安徽卓越縣中聯盟皖豫名校聯盟學年高一（下）期中檢測數學考生注意：答題卡上的指定位置.橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.函數的最小正周期為（）A.B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】由正弦型函數的周期公式計算即得.【詳解】函數的最小正周期為.故選：D.2.的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式可得答案.【詳解】.第1頁/共16頁故選：A.3.為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象（）A.向右平移個單位長度B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度D.向左平移個單位長度【答案】C【解析】【分析】由三角函數的平移變化即可得出的答案.【詳解】所以把函數的圖象向右平移個單位長度可得：，故選：C.4.已知平面向量，，滿足，，且，則與的夾角為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據，兩邊平方，由向量數量積運算得，再由夾角公式求解.【詳解】因為，所以，即，得，設與的夾角為θ，則，因為，所以.故選：C5.若，則（）第2頁/共16頁A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知式兩邊平方，可得，將所求式進行配方后，代入結論計算即得.，則.故選：B.6.中，，，，的長為（）A1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】在中，由余弦定理得，在中，由正弦定理得.【詳解】在中，由余弦定理得：，所以在中，由正弦定理得，所以第3頁/共16頁故選：B7.已知函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據余弦函數的單調遞減區間，利用整體代換的方法求解即可.【詳解】因為，，所以，又因為函數在區間上單調遞減，所以，,即，故當時，.故選：A8.已知，，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根據同角三角函數關系得出，再結合切化弦計算兩角和余弦值即可.【詳解】因為，所以，且，所以，，又因為，所以，則.第4頁/共16頁故選：C.36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】由三角形的誘導公式對選項一一化簡即可得出答案.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選：BD.10.已知向量，，則下列說法正確的是（）A.B.C.若與的夾角為銳角，則的取值范圍為D.與夾角的余弦值為第5頁/共16頁【答案】ABD【解析】AB向量共線計算判斷C；利用向量坐標求模公式及求向量夾角公式即可判斷選項D.【詳解】對于A，，則，故A正確；對于B，因為所以故B正確；對于C，，若與的夾角為銳角，則得且與，解得：且則的取值范圍為：，故C錯誤；對于D，，，，所以與夾角的余弦值為：，故D正確.故選：ABD.已知函數，則（）A.B.直線是曲線的一條對稱軸C.在區間上單調遞增D.存在，使得成立【答案】AC第6頁/共16頁【解析】【分析】先利用三角恒等變換化簡函數成余弦型函數，再根據選項內容逐一判斷即可.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，當時故B錯誤；對于C，當時，因在上單調遞增，則在上單調遞增，故C正確；對于D，若則是函數的一個周期，因的最小正周期為π，所以即顯然不存在整數，使得，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.函數的最大值為_____.【答案】【解析】【分析】利用和角公式展開，再用輔助角公式將其化成正弦型函數即可求得最大值.詳解】由，可得.故答案為：.13.已知，是兩個互相垂直的單位向量，向量滿足，，則對于任意的實數，第7頁/共16頁的最小值是_____.【答案】【解析】【分析】先建立平面直角坐標系，根據已知條件得出向量、、的坐標，再求出的坐標，最后根據向量模的計算公式求出的表達式，進而求出其最小值.【詳解】因為，是兩個互相垂直的單位向量，所以可建立平面直角坐標系，不妨設，.設，已知，，可得：，，所以..根據向量模的計算公式：可得：因為，所以，則，當且僅當時取等號.故答案為：.14.已知點為的重心，分別為邊，上一點，為，，三點共線，且，則的最大值為_____.【答案】##0.5625【解析】【分析】利用三角形重心性質和共線向量基本定理推得，與已知式比較，得到，再運用基本不等式求解即得.【詳解】因為點為的重心，所以.因為三點共線，所以存在使得，第8頁/共16頁則，又則得即.由圖可知因當且僅當時等號成立，故的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，且.（1）求；（2）若，且，求.【答案】（1）（2）【解析】1，得到關于的一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）先由二倍角的正切公式求出，再由兩角和的正切公式計算，結合角的范圍即可得出答案.【小問1詳解】已知，且，所以，解得：或，第9頁/共16頁因為，所以.【小問2詳解】因為，所以，又因為，所以.因為，，，所以，所以.16.已知函數的最大值為2，最小值為0，且其圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.（1）求的解析式；（2）若函數在區間內有兩個零點，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】1）根據函數的最大值和最小值求出，根據相鄰兩條對稱軸間的距離求出，得出解析式；（2）由第（1）問求解出的函數解析式，根據題中給的區間范圍，先求解出滿足的范圍，然后根據已知條件列出不等關系，求解即可.第10頁/共16頁【小問1詳解】由已知得,解得.由相鄰兩條對稱軸間的距離為可知周期,于是，故函數解析式為小問2詳解】當時，，函數在區間內有兩個零點，則在區間上有兩個根，，則，所以.17.在直角坐標系中，已知點，，，點滿足，，（1）求；（2）求在上的投影向量的坐標.【答案】（1）（2）【解析】1）將向量坐標代入已知式，求解方程組即得；（2）分別求出與的坐標，代入投影向量計算公式即可.【小問1詳解】由，，可得，即，則有，解得，第11頁/共16頁故【小問2詳解】由（1）可得，因，則，，于是在上的投影向量為，則在上的投影向量的坐標為，即.18.在中，內角所對的邊分別為，已知.（1）求；（2）若，，的平分線交于點，求線段的長；（3）若是銳角三角形，且，求面積取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】1圍即可求得角；（2）由三角形面積公式和等面積建立方程，求解即得；（3）方法一：作于點，過點作，由題可得點在之間，根據圖形得，推得，即可代入三角形面積公式求得其范圍；方法二：由正弦定理可得利用正切函數的單調性求得范圍【小問1詳解】第12頁/共16頁即因，則，故，解得.【小問2詳解】由（1）已得由為的平分線，可得設，由可得，即解得，即.【小問3詳解】方法一：如圖，作于點，過點作，交直線于點，當點在之間時，為銳角三角形∴，即，因，則得，的面積的取值范圍為.方法二：由正弦定理，可得第13頁/共16頁∵均為銳角解得故可得故又，的面積的取值范圍為19.已知為坐標原點，對于函數，稱向量為的相伴向量，同時稱為向量的相伴函數.（1）記的相伴函數為，當時，若，求的值；（2）已知動點滿足，且的相伴函數在時取得最大值，求的最小值；（3為函數中，，為的外心，求的最大值.【答案】（1）（2）（3）6【解析】【分析】（1）由“相伴函數”定義和題設求得，利用同角的三角函數關系式求得，再利用拆角變換與差角公式計算即可；（2）將函數化成，由題意推得，化簡第14頁/共16頁可得，由代入化簡得，利用雙勾函數的單調性即得；（3）由題意先求出，作于點，利用三角形的外心性質與向量數量積的幾何意義化簡得，代入所求式，利用正弦定理將其化成，借助于三角函數的性質即得.【小問1詳解】依題意，，由，可得，因，則