實(shí)驗(yàn)八離散LTI系統(tǒng)§8.1MATLAB函數(shù)conv基本題1．已知如下有限長序列用解析法計(jì)算。答：==x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]+x[n-4]+x[n-5]=123456543212．利用conv計(jì)算的非零樣本值，并將這些樣本存入向量y中。第一步應(yīng)定義包含在區(qū)間內(nèi)的樣本的向量x，同時(shí)應(yīng)構(gòu)造向量ny，ny(i)包含存在向量y中的的n個(gè)元素樣本的序號，也即。例如ny(1)應(yīng)包含。利用stem(ny,y)畫出所得結(jié)果。代碼：X=[111111];>>ny=[0:10];>>Y=conv(X,X);>>stem(ny,Y);>>YY=12345654321圖形：分析：X的長度為6，Y的長度為11，Y=123456543213．已知如下有限長序列先用解析法計(jì)算。然后用conv計(jì)算y，用stem畫出這一結(jié)果。如果將看作一個(gè)LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，是該系統(tǒng)的輸入，是該系統(tǒng)的輸出。代碼：>>X=[111111];>>H=[012345];>>Y=conv(X,H);>>ny=[0:10];>>stem(ny,Y);>>YY=0136101515141295圖形：分析：X的長度為6，H的長度為6，則Y的長度為11，Y=01361015151412954．將與在3中導(dǎo)出的信號比較，結(jié)果怎樣？答：==h[n+5]+h[n+4]+h[n+3]+h[n+2]+h[n+1]+h[n]=[0136101515141295]與3結(jié)果比較，雖然序列相同，但是時(shí)域不同，Y2比Y早5各單位發(fā)生。5．利用conv計(jì)算，利用stem畫出。代碼：X=[111111];H=[012345];Y2=conv(X,H);ny=[-5:5];>>stem(ny,Y);圖形：分析：相對上一小題，Y2是在Y的基礎(chǔ)上向左平移五個(gè)單位。§8.2MATLAB函數(shù)filter基本題求解由差分方程表征的系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號時(shí)，在區(qū)間內(nèi)的響應(yīng)。代碼：b=[01];>>a=[1-0.8];>>b=[02];>>x=[1234];>>y=filter(b,a,x);>>y結(jié)果：y=02.00005.600010.4800已知和，利用filter求。并與conv計(jì)算結(jié)果相比較。解：=h[n]+h[n-1]+h[n-2]+h[n-3]+h[n-4]+h[n-5].。利用filter求代碼：>>a=[1];>>b=[111111];>>h=[012345];>>y=filter(b,a,h)結(jié)果：y=01361015利用conv求代碼：>>x=[111111];>>h=[012345];>>y=conv(x,h)結(jié)果：y=0136101515141295分析：兩種方法的結(jié)果大致相同，只是用filter求得的y與x的長度一樣，而用conv求得的y與兩個(gè)卷積信號的長度和一樣。考慮沖激響應(yīng)，利用filter計(jì)算，并用stem畫出所得結(jié)果。=h[n+5]+h[n+4]+h[n+3]+h[n+2]+h[n+1]+h[n]。代碼：>>a=[1];b=[111111];h=[012345];y=filter(h,a,b);>>ny=[-5:0];>>stem(ny,y);圖形：分析：只是上題的向左平移5個(gè)單位。§8.3離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的性質(zhì)基本題1．已知信號定義代表區(qū)間內(nèi)的的MATLAB向量x1，以及代表在區(qū)間內(nèi)的和的MATLAB向量h1和h2。同時(shí)，定義nx1和nx2為這些信號合適的標(biāo)號向量。利用stem畫出這些信號并作適當(dāng)標(biāo)注。代碼：x1=[1111100000];h1=[1-1301];h2=[0254-1];nx2=[0:4];nx1=[0:9];subplot(3,1,1);stem(nx1,x1);title('x1=[1111100000]');subplot(3,1,2);stem(nx2,h1);title('h1=[1-1301]');subplot(3,1,3);stem(nx2,h2);title('h2=[0254-1]');圖形：2．交換律意味著具有單位沖激響應(yīng)的LTI系統(tǒng)，在輸入為時(shí)所得到輸出與單位沖激響應(yīng)為，在輸入為時(shí)所得的輸出是一樣的，利用conv以及x1和h1驗(yàn)證這一性質(zhì)。conv的輸出是與卷積次序無關(guān)嗎？代碼：x1=[1111100000];h1=[1-1301];ny=[0:13];y1=conv(x1,h1)y2=conv(h1,x1)subplot(2,1,1);stem(ny,y1);title('x1*h1');subplot(2,1,2);stem(ny,y2);title('h1*x1');圖形:結(jié)論：conv的輸出是與卷積次序無關(guān)。卷積具有分配律性質(zhì)，這意味著，兩個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)的輸出與單位沖激響應(yīng)是該并聯(lián)系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)之和的系統(tǒng)的輸出是相同的。利用x1，h1和h2驗(yàn)證分配率性質(zhì)。當(dāng)輸入為時(shí)，用單位沖激響應(yīng)為和計(jì)算LTI系統(tǒng)的輸出的和。將結(jié)果與輸入為，單位沖激響應(yīng)為的LTI系統(tǒng)的輸出進(jìn)行比較。代碼：x1=[1111100000];h1=[1-1301];h2=[0254-1];ny=[0:13];y1=conv(x1,h1)+conv(x1,h2);y2=conv(x1,h1+h2);subplot(2,1,1);stem(ny,y1);subplot(2,1,2);stem(ny,y2);圖形：分析：由生成的圖形可以得知輸出不變，所以卷積具有分配律性質(zhì)。卷積具有結(jié)合律性質(zhì)，這意味著用LTI系統(tǒng)的級聯(lián)處理一個(gè)信號所得的結(jié)果等效于一個(gè)系統(tǒng)來處理，該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)應(yīng)是全部級聯(lián)系統(tǒng)中單個(gè)沖激響應(yīng)的卷積。用x1，h1和h2驗(yàn)證結(jié)合律性質(zhì)。代碼：x1=[1111100000];h1=[1-1301];h2=[0254-1];ny=[0:17];y1=conv(conv(x1,h1),h2);y2=conv(x1,conv(h1,h2));subplot(2,1,1);stem(ny,y1);subplot(2,1,2);stem(ny,y2);圖形：分析：生成的圖形一致，可以得出結(jié)論卷積具有結(jié)合律性質(zhì)。中等題假定系統(tǒng)有單位沖激響應(yīng)為和，這里是一個(gè)整數(shù)，令和是這兩個(gè)系統(tǒng)當(dāng)輸入為時(shí)的輸出。利用交換律性質(zhì)證明：如果每個(gè)系統(tǒng)的輸入與單位沖激響應(yīng)互換的話，輸出是相同的。并基于時(shí)不變性質(zhì)證明。利用MATLAB確認(rèn)當(dāng)，輸入為。代碼：x1=[1111100000];h1=[1-1301];%系統(tǒng)一he1=h1;ny=[0:13];y1=conv(x1,he1);y2=conv(he1,x1);subplot(2,1,1);stem(ny,y1);subplot(2,1,2);stem(ny,y2);figure;%系統(tǒng)二he2=h1;%向右時(shí)移兩個(gè)單位ny=[2:15];y1=conv(x1,he2);y2=conv(he2,x1);subplot(2,1,1);stem(ny,y1);subplot(2,1,2);stem(ny,y2);生成圖：分析：可以看得出，如果每個(gè)系統(tǒng)的輸入與單位沖激響應(yīng)互換的話，輸出是相同的與。§8.4線性和時(shí)不變性目的在本練習(xí)中將更加熟悉系統(tǒng)的線性和時(shí)不變的性質(zhì)。基本題考慮如下3個(gè)系統(tǒng)：系統(tǒng)1：系統(tǒng)2：系統(tǒng)3：其中是每個(gè)系統(tǒng)的輸入，，和是相應(yīng)的輸出。考慮3個(gè)輸入，和。對系統(tǒng)1，將對這3個(gè)輸入的響應(yīng)存入w1,w2和w3中，向量w1,w2和w3僅需包含在區(qū)間內(nèi)的值。利用subplot和stem在一張圖上畫出w1,w2，w3和w1＋2×w2代表的4種函數(shù)的圖。對系統(tǒng)2和3也作出類似的圖。代碼：系統(tǒng)1：%系統(tǒng)一w1=[1-1-1000];w2=[01-1-100];w3=[11-3-200];n=[0:5];subplot(2,2,1);stem(n,w1);title('w1');subplot(2,2,2);stem(n,w2);title('w2');subplot(2,2,3);stem(n,w3);title('w3');subplot(2,2,4);stem(n,w1+2*w2);title('w1+2*w2');圖形：系統(tǒng)2：代碼：%系統(tǒng)2w1=[cos(1)00000];w2=[0cos(1)0000];w3=[cos(1)cos(2)0000];n=[0:5];subplot(2,2,1);stem(n,w1);title('w1');subplot(2,2,2);stem(n,w2);title('w2');subplot(2,2,3);stem(n,w3);title('w3');subplot(2,2,4);stem(n,w1+2*w2);title('w1+2*w2');圖形：系統(tǒng)三：代碼：%系統(tǒng)3w1=[000000];w2=[010000];w3=[020000];n=[0:5];subplot(2,2,1);stem(n,w1);title('w1');subplot(2,2,2);stem(n,w2);title('w2');subplot(2,2,3);stem(n,w3);title('w3');subplot(2,2,4);stem(n,w1+2*w2);title('w1+2*w2');圖形：陳述一下是否每個(gè)系統(tǒng)都是線性的。若是線性的，說明理由；若不是，利用1中畫出的各信號給出一個(gè)反例。答：系統(tǒng)1和系統(tǒng)2是線性的，因?yàn)闈M足疊加性和均勻性，系統(tǒng)3是非線性的。概述一下是否每個(gè)系統(tǒng)都是時(shí)不變的。若是，說明理由；若不是，利用1中畫出的各信號給出一個(gè)反例。答：系統(tǒng)1和系統(tǒng)2都是時(shí)不變的，系統(tǒng)3是時(shí)變的。中等題在這個(gè)練習(xí)中，要求用單位沖激響應(yīng)計(jì)算一個(gè)LTI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。有下列先行差分方程定義的兩個(gè)因果系統(tǒng)：系統(tǒng)1：系統(tǒng)2：這里每個(gè)系統(tǒng)都滿足初始松弛條件。定義和是系統(tǒng)1和系統(tǒng)2的單位沖激響應(yīng)。在區(qū)間內(nèi)計(jì)算和，并將它們存入h1和h2中，利用stem畫出每個(gè)響應(yīng)。代碼：圖形：對每個(gè)系統(tǒng)，計(jì)算在區(qū)間內(nèi)的單位階躍響應(yīng)，并將它們存入s1和s2中，利用stem畫出每個(gè)響應(yīng)。代碼：圖形：從實(shí)際的角度看，和在都為零。因此h1和h2包含了每個(gè)系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的全部信息。定義和，其中是單位階躍函數(shù)。利用conv計(jì)算在區(qū)間內(nèi)的和，并將結(jié)果存入z1和z2中。首先須定義一個(gè)含有適當(dāng)區(qū)間上的的向量，然后選取由conv(h1,u)和conv(h2,u)產(chǎn)生的一段代表在區(qū)間上的樣本。因?yàn)橐呀?jīng)將兩個(gè)無限長序列截?cái)嗔耍灾挥衏onv輸出的一部分含有真是的序列值。代碼：圖形：§8.5非因果有限沖激響應(yīng)濾波器在本練習(xí)中將學(xué)習(xí)如何實(shí)現(xiàn)單位沖激響應(yīng)具有有限個(gè)非零樣本的一類因果LTI系統(tǒng)。這些LTI系統(tǒng)的輸入和輸出是由下列差分方程所關(guān)聯(lián)：(8.3)基本題求輸入輸出滿足(8.3)式的LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。如果系統(tǒng)不是因果的，對N1的值應(yīng)該怎樣？代碼：圖形：假設(shè)一LTI系統(tǒng)其單位沖激響應(yīng)僅在內(nèi)為非零，將它與一個(gè)僅在內(nèi)為非零的信號卷積，該系統(tǒng)的輸出也一定是有限長的，設(shè)其非零區(qū)間為。求用N1到N4來表示N5和N6。答：N1+N3=N5,,N2+N4=N63．令為如下有限長信號為一非因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)定義MATLAB向量x和h代表這些信號，用stem畫出這些信號。代碼：圖形：4．利用conv和在上面定義的向量計(jì)算LTI系統(tǒng)的輸出。定義向量y代表這個(gè)輸出。利用stem畫出這個(gè)輸出。代碼：圖形：§8.6離散時(shí)間卷積目的學(xué)習(xí)求解離散卷積和。相關(guān)知識離散卷積的表達(dá)式可以形象化地看作是：將序列地時(shí)間軸反轉(zhuǎn)并將它移位個(gè)樣本，然后將移位后地乘以并在軸上將所得到的乘積序列相加。信號可以看成是由延時(shí)和加權(quán)脈沖的線性疊加所構(gòu)成，因?yàn)橐粋€(gè)LTI系統(tǒng)能用它對單個(gè)脈沖的響應(yīng)來表示，那么一個(gè)LTI系統(tǒng)的輸出就應(yīng)該相應(yīng)于系統(tǒng)對構(gòu)成的每一個(gè)延時(shí)和加權(quán)脈沖的響應(yīng)的疊加。在數(shù)學(xué)上，這個(gè)結(jié)果就是卷積和。基本題因?yàn)镸ATLAB函數(shù)conv沒有保持卷積序列的時(shí)間序號之間的關(guān)系，所以還不得不要做額外的事以確定conv結(jié)果的正確序號。對序列和，構(gòu)成向量h和x，定義并計(jì)算y=conv(h,x)，對y確定合適的時(shí)間序號，并將這組時(shí)間序號存入向量ny中，利用stem(ny,y)畫出。代碼：圖形：考慮兩個(gè)有限長序列和用MATLAB向量h和x表示，其相應(yīng)的時(shí)間序號由nh=[a:b]和nx=[c:d]給出。調(diào)用y=conv(h,x)將會在向量y中得到的正確序列值，但是必須要確定對應(yīng)的一組時(shí)間標(biāo)號向量ny。為了幫助構(gòu)造向量ny，現(xiàn)考慮序列和，用解析法求卷積。根據(jù)所得結(jié)果，確定利用a，b，c和d表示的ny應(yīng)該是什么。為了驗(yàn)證結(jié)果，證實(shí)當(dāng)時(shí)，的長度是M+N-1。答：ny=a+c：b+d；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，ny=0：M+N-2；因此的長度是M+N-13．考慮由下式給出的輸入和單位沖激響應(yīng)如果想用conv計(jì)算，就必須處理和的無限長問題。將的的值存入向量x，將的的值存入向量h中，再將調(diào)用函數(shù)conv(h,x)的結(jié)果存入向量y中。因?yàn)橐呀?jīng)將和截?cái)嗔耍撟Cconv的輸出只有一部分是真實(shí)的。試標(biāo)明在輸出中哪些值是真實(shí)的，哪些值不是真實(shí)的。求參數(shù)的值，以使得nx=[a:b]和nh=[c:d]，并由2的答案構(gòu)成y的正確時(shí)間序號。利用stem畫出并指出中哪些值是真實(shí)的，哪些值不真實(shí)。代碼如下：functionx=heaviside3(n);k=length(n);forj=1:k;ifn(j)>-1;x(j)=1;elsex(j)=0;end;end;n1=0:24;n2=0:14;x=(1/2).^n.*heaviside3(n-2);h=heaviside3(n2+2);y=conv(x,h)stem(0:38,y);結(jié)果分析：輸出之中，前面15個(gè)是真實(shí)的，后面的都不真實(shí)，a=2，b=26，c=-2，d=12，圖中中前面15個(gè)是真實(shí)的，后面的都不真實(shí)中等題對于這些練習(xí)將研究一種稱之為塊卷積的方法，這一方法經(jīng)常用于音樂或語音處理系統(tǒng)的數(shù)字濾波器的事實(shí)實(shí)現(xiàn)中，因?yàn)檫@是希望有較短的處理延時(shí)。這一方法特別在用一個(gè)相對較短的濾波器處理一個(gè)很長的輸入序列時(shí)最為有用。將輸入序列分成一些很短的段，其中每一段都能用相當(dāng)少的延時(shí)單獨(dú)進(jìn)行處理。卷積的線性特性能保證所有各段的輸出疊加就等于整個(gè)序列與濾波器單位沖激響應(yīng)的卷積。例如：假設(shè)有限長單位沖激響應(yīng)的濾波器僅在內(nèi)為非零，輸入序列的長度比P大很多。現(xiàn)將分成長度為L的一些段，式中，且對于和，直接利用conv計(jì)算內(nèi)的，并用stem畫出。代碼：圖形：5．設(shè)，現(xiàn)將分成兩個(gè)序列。計(jì)算和，這里和分別是的前50個(gè)和后50個(gè)樣本。輸出的形式給出。求出合適的值并注意和都是長度為。當(dāng)和相加在一起時(shí)，一般一定有一個(gè)兩者都不為零的區(qū)域。正是這個(gè)原因，這種塊卷積的方法稱為重疊相加法。用這種方法計(jì)算，并畫出內(nèi)的，所得結(jié)果與4求得的一樣嗎？代碼：n=0:99;h=(0.9).^n.*(heaviside3(n)-heaviside3(n-10));n1=0:49;x0=cos(n1.^2).*sin(2*pi.*n1./5);n2=50:99;x1=cos(n2.^2).*sin(2*pi.*n2./5);y0=conv(x0,h);y1=conv(x1,h);y=zeros(1,199);forj=1:109;ifj<50;y(j)=y0(j);elseifj<59;y(j)=y0(j)+y1(j-49);elsey(j)=y1(j-49);end;end;a=length(y);stem(0:a-1,y);axis([0100-23]);圖形：結(jié)果分析：k的值為50；所得結(jié)果與4求得的一樣深入題6．寫出一個(gè)MATLAB函數(shù)來完成重疊相加的快卷積。這個(gè)函數(shù)應(yīng)當(dāng)以單位沖激響應(yīng)h，數(shù)據(jù)向量x和分段長度作為輸入，而且該函數(shù)應(yīng)容許數(shù)據(jù)向量x是任意長，分段長度L是比濾波器長度大的任意整數(shù)。函數(shù)的第一行應(yīng)讀出functiony=oafilt(h,x,L)利用這個(gè)函數(shù)做5，并用這個(gè)結(jié)果與利用conv直接卷積所得結(jié)果進(jìn)行比較，從而證實(shí)這個(gè)函數(shù)運(yùn)行無誤。答：functiony=oafilt(h,x,L);m=length(x);k=ceil(m/L);forj=1:k;if(j-1)*k<m+1;§8.7通過逆濾波器的回聲消除目的這個(gè)練習(xí)要研究從一段語音信號的記錄中消除回聲的問題。相關(guān)知識著手這個(gè)練習(xí)之前，需要裝入語音文件lineuo.mat。如果這個(gè)文件已經(jīng)在你的MATLABPATH的某個(gè)地方，就鍵入>>loadlineup.mat將數(shù)據(jù)裝進(jìn)MATLAB中去。一旦數(shù)據(jù)裝入MATLAB，語音波形就存入變量y中。因?yàn)檫@段語音是用采樣率8192Hz錄制的，所以鍵入>>sound(y,8192)就能聽到語音，應(yīng)該聽到詞組“l(fā)ineup”并有回聲。由向量y表示的具有形式為(2.4)其中是未被污染的語音信號，它被延時(shí)N個(gè)樣本且在幅度上減小倍后又反過來加到上去。這對于像從一面墻那樣的吸收反射回來的信號所形成的回聲來說，是一個(gè)合理的模型。本練習(xí)都用回聲的眼是指N=1000，回聲衰減。基本題本練習(xí)用線性濾波消除回聲。因?yàn)榛芈暱捎?2.4)式的線性系統(tǒng)表示，試求并畫出(2.4)式回聲系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，并將它在內(nèi)的值存入向量he中。代碼：2．考慮由下面差分方程描述的回聲消除系統(tǒng)(2.5)式中是輸入，式回聲消除的輸出。根據(jù)導(dǎo)出關(guān)聯(lián)和的總差分方程證明，(2.5)式確實(shí)是(2.4)式的逆。對于總差分方程，是一個(gè)真實(shí)的解嗎？答：是中等題3．(2.5)式的回聲消除系統(tǒng)其單位沖激響應(yīng)是無限長的。假設(shè)N=1000，，利用filter，在輸入為單位脈沖（由d=[1zeros(14000)]給出）時(shí)計(jì)算系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，并利用這4001個(gè)單位沖激響應(yīng)的樣本近似值存入her中。代碼：x=zeros(1,1001);x(1)=1;x(1001)=0.5;a=x