第一部分專題一第3講

二次函數、指數函數、對數函數(限時60分鐘，滿分100分)一、選擇題(本大題共6個小題，每小題6分，共36分)1．已知f(x)是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f(x)＝2x－3，則f(－2)＝()A．－1B．－eq\f(11,4)C．1D.eq\f(1,4)解析：f(－2)＝－f(2)＝－(22－3)＝－1.答案：A2．(精選考題·天津高考)設a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，則()A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c解析：由于b＝(log53)2＝log53·log53＜log53＜log54＝a＜1＜log45＝c，故b＜a＜c.答案：D3．方程mx2＋2(m＋1)x＋m＋3＝0僅有一個負根，則m的取值范圍是()A．(－3,0)B．[－3,0)C．[－3,0]D．[－1,0]解析：當m＝0時，由原方程得x＝－eq\f(3,2)＜0成立，排除選項A、B；當m＝－3時，原方程變為－3x2－4x＝0，兩根為x1＝0，x2＝－eq\f(4,3)，也符合題意，∴選C.答案：C4．(精選考題·遼寧高考)設2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m＝()A.eq\r(10)B．10C．20D．100解析：a＝log2m，b＝log5m，代入已知得logm2＋logm5＝2，即logm10＝2，所以m＝eq\r(10).答案：A5．方程(eq\f(1,2))x－|lgx|＝0的實數根的個數為()A．0B．1C解析：如圖可知：方程的實根個數即y＝(eq\f(1,2))x與y＝|lgx|的交點個數．答案：C6．已知f(x)＝ax＋b(a＞0且a≠1，b為常數)的圖象經過點(1,1)，且0＜f(0)＜1，設m＝eq\f(1,2)[f－1(x1)＋f－1(x2)]，n＝f－1(eq\f(x1＋x2,2))，其中x1，x2是兩個不相等的正實數，則m與n的大小關系為()A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．m＝2n解析：∵f(1)＝ab＋1＝1，又a≠1，∴b＋1＝0，b＝－1.∵f(0)＝eq\f(1,a)，0＜eq\f(1,a)＜1，∴a＞1.f－1(x)＝logax－b＝logax＋1.eq\f(1,2)[f－1(x1)＋f－1(x2)]＝eq\f(1,2)(logax1＋1＋logax2＋1)＝logaeq\r(x1x2)＋1＜logaeq\f(x1＋x2,2)＋1(x1≠x2)．而logaeq\f(x1＋x2,2)＋1＝f－1(eq\f(x1＋x2,2))，故m＜n.答案：B二、填空題(本大題共3個小題，每小題6分，共18分)7．函數y＝(eq\f(1,3))x－log2(x＋2)在[－1,1]上的最大值為________．解析：函數y＝(eq\f(1,3))x－log2(x＋2)在區間[－1,1]上是單調遞減函數，所以函數的最大值是f(－1)＝3.答案：38．若函數y＝ax2－2ax(a≠0)在區間[0,3]上有最大值3，則a的值是________．解析：∵函數y＝ax2－2ax＝a(x－1)2－a的對稱軸為定直線x＝1，且1∈[0,3]，由拋物線開口方向分兩種情況討論：當a>0時，拋物線開口方向向上，由ymax＝f(3)＝9a－6a＝3a當a<0時，拋物線開口方向向下，由ymax＝f(1)＝－a＝3，得a＝－3.答案：1或－39．某工廠生產某種產品固定成本為2000萬元，并且每生產一單位產品，成本增加10萬元，又知總收入k是單位產品數Q的函數，k(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，則總利潤L(Q)的最大值是________．解析：總利潤L(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2－10Q－2000＝－eq\f(1,20)(Q－300)2＋2500.故當Q＝300時，總利潤最大值為2500萬元．答案：2500萬元三、解答題(本大題共3個小題，共46分)10．(本小題滿分15分)已知函數f(x)＝loga(8－2x)(a＞0，且a≠1)．(1)若函數f(x)的反函數是其本身，求a的值；(2)當a＞1時，求函數y＝f(x)＋f(－x)的最大值．解：(1)函數f(x)的反函數f－1(x)＝log2(8－ax)，由題意可得loga(8－2x)＝log2(8－ax)，∴a＝2.(2)由題意可知8－2x＞0，解得x＜3，則y＝f(x)＋f(－x)的定義域為(－3,3)．f(x)＋f(－x)＝loga(8－2x)＋loga(8－2－x)＝loga[65－8(2x＋2－x)]．∵2x＋2－x≥2，當x＝0時，等號成立，∴0＜65－8(2x＋2－x)≤49.∴當a＞1時，函數y＝f(x)＋f(－x)在x＝0處取得最大值loga49.11．(本小題滿分15分)某市出租車的計價標準是：3km以內(含3km)10元；超出3km但不超過18km的部分1元/km；超出18km的部分2元/km.(1)如果某人乘車行駛了20km，他要付多少車費？某人乘車行駛了xkm，他要付多少車費？(2)如果某人付了22元的車費，他乘車坐了多遠？某人付了10＋x(x>0)元的車費，他乘車坐了多遠？解：(1)乘車行駛了20km，付費分三部分，前3km付費10(元)，3km到18km付費(18－3)×1＝15(元)，18km到20km付費(20－18)×2＝4(元)，故總付費10＋15＋4＝29(元)．設付車費y元，當0<x≤3時，車費y＝10；當3<x≤18時，車費y＝10＋(x－3)＝x＋7；當x>18時，車費y＝25＋2(x－18)＝2x－11.故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10，0<x≤3，,x＋7，3<x≤18，,2x－11，x>18.))(2)付出22元的車費，說明此人乘車行駛的路程大于3km，且小于18km.前3km付費10元，余下的12元乘車行駛了12km，故此人乘車行駛了15km.設乘車行駛了ykm，當0<x≤15時，y＝3＋x；當x>15時，y＝18＋eq\f(x－15,2)＝eq\f(1,2)x＋eq\f(21,2).故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋30<x≤15，,\f(1,2)x＋\f(21,2)x>15.))12．(本小題滿分16分)已知函數f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，當x∈(－3,2)時，f(x)＞0，當x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)時，f(x)＜0.(1)求f(x)在[0,1]內的值域；(2)c為何值時，ax2＋bx＋c≤0的解集為R?解：由題意知f(x)的圖象是開口向下，交x軸于兩點A(－3,0)和B(2,0)的拋物線，對稱軸方程為x＝－eq\f(1,2)(如圖)．那么，當x＝－3和x＝2時，有y＝0，代入原式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＝a－32＋b－8×－3－a－ab，,0＝a×22＋b－8×2－a－ab，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝8，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝5.))經檢驗知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝8，))不符合題意，舍去．∴f(x)＝－3x2－3x＋18.(1)由圖象知，函數在[0,1]內單調遞減，所以，當x＝0時，y＝18，當x＝1時，y＝12.∴f(x)在[0,1]內的值域為[12,18]．(2)令g(x)＝－3x2＋5x＋c，要使g(x)≤0的解集為R.則需要方程－3x2＋5x＋c＝0的根的判別式Δ≤0，即Δ＝25＋12c≤0，解得c≤－eq\f(25,12).∴當c≤－eq\f(25,12)時，ax2＋bx＋c≤0的解集為R.1．(精選考題·四川高考)2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.答案：C2．(精選考題·全國卷Ⅰ)已知函數f(x)＝|lgx|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，則a＋b的取值范圍是()A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：不妨設0＜a＜1＜b，由f(a)＝f(b)得－lga＝lgb，lga＋lgb＝0，ab＝1，因此，a＋b＝a＋eq\f(1,a)＞2.答案：C3．函數f(x)＝－x2＋(2a－1)|x|＋1的定義域被分成了四個不同的單調區間，則實數aA．a＞eq\f(2,3)B.eq\f(1,2)＜a＜eq\f(3,2)C．a＞eq\f(1,2)D．a＜eq\f(1,2)解析：函數f(x)＝－x2＋(2a－1)|x|＋1是由函數f(x)＝－x2＋(2a－1)x＋1變化得到，第一步保留y軸右側的圖象，再作關于y軸對稱的圖象．又因為其定義域被分成四個單調區間，所以f(x)＝－x2＋(2a－1)x＋1的對稱軸在y軸的右側，使y軸右側有兩個單調區間，對稱后有四個單調區間．因此eq\f(2a－1,2)＞0，即a＞eq\f(1,2).答案：C4．已知定義在R上的函數f(x)＝(x2－3x＋2)·g(x)＋3x－4，其中函數y＝g(x)的圖象是一條連續曲線，則方程f(x)＝0在下面哪個范圍內必有實數根()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：f(x)＝(x2－3x＋2)·g(x)＋3x－4＝(x－1)(x－2)·g(x)＋3x－4，故f(1)＝－1<0，f(2)＝2>0，故存在一點x0∈(1,2)使f(x0)＝0.答案：B5．(精選考題·揚州調研)已知函數f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函數．(1)求k的值；(2)若方程f(x)－m＝0有解，求m的取值范圍．解：(1)由函數f(x)是偶函數，可知f(x)＝f(－x)．∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx.即log4eq\f(4x＋1,4－x＋1)＝－2kx，log44x＝－2kx，∴x＝－2kx對一切x∈R恒成立．∴k＝－eq\f(1,2).(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－eq\f(1,2)x，∴m＝log4eq\f(4x＋1,2x)＝log4(2x＋eq\f(1,2x))．∵2x＋eq\f(1,2x)≥2，∴m≥eq\f(1,2).故要使方程f(x)－m＝0有解，m的取值范圍為m≥eq\f(1,2).6．某服裝廠生產一種服裝，每件服裝的成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100件時，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出場單價就降低0.02元，根據市場調查，銷售商一次訂購量不會超過600件．(1)設一次訂購x件，服裝的實際出廠單價為p元，寫出函數p＝f(x)的表達式；(2)當銷售商一次訂購多少件服裝時，該廠獲得的利潤最大？其最大利潤是多少？解：(1)當0＜x≤100時，p＝60；當100＜x≤600時，p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.∴p＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60，0＜x≤100，,62－0.02x，100＜x≤600.))(2)設利潤為y元，則當0＜x≤100時，y＝60x－40x＝20x；當100＜x≤600時，y＝(62－