第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市海淀區育英學校高二（下）期中數學試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.過點P(2,2)且與直線x+2y+1=0平行的直線的方程為(

)A.2x+y?6=0 B.2x+y+6=0 C.x+2y?6=0 D.x+2y+6=02.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3=30，A.54 B.63 C.72 D.1353.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是(

)A.若m?α，n?β，α//β，則m//nB.若m//n，n?α，則m//α

C.若α⊥β，m⊥β，n⊥m，則n⊥αD.若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β4.已知函數f(x)=x+cosx，則下列選項正確的是(

)A.f(2)<f(π)<f(e) B.f(π)<f(e)<f(2)

C.f(e)<f(2)<f(π) D.f(2)<f(e)<f(π)5.已知直線l：kx?y+1?k=0和圓C：x2+y2?4x=0，則直線l與圓A.相交 B.相切 C.相離 D.不能確定6.設f(x)在x=x0處可導，且Δx→0limf(x0A.6 B.?2 C.?18 D.27.已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，點M(x0,y0)A.x0∈(0,2) B.y0∈(0,2) C.8.已知等比數列{an}單調遞減，各項均為正數，前n項的乘積記為Tn，則“a3a13≥A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件9.如圖所示，已知直線y=kx與曲線y=f(x)相切于兩點，函數g(x)=kx+m(m>0)，則對函數F(x)=g(x)?f(x)描述正確的是(

)A.有極小值點，沒有極大值點

B.有極大值點，沒有極小值點

C.至少有兩個極小值點和一個極大值點

D.至少有一個極小值點和兩個極大值點10.已知函數f(x)=|x?1|ex與直線y=1交于A(x1,y1)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。11.已知f(x)=sin(2x+π3)，則12.已知a1，a2，a3是公比不為1的等比數列，將a1，a2，a3調整順序后可構成一個等差數列，則滿足條件的一組a113.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左焦點為F，點F14.數列{an}中，若存在ak，使得“ak≥ak?1且ak≥ak+1”成立，(k≥2,k∈N?)，則稱ak為15.已知數列{an}滿足a1=1，an+1=an?12an2，給出下列四個結論：

①數列{an}的前n項和Sn<2；

②數列{an}的每一項a三、解答題：本題共4小題，共40分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題10分)

已知函數f(x)=x3?3x2?9x+1(x∈R)．

(1)求函數f(x)的單調區間和極值．

(2)若2a?1≤f(x)17.(本小題8分)

如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F分別為棱BC，CD的中點．

(1)求證：D1F//平面A18.(本小題10分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距和長半軸長都為2。過橢圓C的右焦點F作斜率為k(k≠0)(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)設點A是橢圓C的左頂點，直線AP，AQ分別與直線x=4相交于點M，N。求證：以MN為直徑的圓恒過點F。19.(本小題12分)

已知函數f(x)=alnx?x?1x+1(a∈R)．

(Ⅰ)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)若a≥12，求證：當x≥1時，f(x)≥0；

(Ⅲ)若函數f(x)有3個不同的零點，求參考答案1.C

2.B

3.D

4.D

5.A

6.B

7.C

8.B

9.C

10.B

11.?12.1，?2，4(答案不唯一)

13.y=±114.10

(?∞,115.②③

16.解：(1)因為f(x)=x3?3x2?9x+1(x∈R)，

則f′(x)=3x2?6x?9=3(x+1)(x?3)x(?∞,?1)?1(?1,3)3(3,+∞)f′(x)+0?0+f(x)增極大值減極小值增所以，函數f(x)的增區間為(?∞,?1)、(3,+∞)，減區間為(?1,3)，

函數f(x)的極大值為f(?1)=?1?3+9+1=6，極小值為f(3)=27?27?27+1=?26．

(2)由(1)可知，函數f(x)在區間[?2,?1]上單調遞增，在[?1,3]上單調遞減，在[3,4]上單調遞增，

且f(?2)=?8?12+18+1=?1，故當x∈[?2,4]時，f(x)min=min{f(?2),f(3)}=f(3)=?26，

因為2a?1≤f(x)，對?x∈[?2,4]恒成立，則2a?1≤f(x)min=?26，解得a≤?25217.證明：(1)以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

D1(0,2,2),F(1,2,0),D1F=(1,0,?2)，

A1(0,0,2),E(2,1,0),C1(2,2,2),A1E=(2,1,?2),EC1=(0,1,2)，

設平面A1EC1的法向量為n=(x,y,z)，

則n?A1E=2x+y?2z=0n?EC118.解：(Ⅰ)由焦距和長半軸長都為2，可得c=1，a=2，b=a2?c2=3，

則橢圓方程為x24+y23=1；

(Ⅱ)證明：F(1,0)，A(?2,0)，直線l的方程為y=k(x?1)，

聯立橢圓方程可得(3+4k2)x2?8k2x+4k2?12=0，

直線l過橢圓的焦點，顯然直線l與橢圓相交．設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

則x1+19.解：(Ⅰ)當a=1時，f(x)=lnx?x?1x+1，所以f′(x)=1x?2(x+1)2，

所以f(1)=0，f′(1)=12，

所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=12(x?1)，即x?2y?1=0；

(Ⅱ)證明：因為f(x)=alnx?x?1x+1(a∈R)，

所以f′(x)=ax?2(x+1)2=ax2+(2a?2)x+ax(x+1)2，x≥1，

設函數?(x)=ax2+(2a?2)x+a，

當a≥12時，因為Δ=(2a?2)2?4a2=?8a+4=4(1?2a)≤0，

所以?(x)≥0對任意的x≥1恒成立，即f(x)≥0，

所以函數f(x)在區間[1,+∞)上單調遞增，

所以f(x)≥f(1)=0，

所以當a≥12且x≥1時，f(x)≥0；

(Ⅲ)因為f′(x)=ax?2(x+1)2=a(x+1)2?2xx(x