題組層級快練（四十一）

1.《論語?子路》篇中說：“名不正，則言不順；言不順，則事不成；事不成，則禮樂不興;

禮樂不興，則刑罰不中；刑罰不中，則民無所措手足.所以，名不正，則民無所措手足.”

上述推理用的是（）

A.類比推理B.歸納推理

C.演繹推理D.一次三段論

答案C

解析演繹推理是從一般性的前提出發，通過推理論證.得到具體陳述或個別結論的過程，

演繹推理可以幫助我們發現結論，題目中所給的這種推理符合演繹推理的形式，且不是一次

三段論.故選C.

2.某種樹的分枝的生長規律如圖所示，第1年到第5年的分枝數分別為I,1,2,3,5,

則預計第10年樹的分枝數為（）

第1年第2年第3年第4年第5年

A.21B.34

C.52D.55

答案D

解析因為2=1+1,3=2+1.5=3+2,即從第三項起每一項都等于前兩項的和，所以第

10年樹的分枝數為21+34=55.

3.定義一種運算…：對于自然數〃滿足以下運算性質：①1*1=1,②+

則〃*1等于（）

A.nB.zt+I

C.n—1D.n2

答案A

解析由二+1,得，產1=（〃-1）*1+1=（〃一2）*1+2=…=1*1XV1*1

=1,.\n*l=n.

4.（2022?邯鄲一中月考）兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個靠窗，已知

火車上的座位如圖所示，則下列座位號碼符合要求的應當是（）

12315

■

窗6?過8910窗

n1112道131415口

???????????????

A.48,49B.62,63

C.75,76D.84,85

答案D

解析由圖中座位的排序規律可知，能被5除余1和被5整除的座位號靠窗，由于兩旅客希

望座位連在一起，且有一個靠窗，分析答案中的4組座位號知，只有D符合條件.

5.(2022?寶雞市一模)觀察下列各式：

a+b=l,

4+〃=3,

東+護=4,

a4+b4=7,

a5+b5=\\,

則/+〃=()

A.47B.76

C.121D.123

答案A

解析由a+b=l,”2+加=3,〃+〃=%/+〃=7,/+分=u,可知從第三個式子開始

后一個式子的計算結果等于前兩個式子的計算結果的和，所以小+加=7+11=18,3+投

=11+18=29,則理+加=18+29=47.故選A.

6.(2022?瀘州市質檢一)我國古代數學名著《九章算術》中，割圓術有：“割之彌細，所失

彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無所失矣.”其體現的是?種無限與有限

的轉化過程，如在、2+@+小+…中,“…”即代表無限次重復，但原式卻是個定值x,

這可以通過方程/G=x確定x的值，類似地寸3+動+2于+…的值為()

A.3B.用

C.6D.班

答案A

解析令73+他+2而+…=,

則兩邊平方得3+2^3+2\/3+???=〃?+

即3+2機=/〃2,解得機=3,相=—1(舍去).故選A.

7.(2022?天一大聯考)2022年某市網絡春節晚會節目的協調會上，幾位導演對甲、乙、丙、

丁、戊、己6個節目是否上春晚猶豫不決，經觀眾打分，導演們對這6個節目形成以下共識：

①甲不上；②乙、丙兩個要么都上，要么都不上；③如果丁上，則戊不上；④甲、乙、戊至

少有I個上；⑤如果甲不上，則丁一定要上；⑥丙、己只有1個上.據此，可以推出()

A.甲、乙、丙上春晚B.乙、丙、丁上春晚

C.丙、丁、己上春晚D.丁、戊、己上春晚

答案B

解析由①⑤知甲不上，則丁一定上，由③知戊不上，由④知乙上，由②知丙上，由⑥知己

不上，所以乙、丙、丁上春晚.故選B.

8.(2022?廣州市綜合測試〕某中學甲，乙，丙，丁四名學生去A,B,C,D四個社區開展“厲

行節約，反對餐飲浪費”宣傳活動，每名學生只去一個社區，每個社區一名學生.甲說：我

不去A社區：乙說：我不去A社區也不去D社區：丙說：我不去B社區.若甲，乙，丙二

人中只有甲和乙說了真話，則去D社區的是()

A.甲B.乙

C.丙D.T

答案A

9.分析法又稱執果索因法，若用分析法證明：“設心〃“，且〃+力+c=0,求證：yjbi-ac

〈小a”，“索”的“因"應是()

A.a-b>0B.a-c>0

C.(a—b)(a—c)>()D.(a—b)(a—c)<0

答案C

解析ylb2—ac<y[3a<:>b2—ac<3cr<=>(?+c)2—ac<3a2<=>?2+lac-\~(r—ac—342Vo0-2a1+ac

+c2<0<:>2A2—tzc—c2>0?—c)(2〃+c)>0o(a—c)(a—Z?)>0.

10.若P=g+后而，而+亞G,則RQ的大小關系是()

A.P>QB.P=Q

C.P<QD.由。的取值確定

答案C

解析要比較P,Q的大小關系，只需比較嚴，Qz的大小關系，即比較2。+7+2<。(。+7)

與2a+7+24(a+3)(a+4)的大小，

只需比較(〃+7)與?(a+3)(a+4)的大小,

即比較標+7〃與〃+7a+12的大小，

V0<12,:.P<Q.

11.（2022?貴州省三■模）楊輝三角，又稱帕斯卡三角形，是二項式系數在三角形中的一種幾何

排列.在我國南宋數學家場輝所著的《詳解九章算法》（1261年）一書中用如圖所示的三角形

解釋二項式乘方展開式的系數規律.現把楊輝三角中的數從上到下，從左到右依次排列，得

數列：1,1,1,1,2,1,1,3,:3,1,1,4,6,4,1,…，記作數列{“〃},若數歹］{〃“}

的前〃項和為S”則S47=（）

G

A.265B.521

C.1034D.2059

答案B

解析根據題意楊輝三角前9行共有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（項），故前47項的和

為楊輝三角前9行的和再加第10行的前兩個數1和9,所以前47項的和547=2。+21+?+…

+28+I+9=29—1+]+9=52].故選B.

12.顧客請一位工藝師把A,8兩件玉石原料各制成一件工藝品.工藝師帶一位徒弟完成這

項任務.每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工藝師進行精加工完成制作，兩件工藝品都完

成后交給顧客.兩件原料每道工序所需時間（單位：天汝J下:

、工序

粗加工精加工

原料

原料A915

原料B621

則最短交貨期為.天.

答案42

解析最短交貨期為先由徒弟完成原料8的粗加工，需6天，然后工藝師加工該件工藝品,

需21天；徒弟可在這幾天中完成原料A的粗加工；最后由工藝師完成原料A的精加工，需

15天.故最短交貨期為6+21+15=42（天）.

13.（1）設x是正實數,求證：

(2)若x￡R,不等式(.丫+1娓+1)(/+1)28人3是否仍然成立？如果成立，請給出證明；如果

不成立，請舉出一個使它不成立的x的值.

答案(1)證明見解析⑵成立，證明見解析

解析(1)證明：x是正實數，由均值不等式，得

X+1225,爐+1必，9+122迎

故(x+1)(f+1)(3+1)22也,?2d7=8爐(當且僅當、=1時等號成立).

⑵若rGR.不等式(x+l)(/+l)(口+1)2X3仍然成立.

證明：由(1)知，當Q0時，不等式成立；

當xWO時，8/WO,

而(x+1)(/+1)(9+1)=0+1)2(3+1)(/_.1+1)=。+1/(/+1)(x—￡)+(NO,

此時不等式仍然成立.

14.設。＞0,〃＞0,求證：lg(l+，^)wBug(l+4)+lg(l+h)].

答案證明見解析

證明要證lg(1+y[ab)lg(1+?)4-lg(1+/?)1,

只需證1(1+a)~(1+力),

即證(1+W^)2W(1+4)(1+〃)，

即證2\/mWa+b,

而。＞0,Z?＞0,故2，茄Wa+Z?成立，

所以lg(l+，7)wg[lg(l+a)+lg(l+/?)]成立.

15.已知等差數列｛m｝的前〃項和為S”，T=5,S8=64.

⑴求數列｛m｝的通項公式：

1]2

(2)求證：~一+~—＞不(〃22,〃￡N').

3〃-13〃+1

答案(1)m=2〃-1(2)證明見解析

解析(1)設等差數列｛“”｝為公差為乩

43=。|+2-=5,

則,

'|S8=8m+28d=64,

=1,

解得

la—2.

故所求的通項公式為a?=2n-\.

(2)證明：由(1)可知S“=#,

要證原不等式成立,只需證（〃-I）2+（〃+1）2,薩

只需證［（〃+1）2+5—1）2“>2（〃2—1）2.

只需證（層+1）〃2>（〃2-1）2.

即證3，戶>1.

而3n2>\在時恒成立，

從而不等式「+｝冬（〃22,〃￡N*）恒成立.

MH-13〃十1

圄|重點班-選做題

16.（2021?河北“五個一名校聯盟"二診）甲、乙、丙、丁四人過橋，一次最多能過兩人人，

四人只有一把手電（在橋上行走時需攜帶且打亮），手電照明時間僅能維持二十分鐘，每個人

單獨過橋所需的時間分別為1分鐘、2分鐘、5分鐘、10分鐘，則四人全部過橋的最短時間

為（若兩人同時過橋，必須相伴同行）（）

A.16分鐘B.17分鐘

C.18分鐘D.19分鐘

答案B

17.（2022?湖南師大附中月考）箱子里有16張撲克牌：紅桃A,Q,4,黑桃J,8,7,4,3,

2,草花K,Q,6,5,4,方塊A,5.老師從這16張牌中挑出一張牌來，并把這張牌的點數

告訴了學生甲，把這張牌的花色告訴了學生乙，這時，老師問學生甲和學生乙：“你僅能從

已知的點數或花色中推知這張牌是什么牌嗎？”于是，老師聽到了如下的對話，學生甲：我

不知道這張牌：學生乙：我知道你不知道這張牌：學生甲：現在我知道這張牌了：學生乙：

我也知道了.則這張牌是（）

A.草花5B.紅桃Q

C.紅桃4D.方塊5

答案D

解析本題考查簡單的合情推理.因為學生甲只知道點數而不知道花色，學生甲第一句說明

這個點數在四種花色中有重復，表明點數為A,Q,5,4其中一種；而學生乙知道花色，還

知道學生甲不知道，說明這種花色的所有點數在其他花色中也有，所以學生乙笫一句表明花

色為紅桃或方塊，學生甲第二句表明點數不是A,學生乙第二句表明只能是方塊5.故選D.

18.若正偶數由小到大依次排列構成一個數列，則稱該數列為“正偶數列”，且“正偶數列”

有一個有趣的現象：

①2+4=6；

②8+10+12=14+16；

③18+20+22+24=26+28+30：

按照這樣的規律，則2020所在等式的序號為（）

A.29B.30

C.31D.32

答案C

解析由題意知，每個等式中正偶數的個數組成等差數列3,5,7,2〃+1,其前〃項

和5”=況3+（:〃+1）］=〃（〃+2）,所以531=1023,則第31個等式中最后一個偶數是1

023X2=2046,且第31個等式中含有2X31+1=63個偶數，故2020在第31個等式中.

題組層級快練（四十二）

1.以下關于幾何體的三視圖的論述中，正確的是（）

A.正方體的三視圖是三個全等的正方形

B.球的三視圖是三個全等的圓

C.水平放置的正四面體的三視圖都是正三角形

D.水平放置的圓臺的俯視圖是一個圓

答案B

解析畫幾何體的三視圖要考慮視角，但對于球無論選擇怎樣的視角，其三視圖總是三個全

等的圓.

2.如圖為一個幾何體的三視圖，則該幾何體是（）

正視圖側視圖

俯視圖

A.四棱柱B.三棱柱

C.長方體D.三棱錐

答案B

解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示，即為一個平放的三棱柱.

3.（2021?吉林公主嶺期末）如圖所示的直觀圖中，O,A'=0'B'=2,則原平面圖形的面積

為（）

A.4B.4A/2

C.2y[2D.8

答案A

解析由斜二測畫法可知原因為兩條直角邊長分別為2和4的直角三角形，如圖所示，所以

其面積S=：X2X4=4.故選A.

4.水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖

是一個正方體的表面展開圖，若圖中“努”在正方體的后面，那么這個正方體的前面是

()

A.定

C.收

答案B

解析根據正方體的平面展開圖，可得其直觀圖如圖，其中面“努”與面“有”相對，所以

若圖中“努”在正方體的后面，則這個正方體的前面是“有”.

5.（2018?課標全國I）某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點"在

正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點N在側視圖上的對應點為8,則在此圓柱側面1：,

從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）

A.2^/17B.2^5

C.3D.2

答案B

解析由題意畫出該圓柱的側面展開圖及點M,N的位置，如圖所示，連接MN,則MS=2,

SN=4,則從M到N的路徑中，最短路徑的長度為麗而=，西不=2小.故選B.

Mrr

SN

6.如圖是一個棱錐的正視圖和側視圖，它們為全等的等腰直角三角形，則該棱錐的俯視圖

不可能是（）

正視圖俯視圖

答案C

解析若棱錐為三棱錐，由其正視圖和側視圖可知，其氏面為直角三角形，A、B是可能的;

若棱錐為四棱錐，其底面為正方形，C對角線位置錯誤，D是可能的.故選C.

7.（2022?湖南郴州模擬）-只螞蟻從正方體A8CO-A山Ci。的頂點A出發，經正方體的表

面，按最短路線爬行到頂點G的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線

的正視圖的是（

A.①②

C.①③D.??

答案D

解析由點4經正方體的表面，按最短路線爬行到達頂點G的位置，共有6種路線（對應6

種不同的展開方式），若把平面和平面8CG囪展開到同一個平面內，連接AC,則

AG是最短路線，且4G會經過的中點，此時對應的正視圖為②；若把平面48C。和平

面CDOG展開到同一個平面內，連接AG,則AG是最短路線，且4G會經過。及的中點，

此時對應的正視圖為④.而其他幾種展開方式對應的正視圖在題中沒有出現.故選D.

8.（高考真題?天津卷）將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的

正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側視圖為（）

正覘圖

BI)

答案B

解析由正視圖、俯視圖得原幾何體的形狀如圖所示，則該幾何體的側視圖為氏

9.如圖為一圓柱切削后的幾何體及其正視圖，則相應的側視圖可以是（）

幾何體正視圖

答案B

解析由題意，根據切削后的幾何體及其正視圖，可得相應的側視圖的切口為橢圓.故選

B.

10.（2022?江西臨川一中模擬）如圖,在長方體ABCD—AiBiGDi中,AA,=AB=2,BC=3,

點P在線段BiDi上，礪的方向為正（主）視方向,當AP最短時,棱錐P-AAxB\B的側（左）

視圖為（）

答案B

解析在△A4iP中，AP=V4AJ+A1P2,當4P最短，即AiPJ_8Qi時，AP最短.在△BAG

中，易得修。=巫，4P=今限，自尸=嚕3,尸9=喑3,因為BIPVPDI,所以B中

的圖符合題意.故選B.

11.如圖，圓柱的底面半徑為I,平面A8CO為圓柱的軸截面，從A點開始，沿著圓柱的側

面拉一條繩子到。點，若繩子的最短長度為3元,則該圓柱的側面積為（）

C.572n2D.4n2

答案A

解析沿AO將圓柱的側面展開，繩子的最短長度即側面展開圖中A,。兩點間的距離，連

接AC,則AC=3%展開后48的長度為兀.設圓柱的高為小則4C2=A4+/落即9n2=

n2+/i2,得人=26兀，所以圓柱的側面積為2Xn義1義2理Ji=4出"2.

12.（2022?甘肅省白銀市二中）如圖是各棱長均為2的正三棱柱ABC—Ai8G的直觀圖，則此

三楂柱側視圖的面積為.

答案25

解析依題意，得此三棱柱的側視圖是邊長分別為2,小的矩形CGQ。，如圖，故其面積

是25.

13.（2022.江蘇張家港一模）若將一個圓錐側面沿一條母線剪開，其展開圖是半徑為2cm的

半圓，則該圓錐的高為cm.

答案小

解析設圓錐的底面圓半徑為〃貝U2ur=2n,解得r=lcm,.\h=yj2^—\=y[3（cm）.

14.（2022.河北保定模擬課幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的上方為；下方

3正視圖^側視圖

俯視圖

答案四分之一圓錐圓柱

講評已知三視圖，判斷幾何體的技巧：①一般情況下，根據正視圖、俯視圖確定是柱體、

錐體還是組合體.②根據熔視圖確定是否為旋轉體，確定柱體、錐體類型，確定幾何體擺放

位置.③綜合三視圖特別是在俯視圖的基礎上想象判斷幾何體.④一定要熟記常見幾何體的

三視圖.

圄|重點班-選做題

15.如圖所示的多面體的底面44CO為矩形，其正視圖和側視圖如圖所示，其中

正視圖為等腰梯形，側視圖為等腰三角形，則AM的長為________.

a

二

二

△I

h---------4----------h-2-H

正（主）視圖f則（左）覘圖

答案76

解析如圖所示，設E,尸分別為40,BC的中點，連接ME,EF,FN,過點M作MOLEF

于點0,則四邊形MNFE為等腰梯形，根據正視圖,得MN=2,AB=4,由側視圖可得A。

=2,MO=2,則E0=1,則ME=yjEO2+MO2=y[5.t￡AAME中,AE=1,故

=水.

MN

JU

16.（高考其題?課標全國I）如圖，網格紙上小正方形的邊長為I,粗實線畫出的是某多面體

的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）

A.6V2

C.6

答案C

解析如圖，設輔助正方體的棱長為4,三視圖對應的多面體為三棱錐A-BC。，最長的棱

為AD=7（46）2+22=6.故選C.

17.（2022?上海徐匯中學模擬）用一個半徑為10cm的半圓紙片卷成一個最大的無底圓隹,放

在水平桌面上，被一陣風吹倒，如圖所示，則被吹倒后該無底圓錐的最高點到桌面的距離為

答案5小cm

解析設圓錐的底面半徑為「，母線長為/.

根據題意知/=10cm,且2丸r=n/,故r=5cm.

所以圓錐的軸截面為等邊三角形，且邊長為10cm.

故被吹倒后該無底圓錐的最高點到桌面的距離為邊長為10cm的等邊三角形的高，此高為

5小cm.

題組層級快練（四十三）

1.（2021?新高考I卷）已知圓錐的底面半徑為應，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母

線長為（）

A.2B.272

C.4D.4正

答案B

解析設圓錐的母線長為/,因為該圓錐的底面半徑為小，所以2nx誨=IT/,解得/=2也.

故選B.

2.軸截面為正方形的圓柱的側面積與表面積的比是（）

A.1：2B.2：3

C.1：3D.1：4

答案B

解析設正方形邊長為1,則Sm=2nX^X1=Ji,5?=S例十2S庇=八十2n*（￡）=?n-

所以S,：5衣=2：3.

3.若圓錐的高等于底面圓的半徑，則它的底面積與側面積之比是（

A.1：2B.1：小

C.1：A/2D.g：小

答案C

4.如圖所示，已知三棱柱A8C—A向G的所有棱長均為1,且A4_L底面A8C,則三棱錐S

一ABG的體積為（）

A近B亞

B.4

c逅

D亞

4

答案A

解析易知三棱錐用一ABG的體積等于三棱錐A—8山G的體積，又三棱錐4一8山G的高

為坐，底面積為］，故其體積為：xJ><W=雪.

5.（2022??準北市模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）

俯視圖

A.8+2審B.11+2^2

C.14+2表D.15

答案B

解析由題中三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形、高為2的直四棱柱，所以S行.=

S值面枳+2S下底面稅=（1+1+2+也）X2+2X：X（1+2）X|=11+2位.故選B.

6.（2022?定西模擬）一個幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為（）

正（主）視圖惻佐）視圖

D.j

答案D

解析由已知中的三視圖可得，該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，其底面面積S=

131I

1X（1+2）X1=],高〃=1,故體積V=]S/i=],故選D.

7.某糧倉（糧倉的底部位于地面上）是由圓柱和圓錐構成的.若圓柱的高是圓錐高的2倍，

且圓錐的母線長是4,側面積是4",則制作這樣一個糧倉的用料面積為（）

A.（Vl5+4）JTB.（2VI5+4）Ji

C.（3班+4）JiD.（4VT5+4）JT

答案D

解析本題考查圓柱與圓錐的組合體的表面積,設圓錐的底面半徑為八高為九則4"「=4

n,解得「=1,所以圓柱的側面積為2冗r?24=2nX24T5=WF31，

所以制作這樣一個糧倉的用料面積為（4仃+4）五.故選D.

8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該兒何體的體積為（）

-2-

側視圖

俯視圖

答案B

解析V五檢核=Sxt?高=正視圖面積X側視圖寬=（4-3）X2=7.故選B.

9.（2022?遼寧大連雙基測試）一件剛出土的珍貴文物要在博物館大廳中央展出，需要設計各

面是玻璃平面的無底正四棱柱將其罩住，罩內充滿保護又物的無色氣體.已知文物近似于塔

形，高1.8米，體積為0.5立方米，其底部是直徑為0.9米的圓（如圖），要求文物底部與玻璃

罩底邊間隔0.3米，文物頂部與玻璃罩上底面間隔0.2米，氣體每立方米1000元，貝!氣體

費用為（）

A.4500元B.4000元

C.2880元D.2380元

答案B

解析由題知，文物底部是直徑為0.9米的圓，文物底部與玻璃罩底邊間隔0.3米，貝!由正

方體與圓的位置關系可知，底面正方形的邊長為0.9+2：＜0.3=1.5（米）.文物高1.8米，文物

頂部與玻璃罩上底面間隔（）.2米，所以正四棱柱的高為1.8+0.2=2（米）.則正四棱柱的體積

V=1.52X2=4.5（立方米）.因為文物體積為0.5立方米，所以罩內空氣的體積為4.5-0.5=

4（立方米），又氣體每立方米1000元，所以氣體費用為4X1000=4000（元），故選B.

10.（2022武漢調研）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

11T

側視圖

1

Jo.2

C亞Dt

答案D

解析由三視圖知，該幾何體是在長、寬、高分別為2,I,1的長方體中，截去一個三棱柱

和一個三棱錐C-BGO后剩下的幾何體，即如圖所示的四棱錐。一

四棱錐D—ABGDi的底面積為5四邊形AB”=2X&=2?高力=坐，其體積V=js

四邊形ABGDih=；X2小X

11.（2022?廣州市高三階段測試）陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一.如圖，網格紙上小正

方形的邊長為1,粗線畫出的是某個陀螺的三視圖，則該陀螺的表面積為（）

A.(7+2^2)31B.(10+2^2)JT

C.(104-4^/2)nD.(11+4^2)JI

答案C

解析由三視圖知，該陀螺是一個圓錐與一個圓柱的組合體，其中圓錐的底面半徑為2、高

為2,圓柱的底面半徑為1、高為3,所以該陀螺的表面積為石I2x422+22+JT義22+2:H

X1X3=（10+46）n.故選C.

12.（2022?山東師大附中模擬）如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4,一只小蟲從

圓錐的底面圓上的點尸出發，繞圓錐爬行一周后回到點P處，若該小蟲爬行的最短路程為

44,則這個圓錐的體積為（）

V1532而兀

A：B:

1327

128小五8^3

C:D;

81,3

答案C

解析作出該圓錐的側面展開圖，如圖中陰影部分所示：該小蟲爬行的最短路徑為PP',

1

Qpl-^-Qp2—pp'21

?：OP=OP'=4,PP'=4<3,由余弦定理可得cosN產OP=——乂*.（6-----七一受,

.2JT

：.ZPfOP=—

設底面圓的半徑為r,圓錐的高為九則有2h=手X4,仁聲』=平，

???圓錐的體積3/?=空紅.

?301

13.一個圓臺上、下底面為半徑分別為3cm和8cm,若兩底面圓心的連線長為12cm,則

這個圓臺的母線長為cm.

答案13

解析如圖，過點4作AC_LOB,交05于點C在RtA48C中，AC=12cm,BC=S-3=

5(cm).

AB=yjl22+52=13(cm).

14.已知圓錐的表面積是底面積的3倍，那么這個圓錐的側面展開圖扇形的圓心角為

答案n

解析如圖，門內露例=n-r-SA,

-2n/,

..圓心角8=J=n.

15.如圖1是一個正三棱柱容器，底面邊長為小高為加，內裝水若干，將容器放倒，把一

個側面作為底面，如圖2,這時水面恰好為中截面，則圖1中容器內水面的高度是.

3

答案會

解析設題圖1中容器內液面的高度為/?,液體的體積為V,則V=S^ABch,題圖2中液體

組成了一個直四棱柱，其底面積為跟院:=7SZS4BC?高為2a,

沁

則V=^S^ABC,2a,仁

S-八noC

16.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為4cm,母線長最短5cm,最長8cm,

則斜截圓柱的體積V=cm\

答案26n

解析方法一（分割法）：將斜截圓柱分割成兩部分：下面是底面半徑為2cm,高為5cm的

圓柱，其體積用=nX22X5=20元（cn?）；上面是底面乂徑為2cm,高為8—5=3cm的圓

柱的一半，其體積JTX2?X3=6n（cnP）.

，該組合體的體積V=V|4-V2=20n4-6n=26n(cm3).

方法二（補形法）：在該幾何體上方再補上一個與其相同的幾何體，讓截面重合，則所得幾何

體為一個圓柱，該圓柱的底面半徑為2cm,高為8+5=13（cm）,該圓柱的體積匕=貝義2?

3

X13=52/（cn?）.，該幾何體的體積為圓柱體積的一半，gpV=^V1=26n（cm）.

重點班?選做題,

17.（2019?課標全國HI）學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.如圖，該模型為

長方體/WCQ—A由Ci。挖去四棱錐。一￡尸G”后得到的幾何體，其中。為長方體的中心,

E,F,G,"分別為所在棱的中點，A8=BC=6cm,44=4cm.3D打印所用原料密度為0.9

g/cn?.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為g.

JG

答案118.8

解析由題易得長方體ABC。一AIBCQI的體積為6X6X4=144（cm3）,四邊形EFGH為平

行四邊形，如圖所示，連接GE,HF,易知四邊形EFGH的面積為矩形8。。山|面積的一半,

即gx6X4=12（cm2）,所以V區梭伶。-EFG〃=；X3X12=12（cn】3）,所以該模型的體積為144—

12=132（cm）所以制作該模型所需原料的質量為132X0.9=118.8（g）.

專題層級快練（四十四）

I.已知直三棱柱ABC-A81G的6個頂點都在球O的球面上，若AB=3,AC=4,AB1AC,

44=12,則球O半徑為（）

A.空

B.2710

C方D.35

答案c

解析由球心O作平面4BC的垂線，由題可知垂足為BC的中點，設其為點M.又AM=^8C

=1,OM=^AA\=6,所以球O的半徑當=0"=也"+。必=1（3+62=號

2.（2022?鄭州市第三次質量檢測）古希臘數學家阿基米德在《論球和圓柱》中，運用窮竭法

證明了與球的面積和體積相關的公式.其中包括他最得意的發現一“圓柱容球”.設圓柱

的高為2,且圓柱以球的大圓（球大圓為過球心的平面和球面的交線）為底，以球的直徑為高，

則球的表面積與圓柱的體積的數值之比為（）

A.4：3B.3：2

C.2：1D.8：3

答案C

解析作軸截面如圖,

可知圓柱的底面半徑為1,高為2,球的半徑為1.

則球的表面積為5=4nXl2=4n.

圓柱的體積為V=nX12x2=2Ji.

??.球的表面積與圓柱的體積的數值之比為2:1.

3.（2022?唐山一中模擬）正三棱錐的高和底面邊長都等于6,則其外接球的表面積為（）

A.64nB.32n

C.16nD.8n

答案A

解析如圖，作PM_L平面/WC于點M,則球心。在PM上，PM=6,連接AM,AO,則

OP=OA=R（R為外接球半徑），在RlAOAM中，OM=6—R,OA=R,又4B=6,且AABC

為等邊三角形，故43=^62—32=25,則火2一（6-/?）2=（26）2,則R=4,所以外接球的

表面積S=4n肥=64JI.

4.（2022?山東荷澤市聯考）鱉喘（biEnM）是我國古代對四個面均為直角三角形的三棱錐的稱

呼.已知三棱錐A—BCO是一個鱉膈，其中AB_L8C,ABA.BD,BCLCD,且48=6,BC

=3,。。=2,則三棱錐人一BCO外接球的體積為（）

49n343n

A.-yB.2

答案D

解析本題考查三棱錐外接球的體積.由題意，三棱錐A-4CQ可放置在長方體中，如圖

所示.易得三棱錐A-BCD外接球的直徑為4D,且AD=^62+32+22=7,故三棱錐A-BC。

外接球的半徑R=&,所以三棱錐A—8CD外接球的體積V=|nX?=膽涔

D

5.（2021?全國甲卷，理）已知A,B,。是半徑為I的球。的球面上的三個點，H.AC1BC,

AC=BC=\,則三棱錐O—A8C的體積為（）

A正B或

a12DI2

C巫D亞

-44

答案A

解析如圖所示，因為ACJ_8C,所以44為截面圓O]的直徑，且連接OOi,則

OOi_L平面4/3C,（竽）2=yJ.（當）2=乎，所以三棱錐。一A/3C的體積

V="2S\ABCOQ=qX/X1X1

6.（2022?安徽合肥模擬）已知球的直徑SC=6,A,8是該球球面上的兩點，且A8=SA=SB

=3,則三棱鉞S—A4c的體積為（）

A呼B呼

C.平D羋

答案D

解析設該球球心為O,因為球的直徑SC=6,A,B是該球球面上的兩點，AB=SA=SB

=3,所以三棱錐S-O4“是棱長為3的正四面體，箕體積%""=[xJx3X邛乂#=乎,

隊歷隊歷

同理Vo-48C=4，故三棱錐S—48C的體積%78C=%-。八8十%-A8C=?.故選D.

7.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm,將一個球放在容器口，再

向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度，則球的體

積為（）

500n

A，3cm

1372Ji2048n

C.-----cm'D.-----cm5

答案A

解析設球心為O,半徑為Rcm,正方體上底面中心為A,上底面一邊的中點為以在Rt

4。00JT

△OA8中，OA=R-2,A8=4,OB=R,由/?2=(/?-2)2-|-42,得R=5,V球=1兀R3=：_^—

（cm3）.故選A.

8.（2022?江西宜春模擬）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為

A.36n

C.|JT

答案B

解析根據幾何體的三視圖，得該幾何體是底面為等腰直角三角形、高為2的三棱錐，如圖

所示.該三棱錐的外接球是對應直三棱柱的外接球.設外接球的半徑為凡???底面是等腰直

角三角形，，底面外接圓的半徑為1,，R2=I+I=2,.,.外接球的表面積是4冗收=83.故

選B.

9.在封閉的直三棱柱AAC-AiSG內有一個體積為丫的球.若"=6,BC=8,

A4i=3,則V的最大值是（）

A.4Ji

C.6n

答案B

解析易知AC=10.設底面△48C的內切圓的半徑為r,則<X6X8=lx（6+8+10”，所以

r=2,因為2r=4>3,所以當球與三棱柱的上、下底面相切時，體積最大，所以最大球的直

349丸

徑2R=3,則R=,此時球的體積JiA-』：一.故選B.

10.（2022?湖南衡陽八中月考）如圖，平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=\,BD=6,

BD1CD,將其沿對角線BO折成四面體A'AC。，使平面A'BOJL平面BCD若四面體4'

BCD的頂點在同一個球面上，則該球的表面積為（）

A.3n

C.4Ji

答案A

解析本題考查四面體外接球的表面積.