18.1.1.2平行四邊形對角線的性質1．理解并掌握平行四邊形的對角線互相平分的性質．2．根據平行四邊形的性質進行簡單的計算和證明．什么是平行四邊形？兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．上節課我們學習了平行四邊形的哪些性質？平行四邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是兩條對角線的交點．平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等．平行四邊形還有其他性質嗎？很久以前，一位飽經滄桑的老人，經過一輩子的辛勤勞動，到晚年的時候，終于擁有了一塊平行四邊形的土地，由于年邁體弱，他決定把這塊土地分給他的四個孩子，他是這樣分的：你認為老人這樣分合理嗎？為什么？老大老二老三老四如圖，在□

ABCD中，連接AC，BD，并設它們相交于點O，OA與OC，OB與OD有什么關系？

平行四邊形的對角線互相平分．你能證明這個猜想嗎？OA＝OC，OB＝ODAC與BD互相平分1．猜一猜ADBCOACDB已知：如圖，□ABCD的對角線AC，BD相交于點O．求證：OA＝OC，OB＝OD．

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC，AD∥BC．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∴△AOD≌△COB（ASA）．

∴OA＝OC，OB＝OD．3241在△AOD和△COB中，∠1＝∠2，AD＝BC，∠3＝∠4．

研究平行四邊形，常把它轉化為三角形問題．O2．證一證平行四邊形的性質：平行四邊形的對角線互相平分．符號語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，OA＝OC，OB＝OD．∴ADBCO研究對象研究結果幾何表示對邊對角鄰角對角線平行四邊形的性質平行且相等相等互補∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADCAB∥CD，AD∥BC＝＝例如，∠BAD＋∠ABC＝180°互相平分AO＝CO，BO＝DO OBACD平行四邊形的對角線將平行四邊形分成四個面積相等的三角形，都等于平行四邊形面積的四分之一．所以S△ABO＝S△ADO．同理S△ABO＝S△ADO＝S△CBO＝S△CDO

．老人分地合理嗎？老人分地合理理由：過點A作AE⊥BD于點E，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以BO＝DO．S△ABO＝

S△ADO＝所以老大老二老三老四ADBCOE例1如圖，O為□

ABCD兩條對角線的交點，AC＝24mm，BD＝38mm，BC＝28mm．求△OAD的周長．CABO●D

∴AD＝BC＝28（mm），∴△OAD的周長＝AO＋DO＋AD＝12＋19＋28＝59（mm）．例2如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，直線EF過點O與AD，BC分別相交于點E，F．求證：

OE＝OF，AE＝CF，DE＝BF．CAEO●BD證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且對角線AC與BD相交于點O，∴OA＝OC，∠EAO＝∠FCO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF．∴OE＝OF，AE＝CF．F又∵

AD＝BC，∴DE＝AD－AE＝CB－CF＝BF．1．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，若AD＝16，AC＝24，BD＝18，則△OBC的周長為（）A．26B．37C．40D．52B分析：△OBC的周長＝

BC＋CO＋OB，根據平行四邊形的對角線互相平分，對邊相等，即可求得答案．

2．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AC＝10，BD＝8，則AD的取值范圍是______________．

ABODC1＜AD＜93．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F分別為OA，OC的中點．求證：△OBE≌△ODF

．AOCFEBD證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵