2024屆四川省普通高中數學高二上期末聯考試題

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5亳米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置.

3.請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05亳米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

2

1.已知拋物線C：y=-xt則過拋物線C的焦點，弦長為整數且不超過2022的直線的條數是O

4

A.4037B.4044

C.2019D.2022

2.函數/。）=（%-1）一的圖象大致為（）

3.在等腰RtAABC中，在線段斜邊上任取一點則線段AM的長度大于AC的長度的概率()

A.也

2

272

亍

4.若圓￥+>2+2.2/+m=()的半徑為退，貝U實數()

3

A.-----B.-1

2

3

D.-

2

5.函數f（x）=g/+2Y+3x在J2.2］上的最小值為（）

3

14

A.—B.4

3

84

C.一一D.一一

33

6.等差數列｛4｝的首項為正數，其前〃項和為S“.現有下列命題，其中是假命題的有（）

A.若S“有最大值，則數列｛4｝的公差小于0

8.若4+43=。，則使S”>0的最大的〃為18

C.若%>0,a）+4o〈O,貝ij｛S〃｝中S9最大

D.若%>0,%+4（）<°，則數列｛|可|｝中的最小項是第9項

7.某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的k的值是

A.3B.4

C.5D.6

8.隨著城市生活節奏的加快，網上訂餐成為很多上班族的選擇，下表是某外賣騎手某時間段訂餐數量x與送餐里程》

的統計數據表：

訂餐數X/份122331

送餐里程力里153045

現已求得上表數據的回歸方程》=加+G中的A值為L5,則據此回歸模型可以預測，訂餐100份外賣騎手所行駛的路

程約為（）

A.155里B.145里

C147里D.148里

9.已知公差不為0的等差數列｛q｝中，q=4,且％,%,可。成等比數列，則具前〃項和S“取得最大值時，〃的值

為（）

A.12B.13

C.12或13D.13或14

10.設B點是點42,-3,5）關于平面xOy的對稱點，貝i」|A3|=（）

A.10B.V10

C.屈D.38

11.記S”為等差數列｛q｝的前〃項和，有下列四個等式，甲：4=1；乙：53=9；丙：S6=36；T：4=6.如

果只有一個等式不成立，則該等式為（）

A.甲B.乙

C.丙D.丁

12.已知函數/（x）=V+加2-4x+d在[一?1」）上單調遞減，則實數人的取值范圍是（）

「廠

A.，—2,—1]B.—1?,—

2jL2j

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.心父-一、[展開式的常數項是

14.已知點尸是橢圓3+5_=1上的一點，點則|P@的最小值為.

15.己燈拋物線C:y2=2〃式〃、0）的準線方程為“=_2,在拋物線。上存在A、區兩點關于直線/：x+）-7=0對

稱，設弦A8的中點為M,O為坐標原點，則IOMI的值為.

16.寫出一個公比為3,且第三項小于1的等比數列牝=

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）命題P：存在X0￡R,使得片+，/+。=0；命題，對任意的xe[0,+8）,都有a《k）g2（x+2）+2i

（1）若命題〃為真時，求實數。的取值范圍：若命題q為假時，求實數〃的取值范圍:

（2）如果命題〃V，/為真命題，命題〃八，/為假命題，求實數。的取值范圍

18.（12分）某種機械設備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減少，通常把它使用價值逐

年減少的“量”換算成費用，稱之為“失效費”.某種機械設備的使用年限x（單位：年）與失效費）’（單位：萬元）

的統計數據如下表所示：

使用年限工（單位：年）1234567

失效費y（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90

（1）由上表數據可知，可用線性回歸模型擬合）'與x的關系.請用相關系數加以說明；（精確到0.01）

（2）求出）‘關于x的線性回歸方程，并估算該種機械設備使用8年的失效費

參考公式:相關系數〃=i=\

.加-加-司一一

線性回歸方程§，二區+6中斜率和截距最小二乘估計計算公式：人=J-----——，a=y-bx

I=I

參考數據：Z（蒼一x）（￡->'）=14.00,E（%-y）2=7.08,7198.24?14.10

1=11=1

19.（12分）奮發學習小組共有3名學生，在某次探究活動中，他們每人上交了1份作業，現各自從這3份作業中隨

機地取出了一份作業.

（1）每個學生恰好取到自己作業的概率是多少？

（2）每個學生不都取到自己作業的概率是多少？

（3）每個學生取到的都不是自己作業的概率是多少？

20.（12分）設數列｛qJ｛a〃￡R｝是公比為g的等比數列，其前〃項和為S”

（1）若4=%4=1,求數列｛S.｝的前〃項和；

（2）若昂，S9,§6成等差數列，求g的值并證明：存在互不相同的正整數〃?，〃，p,使得q”，/，4P成等差數

列；

（3）若存在正整數左（1《&<〃），使得數列S-S……S”（〃24）在刪去耳以后按原來的順序所得到的數列是等

差數列，求所有數對（幾。）所構成的集合,

21.（12分）在四棱錐P—A3CO中，底面A8CD為直角梯形，ADKBC,ZAOC=90,平面A4DJ_底面48c

（1）求證：平面MQ3_L平面PA。；

（2）若BM上PC,求直線叱與BM所成角的余弦值.

22.（10分）在二項式的展開式中，.

給出下列條件：

①若展開式前三項的二項式系數的和等于46；

②所有奇數項的二項式系數的和為256.

試在上面兩個條件中選擇一個補充在上面的橫線上，并解答下列問題:

（1）求展開式中二項式系數最大的項；

（2）求展開式的常數項.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解題分析】根據己知條件，結合拋物線的性質，先求出過焦點的最短弦長，再結合拋物線的對稱性，即可求解

【題目詳解】丁拋物線C：y=-X2即/二分，

49

由拋物線的性質可得，過拋物線焦點中，長度最短的為垂直于），軸的那條弦，

則過拋物線。的焦點，長度最短的弦的長為4x1=4,

由拋物線的對稱性可得，弦長在5到2022之間的有共有2018x2=4036條，

故弦長為整數且不超過2022的直線的條數是4036+1=4037

故選：A

2、A

【解題分析】利用導數求得/(力的單調區間，結合函數值確定正確選項.

【題目詳解】由/'(幻=起",可得函數的減區間為(-8,0),增區間為(0,+8),

當x<0時，/(x)v0,可得選項為A

故選：A

3、C

【解題分析】利用幾何概型的長度比值，即可計算.

【題目詳解】設直角邊長AC=a,斜邊46二拒0，

則線段AW的K度大于AC的K度的概率P=那二q—l-l

同2

故選：C

4、B

【解題分析】將圓的方程化為標準方程，即可求出半徑的表達式，從而可求出機的值.

【題目詳解】由題意，圓的方程可化為(工+1『+()，-1『=2-〃7,

所以半徑為二五二石，解得加=-1?

故選：B.

【題目點撥】本題考查圓的方程，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.

5、D

【解題分析】求出導數，由導數確定函數在［-2,2］上的單調性與極值，可得最小值

【題目詳解】f(x)=x2+4.r+3=(.r+l)(.r+3),所以一2vxv-1時，f(x)<0,f(x)遞減，—Ivxv2時，f(x)>(),

f。)遞增,

］4

所以x=—l是/")在［-2,2］上的唯一極值點，極小值也是最小值,/(-1)=--+2-3=--

JJ

故選：D

6、B

【解題分析】由S〃有最大值可判斷A；由《,+43=49+40=0,可得的>0，即)<0,利用心二四愛、18可

判斷BC；%>。，%+4o<。得出>。，同=/〈一ROTGOI，

可判斷D.

【題目詳解】對于選項A,???S”有最大值，???等差數列｛2｝一定有負數項，

工等差數列｛q｝為遞減數列，故公差小于0,故選項A正確；

對于選項B,???4+43=4)+4o=°，且4〉。，

:.%>。，go<0,

AS=17^>0,兒=、pxl8=(),

179

則使S”>0的最大的〃為17,故選項B錯誤；

對于選項C,???%>0，%+。［0<0,

:.>0,《0<0,

故母｝中品最大，故選項C正確；

對于選項D,???4>。，4+4。<0,

??內〉0,=%v-"io=|^io|，

故數列｛|例|｝中的最小項是第9項，故選項D正確.

故選：B.

7、B

【解題分析】循環體第一次運行后S=0+丁=1/100條=1；第二次運行后S=l-T=3<10Ck=3第三次運

行后S==11<卜了.*="第四次運行后5=11+二」二，”>100弋二4；循環結束，輸出k值為%答案

選B

考點：程序框圖的功能

8、C

【解題分析】由統計數據求樣本中心，根據樣本中心在回歸直線上求得3=-3,即可得回歸方程，進而估計了=100時

的y值即可.

【題目詳解】由題意：無=12+；+31=22,4=15+3,45=3。,則30=22x1.5+/,可得力=—3,故

JJ

y=1.5x—3,

當x=100時，9=147.

故選：C

9、C

【解題分析】設等差數列｛4｝的公差為心根據4，%,%。成等比數列，利用等比中項求得公差，再由等差數列前

〃項和公式求解.

【題目詳解】設等差數列｛4｝的公差為公

因為4=4,且％,alt%)成等比數列，

所以(q+64『=4(%+9"),

解得"=+,

,/?(/?-1)125

所以S“=na,+—-----d=——〃"7+—n>

"?266

所以當〃=12或13時，S“取得最大值，

故選：C

10、A

【解題分析】寫出4點坐標，由對稱性易得線段長

【題目詳解】點8是點42,-3,5)關于平面xOy的對稱點，

.?.8的橫標和縱標與A相同，而豎標與A相反，

???倒2,-3,-5),

「?直線A3與z軸平行，

:\v4B|=5-(-5)=10,

故選：A

11、D

【解題分析】分別假設甲、乙、丙、丁不成立，驗證得到答案

【題目詳解】設數列｛q｝的公差為"，

3q+3d=9①3

4=563

若甲不成立，貝46q+151=36②，由①，③可得，此時64+151=上

.32

?+3d=6③a=—

與②矛盾；A錯,

q=1@4=1

若乙不成立，則《64+154=36②，由①，③可得?

5,此時6q+154=31；

d=-

%+3d=6(3)3

與②矛盾；B錯,

4=1①4T

若丙不成立，貝卜3“+34=9②，由①，③可得,5，此時3q+3d=8；

d=-

4+3d=6③3

與②矛盾；c錯，

4=1

67.=1

若丁不成立，貝人34+34=9,由①，③可得<八，此時3%+3d=9；

d=2

6%+15J=36

,D對，

故選：I).

12、A

(2\f'\--^0

【解題分析】由題意，/("=3/+2笈-4W0在一a』上恒成立，只需滿足『I3J即可求解.

【題目詳解】解：因為/(x)=V+Zz?-4x+d,所以/'(x)=3d+2區一4,

因為函數/(力=丁+加2-4x+J在(一上單調遞減,

3)

f9]

所以/'(工)=3/+的一4工0在一上恒成立,

\J

f——<0t絲”1

只需滿足‘I3j即33,解得一

2

尸⑴<03+2b—4?0乙

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-20

【解題分析】求出一_L)的通項公式，令工的指數為0,即可求解.

【題目詳解】2丁一_三的通項公式

I2/)

1

是G=C：(2d嚴=(-1/C*X26-2*X,8-6S攵=0』,2,6,

2?

依題意，令18-6A=0,「M=3,

\6

所以2寸——1的展開式中的常數項為VX20=-20.

I2/

故答案為：-20.

14、坐

4

1Y

【解題分析】設P(x,y),表示出|p0卜+(),一。)2,消去〃利用二次函數求最值即可.

X——4J

【題目詳解】設夕(%>),

1丫

則|P0=x——+()，一。廠

4J

X—+31-—

4)I4J

所以當x=l時，|PQ|=乎最小.

故答案為：乎

15、5

【解題分析】先運用點差法得到例(3,4),然后通過兩點距離公式求出結果

詳解】解：拋物線。：)，2=2*(〃>0)的準線方程為％=-2,

所以］=2,解得〃=4,

所以拋物線的方程為V=8x,

設點&N，y),Bg,y2)tA3的中點為M(%,為)，

則=8A-),y}=8X2,

兩式相減得（y-y2）（yl+y2）=85-電）,

.y-88

即kAB=-------=-7-=7-，

又因為A,3兩點關于直線/：工+>-7=（）對稱，

=-1

所以2%,

、%+%-7=0

解得“一：，可得M（3,4）,

〔為二4

貝!）|CM|=，3?+42=5,

故答案為：5

16、p--3rt-1（答案不唯一）

【解題分析】由條件確定該等比數列的首項的可能值，由此確定該數列的通項公式.

【題目詳解】設數列{4}的公比為9,則q=3,

由已知可得叫<1，?'?9q<l,

所以4<g，故為可取歷，

故滿足條件的等比數列的通項公式可能為％=木?3"T,

故答案為：5?3'"（答案不唯一）

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

3

17、（1）p為真時或g為假時

（2）{4心4或0va4}?

【解題分析】（1）P為真應用判別式A20求參數范圍；q為真，根據恒成立求參數范圍，再判斷q為假對應的參數范

圍.

（2）由題設易得p、q一真一假，討論p、q的真假，結合（1）的結果求。的取值范圍

【小問1詳解】

若P真，則其+“+。=0有實數根，

???△=4一4。20,解得或

33

若4為真，則a?log2（0+2）+2g=K，即

故4為假時，實數。的取值范圍為。＞|

【小問2詳解】

:命題〃vg真命題，命題〃△夕為假命題，

:?p,4一真一假,

碗0或a4

當P真q假時，3，可得。之4

a＞—

2

0＜白＜4

3

當P假4真時，〈3，可得0＜〃＜不

“，-2

2

綜上，實數。取值范圍為{4。之4或OvaW]}.

18、（1）答案見解析；（2）5=O.5x+2.3；失效費為6.3萬元

【解題分析】（1）根據相關系數公式計算出相關系數「可得結果;

（2）根據公式求出/；和方可得》關于人的線性回歸方程，再代入x=8可求出結果.

.—1+2+3+4+5+6+7

【題目詳解】（1）由題意，知工=---------------------=4,

7

2.90+3.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.90,“

)'=-------------------------------------------------------=4.30,

7

222

力(七-,2=(1-4『+(2-41+(3-盯+(4—4)2+(5-4)+(6-4)+(7-4)=28

/=|

14.00_14.00^14.00

???結合參考數據知:之0.99

,28x7.08-J198.24~14.10

因為），與X的相關系數近似為0.99,所以》與X的線性相關程度相當大，從而可以用線性回歸模型擬合了與X的關系

7

.—心-習*8

(2)=-----------：—

r=l

???〃=),-*=4.3-U.5x4=2.3

???y關于x的線性回歸方程為y=O.5x+2.3,

將.E=8代入線性回歸方程得＞'=0.5x8+2.3=6.3萬元，

???估算該種機械設備使用8年的失效費為6?3萬元

19、(1)-

6

【解題分析】(1)根據列舉法列出所有的可能基本事件，進而得出每個學生恰好拿到自己作業的概率;

⑵利用對立事件的概念即可求得結果；

⑶結合⑴即可得出每個學生拿的都不是自己作業的事件數.

【小問1詳解】

設每個學生恰好拿到自己作業為事件及事件“包含的事件數為I,

所以P(￡)=,；

6

小問2詳解】

設每個學生不都拿到自己作業為事件F,

因為事件F的對立事件為E,

所以P(F)=l—P(E)=m；

6

【小問3詳解】

設每個學生拿的都不是自己作業為事件G,事件G包含的事件數為2,

P(G)=；4

63

na+n2a

20、(1)

2

（2）q=—J｝,證明見解析.

（3）不存在，0

【解題分析】（1）數列｛'｝為首項為。公差為〃的等差數列，利用等差數列的求和公式即可得出結果；

（2）S,，Sg,S,,成等差數列，則邑+S6=2S”根據等比數列求和公式計算可解得夕=-，1,進而計算可得

4+%=2%,即可判斷結果;

（3）由題意列出號，邑，…，SL,Sk，Sk+\,S……S”（〃N4）在刪去既以后，按原來的順序所得到的數列

是等差數列，則],解方程組可得q無解，則所有數對（〃國）所構成的集合為0.

+\+2=25+|

【小問1詳解】

4=。，＜7=1,數列｛%｝｛《,￡R｝是公比為q的等比數列，

S“=na,

，數列｛$“｝為S]=a,S?=2。,…，SH=na,

??數列為首項為。公差為。的等差數列，

??數列⑻的前〃項和7＞心誓=絲產.

【小問2詳解】

S3,59,S（,成等差數列，

?"S3+Sq=2SQ9

當q=1時,S3+4=9q,2S9=184,不符題意舍去，

當gwl時，《0-0+41-力=2.4°一力.

\-q\-q\-q

]-q3+]_g6=2.（]_49）wq3+g6=2g9,

3-1）（2d+1）=0,.“'I（舍）或q'=_；即g==_g

存在互不相同的正整數，使得%,%,%成等差數列,

1I1/?y?

1--=-a,2%=2%?=2%?一=-^>

I，/2]12/2

/.ax+aA=2a7.

【小問3詳解】

由題意列出5，S2,...?SS&T，&,S“S?+2,…，S〃（〃24）在刪去&以后，按原來的順序所得到的數列是等差

數列,

\[5-If-至>—1

q=------或--------

=

S?-2+\+i25卜]%+見+1=。1日門夕+夕=122

則，即彳1，解得:方程組無解.

Sj+Sg=2S*|%+4+1=%+2q+T=q-V5+l_l-x/5

右M或丁

即符合條件的q不存在，所有數對（〃國）所構成的集合為。.

PM=2PC（O<A<1）?根據8M_LPC可得出加/.戶Z=（），求出4的值，利用空間向量法可求得直線AP與8M

所成角的余弦值.

【題目詳解】（1）為47）的中點，且AD=23C,則。。=8C,

又因為BC//AD,則8C//。。，故四邊形8C。。為平行四邊形，

因為4。。=90,故四邊形BC。。為矩形，所以8Q_LA。，

???平面?AD_L平面ABCD,平面P