高中數學函數知識點總結

1.函數的三要素是什么若何比較兩個函數是否一樣

〔定義域、對應法則、值域〕

一樣函數的判斷方法：①表達式一樣；②定義域一致(兩點必須同時具備)

2.求函數的定義域有哪些常見類型

函數定義域求法：

?分式中的分母不為零；

?偶次方根下的數〔或式〕大于或等于零；

?指數式的底數大于零且不等于一；

對數式的底數大于零且不等于一，真數大于零。

正切函數y=tanxxeR,且xNk兀、——,keZ

?余切函數y=cotx(xeR,且xwkr,keZ)

?反三角函數的定義域

r.?i

函數y=arcsinx的定義域是［—1,1］,值域是2'2,函數y=arccosx的定義域是［—1,1］,

值域是［0,n］,函數y=arctgx的定義域是R，值域是23.，函數y=arcctgx的定義域是R,

值域是(0,n).

當以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現時，先分別求出滿足每一個條件的自變量的范圍，再取他

們的交集，就得到函數的定義域。

3.若何求復合函數的定義域

義域是______________。(答：［a,-a］)

復合函數定義域的求法：y=/(x)的定義域為［加,"］,求y=/卜(無)］的定義域，可由加<g(x)〈〃解出x

的范圍，即為y=/［g(x)］的定義域。

例假設函數y=/(x)的定義域為；,2,則/(log2%)的定義域為。

分析：由函數y=/(x)的定義域為；,2可知：-<x<2；所以y=/(log2X)中有，<log2X<2。

_222

解：依題意知：<log2x<2

解之，得V2<x<4

/(log2X)的定義域為｛rIV2<X<4)

4、函數值域的求法

1、直接觀察法

對于一些匕菌簡單的函數，其值域可通過觀察得到。

例求函數y=:的值域

x

2、配方法

配方法是求二次函數值域最基本的方法之一。

例'求函數y=，-2x+5,xe［-1,2］的值域。

3、判別式法

對二次函數或者分式函數〔分子或分母中有一個是二次〕都可通用，但這類題型有時也可以用其他方

法進展化簡，不必拘泥在判別式上面

下面，我把這一類型的詳細寫出來，希望大家能夠看懂

4、反函數法

直接求函數的值域困難時，可以通過求其原函數的定義域來確定原函數的值域。

例求函數y=①上值域。

5x+6

5、函數有界性法

直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定函數的值域。我們所說的單

調性，最常用的就是三角函數的單調性。

miex-12sin。-12sin6-1/±T

例求函數—,y=------y=----------kA的A值1域。

e+11+sin。1+cos0

6、函數單調性法

通常和導數結合，是最近高考考的較多的一個內容

例求函數y=245+10g,Hf〔2WxW10］的值域

7、換元法

通過簡單的換元把一個函數變為簡單函數，其題型特征是函數解析式含有根式或三角

函數公式模型。換元法是數學方法中幾種最主要方法之一，在求函數的值域中同樣發

揮作用。

例求函數y=x+G7的值域。

8數形結合法

其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這

類題目假設運用數形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。

例：點P〔x.y〕在圓x2+y-1上，

例求函數y=J(x—2)2+J(X+8)2的值域。

-Q0?2

解：原函數可化簡得：y=|X-2|+Ix+8|

上式可以看成數軸上點P〔X〕到定點A〔2〕，B〔-8〕間的距離之和。

由上圖可知：當點P在線段AB上時，

y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10

當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，

y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10

故所求函數的值域為：［10,+8］

例求函數y=-6x+13++4x+5的值域

解：原函數可變形為：y=J(x—3)2+(0—2)2+&2)2+(0+1)2

上式可看成X軸上的點P〔X,0〕到兩定點A〔3,2〕，BC-2,7〕的距離之和，由圖可知當

點P為線段與x軸的交點時，ymin-IAB|"(3+2)2+(2+1)2:⑸

故所求函數的值域為［、由，+8〕。

注：求兩距離之和時，要將函數

9、不等式法

利用基本不等式a+b22疝，a+b+c'33而〔a,b,cGR〕,求函數的最值，其題型特征解

析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平

方等技巧。

例：2

x2?H——(X>0)

10.倒數法X

有時，直接看不出

211J21-函數的

值域時，把它倒過=x+x+x-3rX7X7=3來之后，

你會發現另一番(應用公式a+b+c，3板無時，注意使3者的乘積變成常數)境況

例求函數

y=無亙的值域

x+3

多種方法綜合運用

總之，在具體求某個函數的值域時，首先要仔細'認真觀察其題型特征，然后再選擇恰當的方法，

一般優先考慮直接法，函數單調性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。

5.求一個函數的解析式或一個函數的反函數時，注明函數的定義域了嗎

切記：做題，特別是做大題時，一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協商，不要犯

我當年的錯誤，與到手的總分值失之交臂

6.反函數存在的條件是什么

〔----對應函數〕

求反函數的步驟掌握了嗎

［①反解x；②互換x、y；③注明定義域〕

在更多時候，反函數的求法只是在選擇題中出現，這就為我們這些喜歡偷懶的人提供了大方便。請看

這個例題：

(2004.全國理)函數〉=乂二1+10?1)的反函數是〔B〕

A.y=x—2x+2(X1)B.y-x2—2A+2(x?1)

C.y=x?—2x(X1)D.y=x?-2x(x，1)

當然，心情好的同學，可以自己慢慢的計算，我想，一番心血之后，如果不出現計算問題的話，答案

還是可以做出來的?？上В@個不合我胃口，因為我一向懶散慣了，不習慣計算。下面請看一下我的

思路：

原函數定義域為x〉=1,那反函數值域也為y>=1.排除選項GD.現在看值域。原函數至于為y>=1,則

反函數定義域為x>=1,答案為B.

我題目已經做完了，好似沒有動筆〔除非你拿來寫*書］。思路能不能明白呢

7.反函數的性質有哪些

反函數性質：

1'反函數的定義域是原函數的值域〔可擴展為反函數中的x對應原函數中的y〕

2、反函數的值域是原函數的定義域〔可擴展為反函數中的y對應原函數中的x〕

3、反函數的圖像和原函數關于直線=x對稱〔難怪點〔x,y〕和點〔y,X〕關于直線y=x對稱

①互為反函數的圖象關于直線y=x對稱；

②保存了原來函數的單調性、奇函數性；

由反函數的性質，可以快速的解出很多比較麻煩的題目，如

［04.上海春季高考〕函數/(x)=log3(±+2),貝I］方程，T(X)=4的解x=.

X

8,若何用定義證明函數的單調性

〔取值、作差、判正負〕

判斷函數單調性的方法有三種：

(1)定義法：

根據定義，設任意得xrX2,找出千(xD,f(x。之間的大小關系

可以變形為求/(苞)一/(馬)的正負號或者必與1的關系

由一%2,(%2)

⑵參照圖象：

①假宦函數f(x)的圖象關于點(a,b)對稱，函數f(x)在關于點(a,0)的對稱區間具有一樣的單調性；

〔特例：奇函數〕

②假設函數f(x)的圖象關于直線x=a對稱，則函數f(x)在關于點(a,0)的對稱區間里具有相反的單

調性?！蔡乩号己瘮怠?/p>

⑶利用單調函數的性質：

①函數f(x)與f(x)+c(c是常數)是同向變化的

②函數f(x)與cf(x)(c是常數)，當c>0時，它們是同向變化的；當cVO時，它們是反向變化的。

③如果函數f1(x),f2(x)同向變化，則函數f1(x)+f2(x)和它們同向變化；〔函數相加〕

④如果正值函數f1(x),f2(x)同向變化，則函數正(x)f2(x)和它們同向變化;如果負值函數門(2)與

f2(x)同向變化，則函數f1(x)f2(x)和它們反向變化；〔函數相乘〕

⑤函數f(x)與夫在f(x)的同號區間里反向變化。

⑥假設函數u=。(x),x［a,B］與函數y=F(u),ue［(J)(a),。(B)］或uW［?(B),。(a)］同向

變化，則在［a,B］上復合函數y=F［?(x)］是遞增的；假設函數u=(t>(x),x［a,B］與函數y=F(u),

ue［(f)(a),0(B)］或uG(B),0(a)］反向變化，則在［a,B］上復合函數y=F［?(x)］是遞

減的?！餐霎悳p〕

⑦假設函數y=f(x)是嚴格單調的，則其反函數X=fT(y)也是嚴格單調的，而且，它們的增減性一樣。

f(gg(xf[g(Xf(x)+g(f(x)*g(……〕

)))]x)X)都是9.若何利用導數判斷函數

正數的單調性

增增增增增

如：已知a>0,函數f(x)=x3-axZ

增減減//

減增減//值是〔〕

減減增減減A.0

.,.a的最大值為3〕

10.函數f(x)具有奇偶性的必要〔非充分〕條件是什么

〔f(x)定義域關于原點對稱〕

注意如下結論：

〔1〕在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函數的乘積是偶函數；一個偶函數與

奇函數的乘積是奇函數。

11.判斷函數奇偶性的方法

定義域法

一個函數是奇〔偶〕函數，其定義域必關于原點對稱，它是函數為奇〔偶〕函數的必要條件.假設函數

的定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數.

二'奇偶函數定義法

在給定函數的定義域關于原點對稱的前提下，計算八-幻，然后根據函數的奇偶性的定義判斷其奇偶

性.

三、復合函數奇偶性

f(g)g(x)f[g(xf(x)+g(f(x)*g(12.你熟悉周期函數的定

)]x)x)義嗎

奇奇奇奇偶函數，T是一個周期?！?/p>

奇偶偶非奇非奇我們在做題的時候，經常

偶會遇到這樣的情況：告訴

偶奇偶非奇非奇你f(x)+f(x+t)=0,我們

偶要馬上反響過來，這時說

偶偶偶偶偶這個函數周期2t.推導：

/(x)+/(x+f)=O

/(X+/)+f(x+2/)=0

同時可能也會遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x).其實這都是說同樣一個意思：函數

f(x)關于直線對稱，對稱軸可以由括號內的2個數字相加再除以2得到。比方，f(x)=f(2a-x),或者

說f(a-x)=f(a+x)就都表示函數關于直線x=a對稱。

如：

13.你掌握常用的圖象變換了嗎

f(x)與f(-x)的圖象關于y軸對稱聯想點〔x,y〕,(-x,y)

f(x)與-f(x)的圖象關于x軸對稱聯想點〔x,y〕，(x,-y)

f(x)與-f(-x)的圖象關于原點對稱聯想點［X,vI(-x,-y)

f(x)與fT(x)的圖象關于直線y=x對稱聯想點

〔x,y〕，(y,x)

f(x)與f(2a-x)的圖象關于直線x=a對稱聯想點〔x,y〕,(2a-x,y)

f(x)與-f(2a-x)的圖象關于點(a,0)對稱聯想點〔x,y〕，(2a-x,0)

〔這是書上的方法，雖然我從來不用，但可能大家接觸最多，我還是寫出來吧。對于這種題目，其實

基本不用這么麻煩。你要判斷函數y-b=f(x+a)若何由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,畫出點的

坐標?？袋c和原點的關系，就可以很直觀的看出函數平移的軌跡了。〕

注意如下“翻折〃變換：

14.你熟練掌握常用函數的圖象和性質了嗎

(1)一次函數：y=kx+b(kw0)(k為斜率，b為直線與y軸的交點)

的雙曲線。

應用：①“三個二次〃［二次函數'二次方程、二次不等式〕的關系——二次方程

②求閉區間［m,n］上的最值。

③求區間定〔動〕，對稱軸動〔定〕的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題。

由圖象記性質！〔注意底數的限定！〕

利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區別是什么〔均值不等式一定要注意等號成立

的條件〕

15.你在基本運算上常出現錯誤嗎

16.若何解抽象函數問題

〔賦值法、構造變換法〕

〔對于這種抽象函數的題目，其實簡單得都可以直接用死記了

1、代丫=*,

2、令x=0或1來求出f(0)或f(1)

3、求奇偶性，令丫=—x；求單調性：令x+y=xi

幾類常見的抽象函數

1.正比例函數型的抽象函數

尸[xj=kx["/0J------------------------f〔x±y]=六[*〕±f[y]

2.黑函數型的抽象函數

"x〕=x---------------大〔XV〕=尸〔X〕4v〕；”三〕

y/(>)

3.指數函數型的抽象函數

尸〔X〕=a------------------ftx+y}=f〔x〕大〔V〕；ftx-y}=羋?

f(y)

4.對數函數型的抽象函數

尸〔X〕=log,x〔a>0且a/1〕----尸〔X?V〕=分〔X〕+尸〔V〕；f[—]=尸〔X〕一“V〕

y

5.三角函數型的抽象函數

"x〕=tgx-------------------------f〔x+V〕=/")+">)

尸〔X〕=cotx---------------------------------------f[x+y]=/⑴/⑴T

/(x)+/(y)

例1函數齊〔X〕對任意實數X、y均有尸〔x+y〕="x〕+尸〔V〕，且當x>0時，尸(x)>0,f(一

1)=-2求Hx)在區間[-2,1]上的值域.

分析：先證明函數尸〔X〕在R上是增函數〔注意到尸〔X2〕=f[〔X2一用〕+%]=尸〔*2一用〕+f

〔必〕〕；再根據區間求其值域.

例2函數尸〔X〕對任意實數x、v均有尸〔x+y〕+2=〃x〕+尸〔)/〕，且當x>0時，式(x)>2,尸⑶

=5,求不等式“才一2a—2]<3的解.

分析：先證明函數尸〔外在R上是增函數〔仿例1〕；再求出尸〔1〕=3；最后脫去函數符號.

例3函數f[x]對任意實數X、y都有ftxy〕=尸〔x〕尸〔y〕，且尸〔一1〕=1,427]=9,

當0WxV1時,尸〔x〕W[0,1].

〔1〕判斷4x〕的奇偶性；

〔2〕判斷尸〔X〕在[0,+8]上的單調性，并給出證明；

〔3〕假設40且“a+1]?方，求a的取值范圍.

分析：〔1〕令尸一1;

〔2〕利用“用〕="五?X2〕="五〕

x2x2

〔3〕0WaW2.

例4設函數尸〔外的定義域是〔一8,+8]，滿足條件：存在xHxz,使得大〔X〕W尸〔而〕；

對任何x和V,大〔x+力=尸〔*〕尸〔尸〕成立.求：

〔1〕40〕；

(2)對任意值x,判斷｛x〕值的符號.

分析：〔1〕令X=y=0；〔2〕令y=x手0.

例5是否存在函數”x〕，使以下三個條件：①4x〕＞0,xG/V；②尸〔a+b〕=五〔a〕大〔b〕，a、

be/V;③42]=4.同時成立假設存在，求出尸〔外的解析式，假設不存在，說明理由.

分析：先猜出近〔*〕=2'；再用數學歸納法證明.

例6設/'〔X〕是定義在〔0,+8〕上的單調增函數，滿足尸〔X。V〕=”x〕+尸0〕，尸〔3〕

=1,求：

(1)”1〕；

(2)假設"x〕+尸〔x—8〕W2,求x的取值范圍.

分析：〔1〕利用3=1X3；

〔2〕利用函數的單調性和關系式.

例7設函數_/="x〕的反函數是y=g〔x〕.如果"ab〕="a]+f[b],那么g〔a+b〕=

g〔a〕?g〔b〕是否正確，試說明理由.

分析：設"a〕=m,4b〕=n,則g〔m〕—a,gfri')=b,

進而〃=尸〔a〕+尸〔b〕=尸〔ab〕=f[g〔勿〕g〔〃〕]

例8函數尸〔X〕的定義域關于原點對稱，且滿足以下三個條件：

①X、%是定義域中的數時，有大〔為一X?〕=幺辿&1里；

/(x2)-/(x,)

②尸〔a〕=一1〔a＞0,a是定義域中的一個數〕；

③當OVxV2a時，"x〕＜0.

試問：

(1)尸〔X〕的奇偶性若何說明理由；

(2)在〔0,4a〕上，”x〕的單調性若何說明理由.

分析：〔1〕利用f[-〔XL用〕]=~f[〔XLX2〕],判定4x〕是奇函數；

(3)先證明”x〕在〔0,2a〕上是增函數，再證明其在〔2a,4a〕上也是增函數.

對于抽象函數的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函數

問題，對應的特殊模型不是我們熟悉的基本初等函數.因此，針對不同的函數要進展適當變通，去尋

求特殊模型，從而更好地解決抽象函數問題.

例9函數尸〔X〕〔*于0〕滿足五〔XV〕=”x〕+”V〕，

(1)求證：41〕=五〔一1〕=0；

(2)求證：尸〔X〕為偶函數；

(3)假設"x〕在〔0,+8〕上是增函數，解不等式“x〕+尸〔X—,〕W0.

2

分析：函數模型為：分X〕=1。43〔a＞0〕

(1)先令x=r=1,再令x=y=-1；

(2)令y=-1；

(3)由“外為偶函數，則”切=尸〔3〕.

例10函數4x〕對一切實數x、y滿足40〕H0,尸〔x+v〕=尸〔X〕?尸〔y〕，且當xVO時，f

〔X〕＞1,求證：

(1)當x＞0時，0V大〔X〕＜1；

(2)4x〕在xGR上是減函數.

分析：〔1〕先令x=y=O得尸〔0〕=1,再令y=-x；

(3)受指數函數單調性的啟發：

由尸〔x+v〕=”x〕"y〕可得v〕?

f(y)

進而由X〈X2,有)=<〔M_X2〕>1.

/(無2)

練習題：

1.："x+v〕="x〕+尸〔V〕對任意實數X、y都成立，貝I］〔〕

〔4〕”0〕=0⑻”0］=1

〔口”0〕=0或1〔D〕以上都不對

2.假設對任意實數X、y總有尸〔處〕=尸〔的+尸〔內，則以下各式中錯誤的選項是〔〕

〔⑷”1〕=0〔B〕”與="x〕

X

〔c〕”日〕=”X〕一”團〔D〕“力="〔X〕〔〃GM

y

3.函數大〔x〕對一切實數x、y滿足：尸〔0〕H0,大〔x+y〕=尸〔X〕尸〔y〕，且當xVO時，fix')>

1,則當x>0時，尸〔X〕的取值范圍是〔〕

〔4〕〔1,+8〕〔B〕〔一8,1〕

〔C〕〔0,1〕〔D〕〔一1,+°°］

4.函數分〔X〕定義域關于原點對稱，且對定義域內不同的X、％都有

尸〔為一X2J=-------:一,貝1］尸〔*〕為〔〕

i+/a)/(/)

〔⑷奇函數非偶函數〔B〕偶函數非奇函數

〔C〕既是奇函數又是偶函數〔D〕非奇非偶函數

5.不恒為零的函數”x〕對任意實數x、y滿足{x+v〕+{x-y〕=2"〔x〕+"y〕］,則函數

”〉〕是〔〕

〔4〕奇函數非偶函數〔B〕偶函數非奇函數

〔C〕既是奇函數又是偶函數〔D〕非奇非偶函數

參考答案：

1.A2.B3.C4.A5.B

函數典型考題

1.假設函數/(x)=?！ㄒ?)，+(m-2)x+(/"2-7加+12)為偶函數，則/”的值是(B)

A.1B.2C.3D,4

2.函數/(x)是定義域在R上的偶函數，且在區間(-8,0)上單調遞減，求滿足

f(x2+2x+3)>/(-X2-4X-5)的x的集合.

.解：/(x)在H上為偶函數，在(-8,0)上單調遞減

/(X)在(0,+8)上為增函數又/(-x2-4X-5)=/(X2+4X+5)

j?+2x+3=(x+l>+2>0,f+4》+5=(》+2)2+i>。

由/(》2+2%+3)>/(%2+4》+5)得X2+2X+3>X2+4X+5

/.解集為{x|x<-l}.

3.假設y(x)是偶函數，它在[(),+0。)上是減函數，且/(IgdMD,則X的取值范圍是(c)

111

A.(―-1)B.(0,—)(1,+00)C.(―,10)D.(0,1)0(10,+℃)

4.假設a、b是任意實數，且則(D)

A./>/B.^-<\CAg(a-b)>0

5.設a,b,c都是正數，且3a=4"=6"則以下正確的選項是(B)

(A)7=?+?⑻卷/⑹T