*5.5三元一次方程組第五章

二元一次方程組【2025新教材】北師大版數(shù)學(xué)

八年級上冊

5.5三元一次方程組

教案一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解三元一次方程組的概念，熟練掌握三元一次方程組的解法，能正確運(yùn)用代入消元法或加減消元法將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，進(jìn)而求解。學(xué)會根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出三元一次方程組并求解，能夠?qū)η蠼饨Y(jié)果進(jìn)行合理的檢驗(yàn)和解釋，提高運(yùn)用方程知識解決實(shí)際問題的能力。過程與方法目標(biāo)通過類比二元一次方程組的解法，探索三元一次方程組的解法，培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力和類比推理能力，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。在解決實(shí)際問題的過程中，經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型（三元一次方程組）的過程，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和邏輯思維能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性和連貫性，體會數(shù)學(xué)在解決復(fù)雜實(shí)際問題中的價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情。在小組合作與交流中，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神和勇于探索創(chuàng)新的精神，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和成就感。二、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)三元一次方程組的概念及解法，尤其是掌握消元的方法和技巧，將三元一次方程組逐步轉(zhuǎn)化為二元一次方程組和一元一次方程求解。能夠根據(jù)實(shí)際問題列出三元一次方程組并求解。教學(xué)難點(diǎn)在復(fù)雜的實(shí)際問題中，準(zhǔn)確找出三個(gè)等量關(guān)系，列出三元一次方程組。靈活運(yùn)用消元法，針對不同形式的三元一次方程組，選擇合適的消元策略，順利求解方程組。三、教學(xué)方法講授法、討論法、探究法、練習(xí)法、類比教學(xué)法四、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)導(dǎo)入（5分鐘）回顧二元一次方程組的相關(guān)知識，提問學(xué)生：“什么是二元一次方程組？解二元一次方程組的基本方法有哪些？”請學(xué)生舉例說明代入消元法和加減消元法的解題步驟。展示問題：“在一個(gè)班級中，男生人數(shù)、女生人數(shù)和老師人數(shù)之間存在一定的數(shù)量關(guān)系。已知男生和女生的總?cè)藬?shù)是40人，男生和老師的總?cè)藬?shù)是42人，女生和老師的總?cè)藬?shù)是22人，求男生、女生和老師分別有多少人？”引導(dǎo)學(xué)生思考：“這個(gè)問題中涉及三個(gè)未知量，用二元一次方程組難以解決，那么我們該怎么辦呢？”由此引出本節(jié)課課題——三元一次方程組。（二）探究新知（20分鐘）三元一次方程組的概念（5分鐘）給出幾個(gè)方程組，如\(\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\3x+2y-z=4\end{cases}\)，\(\begin{cases}a+b=5\\b+c=3\\a+c=4\end{cases}\)，引導(dǎo)學(xué)生觀察這些方程組的特點(diǎn)。組織學(xué)生小組討論：這些方程組與二元一次方程組有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？小組代表發(fā)言后，教師總結(jié)三元一次方程組的概念：含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程組成的方程組叫做三元一次方程組。強(qiáng)調(diào)“三個(gè)未知數(shù)”“次數(shù)都是1”“整式方程”以及“方程組”這幾個(gè)關(guān)鍵要點(diǎn)。給出一些方程組，如\(\begin{cases}x+y+z^2=7\\2x-y=3\\3x+z=5\end{cases}\)，\(\begin{cases}\frac{1}{x}+y+z=4\\x-y=1\\y+z=2\end{cases}\)，讓學(xué)生判斷哪些是三元一次方程組，并說明理由，加深學(xué)生對概念的理解。三元一次方程組的解法（15分鐘）以方程組\(\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\3x+2y-z=4\end{cases}\)為例，引導(dǎo)學(xué)生思考：“我們已經(jīng)學(xué)過二元一次方程組的消元法，那么對于三元一次方程組，能否也通過消元的方法來求解呢？”教師示范：觀察方程組，發(fā)現(xiàn)三個(gè)方程中\(zhòng)(z\)的系數(shù)較為簡單，可以先通過方程之間的加減運(yùn)算消去\(z\)。將方程\(x+y+z=6\)與\(2x-y+z=3\)相減，得到\((x+y+z)-(2x-y+z)=6-3\)，化簡得\(-x+2y=3\)；再將方程\(2x-y+z=3\)與\(3x+2y-z=4\)相加，得到\((2x-y+z)+(3x+2y-z)=3+4\)，化簡得\(5x+y=7\)。這樣就得到了一個(gè)關(guān)于\(x\)和\(y\)的二元一次方程組\(\begin{cases}-x+2y=3\\5x+y=7\end{cases}\)。讓學(xué)生運(yùn)用已學(xué)的二元一次方程組的解法求解這個(gè)二元一次方程組，得到\(x=1\)，\(y=2\)。把\(x=1\)，\(y=2\)代入原方程組中的任意一個(gè)方程，如\(x+y+z=6\)，可得\(1+2+z=6\)，解得\(z=3\)。總結(jié)三元一次方程組的解法步驟：觀察：觀察方程組中各個(gè)方程的特點(diǎn)，尋找系數(shù)較簡單的未知數(shù)，確定消元對象。消元：通過方程之間的加減或代入運(yùn)算，消去一個(gè)未知數(shù)，將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組。求解：解得到的二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值。回代：把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個(gè)方程，求出第三個(gè)未知數(shù)的值。檢驗(yàn)：將求得的三個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組，檢驗(yàn)是否滿足每個(gè)方程，確保答案的正確性。讓學(xué)生嘗試用不同的消元方法求解上述方程組，如先消去\(x\)或\(y\)，比較不同方法的優(yōu)缺點(diǎn)，加深對消元法的理解和運(yùn)用。（三）鞏固練習(xí)（15分鐘）基礎(chǔ)練習(xí)：解下列三元一次方程組：\(\begin{cases}x+y+z=9\\2x-y+4z=11\\3x+2y-z=12\end{cases}\)；\(\begin{cases}a+b=3\\b+c=5\\a+c=4\end{cases}\)。學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視，對有困難的學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，及時(shí)糾正學(xué)生在消元、計(jì)算等環(huán)節(jié)出現(xiàn)的錯(cuò)誤。提高練習(xí)：已知方程組\(\begin{cases}x+2y-z=1\\2x-y+z=2\\3x+y+z=3\end{cases}\)，求\(x+y+z\)的值（提示：不一定要分別求出\(x\)、\(y\)、\(z\)的值，可以通過方程組的整體運(yùn)算求解）。某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品\(3\)件，乙產(chǎn)品\(2\)件，丙產(chǎn)品\(1\)件共需成本\(315\)元；生產(chǎn)甲產(chǎn)品\(1\)件，乙產(chǎn)品\(2\)件，丙產(chǎn)品\(3\)件共需成本\(285\)元；生產(chǎn)甲產(chǎn)品\(2\)件，乙產(chǎn)品\(1\)件，丙產(chǎn)品\(2\)件共需成本\(300\)元。求生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品每件各需成本多少元？引導(dǎo)學(xué)生小組討論，分析題目中的數(shù)量關(guān)系，列出三元一次方程組并求解，小組間交流解法和結(jié)果。拓展練習(xí)：解方程組\(\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\\2x+3y-4z=-3\end{cases}\)（提示：可設(shè)\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k\)，將\(x\)、\(y\)、\(z\)用\(k\)表示，代入第二個(gè)方程求解\(k\)，進(jìn)而求出\(x\)、\(y\)、\(z\)的值）。（四）課堂小結(jié)（5分鐘）請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，說一說三元一次方程組的概念、解法步驟以及在解題過程中的注意事項(xiàng)。教師進(jìn)行補(bǔ)充和完善，強(qiáng)調(diào)消元是解三元一次方程組的關(guān)鍵，要根據(jù)方程組的特點(diǎn)靈活選擇消元方法。再次突出數(shù)學(xué)知識的遷移和應(yīng)用，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系。（五）布置作業(yè)（課后完成）必做題：完成課本上相關(guān)練習(xí)題，鞏固三元一次方程組的概念和解法。選做題：已知\(a\)、\(b\)、\(c\)滿足\(\begin{cases}a+b=8\\b+c=6\\c+a=4\end{cases}\)，求\(a^2-b^2+c^2\)的值。實(shí)踐題：調(diào)查家庭一個(gè)月的生活費(fèi)用支出情況，如食品費(fèi)用、水電費(fèi)、交通費(fèi)用等，假設(shè)這三項(xiàng)費(fèi)用之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，嘗試用三元一次方程組來表示這種關(guān)系，并求解各項(xiàng)費(fèi)用的具體數(shù)值（如果數(shù)據(jù)不足，可以進(jìn)行合理假設(shè)）。五、教學(xué)反思在教學(xué)過程中，關(guān)注學(xué)生對三元一次方程組概念的理解和消元法的掌握情況，分析學(xué)生在找等量關(guān)系、列方程組和解方程組過程中出現(xiàn)的問題。思考教學(xué)方法是否有效引導(dǎo)學(xué)生掌握知識，教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)是否符合學(xué)生的認(rèn)知水平。針對學(xué)生反饋，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，加強(qiáng)對重難點(diǎn)內(nèi)容的講解和練習(xí)，提高學(xué)生運(yùn)用三元一次方程組解決實(shí)際問題的能力。這份教案圍繞三元一次方程組的知識展開，注重知識講解與實(shí)踐結(jié)合。若你對教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)置、練習(xí)題難度等方面有新想法，歡迎隨時(shí)提出，我會進(jìn)一步優(yōu)化。互逆命題、互逆定理教案一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)理解互逆命題、互逆定理的概念，能準(zhǔn)確說出一個(gè)命題的逆命題。會判斷一個(gè)命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。過程與方法目標(biāo)通過對命題、逆命題的分析，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和語言表達(dá)能力。經(jīng)歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，敢于質(zhì)疑、勇于探索的精神。讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。能正確寫出一個(gè)命題的逆命題。難點(diǎn)判斷一個(gè)命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。用邏輯推理的方法證明命題的真假。三、教學(xué)方法講授法、討論法、練習(xí)法相結(jié)合四、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）展示一些簡單的命題，如“如果兩個(gè)角是對頂角，那么這兩個(gè)角相等”，“如果a=b，那么a2=b2”。引導(dǎo)學(xué)生分析這些命題的題設(shè)和結(jié)論。提問：能否交換這些命題的題設(shè)和結(jié)論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節(jié)課的課題——互逆命題、互逆定理。（二）講授新課（25分鐘）互逆命題給出互逆命題的定義：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題叫做它的逆命題。舉例說明：如原命題“如果兩個(gè)角是直角，那么這兩個(gè)角相等”，它的逆命題是“如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是直角”。讓學(xué)生進(jìn)一步理解互逆命題的概念。組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，每個(gè)小組寫出3-5個(gè)命題，并交換寫出它們的逆命題。命題真假的判斷引導(dǎo)學(xué)生思考如何判斷一個(gè)命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個(gè)反例即可。以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如“如果兩個(gè)角是直角，那么這兩個(gè)角相等”是真命題，而它的逆命題“如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是直角”是假命題，因?yàn)閮蓚€(gè)相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。讓學(xué)生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內(nèi)交流。互逆定理給出互逆定理的定義：如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理。舉例說明：如“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。強(qiáng)調(diào)：并不是所有的定理都有逆定理，只有當(dāng)定理的逆命題為真命題時(shí)，才有逆定理。（三）例題講解（15分鐘）例1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。（1）如果a=0，那么ab=0。（2）全等三角形的對應(yīng)角相等。（3）等腰三角形的兩個(gè)底角相等。分析：（1）逆命題為“如果ab=0，那么a=0”，這是假命題，因?yàn)楫?dāng)b=0時(shí)，ab=0，a不一定為0。（2）逆命題為“對應(yīng)角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因?yàn)閷?yīng)角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。（3）逆命題為“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。例2：證明命題“如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等”是真命題。分析：引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進(jìn)行證明。已知：在△ABC中，∠B=∠C。求證：AB=AC。證明：作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D。因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共邊），所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB=AC。（四）課堂練習(xí)（10分鐘）寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。（1）如果x=2，那么x2=4。（2）直角三角形的兩個(gè)銳角互余。（3）對頂角相等。判斷下列說法是否正確：（1）每個(gè)命題都有逆命題。（2）每個(gè)定理都有逆定理。（3）真命題的逆命題一定是真命題。（4）假命題的逆命題一定是假命題。（五）課堂小結(jié)（5分鐘）與學(xué)生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。強(qiáng)調(diào)：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。（六）布置作業(yè)（5分鐘）課本課后習(xí)題，要求學(xué)生認(rèn)真書寫解題過程，判斷命題真假時(shí)要說明理由。拓展作業(yè)：收集生活中或數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至少兩個(gè)互逆命題，并分析它們的真假性。五、教學(xué)反思在教學(xué)過程中，要注重引導(dǎo)學(xué)生積極思考、主動(dòng)參與，通過實(shí)際例子幫助學(xué)生理解抽象的概念。對于學(xué)生在判斷命題真假和寫逆命題時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，要及時(shí)給予糾正和指導(dǎo)。在今后的教學(xué)中，可以進(jìn)一步加強(qiáng)練習(xí)，提高學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題的能力。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解1.通過類比二元一次方程(組)及其解的概念，理解三元一次方程(組)及其解的概念，培養(yǎng)歸納能力和類比思想．2．通過類比解二元一次方程組的“消元”思想，探究出解三元一次方程組的方法，培養(yǎng)類比思想和遷移能力．3．通過例題講評，會應(yīng)用代入消元法和加減消元法解簡單的三元一次方程組，培養(yǎng)計(jì)算能力．重點(diǎn)難點(diǎn)舊識回顧1．什么是二元一次方程組？2．求解二元一次方程組的方法有哪些？共含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組代入消元法、加減消元法問題導(dǎo)入1.什么叫二元一次方程組？什么叫“元”，什么叫“次”？2.解二元一次方程組有哪幾種方法？3.它們的實(shí)質(zhì)是什么？4.前面我們學(xué)習(xí)了一元一次方程，二元一次方程（組），今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)三元一次方程（組）.視頻導(dǎo)入提出問題1．題目中有幾個(gè)條件？

2．問題中有幾個(gè)未知量？

3．根據(jù)等量關(guān)系你能列出方程組嗎？

已知甲、乙、丙三數(shù)的和是23，甲數(shù)比乙數(shù)大1，甲數(shù)的2倍與乙數(shù)的和比丙數(shù)大20，求這三個(gè)數(shù).

探究新知知識點(diǎn)1三元一次方程（組）及其解的概念分析：在這個(gè)題目中，要我們求的有三個(gè)未知數(shù)，我們自然會想到設(shè)甲數(shù)、乙數(shù)、丙數(shù)分別是x、y、

z，根據(jù)題意可以得到下列三個(gè)方程:x+y+z=23,x-y=1,2x+y-z=20類似于二元一次方程組，可以得到下邊的方程組：

思考

這個(gè)方程組和前面學(xué)過的二元一次方程組有什么區(qū)別和聯(lián)系，又如何求解？探究新知觀察方程x+y+z=23和2x+y-z=20

1．它們有什么共同特點(diǎn)？

它們都含有三個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1；2．類比二元一次方程，你能說出這兩個(gè)方程是什么方程嗎？

是三元一次方程；探究新知4．你能得出什么是三元一次方程組的解？

是三元一次方程組，類比二元一次方程組，三元一次方程組中的方程不一定每個(gè)方程都要含有3個(gè)未知數(shù)，只要是一共含有三個(gè)未知數(shù)的三個(gè)一次方程所組成一組方程，就是三元一次方程組.

三元一次方程組中各個(gè)方程的公共解.探究新知3．那么方程組應(yīng)該叫做什么方程組呢？

像這樣，共含有三個(gè)未知數(shù)的三個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫做三元一次方程組．探究新知

由此，我們得出三元一次方程組及其解的定義:

1.共含有三個(gè)不相同的未知數(shù).2.未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.3.共有三個(gè)一次方程.三元一次方程組必須滿足的三個(gè)條件：

三元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)三元一次方程組的解.探究新知例

下列是三元一次方程組的是()A.B.C.

D.素養(yǎng)考點(diǎn)1三元一次方程組的判斷D第二個(gè)方程含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)不是1第二個(gè)方程含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)不是1第一個(gè)方程不是整式方程三個(gè)方程都是一次方程,且該方程組中一共含有三個(gè)未知數(shù),故是三元一次方程組怎樣解三元一次方程組呢？①②③能不能像以前一樣“消元”，把“三元”化成“二元”呢？知識點(diǎn)2探究新知三元一次方程組的解法解：由方程②得x=y+1④,把④分別代入①③得

2y+z=22⑤,3y-z=18⑥

解由⑤⑥組成的二元一次方程組，得

把y=8代入④，得x=9.

所以原方程的解是x=9,y=8,z=6.探究新知

解方程組例類似二元一次方程組的“消元”,把“三元”化成“二元”.①②③

解三元一次方程組的基本思路是：通過“代入”或“加減”進(jìn)行

，把

轉(zhuǎn)化為

，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解

，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為解

.三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程消元消元消元“三元”“二元”二元一次方程組一元一次方程探究新知解三元一次方程組①②③解：②×3＋③，得11x＋10z=35④①與④組成方程組解這個(gè)方程組，得探究新知分析：方程①中只含x,z,因此,可以由②③消去y,得到一個(gè)只含x,z的方程,與方程①組成一個(gè)二元一次方程組.把x＝5，z＝-2代入②，得因此，三元一次方程組的解為你還有其它解法嗎？試一試，并與這種解法進(jìn)行比較.探究新知解三元一次方程組①②③例1在等式y(tǒng)=ax2＋bx＋c中,當(dāng)x=－1時(shí),y=0;當(dāng)x=2時(shí),y=3;當(dāng)x=5時(shí),y=60.求a,b,c的值.解:根據(jù)題意，得三元一次方程組a－b＋c=0，①4a＋2b＋c=3，②25a＋5b＋c=60.③②－①，得a＋b=1

④③－①，得4a＋b=10⑤④與⑤組成二元一次方程組a＋b=1，4a＋b=10.探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)1三元一次方程組求字母的值a＋b=1，4a＋b=10.a=3，b=-2.解這個(gè)方程組，得把代入①