試卷第=page66頁，共=sectionpages66頁試卷第=page11頁，共=sectionpages66頁湖南省婁底市2021年中考數學真題【含答案、解析】學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列說法中，正確的是（

）A．與互為倒數 B．與互為相反數 C．的相反數是 D．的絕對值是2．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．3．某公園總占地面積約920000平方米．920000這個數用科學記數法表示為（）A．9.2×104 B．9.2×106 C．0.92×106 D．9.2×1054．某校九年級一班體育委員在一次體育課上記錄了六位同學托排球的個數分別為37，25，30，35，28，25，這組數據的中位數為（）A．25 B．28 C．29 D．32.55．如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝1，點E、F分別為邊AB、BC上的點，且AE＝BF，連接CE、AF交于點H，連接DH交AC于點O，則下列結論：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△ADO≌△ACH；④S梯形ABCD＝；其中正確的結論是（）A．①② B．①③ C．③④ D．①②③④6．如圖，AB∥EF，CD⊥EF于點D，若∠ABC=40°，則∠BCD=（）A．140° B．130° C．120° D．110°7．如圖所示是計算器上顯示的數字“2021”，說法正確的是（）A．是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形B．是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形C．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形D．不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形8．如果一個三角形的三邊長分別為、k、，則化簡﹣|2k﹣5|的結果是()A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k9．如圖，函數和的圖象相交于點，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．10．如圖，正方形中，，，分別是邊，上的動點，，連接，交于點，過點作，且，若的度數最大時，則長為（

）A． B． C． D．11．當時，反比例函數的圖象（）A．在第一象限，隨的增大而減小 B．在第二象限，隨的增大而增大C．在第三象限，隨的增大而減小 D．在第四象限，隨的增大而減小12．的面積為2，邊的長為，邊上的高為，則與的變化規律用圖象表示大致是（

）A． B．C． D．二、填空題13．使有意義的x的取值范圍是．14．如圖，內接于半徑為2的，、的平分線交于點，，則劣弧的長為．15．在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，∠DAE＝20°，則∠BAC＝°．16．定義，如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“龍泉師一”方程．已知方程是“龍泉師一”方程，且有兩個相等的實數根，則下列結論：①②③④，正確的是．（填序號）17．若tanα=5，則=．18．已知A，B，C三點在⊙O上，若∠ACB＝130°，則∠AOB＝°．三、解答題19．（1）計算：．（2）解不等式：．20．先化簡，再求值：，其中x＝，y＝．21．“立定跳遠”是凌源市中考體育考試項目之一．為了了解七年級女生的“立定跳遠”情況，某校隨機抽取了部分女生進行“立定跳遠”測試，并將測試數據（單位：cm）統計后繪制成如圖不完整的統計圖表，請根據圖表中的信息解答下列問題：“立定跳遠”成績頻數分布表

“立定跳遠”成績x頻數百分比130≤x＜14950.125149≤x＜1688a168≤x＜187100.25187≤x＜20614206≤x＜225b合

計c1（1）頻數分布表中，a＝，b＝，c＝；（2）請補全頻數分布直方圖；（3）按國家規定，“立定跳遠”成績滿足187≤x＜206時，等級為“良好”．若該校七年級女生共有840人，則其中等級為“良好”的女生約有多少人？22．如圖，某學校甲樓的高度是，在甲樓樓底處測得乙樓樓頂處的仰角為，在甲樓樓頂處測得乙樓樓頂的仰角為，求乙樓的高度及甲乙兩樓之間的距離（結果取整數）.參考數據：，，，.23．水果市場將120噸水果運往各地商家，現有甲、乙、丙三種車型供選擇，每輛車的運載能力和運費如下表所示：（假設每輛車均滿載）車型甲乙丙汽車運載量（噸/輛）5810汽車運費（元/輛）400500600（1）若全部水果都用甲、乙兩種車型來運送，需運費8200元，問分別需甲、乙兩種車型各幾輛？（2）市場調用了甲、乙、丙三種車型共16輛參與運送（每種車型至少1輛），問：有幾種車輛分配方案？哪種方案運費最省？24．已知為的直徑，點C和點D為上的動點（兩點在的異側且都不與A，B重合），連接與交于點E，連接，．(1)如圖1，若，的長為．①求的度數；②若，求的值；(2)如圖2，若，，且對任意的點C，弦上都有一點F，使得，連接，直接寫出線段的最小值．25．已知拋物線的頂點坐標為，與軸交點分別為點、（點在點左側），與軸交點為，一次函數與軸所形成的夾角的正切值為，方程有兩個相等的實數根．(1)求該拋物線的解析式；(2)點是該拋物線上一動點，則在拋物線對稱軸上是否存在點，使得以為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的點坐標及該平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由；(3)若將該拋物線向左平移個單位，再向下平移個單位得到拋物線，點關于軸的對稱點為，若過點的直線與交于、兩點（點在點左側），點關于軸的對稱點為，若與面積相等，求直線的解析式．26．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x2+bx+c經過A、B、C三點，已知B（4，0），C（2，﹣6）．（1）求該拋物線的解析式和點A的坐標；（2）點D（m，n）（﹣1＜m＜2）在拋物線圖象上，當△ACD的面積為時，求點D的坐標；（3）在（2）的條件下，設拋物線的對稱軸為l，點D關于l的對稱點為E，能否在拋物線圖象和l上分別找到點P、Q，使得以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．答案第=page88頁，共=sectionpages2424頁答案第=page99頁，共=sectionpages2424頁《初中數學中考真題》參考答案題號12345678910答案CDDCABDDDA題號1112答案BA1．C【分析】根據兩數之和為0，兩數互為相反數，兩數之積為1，兩數互為倒數，正數的絕對值是它本身，一一判斷即可．【詳解】解：A、與互為相反數，故選項錯誤；B、與互為倒數，故選項錯誤；C、的相反數是，故選項正確；D、的絕對值是，故選項錯誤；故選C．【點睛】本題考查相反數定義，倒數定義，絕對值定義，掌握相關定義是解題關鍵．2．D【分析】A、根據合并同類項法則計算進行判斷即可；B、根據同底數冪的乘法法則計算進行判斷即可；C、根據完全平方公式計算進行判斷即可；D、根據積的乘方法則計算進行判斷即可．【詳解】解：A、，故該選項錯誤；B、，故該選項錯誤；C、，故該選項錯誤；D、，故該選項正確．故選D．【點睛】本題考查了合并同類項法則、同底數冪的乘法法則、完全平方公式、積的乘方法則知識點．熟練掌握各運算法則是解題的關鍵．3．D【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．【詳解】解：將920000用科學記數法表示為：9.2×105．故選：D．【點睛】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．4．C【詳解】把數據按從小到大排列：25，25，28，30，35，37，共有6個數，最中間兩個數的平均數=（28+30）÷2=29，所以這組數據的中位數為29．故選C．5．A【分析】根據菱形的性質，利用SAS證明三角形全等即可判斷①；根據△ABF≌△CAE得到∠BAF=∠ACE，再利用三角形外角的性質以及菱形內角度數即可判斷②；通過說明∠CAH≠∠DAO，判斷△ADO≌△ACH不成立，可判斷③；再利用菱形邊長即可求出菱形面積，可判斷④．【詳解】∵在菱形ABCD中，AB=AC=BC=1，∴△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠CAE=60°，又∵AE=BF，∴△ABF≌△CAE（SAS），故①正確；∴∠BAF=∠ACE，∴∠FHC=∠ACE+∠HAC=∠BAF+∠HAC=60°，故②正確；∵∠B=∠CAE=60°，則在△ADO和△ACH中，∠OAD=60°=∠CAB，∴∠CAH≠60°，即∠CAH≠∠DAO，∴△ADO≌△ACH不成立，故③錯誤；∵AB=AC=1，過點A作AG⊥BC，垂足為G，∴∠BAG=30°，BG=，∴AG=，∴菱形ABCD的面積為：BC×AG，故④錯誤；故正確的結論有①②，故答案為：A．【點睛】本題考查了全等三角形判定和性質，菱形的性質和面積，等邊三角形的判定和性質，三角形外角的性質，解題的關鍵是利用菱形的性質證明全等．6．B【詳解】如圖，過點C作EC∥AB，由題意可得AB∥EF∥EC，所以∠B=∠BCE，∠ECD=90°，即∠BCD=40°+90°=130°．故答案選B．7．D【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各個選項分析研判即可得到答案．【詳解】一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠相互重合，這個圖形叫軸對稱圖形，不是軸對稱圖形，把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫軸對稱圖形，繞中心旋轉得到，不是中心對稱圖形，故選：D．【點睛】本題考查中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，理解概念并掌握找對稱軸與對稱中心的方法是解決問題的關鍵．8．D【分析】求出k的范圍，化簡二次根式得出|k-6|-|2k-5|，根據絕對值性質得出6-k-（2k-5），求出即可．【詳解】∵一個三角形的三邊長分別為、k、，∴-＜k＜+，∴3＜k＜4，-|2k-5|，=-|2k-5|，=6-k-（2k-5），=-3k+11，=11-3k，故選D．【點睛】本題考查了絕對值，二次根式的性質，三角形的三邊關系定理的應用，解此題的關鍵是去絕對值符號，題目比較典型，但是一道比較容易出錯的題目．9．D【分析】本題考查了根據一次函數圖象求不等式解集，理解圖示，掌握一次函數圖象的圖象和性質是解題的關鍵．【詳解】解：根據圖示可知，當時，的圖象在的圖象的下方，即，∴不等式的解集為，故選：D．10．A【分析】根據全等三角形的性質得到∠ADE=∠DCF，求得∠CPD=90°，得到點P在以CD為直徑的半圓上運動，取CD的中點O，過O作OM⊥CD，且點M在CD的右側，MO=2，連接OP，KM，推出四邊形POMK是菱形，于是得到點K在以M為圓心，半徑為2的半圓上運動，當BK與⊙M相切時，∠CBK最大，根據勾股定理即可得到結論．【詳解】∵正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠CDA=90°，∵AE=DF，∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴∠ADE=∠DCF，∵∠ADE+∠CDE=90°，∴∠DCF+∠CDE=90°，∴∠CPD=90°，∴點P在以CD為直徑的半圓上運動，取CD的中點O，過O作OM⊥CD，且點M在CD的右側，MO=2，連接OP，KM，過M作MN⊥BC，與BC的延長線交于點N，∵PK∥BC，BC⊥CD，∴PK⊥CD，∴PK∥OM，PK=OM=2，∴四邊形POMK是平行四邊形，∵CD=AB=4，∴OP=CD=2，∴OP=OM，∴四邊形POMK是菱形，∴點K在以M為圓心，半徑為2的半圓上運動，當BK與⊙M相切時，∠CBK最大，∴∠BKM=90°，∵，∴，故選：A.【點睛】本題考查了全等三角形的判定，動點運動軌跡的判斷，圓與直線的位置關系等知識，難度較大，屬于壓軸題，點P的運動軌跡根據定角對定邊可判斷是以CD的中點為圓心，CD為直徑的圓弧上運動，點K的運動軌跡根據KM=2，根據圓的定義可判斷，當BK與圓相切時∠CBK最大，這些都是解決本題的關鍵．11．B【分析】反比例函數中的，圖像分布在第二、四象限；利用判斷即可．【詳解】解：反比例函數中的，該反比例函數的圖像分布在第二、四象限；又，圖象在第二象限且隨的增大而增大．故選：．【點睛】本題主要考查的是反比例函數的性質，對于反比例函數，（1），反比例函數圖像分布在一、三象限；（2），反比例函數圖像分布在第二、四象限內．12．A【分析】根據三角形面積公式得出與的函數解析式，根據解析式作出圖象進行判斷即可．【詳解】根據題意得∴∵∴與的變化規律用圖象表示大致是故答案為：A．【點睛】本題考查了反比例函數的圖象問題，掌握反比例函數圖象的性質是解題的關鍵．13．x≥1【詳解】依題意得：2x﹣2≥0．解得x≥1．故答案是：x≥1．14．【分析】連接、，根據角平分線的性質得到，再根據圓周角定理求出，再根據弧長計算公式計算即可；【詳解】連接、，∵、的平分線交于點，，∴，∴，∴，∴，∴的長為．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、角平分線的性質和弧長公式，準確計算是解題的關鍵．15．80或100．【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到DA=DB，EA=EC，根據等腰三角形的性質得到∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，根據三角形內角和定理分兩種情形分別計算即可．【詳解】解：如圖1，∵DM，EN分別垂直平分AB和AC，∴DA=DB，EA=EC，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，∠DAB+∠B+∠EAC+∠C-∠DAE=180°，則2（∠B+∠C）=200°，解得，∠B+∠C=100°，∴∠BAC=80°，如圖2中，∵DM，EN分別垂直平分AB和AC，∴DA=DB，EA=EC，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，∠DAB+∠B+∠EAC+∠C+∠DAE=180°，則2（∠B+∠C）=160°，解得，∠B+∠C=80°，∴∠BAC=100°，故答案為：80或100．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．16．②【分析】此題考查了根的判別式，以及一元二次方程的解，由方程有兩個相等的實數根得到，再由，把表示出代入根的判別式中，變形后即可得到．【詳解】解：方程有兩個相等實數根，且，，，將代入得：，，故答案為：②．17．【分析】根據同角的三角函數的關系，把原式分子和分母同時除以化成正切，即可求出答案．【詳解】原式=∵tanα=5，∴原式=，故答案為.【點睛】本題考查了同角三角函數的關系，解題的關鍵熟練運用同角三角函數的關系．18．100【分析】由∠ACB＝130°可知O點在外，畫出圖象，根據圓周角定理和圓心角定理作答即可．【詳解】解：如圖，在優弧上找一點D，連接AD，BD，∵∠ACB＝130°，∴∠ADB＝180°－∠ACB＝130°＝50°，∴∠AOB＝2∠ADB＝100°．故答案為：100．【點睛】本題考查了圓周角定理和圓心角定理，注意本題不含第二種情況．19．（1）1；（2）【分析】（1）根據特殊角的三角函數值、二次根式的化簡、零指數冪進行計算即可；（2）去括號，移項，合并同類項，系數化成1即可．【詳解】解：（1）原式．（2），，，．【點睛】本題考查了解一元一次不等式和實數的混合運算，涉及到特殊角的三角函數值、二次根式的化簡、零指數冪，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．20．，．【分析】先根據分式混合運算順序和運算法則化簡原式，再將x、y的值代入計算可得．【詳解】解：，當時，原式．【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式混合運算順序和運算法則．21．（1）0.2；3；40；（2）見解析；（3）294人【分析】（1）根據成績頻數分布表中中的頻數為10，所占百分比為0.25，求得總數，進而根據總數以及其他成績的頻數求得，根據的頻數除以總數即可求得；（2）根據（1）的結論和頻數分布表補全條形統計圖；（3）根據成績在的頻數估算該校七年級女生等級為“良好”的女生約有多少人．【詳解】解：（1）中的頻數為10，所占百分比為0.25則，，a=0.2，b=3，c=40故答案為：0.2，3，40（2）由題意可知成績為的人數為14人，成績為的人數為3人，補全全頻數分布直方圖，如圖，（3）×840=294（人）所以等級為“良好”的女生約有294人．【點睛】本題考查了頻數分布表和頻數分布直方圖的綜合，根據樣本的頻數估計總體，用頻數分布表中某部分的頻數除以它的頻率求出樣本容量，進而求解其它未知的量是解題的關鍵．22．乙樓的高度約為m，甲乙兩樓之間的距離約為m.【分析】過點作，垂足為點，從而判定四邊形ABEC是矩形，得到，設甲乙兩樓之間的距離為m,在直角三角形BDE與直角三角形DAC中，利用三角函數即可用x表示出DE與DC，根據，列出方程解之即可．【詳解】解：過點作，垂足為點，可知.∴四邊形是矩形.∴，.設甲乙兩樓之間的距離為m.則，在中，，.∴.在中，，.∴.∵，∴.∴.解得.∴..答：乙樓的高度約為m，甲乙兩樓之間的距離約為m.【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是從復雜的實際問題中整理出直角三角形并選擇合適的邊角關系列出方程．23．（1）需要甲種車型8輛，乙種車型10輛；（2）有兩種分配方案，調用甲種車型4輛．乙種車型10輛、丙種車型2輛參與運送，運費最省．【分析】（1）設需要甲種車型x輛，乙種車型y輛，根據抗旱必需物資總120噸且運費為8200元，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設需要甲種車型m輛，乙種車型n輛，則需要丙種車型（16-m-n）輛，根據抗旱必需物資總120噸，即可得出關于m、n的二元一次方程，結合m、n為正整數即可求出n的值，求出運費后從節約運費入手排除，即可得出結論．【詳解】解：（1）設需要甲種車型輛，乙種車型輛，根據題意得：，解得：．答：需要甲種車型8輛，乙種車型10輛．（2）設需要甲種車型輛，乙種車型輛，則需要丙種車型輛，根據題意得：，．、為正整數，當時，，，此時運費為（元）；當時，，，此時運費為（元）；當時，，，舍去．，時運費最省．答：有兩種分配方案，該市政府調用甲種車型4輛．乙種車型10輛、丙種車型2輛參與運送，此時的運費是7800元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關系，正確列出二元一次方程．24．(1)①；②(2)【分析】（1）①連接，求出的度數為，再由圓周角定理可得，，即可得解；②連接，由①可得：，，得出，求出，由勾股定理可得：，證明，由相似三角形的性質即可得解；（2）連接、、，證明為等邊三角形，得出，證明，得出，即點在以為直徑的圓上，設點為的中點，連接，交于點，當點在點處是，最小，過點作于，求出，得出，再求出，即可得解．【詳解】（1）解：①如圖，連接，∵，∴，∵的長為，∴的度數為，∴，∵為直徑，∴，∴；②如圖，連接，由①可得：，，∴，∴，由勾股定理可得：，∵，，∴，∴，∴；（2）解：如圖：連接、、，∵為直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴點在以為直徑的圓上，設點為的中點，連接，交于點，當點在點處是，最小，過點作于，，∵為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴的最小值為．【點睛】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、弧長公式、解直角三角形等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．25．(1)；(2)存在，點的坐標為，平行四邊形的面積為(3)或【分析】（1）如圖，設一次函數與軸交點為F，與軸交點為E，利用正切的定義得到，，求出，求出k的值，再根據方程有兩個相等的實數根，利用判別式得到關于a的方程求解即可；（2）存在，先求出的坐標，畫出示意圖，結合點都在拋物線對稱軸上，得到為四邊形的對角線，再根據平行四邊形的性質求解即可；（3）先求出平移后的拋物線解析式，利用與面積相等，設，過點的直線為，聯立，利用根與系數的關系求出，進而得到，再分和兩種情況討論，解方程即可．【詳解】（1）解：將代入，則，∴一次函數圖象過點，∵，∴一次函數圖象過一、二、三象限，如圖，設一次函數與軸交點為F，與軸交點為E，則，∴，令，解得，∴，則，一次函數與軸所形成的夾角的正切值為，∴，∴，，一次函數的解析式為；拋物線的頂點坐標為，設拋物線的解析式為，方程有兩個相等的實數根，有兩個相等的實數根，整理得：，，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：存在，理由如下：解方程：，可得：，，點的坐標為，點的坐標為，如下圖所示，點、都在對稱軸上，是平行四邊形的對角線，設點的坐標為，當點與點重合，點與點關于軸對稱時，四邊形是平行四邊形，此時點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，，，；（3）解：把拋物線將該拋物線向左平移個單位，再向下平移個單位，可得：，整理得：，當時，，點的坐標為，又點關于軸的對稱點為，點的坐標為，如圖，∵拋物線關于y軸對稱，點關于軸的對稱點為，∴點與點的縱坐標相等，橫坐標互為相反數，∵與面積相等，∴，設，過點的直線為，聯立，即，可得：，∵，，，，∴，即，∴，即，則，∴，當時，則，即，∴，解得：；當時，則，即，∴，解得：；綜上，直線的解析式為：或．【點睛】本題屬于二次函數的綜合題，屬于綜合性較強的題目，考查求拋物線解析式的方法，二次函數的平移問題，正切的定義，二次函數與面積，二次函數與特殊四邊形及二次函數的對稱性．對每一個知識點都應熟練掌握并能靈活運用，求出二次函數的解析式是解此題的關鍵．2