專題5.30相交線與平行線中的折疊問題（分層練習）（基礎練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·湖南·校聯考一模）如圖，把一張長方形紙片沿EF折疊，，則（

）A． B． C． D．2．（2023下·河北滄州·七年級校考階段練習）如下圖，一張長方形紙片，分別在邊，上取點M，N，沿折疊紙片，與交于點K，若，則的度數為（

）

A． B． C． D．3．（2022下·河南信陽·七年級統考期中）圖中所示三種沿折疊紙帶的方法，（1）如圖①所示，展開后測得；（2）如圖②，展開后測得且；（3）如圖③展開后測得，其中能判定兩條邊線的是（

）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）4．（2021下·浙江紹興·七年級統考期末）如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進行兩次折疊，折痕分別為、，若，且，則的度數是（

）A．48° B．57° C．60° D．66°5．（2021·浙江·九年級專題練習）如圖，已知長方形紙片ABCD，點E，點F，G在BC邊上，GH折疊，使點B和點C都落在點P處，若∠BFE+∠CGH＝118°，則∠FPG的度數為（）A．54° B．55° C．56° D．57°6．（2013下·浙江衢州·七年級校聯考期中）將一條兩邊沿平行的紙帶如圖折疊，若∠1＝62°，則∠2等于（）A．62° B．56° C．45° D．30°7．（2014下·河北邢臺·七年級統考期末）將一張長方形紙片按如圖所示折疊后，再展開．如果∠1=56°，那么∠2等于（

）A．56° B．62° C．66° D．68°8．（2018下·浙江·七年級統考階段練習）如圖，將圖1的長方形ABCD紙片沿EF所在直線折疊得到圖2，折疊后DE與BF交于點P，如果∠BPE－∠AEP=80°，則∠PEF的度數是（

）A．55° B．60° C．65° D．70°9．（2020下·山東臨沂·七年級統考期中）如圖，把一張長方形紙片沿折疊后，點分別落在的位置上，的延長線與的交點為若，那么（

）A． B． C． D．10．（2020下·山西大同·七年級統考期末）學習平行線后，張明想出了過已知直線外一點畫這條直線的平行線的新方法，他是通過折一張半透明的紙得到的．觀察圖（1）～（4），經兩次折疊展開后折痕CD所在的直線即為過點P與已知直線a平行的直線．由操作過程可知張明畫平行線的依據有（）①同位角相等，兩直線平行；②兩直線平行，同位角相等；③內錯角相等，兩直線平行；④同旁內角互補，兩直線平行．A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2022下·浙江溫州·七年級統考期中）在數學拓展課《折疊的奧秘》中，老師提出一個問題：如圖，有一條長方形紙帶，點在上，點在上，把長方形紙帶沿折疊，若，則=（.12．（2022下·浙江杭州·七年級校考期中）如圖，點F是長方形ABCD的邊BC上一點，將長方形的一角沿AF折疊，點B的折疊點E落在長方形ABCD外側，若AEBD，∠ADB=28°，則∠EAD=°，∠AFC=°13．（2022上·湖南衡陽·七年級統考期末）如圖，將一個寬度相等的長方形紙條沿折疊，若，則度數是．14．（2019下·河南·七年級河南師大附中校考期中）如圖，點分別為長方形的邊和邊上的一個動點，將四邊形沿直線折疊，點恰好落在處，若，則此時的度數為．

15．（2021下·安徽蕪湖·七年級統考期末）把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后ED與BC的交點為G，D、C分別在M、N的位置上．（1）若∠EFG＝50°，則∠1＝°．（2）若∠EFG＝x°，則∠3﹣∠2＝．（用含x的代數式表示）16．（2022下·浙江湖州·七年級統考期末）如圖，將一張長方形紙片沿折疊后，點、分別落在點、的位置，的延長線與相交于點，若，則．17．（2023下·廣西南寧·七年級統考期末）如圖，將一張長方形的紙片沿折疊，點B到達點的位置．已知，，則°．18．（2021下·安徽合肥·七年級統考期末）如圖1，將一條對邊互相平行的紙條進行兩次折疊，第一次折疊的折痕為AB，且∠1＝25°，第二次折疊的折痕為CD．（1）如圖2，若CD∥AB，則∠2＝．（2）如圖3，若CD∥BE，則∠2＝．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2021下·河南周口·七年級統考期中）如圖，已知四邊形紙片，，點在邊上，把紙片按圖中所示的方式折疊，使點落在邊上的點處，折痕為．（1）試判定與的位置關系，并說明理由；（2）如果，求的度數．20．（8分）（2021下·浙江杭州·七年級校聯考期中）如圖，長方形ABCD中，AD∥BC，E為邊BC上一點，將長方形沿AE折疊（AE為折痕），使點B與點F重合，EG平分∠CEF交CD于點G，過點G作HG⊥EG交AD于點H．（1）請判斷HG與AE的位置關系，并說明理由．（2）若∠CEG＝20°，請利用平行線相關知識求∠DHG的度數．21．（10分）（2021下·河南開封·七年級校考期末）如圖1，在長方形紙片中，，E，F分別是上的點，將長方形沿著折疊，如圖2，交于點G，過點G作，交線段于點H．（1）求證：．（2）①判斷是否平分，并說明理由；②若，求的度數．22．（10分）（2022下·浙江臺州·七年級統考期末）如圖1，有一張四邊形ABCD紙片，，點E，F分別在AD，BC上，把紙片沿EF折疊，點D，C分別與點G，H重合，FH交線段AD于點P．（1）求證：∠GEA＝∠HFB；（2）如圖2，∠D＝70°，猜想當∠EFC多少度時，，并說明理由．23．（10分）（2023下·河南鄭州·七年級統考期末）綜合與實踐問題背景：數學課上，同學們以“長方形紙帶的折疊”為主題開展數學活動，已知長方形紙帶的邊，，，點為線段上一動點，將紙片折疊，使點B和點重合，產生折痕，點E是折痕與邊的交點，點F是折痕與邊的交點．

動手操作：（1）如圖1，若點E與點A重合時，則的度數為______．實踐探究：（2）如圖2，移動點，其余條件不變．①小靜發現圖中無論點如何移動，始終成立，請說明理由；②小東發現折疊后所形成的角，只要知道其中一個角的度數，就能求出其它任意一角的度數，若，求的大小．24．（12分）（2020下·北京·七年級校考階段練習）喜歡思考的小澤同學，設計了一種折疊紙條的游戲．如圖1，紙條的一組對邊PN∥QM（紙條的長度視為可延伸），在PN，QM上分別找一點A，B，使得∠ABM＝．如圖2，將紙條作第一次折疊，使與BA在同一條直線上，折痕記為．解決下面的問題：（1）聰明的小白想計算當α＝90°時，∠的度數，于是他將圖2轉化為下面的幾何問題，請幫他補全問題并求解：如圖3，PN∥QM，A，B分別在上，且∠ABM＝90°，由折疊：平分_________，∥，求∠的度數．（2）聰穎的小桐提出了一個問題：按圖2折疊后，不展開紙條，再沿AR1折疊紙條（如圖4），是否有可能使⊥BR1？如果能，請直接寫出此時的度數；如果不能，請說明理由．（3）笑笑看完此題后提出了一個問題：當0°<≤90°時，將圖2記為第一次折疊；將紙條展開，作第二次折疊，使與BR1在同一條直線上，折痕記為BR2（如圖5）；將紙條展開，作第三次折疊，使與BR2在同一條直線上，折痕記為BR3；…以此類推．①第二次折疊時，∠＝_____________（用的式子表示）；②第n次折疊時，∠＝____________（用和n的式子表示）．參考答案：1．B【分析】根據長方形性質得出平行線，根據平行線的性質求出，根據折疊求出，即可求出答案．解：∵四邊形是長方形，∴，∴，∵沿折疊D到，∴，∴，故選：B．【點撥】本題考查了平行線的性質，折疊性質，注意：平行線的性質有：①兩直線平行，內錯角相等，②兩直線平行，同位角相等，③兩直線平行，同旁內角互補．2．A【分析】依據平行線的性質，即可得出，．再根據折疊可得，最后依據進行計算即可．解：如圖所示：

∵紙片是長方形，∴，∴，，由折疊可得，∴，故選：A．【點撥】本題考查的是平行線的性質，熟記平行線的性質定理是解答此題的關鍵．3．A【分析】找出對應的內錯角，利用內錯角相等，兩直線平行就可以判斷出結果．解：（1）∵和是一組內錯角并且，∴，故此項正確，符合題意；（2）∵和是一組內錯角，和是一組內錯角，同時且，∴，故此項正確，符合題意；（3）∵，∴可得到等腰三角形，不能確定，故此項錯誤，此項不符合題意．故選：A．【點撥】本題主要考查了平行線的判定定理“內錯角相等，兩直線平行的”，正確的識別內錯角是解決本題的關鍵．4．B【分析】利用平行線的性質以及翻折不變性即可得到∠1＝∠3＝∠EBC＝∠4＝∠5，再根據平角的性質即可求解．解：延長BC到F，∵紙帶對邊互相平行，∴∠1＝∠3＝∠EBC，由折疊可得，∠5＝∠4，∵，∴∠1＝∠3＝∠EBC＝∠4＝∠5，∵∠2+∠4+∠5=180°，∴∠4＝∠5=57°，∴=57°故選：B．【點撥】本題考查平行線的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握：兩直線平行，同位角相等．5．C【分析】由折疊可得EF，GH分別是∠BFP和∠CGP的角平分線，可得∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，進而根據平角定義及三角形內角和180°可得∠FPG的度數．解：由折疊可知：EF，GH分別是∠BFP和∠CGP的角平分線，∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝118°，∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，∴∠PFG+∠PGF＝360°﹣（∠BFP+∠CGP）＝360°﹣236°＝124°，∴∠FPG＝180°﹣（∠PFG+∠PGF）＝180°﹣124°＝56°．故選：C．【點撥】本題考查矩形與折疊、角平分線的性質、兩直線平行內錯角相等等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．6．B【分析】先根據可求出，根據可知，，進而可求出的度數．解：，，，，，故選B．【點撥】本題考查的是圖形翻折變換的性質及平行線的性質，熟知圖形翻折變換的性質是解題的關鍵．7．D【分析】兩直線平行，同旁內角互補；另外折疊前后兩個角相等．根據這兩條性質即可解答．解：根據題意知：折疊所重合的兩個角相等．再根據兩條直線平行，同旁內角互補，得：2∠1+∠2=180°，解得：∠2=180°﹣2∠1=68°．故選D．【點撥】注意此類折疊題，所重合的兩個角相等，再根據平行線的性質得到∠1和∠2的關系，即可求解．8．C【分析】先根據AE∥BP得出∠BPE+∠AEP=180°，再由∠BPE-∠AEP=80°得出∠AEP的度數，再由圖形翻折變換的性質即可得出結論．解：AE∥BP，∴∠BPE+∠AEP=180°①．∵∠BPE-∠AEP=80°②，∴①-②得，∠AEP=50°，∴∠PEF==65°．故選C．【點撥】本題主要考查的是平行線的性質，兩直線平行，同旁內角互補，解決本題的關鍵是要熟練掌握平行線的性質.9．D【分析】由矩形的對邊平行得到AD∥BC，利用平行性質可以得到∠DEF＝∠EFG＝50°，由折疊的性質得到∠GEF＝∠DEF，可得出∠GED的度數，根據平角的定義即可求出∠1的度數．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝50°，由折疊得到∠GEF＝∠DEF＝50°，∴∠GED＝∠GEF＋∠DEF＝100°，則∠1＝180°?∠GED＝80°．故選：D．【點撥】此題考查了矩形與折疊問題，熟練掌握矩形和折疊的性質是解本題的關鍵．10．D【分析】由作圖可知，a⊥AB，CD⊥AB，利用平行線的判定即可解決問題．解：由作圖可知，a⊥AB，CD⊥AB，∴可以利用同位角相等，兩直線平行或內錯角相等，兩直線平行或同旁內角互補，兩直線平行，判定CDa，故選：D．【點撥】本題考查平行線的判定，是常見重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．11．40【分析】根據折疊的性質可知∠EFB'=∠EFB，再由周角360°以及∠BFB'=80°可求出∠EFB，再根據平行線的性質即可求∠AEF．解：由題意可得：AD∥BC，由折疊可知：∠EFB'=∠EFB，∵∠EFB'+∠EFB+∠BFB'=360°，∠BFB'=80°，∴∠EFB'=∠EFB=140°，∵AD∥BC，∴∠AEF+∠EFB=180°，∴∠AEF=180°-140°=40°．故答案為：40．【點撥】本題考查平行線的性質和翻折的性質，解題關鍵是結合圖形利用平行線的性質和翻折的性質進行角的轉化和計算．12．28149【分析】根據長方形的定義，得出∠BAD＝∠ABC＝90°，再根據平行線的性質，由AEBD，即可得到∠EAD＝∠ADB＝28°，再根據長方形的一角沿AF折疊，得∠BAF＝∠EAF＝59°，然后根據角的關系，得到∠DAF＝31°，再根據平行線的性質，得出∠DAF+∠AFC＝180°，即可計算出∠AFC的度數．解：∵四邊形ABCD為長方形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∵AEBD，∴∠EAD＝∠ADB＝28°，∴∠BAE＝∠BAD+∠EAD＝90°+28°＝118°，∵長方形ABCD沿AF折疊，點B的折疊點E落在長方形ABCD外側，∴∠BAF＝∠EAF＝∠BAE＝×118°＝59°，∴∠DAF＝∠BAF∠EAD＝59°28°＝31°，∵ADBC，∴∠DAF+∠AFC＝180°，∴∠AFC＝180°31°＝149°．故答案為：28；149【點撥】本題考查了長方形的定義、平行線的性質，熟悉平行線的性質是解本題的關鍵．13．/度【分析】先根據平行線的性質求出，再由折疊的性質和平角的定義得到，即可利用平行線的性質求出的度數．解：由題意得，∴，由折疊的性質可得，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題主要考查了平行線的性質，折疊的性質，求出是解題的關鍵．14．75°或105°【分析】根據題意作圖，再根據平角的定義和折疊的性質可得∠BEF的度數，再根據平行線的性質可求∠EFC的度數．解：如圖1，

∵∠AEB′＝30°，∴∠BEB′＝180°-∠AEB′=150°，由折疊的性質可得∠BEF＝∠BEB′=75°，∵四邊形ABCD是長方形，∴AB∥CD，∴∠EFC＝180°?∠BEF＝105°．如圖2，

∵∠AEB′＝30°，∴∠BEB′＝180°-∠AEB′=150°，∵折疊，∴∠BEF=（360°-∠BEB′）=105°∵四邊形ABCD是長方形，∴AB∥CD，∴∠EFC＝180°?∠BEF＝75°．故答案為：75°或105°．【點撥】本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是根據平角的定義和折疊的性質求出∠BEF的度數．15．504x°﹣180°/【分析】（1）欲求∠1，需求∠DEF．由于AD∥BC，可得∠DEF＝∠EFG＝50°，進而推斷出∠1＝∠EFG＝50°．（2）欲求∠3﹣∠2，需求∠3，∠2，即求∠1、∠DEF、∠EFG．由題意得∠1＝∠DEF，由AD∥BC，得∠DEF＝∠EFG＝x°，進而求得結果．解：（1）由題意知：∠DEF＝∠1．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠DEF＝∠EFG＝50°．∴∠1＝∠EFG＝50°．故答案為：50．（2）由（1）知：∠DEF＝∠1＝∠EFG．∵∠EFG＝x°，∴∠DEF＝∠1＝∠EFG＝x°．∴∠3＝∠1+∠EFG＝2x°，∠2＝180°﹣∠1﹣∠DEF＝180°﹣2x°．∴∠3﹣∠2＝2x°﹣（180°﹣2x°）＝4x°﹣180°．故答案為：4x°﹣180°．【點撥】本題主要考查矩形的性質、平行線的性質、三角形外角的性質以及列代數式，熟練掌握矩形的性質、平行線的性質、三角形外角的性質是解決本題的關鍵．16．126°【分析】由AD∥BC，得出，再由三角形內角和得出，而得到解：AD∥BC，，則故答案為126°【點撥】本題考查平行線的性質，三角形內角和定理，屬于基礎題．17．/33度【分析】根據折疊的性質得到，由平行線的性質到，進而求解即可．解：∵長方形的紙片沿折疊，點B到達點的位置，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點撥】本題考查了平行線的性質以及折疊的性質，根據折疊的性質得到是解決此題的關鍵．18．25°80°【分析】（1）由平行線的性質可得∠1+∠ACD＝180°，∠ACD+∠2＝180°，從而得到∠2的度數；（2）由折疊的性質，可得∠3＝∠1＝25°，再根據平行線的性質定理求出∠BDC＝50°，最后再根據折疊的性質，可得2∠BDC+∠2＝180°即可求解．解：（1）如圖2，∵CD∥AB，∴∠1+∠ACD＝180°，∵∠1＝25°，∴∠ACD＝180°﹣25°＝155°，∵AC∥BD，∴∠ACD+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠ACD＝25°，故答案為：25°；（2）如圖3，由折疊的性質，可得∠3＝∠1＝25°，∵EB∥AM，∴∠4＝∠1+∠3＝50°，∵AC∥BD，∴∠4+∠EBD＝180°，∴∠EBD＝180°﹣∠4＝130°，又∵CD∥BE，∴∠EBD+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝50°，由折疊的性質，可得2∠BDC+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣100°＝80°，故答案為：80°．【點撥】本題考查了平行線的性質、折疊的性質，解題關鍵是根據平行線的性質找出圖中角度之間的關系．19．（1）AB//EF；（2）50°．【分析】（1）根據方式折疊可得，結合，利用同位角相等兩直線平行即可得證；（2）由與EF//AB平行，利用兩直線平行同位角相等得到，由折疊得到，即可求出的度數．解：（1）AB//EF，理由為：，，，AB//EF；（2）∵EF//AB，，，．【點撥】此題主要考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解本題的基礎，由折疊的性質得出是解題關鍵．20．（1）HG∥AE，理由見分析；（2）∠DHG＝70°．【分析】（1）根據折疊的性質得∠AEB=∠AEF，根據角平分線定義及垂直的定義得AE⊥EG，最后由平行的判定可得結論；（2）由余角的性質得∠AEB=70°，然后根據平行線的性質可得答案．解：（1）平行，理由如下：∵長方形沿AE折疊，∴∠AEB＝∠AEF，∵EG平分∠CEF交CD于點G，∴∠FEG＝∠CEG，∵∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG＝180°，∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°，∴AE⊥EG，∵HG⊥ED，∴HG∥AE；（2）∵∠CEG＝20°，∴∠AEB＝70°，∵長方形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝70°，∵HG∥AE，∴∠DHG＝∠DAE＝70°．【點撥】此題考查了折疊問題及平行線的性質，掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．21．（1）見分析；（2）①平分，見分析；②64°【分析】根據平行線的性質得到∠AGC=∠AFD，∠AGH=∠AFE，于是得到∠CGH=∠DFC；①根據平行線的性質得到和角平分線的定義即可得到結論；②由折疊的性質得到∠EFG=∠1，根據平行線的性質和平角的定義即可得到結論．解：（1）證明：∵四邊形是長方形，，∴．∵，∴．∵，∴．（2）①平分．理由：（解法不唯一）如圖，延長．∵，∴，．∵，∴．∴．∵將一長方形紙片沿著折疊，∴，∴，∴，∴平分．②∵，，∴．∵，∴．【點撥】本題考查了平行線的性質，折疊的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．22．（1）見分析；（2），理由見