學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2016—2017學年第二學期高二（18屆）數學學科期末考試試卷一、選擇題（共12小題,每小題5分，共60分）1、已知復數（為虛數單位）,則在復平面內對應的點位于（）A。第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、若集合，，則()A。B。C.D。3、中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難,此日腳痛減一半,六朝才得到其關，要見此日行數里，請公仔仔細算相還”，其意思為:“有一個人走378里路，第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”，請問第二天走了（）A。96里B。48里C。192里D。24里4、一個幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為（）AB。C.D.5、已知，滿足則的最大值為（)A。3B。4C.6D。76、從5名學生中選出4名分別參加A,B，C,D四科競賽,其中甲不能參加C，D兩科競賽，則不同的參賽方案種數為A。24B。48C.72D。1207、某班數學課代表給全班同學出了一道證明題，以下四人中只有一人說了真話，只有一人會證明此題。甲：我不會證明.乙：丙會證明。丙:丁會證明。丁:我不會證明。根據以上條件，可以判定會證明此題的人是（）A。甲B。乙C。丙D.丁8、某程序框圖如圖所示，運行該程序時，輸出的S值是()A．44B．70C．102D．1409、已知雙曲線的右頂點為，過右焦點的直線與的一條漸近線平行，交另一條漸近線于點，則（）A。B。C。D.10、已知正三棱柱的側棱長與底面邊長相等，則AB1與側面ACC1A1所成角的正弦值等于A.B.C.D.11、已知函數,則(）A。當，有極大值為B.當,有極小值為C.當，有極大值為0D.當,有極小值為012、如圖,△ABC的外接圓的圓心為O，AB＝2，AC＝3，則·等于()A. B。C．2 D．3二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分)13、已知隨機變量，隨機變量，則．14、函數的值域是．15、已知等差數列的前項和,滿足，則數列的前項和．16、若經過拋物線焦點的直線與圓相切,則直線的斜率為．二、解答題（17題10分,其它各題每題12分,共70分）17、已知的內角的對邊分別為，．(1)若，求；（2）若，，求．18、2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易數據顯示，天貓元旦當天全天的成交金額為315.5億元.為了了解網購者一次性購物情況，某統計部門隨機抽查了1月1日100名網購者的網購情況，得到如下數據統計表，已知網購金額在2000元以上（不含2000元）的頻率為0。4.(=1\＊ROMANI)先求出的值，再將如圖4所示的頻率分布直方圖繪制完整；（=2\*ROMANII）對這100名網購者進一步調查顯示：購物金額在2000元以上的購物者中網齡3年以上的有35人，購物金額在2000元以下（含2000元）的購物者中網齡不足3年的有20人，請填寫下面的列聯表,并據此判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為網購金額超過2000元與網齡在3年以上有關？參考數據:參考公式:，其中.19、如圖，已知四棱錐的底面為菱形，，,.(Ⅰ）線段AB上是否存在點M，使AB平面PCM？并給出證明。（Ⅱ）求二面角的余弦值。20、已知點,橢圓E：的離心率為，F是橢圓的焦點,直線AF的斜率為，O為坐標原點．(1）求橢圓E的方程；(2）設過點A的直線與橢圓E相交于P，Q兩點，當的面積最大時，求直線的方程．21、已知函數f(x）=mex﹣lnx﹣1．（1）當m=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）當m≥1時,證明:f（x）＞1．選做題：請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做則按所做的第一題記分．22、在直角坐標系中,已知曲線（為參數），在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線,曲線.(1）求曲線與的交點的直角坐標；(2）設點,分別為曲線，上的動點，求的最小值.23、已知；（1）判斷的大小;（2）若，求證：中至少有一個的值小于2．參考答案一、單項選擇1、【答案】C2、【答案】B3、【答案】A4、【答案】A5、【答案】D6、【答案】C【解析】∵從5名學生中選出4名分別參加A，B,C，D四科競賽，其中甲不能參加A，B兩科競賽,∴可分為以下幾步：（1）先從5人中選出4人，分為兩種情況:有甲參加和無甲參加。有甲參加時,選法有：＝4種；無甲參加時,選法有：＝1種.（2）安排科目有甲參加時，先排甲，再排其它人。排法有:＝12種。無甲參加時，排法有＝24種.綜上，4×12+1×24=72.∴不同的參賽方案種數為727、【答案】A【解析】若丙說了真話，則甲必是假話,矛盾；若丁說了真話，則甲說的是假話，甲就是會證明的那個人，符合題意;以此類推。易得出答案：A。8、【答案】C【解析】解:模擬執行程序框圖，可得K=1，S=0S=2，K=4不滿足條件S＞100,S=10,K=7不滿足條件S＞100,S=24,K=10不滿足條件S＞100,S=44，K=13不滿足條件S＞100，S=70，K=16不滿足條件S＞100，S=102，K=19滿足條件S＞100，退出循環，輸出S的值為102．故選：C．9、【答案】A【解析】由雙曲線,可得故,漸近線方程為不妨設的方程為代入方程解得。故選B．10、【答案】C【解析】過作，連接，由于,故平面,所以所求直線與平面所成的角為，設棱長為,則,故，.11、【答案】D【解析】依題意，原函數類似于二次函數，有唯一零點，相當于兩個相等的實數根，此時函數圖像類似二次函數圖像，開口向上，且,故當時,函數有極小值為。12、【答案】B【解析】·＝·(－)＝·－·,因為OA＝OB，所以在上的投影為||，所以·＝||·|｜＝2,同理·＝|｜·|｜＝，故·＝－2＝.二、填空題13、【答案】14、【答案】15、【答案】【解析】設等差數列的首項和公差分別為、，根據題意建立方程組，解之得，數列的通項公式,數列的通項公式，則16、【答案】【解析】拋物線的焦點為，設直線的方程為，,即，直線與圓相切，，解得,故答案為.三、解答題17、【答案】(1）；（2）。(1）由已知，結合正弦定理得：，于是或（舍）．因為,所以，，．（2）由題意及余弦定理可知，由(1)得即，聯立解得，．所以，。18、【答案】（=1\＊ROMANI)因為網購金額在2000元以上(不含2000元）的頻率為0.4，所以網購金額在的頻率為，即，且，從而，，相應的頻率分布直方圖如圖3所示：（=2\＊ROMANII）相應的列聯表為：由公式，因為，所以據此列聯表判斷，在犯錯誤的概率不超過0。025的前提下認為網購金額超過2000元與網齡在3年以上有關。19、【答案】試題解析:（Ⅰ）當m是AB的中點時，AB⊥平面PCM∵AP=PB∴AB⊥PM又△ACB中，AB=BC，∠ABC=60°∴△ABC是正三角形∴AB⊥CM又PM∩CM=M∴AB⊥平面PCM(Ⅱ）（Ⅱ)由，，易求得，，∴，以為坐標原點,以，，分別為軸,軸，軸建立空間直坐標系，則，，，,∴，,設平面的一個法向量為，則，，∴,∴，，∴設平面的一個法向量為，則,,∴，∴,，∴∴,∵二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為.20、【答案】解：（1）．(2）由題可知，直線的斜率存在，故設:,,．將代人中整理得當即時，,．從而．點O到直線PQ的距離，所以的面積，設，則，，，當且僅當即時等號成立，且滿足．所以，當的面積最大時，的方程為或．21、【答案】（1）解：當m=1時，f(x）=ex﹣lnx﹣1，所以．…所以f（1)=e﹣1，f’（1)=e﹣1．…所以曲線y=f(x）在點(1，f（1）)處的切線方程為y﹣（e﹣1）=（e﹣1）（x﹣1）．即y=（e﹣1)x．…（2）證法一：當m≥1時，f(x）=mex﹣lnx﹣1≥ex﹣lnx﹣1．要證明f（x）＞1，只需證明ex﹣lnx﹣2＞0．…以下給出三種思路證明ex﹣lnx﹣2＞0．思路1：設g（x）=ex﹣lnx﹣2，則．設，則，所以函數h(x）=在（0,+∞)上單調遞增．…因為，g’（1）=e﹣1＞0,所以函數在（0，+∞）上有唯一零點x0，且．…因為g'(x0）=0時，所以,即lnx0=﹣x0．…當x∈（0，x0)時,g'(x)＜0；當x∈(x0，+∞）時,g’（x）＞0．所以當x=x0時,g（x）取得最小值g(x0）．…故．綜上可知，當m≥1時，f（x）＞1．…思路2:先證明ex≥x+1（x∈R）．…設h（x）=ex﹣x﹣1，則h’（x）=ex﹣1．因為當x＜0時，h'（x）＜0，當x＞0時，h’（x）＞0,所以當x＜0時,函數h(x）單調遞減，當x＞0時，函數h（x）單調遞增．所以h（x）≥h(0）=0．所以ex≥x+1(當且僅當x=0時取等號)．…所以要證明ex﹣lnx﹣2＞0，只需證明（x+1）﹣lnx﹣2＞0．…下面證明x﹣lnx﹣1≥0．設p（x）=x﹣lnx﹣1,則．當0＜x＜1時,p'（x)＜0，當x＞1時,p’（x）＞0，所以當0＜x＜1時，函數p（x)單調遞減,當x＞1時，函數p（x)單調遞增．所以p（x）≥p（1）=0．所以x﹣lnx﹣1≥0（當且僅當x=1時取等號）．…由于取等號的條件不同，所以ex﹣lnx﹣2＞0．綜上可知，當m≥1時,f(x)＞1．…（若考生先放縮lnx，或ex、lnx同時放縮，請參考此思路給分!）思路3：先證明ex﹣lnx＞2．因為曲線y=ex與曲線y=lnx的圖象關于直線y=x對稱，設直線x=t（t＞0）與曲線y=ex，y=lnx分別交于點A，B，點A，B到直線y=x的距離分別為d1，d2,則．其中，（t＞0）．①設h（t)=et﹣t（t＞0），則h'(t）=et﹣1．因為t＞0,所以h’（t）=et﹣1＞0．所以h（t)在（0，+∞）上單調遞增，則h（t）＞h（0）=1．所以．②設g（t）=t﹣lnt（t＞0），則．因為當0＜t＜1時,g’（t)＜0；當t＞1時，g’（t）＞0，所以當0＜t＜1時,g（t）=t﹣lnt單調遞減；當t＞1時，g(t）=t﹣lnt單調遞增．所以g（t）≥g(1)=1．所以．所以．綜上可知，當m≥1時，f（x）＞1．…證法二:因為f(x)=mex﹣lnx﹣1，要證明f（x）＞1，只需證明mex﹣lnx﹣2＞0．…以下給出兩種思路證明mex﹣lnx﹣2＞0．思路1:設g(x)=mex﹣lnx﹣2，則．設，則．所以函數h（x）=在（0，+∞）上單調遞增．…因為，g’（1）=me﹣1＞0,所以函數在(0,+∞)上有唯一零點x0，且．…因為g’（x0）=0，所以，即lnx0=﹣x0﹣lnm．…當x∈（0，x0)時，g’（x）＜0;當x∈（x0，+∞)時，g'(x)＞0．所以當x=x0時，g（x）取得最小值g（x0）．…故．綜上可知，當m≥1時，f(x)＞1．…思路2：先證明ex≥x+1（x∈R)，且lnx≤x+1(x＞0)．…設F(x)=ex﹣x﹣1,則F’（x）=ex﹣1．因為當x＜0時,F’（x）＜0;當x＞0時，F’（x）＞0，所以F（x）在(﹣∞，0）上單調遞減,在（0，+∞）上單調遞增．所以當x=0時，F（x）取得最小值F（0）=0．所以F（x）≥F（0）=0，即ex≥x+1(當且僅當x=0時取等號）．…由ex≥x+1（x∈R)，得ex﹣1≥x(當且僅當x=1時取等號）．…所以lnx≤x﹣1（x＞0）（當且僅當x=1時取等號）．…再證明mex﹣lnx﹣2＞0．因為x