教學基本信息

課題商不變的性質

指導思想與理論依據

指導思想：《義務教育數學課程標準》（2011年版）修訂組組長史寧中先生指出：數學教學的最

終目標，是要讓學習者會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的

語言表達現實世界。而數學的眼光就是抽象，數學的思維就是推理，數學的語言就是模型。

理論依據：在如何看待學習者方面，建構主義認為，學習是以學習者自身的經驗、活動為基礎

的。學習者對知識的就建構是別人所無法代替的。

基于此，本節課設計了有挑戰性的問題情境，讓學生經歷發現一一分析一一抽象概括的過程，

幫助學生成為知識意義的主動建構者，使學生認識規律，培養學生初步的邏輯思維能力，以及學習

數學的方法，并培養主動探索的精神和概括歸納能力，能自信而理智地面對充滿欣喜和變化的世界。

教學背景分析

一、教材分析

1.知識線索

四上--------->五上---------?六上---------?六下

商不變的性質小數乘除法分數乘除法比的基本性質

四年級上冊“商不變的性質”是小學數學中的重要基礎知識，它是進行除法簡便計算的依據，

也是今后五、六年級學習小數乘除法，分數、比的基本性質等知識的基礎。

2.教材內容簡析

北京版教材內容是在充分呈現事實的基礎上，引導學生獨立探索、合作研討，采用合情推理的

方式，使學生掌握商不變時被除數、除數的變化規律，從而抽象概括出“商不變的規律”。

3.不同睜本教材對比：

版本名稱北京版北師版人教版

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情景

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從學生喜聞樂見的動畫從數學問題入手，呈現兩組教材直接導入，利用學生已

說明

情境引入，通過猴王分算式，每一組算式的商是相有經驗，放手讓學生通過計

桃而小猴們總是說“不同的，每組算式為什么商都算、觀察、比較等活動去發

夠”這一故事引發學生的相同，有待學生深入觀察與現規律。

猜想。發現。

(1)小猴為什么總說不(1)觀察下面兩組式子，你(1)計算下面兩組題，你

問題

夠？能照樣子再寫一組嗎？說說能發現什么？

(2)如果桃子的個數和你發現了什么？(2)從下往上觀察，你又

猴子的只數是這樣變化(2)淘氣把三線算式改了一能發現什么？

的，又怎么呢？下，你同意嗎？嘗試用自己(3)你發現了什么規律？

的語言說出其中的規律。(4)你能舉例驗證這些規

(3)你能解釋他們這樣計算律嗎？

3504-50的理由嗎？

分得結果不變是小猴說主動建構規律，驗證自己初在兩組算式基礎上，觀察后

說明

不夠的原因。繼而引發步的發現與猜想。總結概括發現商不變的規律，再引導

后續探討。通過研究桃規律，體會學習商不變規律學生舉例驗證所發現的規

子個數的變化，再得出的價值。律。

結論。

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概念出示V,…“譚M

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說明被除數和除數同時乘或同時除以相同的數(0除外)，商不變

我的思考:

1.自主研討、概括規律，滲透“變與不變”的數學思想是各個版本的共識。尤其是人教版先從

兩個層次引發學生發現，第一層當除數不變，商隨被除數的變化而變化的規律。第二層：被除數不

變，商隨除數的變化而變化的規律。在教學設計中.主要引導學生發現什么數變了？什么數沒變？商

的變化有什么特點？

2.北京版從學生喜聞樂見的動畫情境引入，北師和人教則從問題入手.最終都是通過一組或多組

算式讓學生自主探究發現規律，使學生掌握商不變時被除數.除數的變化規律，從而抽象概括出“商

不變的規律”。我在思考全部放手讓學生去做，學生是否有這個能力，因此設計了相關的學前調研。

二、學情分析

1、第一次學前調研

調研對象:竇店中心小學四年級2班33名同學

調研目的：了解學生是否有能力自己探究發現商不變的性質

調研形式：問卷調杳

調研題目：

觀察卜面兩組式子，你能照樣子再寫一組嗎？說說你發現了什么？

8+2=448:24=2

80+20=4244-12=2

8004-200=46+3=2

調研結果（有效問卷33份）

第一問

情況人數圖例

寫出10倍關系12觀察下面兩組式子，你能照樣子再寫一組黑說說

8+2=448+24=2

804-20=424+12=2|（/0<2^=7

800T200=46+3=2|州G。）今

寫出其他倍數2觀察下面兩組式子，你能照樣子再寫一金

8+2=448+24=2馀上

80+20=424+12=2百照

800T200=46+32

十倍或幾倍都寫出181.觀察下面兩組式子，你能照樣子再寫一］

8+2=448+24=2

804-20=424+12=2

80Q^2C0=46+3=2

寫完乂擦去11、觀察下面兩組式子，你能照樣子再寫一紅

8+2=448+24=2

804-20=424+12—2.

800+200=46+3=21

觀察完兩組式子，照樣子"再寫一組”，其實，能不能再寫一組，就是有沒有發現規律的試金石。

也就是讓學生主動建構規律，驗證自己初步的發現與猜想。

31個孩子寫出了乘十倍的一組算式（包括寫完又擦掉的），剩下兩名同學，后來通過訪談發現

是覺得左邊的太簡單就沒有寫，從中可以發現學生對于整十倍的規律沒有難度，容易發現。有21人

能照樣子寫出不是整十倍的一組算式。在訪談中發現是先寫出一道得數為幾的，然后再去想還有哪

兩個數相除也等于這個數。

第二問

情況人數圖例

能說出除數和被除數乘

明確得到結論的2

產產:山*S『t球IS*崢人*.備.

或除以相同倍數，商不1

變類似的話

就題說題的3

吸褊盛蚯儂，春—,

&WTY?■一V??W

14

只說到加0,乘幾倍，得數不變的理］

提到倍數并列出變化算式的7

*嘿瞌嗡城盞領空爬鋸舞巨

只說得數不變的5

答:缶專現7這些1式的結要整我

從算理入手說的2

我的思考：

⑴學生對每組算式中被除數和除數的變化規律有初步的感知，尤其是對整十倍的規律認識沒有

難度，還能從算理分析我們常說的銷。的道理。對于第二組算式，不是整十數倍，有半數以上不能

發現規律，但有少數同學能用算式寫出變化的過程。所以在教學設計中，沒有出示第一種變化規律,

而是直接選用一般規律，讓學生直接進行有挑戰的研究

⑵學生能發現商不變、被除數和除數變了，而旦變得有一定的規律，但是缺少歸納總結的方法,

只是就題說題，沒有全面的把握規律的本質。因此，教學中要讓學生學會概括規律，由個別算式得

到?般規律。在學生自主探究的過程中，逐步滲透研究規律的方法，讓學生不僅學會“商不變的性

質”這一規律，更能把握解決一類尋找規律的研究方法。

因為難度不大，在達到現有目標的基礎上，想讓學生更多時間自己研究，完整的經歷一個研究

個過程，到底是不是能夠達到預期，我進行了第二次調研。

2、第二次調研情況分析

調研班級:竇店中心小學四年級3班30名同學

調研目的：了解四年級學生是否有能力經歷一個完整的研究過程，探索出結論。

調研活動：

（1）以下面三題為例，分析被除數、除數是怎樣變化的，才能保證商不變？

64-3=2

124-6=2

36+18=2

調研結果（有效學習單29份）

情況人數圖例

只發現兩組乘的規律21

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M4-U

發現三組乘的規律3MF3B三d力岬.分析M除數?單獨是怎樣支化的，才愴保證微不交？1

發現除法關系的1以下面三?為例，分析**k除1上■■界安化的.才健你比得不爻？

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2-

文字敘述得到乘的規律4ci下西三■力例.分析《u?ik.祥交化竹.才健做《不殳？

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絕大部分學生都能找到要保證商不變，相鄰算式與算式之間被除數和除數都X2或X3的關系，

順著想都好想，但是倒著想大家都想不到，只有一個孩子在下面又自己舉了個相除的規律。另外隔

著的進行比較也是學生比較難想到的。文字敘述的孩子也是理解其中的規律，但就是沒有在題目上

做標記能讓人一眼看明白。

（2）再列舉3個算式來驗證一下

情況人數圖例

能舉出例子驗證所得結論的20

向列舉3個算大家驗證?下

再列舉3個算式來驗證?下

囑

舉出小數倍的4

再網格3個算工京險還■下

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再列舉3個翼式來驗證一下

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再列舉3個算式來驗證一下

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錯誤2再列舉3個算式來驗4￡一下

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我的思考:

1.在自己探究規律的過程中，學生很難反著想到除以相同的數，也比較難發現隔著的算式之間

的關系，因此在自主探究過后選擇了小組合作的學習方式，讓學生通過互相補充，互相啟發，完成

有挑戰性的數學活動。在舉例驗證的活動中，絕大部分學生可以舉出正例來證明發現的規律，但是

有一些同學在舉例過程中發現了比較特殊的例子：0除外、有余數，可見學生是有發現問題，獨立

探究的能力的。并能就此讓學生自己完善規律，從而對商不變的性質有了更深入的理解。

2.通過學情調研，試講的時候就考慮能不能讓學生去做，所以就按照初始設計進吁了試講，通

過試講發現，孩子已經初步具備了自己探究的能力，因比就大膽放手，改變學習方式，把整節課調

整為研究性學習。讓學生經歷感悟、觀察、猜想、驗證、應用等學習過程，自主探究并歸納出商不

變的性質。在學生理解“變與不變”這一本質的基礎上，還讓學生經歷一個完整的研究過程。今后

再遇到尋找規律的問題，就能運用學到的研究方法，解決新的問題。

教學目標

1、經歷感悟、觀察、猜想、驗證、應用等學習過程，自主探究并歸納出商不變的性質。滲透“變

與不變”辯證唯物主義觀點的啟蒙教育。

2、結合學習過程，感悟“猜想一一驗證一一歸納、概括”的研究方法，提高發現問題、提出問題、

探究問題，解決問題的學習能力。

3、培養學生初步的抽象、概括能力及善于觀察、勤于思考、勇于探索的良好習慣，激發學生對數

學規律的探索興趣。

教學重點和難點

教學重點：經歷感悟、觀察、猜想、驗證、應用等學習過程，自主探究并歸納出商不變的性質。―

教學難點：結合學習過程，感悟“猜想一一驗證一一歸納、概括”的研究方法。

教學流程示意

—*、口算導入，激發探究欲望

二、小組合作，經歷探究過程

三、回歸生活，深化理解規律

四、回顧過程，總結方法提升

教學過程

~~課前熱身

猜數124711……（一個一個出示）

師：最后猜對了，前面怎么猜不準呢？

生：最后找到規律了

師：今天我們一起再來探索一節有關規律的課。

【設計意圖：由猜數激趣導入，能很快集中學生的注意力，激發學生學習的興趣，同時為本節課探

索新知預熱】

一、口算導入，激發探究欲望

出示一組=2的算式

64-3=

12?6二

364-18=

244-12=

20：10=

2004-100=

被除數和除數怎么變，商才不變呢？

二、小組合作，經歷探究過程

1、自主探究，小組交流

（1）出示前幾道口算題，自主探究被除數除數怎樣變化商會不變？要覺得說不明白可以通過簡單的

示意圖說明。

（2）小組交流完善想法

2、小組匯報，展示交流

呈現學生資源，交流

（1）學生思考：進行了兀次比較？在幾次比較中有什么規律？

（2）用簡練的語言說說被除數和除數怎么變的時候商不變呢？

3、思考規律，舉例驗證

（1）舉例驗證，剛才我們只研究了這3個算式，找到的規律是否可信呢？

生舉例、驗證。

呈現資源交流

【設計意圖：在學生初步發現規律的基礎上，教師組織學生通過列舉實例的方式，來驗證在其他的

除法算式中是否存在這種現象，這樣處理充分體現了學生是課堂上的主人，體現了學生的自主學習，

有利于培養學生敢于質疑、敢于探究的學習品質。】

（2）解決在研究的過程中遇到的問題，完善規律

那被除數和除數能除以。嗎？怎么完善規律？

被除數和除數同時乘或除以相同的數（0除外），商不變。

【設計意圖：在驗證和交流中，學生很自然地發現了“0除外”的問題，從而真正地發現了“商不

變的規律

三、回歸生活，深化理解規律

生活中存在商不變的現象嗎？誰能舉例說說？想想這里的商不變是什么不變？

課件出示三種數學模型

①購物問題②工程問題③行程問題

數學家開普勒的一句話：數學研究的是千變萬化中不變的關系。

【設計意圖：將課堂教學延伸到了課外，從而使學生對本課知識的認識更具深度和廣度，更能培養

學生關注生活的情感，使學生體會到數學在生活中的廣泛應用，讓學生感到課已終，趣猶存，真正

實現了課堂成為生活和數學的橋梁。】

四、回顧過程，總結方法提升

1、這節課我們一起研究了商不變的規律（板書課題：商不變的規律），回顧研究過程，我們是怎

么研究的？

2、你還有什么新的問題？

【設計意圖：回顧和反思，一方面是梳理所學的知識，更重要的是建構解決尋找規律的策略和方法。】

板書設計：上

提出猜想

商不變的規律

驗證猜想

被除數、除數同時乘或除以相同的數（0除外），商不變。1

得出結論

教學反思

本節課，學生經歷了發現一一分析一一抽象概括的過程，這樣不僅有利于學生認浜規律，還有

利于培養學生初步的邏輯思維能力，以及學習數學的方法。在學習的過程中，我關注發揮學生的主

體作用，充分調動各種感官參與學習，誘發其內在的潛力，獨立主動的探索規律，使他們不僅學會，

而且會學。使每一個孩子都能做一個新知識的發現者、研究者、探索者。

教學時先讓學生自己去發現，再補充。最后全體共同觀察、分析、發現規律，學生先從上往下

觀察，找到被除數和除數同時乘相同的數，商不變；接著讓學生從下往上觀察，遷移類推出被除數

和除數同時除以相同的數，商不變。學生舉例驗證，及時解決學生出現的問題，使本節課知識拓展

延伸升華，把學生的求知欲由潛伏狀態誘發為活動狀態，培養學生的主動探索精神和概括歸納能力。