行飛行前保養，測試結束后，有20臺報廢，其中保養過的推進器占比，請根據統計數據完成列聯表，并根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為推進器是否報廢與保養有關？保養未保養合計報廢20未報廢合計60100附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)，(2)列聯表見解析，能認為【分析】（1）利用最小二乘法求出，即可得出回歸方程，再根據公式求出相關系數即可；（2）根據題意可將列聯表補充完整，根公式求得，再對照臨界值表即可得出結論.【解析】（1），，又由，可得，則，所以變量關于的線性回歸方程為，，；（2）設零假設為：是否報廢與是否保養無關，由題意，報廢推進器中保養過的共臺，未保養的推進器共臺，補充列聯表如下：保養未保養合計報廢61420未報廢542680合計6040100則，根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為是否報廢與保養有關，此推斷的錯誤概率不大于.【變式4-3】．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習）環境監測部門為調研汽車流量對空氣質量的影響，在某監測點統計每日過往的汽車流量（單位：輛）和空氣中的的平均濃度（單位：）．調研人員采集了50天的數據，制作了關于的散點圖，并用直線與將散點圖分成如圖所示的四個區域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入對應區域的樣本點的個數依次為6，20，16，8．(1)完成下面的列聯表，并判斷至少有多大把握認為“平均濃度不小于與“汽車日流量不小于1500輛”有關；汽車日流量汽車日流量合計的平均濃度的平均濃度合計(2)經計算得回歸方程為，且這50天的汽車日流量的標準差，的平均濃度的標準差．①求相關系數，并判斷該回歸方程是否有價值；②若這50天的汽車日流量滿足，試推算這50天的日均濃度的平均數．（精確到0.1）參考公式：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828回歸方程，其中．相關系數．若，則認為與有較強的線性相關性．【答案】(1)列聯表見解析，至少有的把握；(2)①0.84，有價值；②【分析】（1）根據題意，完成列聯表，再計算，結合表格即可求得結果.（2）代入公式計算可判斷與的相關性強弱，由可得，結合回歸直線必過樣本中心可求得的值.【解析】（1）列聯表如下：汽車日流量汽車日流量合計的平均濃度16824的平均濃度62026合計222850零假設：“PM2.5平均濃度不小于100μg/m3”與“汽車日流量不小于1500輛”無關，因為，所以至少有的把握（但還不能有的把握）認為“平均濃度不小于”與“汽車日流量不小于1500輛有關”．（2）①因為回歸方程為，所以，又因為，，所以．與有較強的相關性，該回歸方程有價值．②，解得而樣本中心點位于回歸直線上，因此可推算.題型05獨立性檢驗列聯表【典例5-1】．（24-25高三上·上海·期中）學校為了解學生對“公序良俗”的認知情況，設計了一份調查表，題目分為必答題和選答題．其中必答題是①、②、③共三道題，選答題為④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道題，被調查者在選答題中自主選擇其中道題目回答即可．現從④、⑥、⑧、⑩四個題目中至少選答一道的學生中隨機抽取名學生進行調查，他們選答④、⑥、⑧、⑩的題目數及人數統計如表：選答④、⑥、⑧、⑩的題目數1道2道3道4道人數(1)現規定：同時選答④、⑥、⑧、⑩的學生為“公序良俗”達人．學校還調查了這位學生的性別情況，研究男女生中“公序良俗”達人的大概比例，得到的數據如下表：性別“公序良俗”達人非“公序良俗”達人總計男性女性總計請完成上述列聯表，并根據小概率值的獨立性檢驗，分析“公序良俗”達人與性別是否有關．(2)從這名學生中任選名，記表示這名學生選答④、⑥、⑧、⑩的題目數之差的絕對值，求隨機變量的分布和數學期望．參考公式：，其中．附表見上圖．【答案】(1)列聯表見解析，有關；(2)分布列見解析，.【分析】（1）根據題意，補全列聯表，求得，結合附表，即可得到結論；（2）根據題意，得到隨機變量的可能有0，1，2，3，求得相應的概率，列出分布列，結合期望的公式，即可求解.【解析】（1）這100位學生中，“公序良俗”達人有20人，由此補全列聯表如下：

性別“公序良俗”達人非“公序良俗”達人總計男性133043女性75057總計2080100零假設：“公序良俗”達人與性別無關，可得，所以根據小概率值的獨立性檢驗，我們可推斷不成立，即認為“公序良俗”達人與性別有關．（2）由題意，隨機變量的可能有，，，，可得，，，，所以的分布列如下：0123所以數學期望.【典例5-2】．（24-25高三上·上海·階段練習）為了了解廣大消費者購買新能源汽車意向與年齡是否具有相關性，某汽車APP采用問卷調查形式對400名消費者進行調查，數據顯示這400人中中老年人共有150人，且愿意購買新能源車的人數是愿意購買燃油車的2倍；青年中愿意購買新能源車的人數是愿意購買燃油車的4倍.年齡段購車意向合計愿意購買新能源車愿意購買燃油車青年中老年合計(1)完善2×2列聯表，請根據小概率值的獨立性檢驗，分析消費者對新能源車和燃油車的意向購買與年齡是否有關；(2)采用分層隨機抽樣從愿意購買新能源車的消費者中抽取9人，再從這9人中隨機抽取5人，求這5人中青年人數的分布和期望.附：，.0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】(1)列聯表見解析，有關(2)分布列見解析，【分析】（1）根據題意分別求出愿意購買新能源車的中年人數和青年人數以及愿意購買燃油車中年人數和青年人數，即可補全列聯表，再根據公式計算出，根據表格即可判斷；（2）先求出抽取9人中青年人數和中年人數，求出青年人數的可能取值及其對應的概率，即可求出分布列，再由數學期望公式即可求解.【解析】（1）