/大題02曲線運(yùn)動與萬有引力定律曲線運(yùn)動與萬有引力定律是高考物理的高頻模塊，在全國卷及新高考卷中占比約10%~15%，2025年高考對“曲線運(yùn)動與萬有引力定律”的考查將延續(xù)“重基礎(chǔ)、強(qiáng)應(yīng)用、拓創(chuàng)新”的風(fēng)格，突出物理模型構(gòu)建與實際問題轉(zhuǎn)化能力。備考需緊扣核心素養(yǎng)，強(qiáng)化天體運(yùn)動與曲線運(yùn)動的綜合分析，同時關(guān)注航天科技熱點與跨學(xué)科融合，做到“以模型破萬題，以思想馭變化”。題型1拋體運(yùn)動例1.（2024山東煙臺三模）跑酷，又稱自由奔跑，是一種結(jié)合了速度、力量和技巧的極限運(yùn)動。如圖甲所示的是一城墻的入城通道，通道寬度L＝6m，一跑酷愛好者從左墻根由靜止開始正對右墻加速運(yùn)動，加速到M點時斜向上躍起，到達(dá)右墻壁P點時，豎直方向的速度恰好為零，P點距離地面高h(yuǎn)＝0.8m，然后立即蹬右墻壁，使水平方向的速度變?yōu)榈却蠓聪?，并獲得一豎直方向速度，恰好能躍到左墻壁上的Q點，P點與Q點等高，飛躍過程中跑酷愛好者距地面的最大高度為H＝2.05m，重力加速度g取10m/s2，整個過程中跑酷愛好者的姿態(tài)可認(rèn)為保持不變，如圖乙所示，則：（1）跑酷愛好者助跑的距離是多少？（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時的速度大小是多少？（3）跑酷愛好者剛離開P點時的速度方向與豎直方向夾角的正切值是多少？例2.(2024廣東二模)如圖所示，傾角θ＝30°的足夠長斜面固定于水平地面上，將一小球(可視為質(zhì)點)從斜面底端O以速度v0斜向上方拋出，速度方向與斜面間的夾角為α。經(jīng)歷一段時間，小球以垂直于斜面方向的速度打在斜面上的P點。已知重力加速度為g，不計空氣阻力，求：(1)小球拋出時的速度方向與斜面間的夾角α的正切值tanα；(2)小球到斜面的最大距離；(3)小球到水平地面的最大高度。1.平拋運(yùn)動（類平拋運(yùn)動）問題的求解方法2.斜拋運(yùn)動（類斜拋運(yùn)動）的處理方法（1）斜拋運(yùn)動是勻變速曲線運(yùn)動，以斜上拋運(yùn)動為例（如圖所示）速度：vx＝v0cosθ，vy＝v0sinθ－gt位移：x＝v0cosθ·t，y＝v0sinθ·t－12gt2（2）當(dāng)物體做斜上拋運(yùn)動至最高點時，運(yùn)用逆向思維，可轉(zhuǎn)化為平拋運(yùn)動。1．拋體運(yùn)動在各類體育運(yùn)動項目中很常見，如乒乓球運(yùn)動。現(xiàn)討論乒乓球發(fā)球問題，設(shè)球臺長2L、網(wǎng)高h(yuǎn)，乒乓球反彈前后的水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)和空氣阻力。(設(shè)重力加速度為g)(1)若球在球臺邊緣O點正上方高度h1處，以速度v1水平發(fā)出，落在球臺上的P1點(如圖中實線所示)，求P1點距O點的距離x1；(2)若球從O點正上方某高度處以速度v2水平發(fā)出，恰好在最高點時越過球網(wǎng)落在球臺上的P2點(軌跡如圖中虛線所示)，求v2的大??；(3)若球從O點正上方水平發(fā)出后，球經(jīng)反彈恰好越過球網(wǎng)且剛好落在對方球臺邊緣P3點，求發(fā)球點距O點的高度h3。題型二圓周運(yùn)動例3．如圖所示為賽車場的一個“梨形”賽道，兩個彎道分別為半徑R的大圓弧和半徑r的小圓弧，直道與彎道相切，直道長度L．賽車沿彎道路線行駛時，路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的k倍，假設(shè)賽車在直道上做勻變速直線運(yùn)動，在圓心角為120°和240°的彎道上做勻速圓周運(yùn)動，且R＝4r．若賽車不側(cè)滑且繞賽道一圈時間最短，發(fā)動機(jī)功率足夠大，重力加速度為g．求：(1)賽車行駛的最大速率．(2)賽車?yán)@賽道一圈的最短時間．例4.如圖所示，裝置BO′O可繞豎直軸O′O轉(zhuǎn)動，可視為質(zhì)點的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點，裝置靜止時細(xì)線AB水平，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ＝37°。已知小球的質(zhì)量m＝1kg，細(xì)線AC長L＝1m，B點到C點的水平和豎直距離相等。(重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(1)若裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度為ω1，細(xì)線AB上的張力為零而細(xì)線AC與豎直方向夾角仍為37°，求角速度ω1的大??；(2)若裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度為ω2時，細(xì)線AB剛好豎直，且張力為零，求此時角速度ω2的大小。1.解決圓周運(yùn)動問題的主要步驟2.求解豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動問題的思路2．（2024山東青島一模）很多青少年在山地自行車上安裝了氣門嘴燈，夜間騎車時猶如踏著風(fēng)火輪，格外亮眼。圖甲是某種自行車氣門嘴燈，氣門嘴燈內(nèi)部開關(guān)結(jié)構(gòu)如圖乙所示，彈簧一端固定，另一端與質(zhì)量為m的小滑塊（含觸點a）連接，當(dāng)觸點a、b接觸，電路接通使氣門嘴燈發(fā)光，觸點b位于車輪邊緣。車輪靜止且氣門嘴燈在最低點時觸點a、b距離為L，彈簧勁度系數(shù)為mgL，重力加速度大小為g，自行車輪胎半徑為R，不計開關(guān)中的一切摩擦，滑塊和觸點a、b均可視為質(zhì)點（1）若自行車勻速行駛過程中氣門嘴燈可以一直亮，求自行車行駛的最小速度；（2）若自行車以2gR的速度勻速行駛，求車輪每轉(zhuǎn)一圈，氣門嘴燈的發(fā)光時間題型三萬有引力定律及其應(yīng)用例4．（2024江蘇南通三模）兩顆相距較遠(yuǎn)的行星A、B的半徑分別為、，且，距行星中心r處的衛(wèi)星圍繞行星做勻速圓周運(yùn)動的線速度的平方隨r變化的關(guān)系如圖所示。行星可看作質(zhì)量分布均勻的球體，忽略行星的自轉(zhuǎn)和其他星球的影響。（1）求行星A、B的密度之比；（2）假設(shè)有相同的人形機(jī)器人在行星A、B表面的水平地面上從肩位水平射出相同的鉛球，在初速度相同的情況下，求鉛球射程的比值。天體質(zhì)量和密度的計算注意：（1）天體表面的重力加速度g＝GMR2，是（2）若繞行天體繞中心天體表面（如近地）做勻速圓周運(yùn)動時，軌道半徑r≈R，則中心天體的密度ρ＝3πG人造衛(wèi)星運(yùn)動問題的分析要點3．（2024四川達(dá)州一模）2024年10月30日，神舟十九號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功。不僅體現(xiàn)了中國航天技術(shù)進(jìn)步，也標(biāo)志著中國在全球航天領(lǐng)域競爭力提升。下圖為神舟十九號載人飛船與天和核心艙對接過程的示意圖，天和核心艙處于圓軌道Ⅲ，神舟十九號飛船處于圓軌道Ⅰ，變軌操作后，飛船沿橢圓軌道Ⅱ運(yùn)動到B點與天和核心艙對接。已知軌道Ⅰ的半徑為，軌道Ⅲ的半徑為，神舟十九號飛船的質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為M，飛船在地球周圍的引力勢能。求：(1)神舟十九號載人飛船從軌道Ⅰ變軌到軌道Ⅲ穩(wěn)定運(yùn)行的過程中外界需要提供的能量E（不考慮整個過程中質(zhì)量的變化，不計一切阻力）；(2)飛船通過軌道Ⅱ到達(dá)B點時卻發(fā)現(xiàn)核心艙在其正前方，飛船通過向后噴氣使其加速追趕核心艙和側(cè)向向外噴氣讓其在軌道Ⅲ上運(yùn)動。假設(shè)核心艙在飛船正前方，兩者間的圓弧長為，飛船瞬間向后噴氣加速后獲得恒定速率，經(jīng)過時間t飛船追上核心艙。已知飛船側(cè)向每秒向外噴出質(zhì)量為的粒子。求向側(cè)向噴出粒子的速度v。1．（2024山東煙臺三模）跑酷，又稱自由奔跑，是一種結(jié)合了速度、力量和技巧的極限運(yùn)動。如圖甲所示的是一城墻的入城通道，通道寬度L＝6m，一跑酷愛好者從左墻根由靜止開始正對右墻加速運(yùn)動，加速到M點時斜向上躍起，到達(dá)右墻壁P點時，豎直方向的速度恰好為零，P點距離地面高h(yuǎn)＝0.8m，然后立即蹬右墻壁，使水平方向的速度變?yōu)榈却蠓聪?，并獲得一豎直方向速度，恰好能躍到左墻壁上的Q點，P點與Q點等高，飛躍過程中跑酷愛好者距地面的最大高度為H＝2.05m，重力加速度g取10m/s2，整個過程中跑酷愛好者的姿態(tài)可認(rèn)為保持不變，如圖乙所示，則：（1）跑酷愛好者助跑的距離是多少？（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時的速度大小是多少？（3）跑酷愛好者剛離開P點時的速度方向與豎直方向夾角的正切值是多少？2．電磁炮滅火消防車（圖甲）采用電磁彈射技術(shù)投射滅火彈進(jìn)入高層建筑快速滅火。電容器儲存的能量通過電磁感應(yīng)轉(zhuǎn)化成滅火彈的動能，設(shè)置儲能電容器的工作電壓可獲得所需的滅火彈出膛速度。如圖乙所示，若電磁炮正對高樓，與高樓之間的水平距離L＝60m，滅火彈出膛速度v0＝50m/s，方向與水平面夾角θ＝53°，不計炮口離地面高度及空氣阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin53°＝0.8。（1）求滅火彈擊中高樓位置距地面的高度H；（2）已知電容器儲存的電能E＝12CU2，轉(zhuǎn)化為滅火彈動能的效率η＝15％，滅火彈的質(zhì)量為3kg，電容C＝2.5×104μF，電容器工作電壓U應(yīng)設(shè)置為多少3．如圖所示的是跳臺滑雪軌道簡化模型，AB段光滑曲面為加速滑道，BCD段圓弧滑道為半徑r＝16m的姿態(tài)調(diào)整滑道，左側(cè)與AB段平滑連接，右側(cè)與水平跳臺DE連接，EF段為傾角30°的速降斜坡。質(zhì)量為60kg的滑雪運(yùn)動員從加速滑道滑下后到達(dá)圓弧軌道的最低點C點時的速度大小v1＝20m/s，經(jīng)過D點時的速度大小為v2＝15m/s，運(yùn)動員整個運(yùn)動過程的最高點P恰好在E點的正上方h＝7.2m處，最后落在斜坡上的Q點。已知重力加速度為10m/s2，不計空氣阻力，速降斜坡足夠長，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：（1）運(yùn)動員在C點時受到圓弧軌道的彈力；（2）水平平臺DE的長度；（3）經(jīng)過P點之后，運(yùn)動員距斜坡的最遠(yuǎn)距離（結(jié)果用根式表示）。4．單板滑雪U型池比賽是冬奧會比賽項目，其場地可以簡化為如圖甲所示的模型：U形滑道由兩個半徑相同的四分之一圓柱面軌道和一個中央的平面直軌道連接而成，軌道傾角為17.2°。某次練習(xí)過程中，運(yùn)動員以vM＝10m/s的速度從軌道邊緣上的M點沿軌道的豎直切面ABCD滑出軌道，速度方向與軌道邊緣線AD的夾角α＝72.8°，騰空后沿軌道邊緣的N點進(jìn)入軌道。圖乙為騰空過程左視圖。該運(yùn)動員可視為質(zhì)點，不計空氣阻力，取重力加速度的大小g＝10m/s2，sin72.8°＝0.96，cos72.8°＝0.30。求：（1）運(yùn)動員騰空過程中離開AD的距離的最大值d；（2）M、N之間的距離L。5．（2024吉林長春模擬預(yù)測）我國為了防御小行星撞擊地球，計劃在2030年實現(xiàn)一次對小行星的動能撞擊。已知地球質(zhì)量為M，可視為質(zhì)量分布均勻的球體，引力常量為G。若一顆質(zhì)量為m的小行星距離地心為r時，速度的大小，m遠(yuǎn)小于M。不考慮地球運(yùn)動及其它天體的影響。（1）如圖（a），若小行星的速度方向垂直于它與地心的連線，通過分析判斷該小行星能否圍繞地球做圓周運(yùn)動；（2）如圖（b），若小行星的速度方向沿著它與地心的連線指向地心。已知取無窮遠(yuǎn)處的引力勢能為零，則小行星在距地心為r處的引力勢能。設(shè)想提前發(fā)射質(zhì)量為0.1m的無人飛行器，在距離地心為r處與小行星發(fā)生迎面撞擊，撞擊過程視為完全非彈性對心碰撞且撞擊后均未解體。為徹底解除小行星對地球的威脅（碰撞后運(yùn)動到距地球無窮遠(yuǎn)），求飛行器撞擊小行星時的最小速度v0。

6．（2024山西太原一模）在完成登陸任務(wù)后，登陸艇自某行星表面升空與飛船會合并與飛船一起繞行星做圓周運(yùn)動，其速率為v。飛船與登陸艇的質(zhì)量均為m，行星的質(zhì)量為M，萬有引力恒量為G。已知質(zhì)量為m的物體與該行星的萬有引力勢能（以無窮遠(yuǎn)處勢能為零，M為行星質(zhì)量，r表示物體到行星中心的距離）。（1）求飛船與登陸艇繞行星做圓周運(yùn)動的周期T和軌道半徑R。（2）在啟動返程時，飛船上火箭作一短時間的噴射（噴出氣體的質(zhì)量可忽略），使飛船相對登陸艇以速度u分離，且飛船分離時方向與速度v同向。若分離后飛船恰能完全脫離行星的引力。ⅰ.求飛船相對登陸艇的速度u。ⅱ.求飛船和登陸艇在火箭噴射過程中共獲得的機(jī)械能。7．（2024重慶九龍坡三模）2024年4月25日神舟十八號載人飛船成功發(fā)射，標(biāo)志著中國載人航天技術(shù)已走在世界前列。有人對今后神舟系列飛船的發(fā)射構(gòu)想：沿著地球的某條弦挖一通道，并鋪設(shè)成光滑軌道，在通道的兩個出口分別將一物體和飛船同時釋放，利用兩者碰撞（彈性碰撞）效應(yīng)，將飛船發(fā)射出去，已知地表重力加速度g，地球的半徑為R；物體做簡諧運(yùn)動的周期，m為物體的質(zhì)量，k為簡諧運(yùn)動物體的回復(fù)力和其離開平衡位置的位移大小之比。（1）若神舟十八號飛船貼近地球表面做勻速圓周運(yùn)動，則其運(yùn)行的線速度大??；（2）如圖甲，設(shè)想在地球上距地心h處挖一條光滑通道AB，從A點靜止釋放一個質(zhì)量為m的物體，求物體從A運(yùn)動到B點的時間，以及物體通過通道中心O′的速度大?。ㄙ|(zhì)量分布均勻的空腔對空腔內(nèi)的物體的萬有引力為零）；（3）如圖乙，若通道已經(jīng)挖好，且，如果在AB處同時釋放質(zhì)量分別為M和m的物體和飛船，他們同時到達(dá)O′點并發(fā)生彈性碰撞，要使飛船飛出通道口時速度達(dá)到第一宇宙速度，M和m應(yīng)該滿足什么關(guān)系？8．（2025云南昭通模擬預(yù)測）某固定裝置的豎直截面如圖所示，該裝置由弧形光滑軌道、豎直光滑圓軌道、水平粗糙直軌道、傾角為的粗糙斜軌道、圓弧形光滑管道平滑連接而成。現(xiàn)將一質(zhì)量為、可視為質(zhì)點的小滑塊由弧形軌道上高處由靜止釋放（未知），在經(jīng)歷幾段不同的運(yùn)動后，在點與靜止在水平臺面上質(zhì)量為的長木板發(fā)生正碰。已知圓軌道半徑，；與軌道、間的動摩擦因數(shù)均為，與水平臺面間的動摩擦因數(shù)，最右端停放一質(zhì)量為、可視為質(zhì)點的小滑塊，與間的動摩擦因數(shù)；水平臺面和木板足夠長；從軌道上滑下后進(jìn)入圓弧軌道，運(yùn)動到與圓心等高的點時對軌道的壓力為。忽略空氣阻力，重力加速度取，、。(1)求的大小。(2)求剛到達(dá)點時的速度大小。(3)若與碰撞時間極短，且碰后立即粘在一起，求最終與最右端之間的距離。9．（2024福建福州二模）如圖所示，在豎直向下的勻強(qiáng)電場中有軌道ABCDFMNP，其中BC部分為水平軌道，與曲面AB平滑連接。CDF和FMN是豎直放置的半圓軌道，在最高點F對接，與BC在C點相切。NP為一與FMN相切的水平平臺，P處固定一輕彈簧。點D、N、P在同一水平線上。水平軌道BC粗糙，其余軌道均光滑，可視為質(zhì)點的質(zhì)量為m=0.02kg的帶正電的滑塊從曲面AB上某處由靜止釋放。已知勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)E=2N/C，BC段長度L=1m，CDF的半徑R=0.2m。FMN的半徑r=0.1m?；瑝K帶電量q=0.1C，滑塊與BC間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，重力加速度g=10m/s2；求：(1)滑塊通過半圓軌道CDF最高點F的最小速度vF；(2)若滑塊恰好能通過F點，求滑塊釋放點到水平軌道BC的高度h0；(3)若滑塊在整個運(yùn)動過程中，始終不脫離軌道，且彈簧的形變始終在彈性限度內(nèi)，求滑塊釋放點到水平軌道BC的高度h需要滿足的條件。1．（2024北京高考真題）科學(xué)家根據(jù)天文觀測提出宇宙膨脹模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物質(zhì)（星體等）在做彼此遠(yuǎn)離運(yùn)動，且質(zhì)量始終均勻分布，在宇宙中所有位置觀測的結(jié)果都一樣。以某一點O為觀測點，以質(zhì)量為m的小星體（記為P）為觀測對象。當(dāng)前P到O點的距離為，宇宙的密度為。（1）求小星體P遠(yuǎn)離到處時宇宙的密度ρ；（2）以O(shè)點為球心，以小星體P到O點的距離為半徑建立球面。P受到的萬有引力相當(dāng)于球內(nèi)質(zhì)量集中于O點對P的引力。已知質(zhì)量為和、距離為R的兩個質(zhì)點間的引力勢能，G為引力常量。僅考慮萬有引力和P遠(yuǎn)離O點的徑向運(yùn)動。a．求小星體P從處遠(yuǎn)離到。處的過程中動能的變化量；b．宇宙中各星體遠(yuǎn)離觀測點的速率v滿足哈勃定律，其中r為星體到觀測點的距離，H為哈勃系數(shù)。H與時間t有關(guān)但與r無關(guān)，分析說明H隨t增大還是減小。2．（2023北京高考真題）螺旋星系中有大量的恒星和星際物質(zhì)，主要分布在半徑為R的球體內(nèi)，球體外僅有極少的恒星。球體內(nèi)物質(zhì)總質(zhì)量為M，可認(rèn)為均勻分布，球體內(nèi)外的所有恒星都繞星系中心做勻速圓周運(yùn)動，恒星到星系中心的距離為r，引力常量為G。（1）求區(qū)域的恒星做勻速圓周運(yùn)動的速度大小v與r的關(guān)系；（2）根據(jù)電荷均勻分布的球殼內(nèi)試探電荷所受庫侖力的合力為零，利用庫侖力與萬有引力的表達(dá)式的相似性和相關(guān)力學(xué)知識，求區(qū)域的恒星做勻速圓周運(yùn)動的速度大小v與r的關(guān)系；（3）科學(xué)家根據(jù)實測數(shù)據(jù)，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做勻速圓周運(yùn)動的速度大小v隨r的變化關(guān)系圖像，如圖所示，根據(jù)在范圍內(nèi)的恒星速度大小幾乎不變，科學(xué)家預(yù)言螺旋星系周圍（）存在一種特殊物質(zhì)，稱之為暗物質(zhì)。暗物質(zhì)與通常的物質(zhì)有引力相互作用，并遵循萬有引力定律，求內(nèi)暗物質(zhì)的質(zhì)量。

3．（2024江西高考）雪地轉(zhuǎn)椅是一種游樂項目，其中心傳動裝置帶動轉(zhuǎn)椅在雪地上滑動。如圖a、b所示，傳動裝置有一高度可調(diào)的水平圓盤，可繞通過中心O點的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動。圓盤邊緣A處固定連接一輕繩，輕繩另一端B連接轉(zhuǎn)椅（視為質(zhì)點）。轉(zhuǎn)椅運(yùn)動穩(wěn)定后，其角速度與圓盤角速度相等。轉(zhuǎn)椅與雪地之間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，不計空氣阻力。（1）在圖a中，若圓盤在水平雪地上以角速度ω1勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)椅運(yùn)動穩(wěn)定后在水平雪地上繞O點做半徑為r1的勻速圓周運(yùn)動。求AB與OB之間夾角α的正切值。（2）將圓盤升高，如圖b所示。圓盤勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)椅運(yùn)動穩(wěn)定后在水平雪地上繞O1點做半徑為r2的勻速圓周運(yùn)動，繩子與豎直方向的夾角為θ，繩子在水平雪地上的投影A1B與O1B的夾角為β。求此時圓盤的角速度ω2。4．（2022江蘇高考真題）在軌空間站中物體處于完全失重狀態(tài)，對空間站的影響可忽略，空間站上操控貨物的機(jī)械臂可簡化為兩根相連的等長輕質(zhì)臂桿，每根臂桿長為L，如題圖1所示，機(jī)械臂一端固定在空間站上的O點，另一端抓住質(zhì)量為m的貨物，在機(jī)械臂的操控下，貨物先繞O點做半徑為、角速度為的勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動到A點停下，然后在機(jī)械臂操控下，貨物從A點由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動，經(jīng)時間t到達(dá)B點，A、B間的距離為L。（1）求貨物做勻速圓周運(yùn)動時受到合力提供的向心力大??；（2）求貨物運(yùn)動到B點時機(jī)械臂對其做功的瞬時功率P。（3）在機(jī)械臂作用下，貨物、空間站和地球的位置如題圖2所示，它們在同一直線上，貨物與空間站同步做勻速圓周運(yùn)動，已知空間站軌道半徑為r，貨物與空間站中心的距離為d，忽略空間站對貨物的引力，求貨物所受的機(jī)械臂作用力與所受的地球引力之比。5．（2021福建高考真題）一火星探測器著陸火星之前，需經(jīng)歷動力減速、懸停避障兩個階段。在動力減速階段，探測器速度大小由減小到0，歷時。在懸停避障階段，探測器啟用最大推力為的變推力發(fā)動機(jī)，在距火星表面約百米高度處懸停，尋找著陸點。已知火星半徑約為地球半徑的，火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的，地球表面重力加速度大小取，探測器在動力減速階段的運(yùn)動視為豎直向下的勻減速運(yùn)動。求：（1）在動力減速階段，探測器的加速度大小和下降距離；（2）在懸停避障階段，能借助該變推力發(fā)動機(jī)實現(xiàn)懸停的探測器的最大質(zhì)量。

大題02曲線運(yùn)動與萬有引力定律曲線運(yùn)動與萬有引力定律是高考物理的高頻模塊，在全國卷及新高考卷中占比約10%~15%，2025年高考對“曲線運(yùn)動與萬有引力定律”的考查將延續(xù)“重基礎(chǔ)、強(qiáng)應(yīng)用、拓創(chuàng)新”的風(fēng)格，突出物理模型構(gòu)建與實際問題轉(zhuǎn)化能力。備考需緊扣核心素養(yǎng)，強(qiáng)化天體運(yùn)動與曲線運(yùn)動的綜合分析，同時關(guān)注航天科技熱點與跨學(xué)科融合，做到“以模型破萬題，以思想馭變化”。題型1拋體運(yùn)動例1.（2024山東煙臺三模）跑酷，又稱自由奔跑，是一種結(jié)合了速度、力量和技巧的極限運(yùn)動。如圖甲所示的是一城墻的入城通道，通道寬度L＝6m，一跑酷愛好者從左墻根由靜止開始正對右墻加速運(yùn)動，加速到M點時斜向上躍起，到達(dá)右墻壁P點時，豎直方向的速度恰好為零，P點距離地面高h(yuǎn)＝0.8m，然后立即蹬右墻壁，使水平方向的速度變?yōu)榈却蠓聪?，并獲得一豎直方向速度，恰好能躍到左墻壁上的Q點，P點與Q點等高，飛躍過程中跑酷愛好者距地面的最大高度為H＝2.05m，重力加速度g取10m/s2，整個過程中跑酷愛好者的姿態(tài)可認(rèn)為保持不變，如圖乙所示，則：（1）跑酷愛好者助跑的距離是多少？（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時的速度大小是多少？（3）跑酷愛好者剛離開P點時的速度方向與豎直方向夾角的正切值是多少？答案（1）3.6m（2）61m/s（3）6解析（1）跑酷愛好者到達(dá)右墻壁P點時，豎直方向的速度恰好為零，根據(jù)逆向思維可知，從M點到P點的逆過程為平拋運(yùn)動，則h＝12gt12，從P點到Q點的過程為斜拋運(yùn)動，根據(jù)對稱性可得H－h(huán)＝12gt222，L＝v0t2，解得t1＝0.4s，t2＝1s，v0＝6m/s，跑酷愛好者助跑的距離為x＝（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時豎直方向的速度大小為vy＝g×t22＝5m/s，跑酷愛好者剛離開墻壁時的速度大小為v＝v0（3）跑酷愛好者剛離開P點時的速度方向與豎直方向夾角的正切值為tanθ＝v0vy例2.(2024廣東二模)如圖所示，傾角θ＝30°的足夠長斜面固定于水平地面上，將一小球(可視為質(zhì)點)從斜面底端O以速度v0斜向上方拋出，速度方向與斜面間的夾角為α。經(jīng)歷一段時間，小球以垂直于斜面方向的速度打在斜面上的P點。已知重力加速度為g，不計空氣阻力，求：(1)小球拋出時的速度方向與斜面間的夾角α的正切值tanα；(2)小球到斜面的最大距離；(3)小球到水平地面的最大高度。答案(1)32(2)3v解析(1)小球拋出后，將小球的速度與重力分別沿斜面與垂直于斜面分解，則小球在這兩個方向上均做勻變速直線運(yùn)動。小球以垂直于斜面方向的速度撞擊在斜面上的P點，表明此時沿斜面方向的分速度恰好減為0，根據(jù)對稱性可知，小球打在P點時垂直于斜面方向的分速度與拋出時垂直于斜面方向的分速度等大反向，在沿斜面方向上，有v0cosα＝gsinθ·t，在垂直于斜面的方向上，有－v0sinα＝v0sinα－gcosθ·t，則小球拋出時的速度方向與斜面夾角α的正切值tanα＝sinαcosα(2)由(1)可得sinα＝217，cosα＝277，當(dāng)小球垂直于斜面的分速度減為0時，距離斜面最遠(yuǎn)，則有v0sinα2＝2gcosθ·h(3)小球做斜拋運(yùn)動，將其運(yùn)動沿水平與豎直方向分解，當(dāng)球體到達(dá)最高點時，豎直方向的速度減為0，則有v0sinα＋θ2＝2gHmax1.平拋運(yùn)動（類平拋運(yùn)動）問題的求解方法2.斜拋運(yùn)動（類斜拋運(yùn)動）的處理方法（1）斜拋運(yùn)動是勻變速曲線運(yùn)動，以斜上拋運(yùn)動為例（如圖所示）速度：vx＝v0cosθ，vy＝v0sinθ－gt位移：x＝v0cosθ·t，y＝v0sinθ·t－12gt2（2）當(dāng)物體做斜上拋運(yùn)動至最高點時，運(yùn)用逆向思維，可轉(zhuǎn)化為平拋運(yùn)動。1．拋體運(yùn)動在各類體育運(yùn)動項目中很常見，如乒乓球運(yùn)動。現(xiàn)討論乒乓球發(fā)球問題，設(shè)球臺長2L、網(wǎng)高h(yuǎn)，乒乓球反彈前后的水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)和空氣阻力。(設(shè)重力加速度為g)(1)若球在球臺邊緣O點正上方高度h1處，以速度v1水平發(fā)出，落在球臺上的P1點(如圖中實線所示)，求P1點距O點的距離x1；(2)若球從O點正上方某高度處以速度v2水平發(fā)出，恰好在最高點時越過球網(wǎng)落在球臺上的P2點(軌跡如圖中虛線所示)，求v2的大小；(3)若球從O點正上方水平發(fā)出后，球經(jīng)反彈恰好越過球網(wǎng)且剛好落在對方球臺邊緣P3點，求發(fā)球點距O點的高度h3。答案(1)v12?1g(2)L解析(1)根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律得h1＝12gt12，x1聯(lián)立解得x1＝v12?(2)根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律得h2＝12gt22，x2且h2＝h，2x2＝L聯(lián)立解得v2＝L2(3)球的運(yùn)動軌跡如圖所示，得h3＝1x3＝v3t3且3x3＝2L設(shè)球從恰好越過球網(wǎng)到達(dá)到最高點所用的時間為t，水平距離為s，則有h3－h(huán)＝12gts＝v3t由幾何關(guān)系得x3＋s＝L解得h3＝43h題型二圓周運(yùn)動例3．如圖所示為賽車場的一個“梨形”賽道，兩個彎道分別為半徑R的大圓弧和半徑r的小圓弧，直道與彎道相切，直道長度L．賽車沿彎道路線行駛時，路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的k倍，假設(shè)賽車在直道上做勻變速直線運(yùn)動，在圓心角為120°和240°的彎道上做勻速圓周運(yùn)動，且R＝4r．若賽車不側(cè)滑且繞賽道一圈時間最短，發(fā)動機(jī)功率足夠大，重力加速度為g．求：(1)賽車行駛的最大速率．(2)賽車?yán)@賽道一圈的最短時間．答案(1)eq\r(kgR)(2)eq\f(4L＋10πr,3\r(kgr))解析(1)根據(jù)題意，由牛頓第二定律有kmg＝meq\f(veq\o\al(2,m),R)解得最大速率為vm＝eq\r(kgR)(2)根據(jù)題意，由公式x＝eq\f(v0＋v,2)t可得，賽車在兩直道的時間為t1＝eq\f(2L,\f(v0＋v,2))＝eq\f(4L,\r(kgR)＋\r(kgr))＝eq\f(4L,3\r(kgr))小圓弧彎道的時間為t2＝eq\f(2πr,3\r(kgr))大圓弧彎道的時間為t3＝eq\f(8πr,3\r(kgr))則賽車?yán)@賽道一圈的最短時間t＝t1＋t2＋t3＝eq\f(4L＋10πr,3\r(kgr))例4.如圖所示，裝置BO′O可繞豎直軸O′O轉(zhuǎn)動，可視為質(zhì)點的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點，裝置靜止時細(xì)線AB水平，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ＝37°。已知小球的質(zhì)量m＝1kg，細(xì)線AC長L＝1m，B點到C點的水平和豎直距離相等。(重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(1)若裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度為ω1，細(xì)線AB上的張力為零而細(xì)線AC與豎直方向夾角仍為37°，求角速度ω1的大?。?2)若裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度為ω2時，細(xì)線AB剛好豎直，且張力為零，求此時角速度ω2的大小。答案(1)522rad/s(2)解析(1)細(xì)線AB上的張力恰為零時有mgtan37°＝mω1解得ω1＝gLcos37°＝(2)細(xì)線AB恰好豎直，但張力為零時，由幾何關(guān)系得cosθ′＝35，則有θ又mgtanθ′＝mω22L解得ω2＝561.解決圓周運(yùn)動問題的主要步驟2.求解豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動問題的思路2．（2024山東青島一模）很多青少年在山地自行車上安裝了氣門嘴燈，夜間騎車時猶如踏著風(fēng)火輪，格外亮眼。圖甲是某種自行車氣門嘴燈，氣門嘴燈內(nèi)部開關(guān)結(jié)構(gòu)如圖乙所示，彈簧一端固定，另一端與質(zhì)量為m的小滑塊（含觸點a）連接，當(dāng)觸點a、b接觸，電路接通使氣門嘴燈發(fā)光，觸點b位于車輪邊緣。車輪靜止且氣門嘴燈在最低點時觸點a、b距離為L，彈簧勁度系數(shù)為mgL，重力加速度大小為g，自行車輪胎半徑為R，不計開關(guān)中的一切摩擦，滑塊和觸點a、b均可視為質(zhì)點（1）若自行車勻速行駛過程中氣門嘴燈可以一直亮，求自行車行駛的最小速度；（2）若自行車以2gR的速度勻速行駛，求車輪每轉(zhuǎn)一圈，氣門嘴燈的發(fā)光時間答案（1）3gR（2）解析（1）只要氣門嘴燈位于最高點時a、b接觸即可保證全程燈亮，彈簧原長時a、b間的距離為mgk＋L＝2氣門嘴燈位于最高點時，對于小滑塊，有mg＋2kL＝m解得滿足要求自行車行駛的最小速度為v＝3gR（2）速度為2gR時輪子滾動的周期為T＝2πR此速度下氣門嘴燈所需的向心力為Fn＝m（2gR）此力恰好等于a、b接觸時彈簧的彈力，即無重力參與向心力，對應(yīng)與圓心等高的點，故當(dāng)氣門嘴燈位于下半圓周時燈亮，即t＝T2＝π題型三萬有引力定律及其應(yīng)用例4．（2024江蘇南通三模）兩顆相距較遠(yuǎn)的行星A、B的半徑分別為、，且，距行星中心r處的衛(wèi)星圍繞行星做勻速圓周運(yùn)動的線速度的平方隨r變化的關(guān)系如圖所示。行星可看作質(zhì)量分布均勻的球體，忽略行星的自轉(zhuǎn)和其他星球的影響。（1）求行星A、B的密度之比；（2）假設(shè)有相同的人形機(jī)器人在行星A、B表面的水平地面上從肩位水平射出相同的鉛球，在初速度相同的情況下，求鉛球射程的比值。答案（1）；（2）解析（1）設(shè)質(zhì)量為m的衛(wèi)星繞行星做圓周運(yùn)動整理得由，結(jié)合圖像得兩行星的質(zhì)量關(guān)系密度解得（2）在每個行星表面兩行星表面的重力加速度之比鉛球做平拋運(yùn)動，豎直方向水平方向解得天體質(zhì)量和密度的計算注意：（1）天體表面的重力加速度g＝GMR2，是（2）若繞行天體繞中心天體表面（如近地）做勻速圓周運(yùn)動時，軌道半徑r≈R，則中心天體的密度ρ＝3πG人造衛(wèi)星運(yùn)動問題的分析要點3．（2024四川達(dá)州一模）2024年10月30日，神舟十九號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功。不僅體現(xiàn)了中國航天技術(shù)進(jìn)步，也標(biāo)志著中國在全球航天領(lǐng)域競爭力提升。下圖為神舟十九號載人飛船與天和核心艙對接過程的示意圖，天和核心艙處于圓軌道Ⅲ，神舟十九號飛船處于圓軌道Ⅰ，變軌操作后，飛船沿橢圓軌道Ⅱ運(yùn)動到B點與天和核心艙對接。已知軌道Ⅰ的半徑為，軌道Ⅲ的半徑為，神舟十九號飛船的質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為M，飛船在地球周圍的引力勢能。求：(1)神舟十九號載人飛船從軌道Ⅰ變軌到軌道Ⅲ穩(wěn)定運(yùn)行的過程中外界需要提供的能量E（不考慮整個過程中質(zhì)量的變化，不計一切阻力）；(2)飛船通過軌道Ⅱ到達(dá)B點時卻發(fā)現(xiàn)核心艙在其正前方，飛船通過向后噴氣使其加速追趕核心艙和側(cè)向向外噴氣讓其在軌道Ⅲ上運(yùn)動。假設(shè)核心艙在飛船正前方，兩者間的圓弧長為，飛船瞬間向后噴氣加速后獲得恒定速率，經(jīng)過時間t飛船追上核心艙。已知飛船側(cè)向每秒向外噴出質(zhì)量為的粒子。求向側(cè)向噴出粒子的速度v。答案(1)(2)解析（1）飛船在軌道Ⅰ上，根據(jù)牛頓第二定律有飛船在軌道Ⅲ上，根據(jù)牛頓第二定律有根據(jù)能量守恒定律有解得（2）令飛出沿軌道Ⅲ的線速度為，則有時間內(nèi)對側(cè)向向外噴出的粒子進(jìn)行分析，根據(jù)動量定理有其中根據(jù)牛頓第三定律，粒子對飛船的作用力對飛船進(jìn)行分析，根據(jù)牛頓第二定律有解得1．（2024山東煙臺三模）跑酷，又稱自由奔跑，是一種結(jié)合了速度、力量和技巧的極限運(yùn)動。如圖甲所示的是一城墻的入城通道，通道寬度L＝6m，一跑酷愛好者從左墻根由靜止開始正對右墻加速運(yùn)動，加速到M點時斜向上躍起，到達(dá)右墻壁P點時，豎直方向的速度恰好為零，P點距離地面高h(yuǎn)＝0.8m，然后立即蹬右墻壁，使水平方向的速度變?yōu)榈却蠓聪颍@得一豎直方向速度，恰好能躍到左墻壁上的Q點，P點與Q點等高，飛躍過程中跑酷愛好者距地面的最大高度為H＝2.05m，重力加速度g取10m/s2，整個過程中跑酷愛好者的姿態(tài)可認(rèn)為保持不變，如圖乙所示，則：（1）跑酷愛好者助跑的距離是多少？（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時的速度大小是多少？（3）跑酷愛好者剛離開P點時的速度方向與豎直方向夾角的正切值是多少？答案（1）3.6m（2）61m/s（3）6解析（1）跑酷愛好者到達(dá)右墻壁P點時，豎直方向的速度恰好為零，根據(jù)逆向思維可知，從M點到P點的逆過程為平拋運(yùn)動，則h＝12gt12，從P點到Q點的過程為斜拋運(yùn)動，根據(jù)對稱性可得H－h(huán)＝12gt222，L＝v0t2，解得t1＝0.4s，t2＝1s，v0＝6m/s，跑酷愛好者助跑的距離為x＝（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時豎直方向的速度大小為vy＝g×t22＝5m/s，跑酷愛好者剛離開墻壁時的速度大小為v＝v0（3）跑酷愛好者剛離開P點時的速度方向與豎直方向夾角的正切值為tanθ＝v0vy2．電磁炮滅火消防車（圖甲）采用電磁彈射技術(shù)投射滅火彈進(jìn)入高層建筑快速滅火。電容器儲存的能量通過電磁感應(yīng)轉(zhuǎn)化成滅火彈的動能，設(shè)置儲能電容器的工作電壓可獲得所需的滅火彈出膛速度。如圖乙所示，若電磁炮正對高樓，與高樓之間的水平距離L＝60m，滅火彈出膛速度v0＝50m/s，方向與水平面夾角θ＝53°，不計炮口離地面高度及空氣阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin53°＝0.8。（1）求滅火彈擊中高樓位置距地面的高度H；（2）已知電容器儲存的電能E＝12CU2，轉(zhuǎn)化為滅火彈動能的效率η＝15％，滅火彈的質(zhì)量為3kg，電容C＝2.5×104μF，電容器工作電壓U應(yīng)設(shè)置為多少答案（1）60m（2）10002V解析（1）滅火彈離開炮口后做斜拋運(yùn)動，水平方向做勻速直線運(yùn)動，豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動。則滅火彈在水平方向上有vx＝v0cos53°＝30m/s，滅火彈從離開炮口到擊中高樓所用的時間t＝Lvx＝在豎直方向上有vy＝v0sin53°＝40m/s，滅火彈擊中高樓位置距地面的高度H＝vyt－12gt2代入數(shù)據(jù)解得H＝60m。（2）由題意可知ηE＝12mv解得E＝25000J，又E＝12CU2代入數(shù)據(jù)解得U＝10002V。3．如圖所示的是跳臺滑雪軌道簡化模型，AB段光滑曲面為加速滑道，BCD段圓弧滑道為半徑r＝16m的姿態(tài)調(diào)整滑道，左側(cè)與AB段平滑連接，右側(cè)與水平跳臺DE連接，EF段為傾角30°的速降斜坡。質(zhì)量為60kg的滑雪運(yùn)動員從加速滑道滑下后到達(dá)圓弧軌道的最低點C點時的速度大小v1＝20m/s，經(jīng)過D點時的速度大小為v2＝15m/s，運(yùn)動員整個運(yùn)動過程的最高點P恰好在E點的正上方h＝7.2m處，最后落在斜坡上的Q點。已知重力加速度為10m/s2，不計空氣阻力，速降斜坡足夠長，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：（1）運(yùn)動員在C點時受到圓弧軌道的彈力；（2）水平平臺DE的長度；（3）經(jīng)過P點之后，運(yùn)動員距斜坡的最遠(yuǎn)距離（結(jié)果用根式表示）。答案（1）2100N，方向豎直向上（2）10.8m（3）1713解析（1）在C點，對運(yùn)動員，由牛頓第二定律有FN－mg＝m解得FN＝2100N即運(yùn)動員在C點時受到圓弧軌道的彈力大小為2100N，方向豎直向上。（2）設(shè)運(yùn)動員在由D點飛出時速度與水平方向成α角，從D點運(yùn)動到P點的過程中，豎直方向有（v2sinα）2＝2gh，v2sinα＝gt1水平方向有xDE＝v2t1cosα解得α＝53°，xDE＝10.8m。（3）運(yùn)動到P點的速度vP＝v2cosα對其垂直于斜坡方向分解vy＝vPsinθ，ay＝gcosθ當(dāng)垂直于斜坡方向上的速度減為0時，距離斜坡最遠(yuǎn)，由幾何關(guān)系可知d＝hcosθ＋H其中vy2＝2a解得d＝17134．單板滑雪U型池比賽是冬奧會比賽項目，其場地可以簡化為如圖甲所示的模型：U形滑道由兩個半徑相同的四分之一圓柱面軌道和一個中央的平面直軌道連接而成，軌道傾角為17.2°。某次練習(xí)過程中，運(yùn)動員以vM＝10m/s的速度從軌道邊緣上的M點沿軌道的豎直切面ABCD滑出軌道，速度方向與軌道邊緣線AD的夾角α＝72.8°，騰空后沿軌道邊緣的N點進(jìn)入軌道。圖乙為騰空過程左視圖。該運(yùn)動員可視為質(zhì)點，不計空氣阻力，取重力加速度的大小g＝10m/s2，sin72.8°＝0.96，cos72.8°＝0.30。求：（1）運(yùn)動員騰空過程中離開AD的距離的最大值d；（2）M、N之間的距離L。答案（1）4.8m（2）12m解析（1）在M點，設(shè)運(yùn)動員在ABCD面內(nèi)垂直于AD方向的分速度為v1，由運(yùn)動的合成與分解規(guī)律得v1＝vMsin72.8°①設(shè)運(yùn)動員在ABCD面內(nèi)垂直于AD方向的分加速度為a1，由牛頓第二定律得mgcos17.2°＝ma1②由運(yùn)動學(xué)公式得d＝v1聯(lián)立①②③式，代入數(shù)據(jù)得d＝4.8m④（2）在M點，設(shè)運(yùn)動員在ABCD面內(nèi)平行AD方向的分速度為v2，由運(yùn)動的合成與分解規(guī)律得v2＝vMcos72.8°⑤設(shè)運(yùn)動員在ABCD面內(nèi)平行AD方向的分加速度為a2，由牛頓第二定律得mgsin17.2°＝ma2⑥設(shè)騰空時間為t，由運(yùn)動學(xué)公式得t＝2vL＝v2t＋12a2t2聯(lián)立①②⑤⑥⑦⑧式，代入數(shù)據(jù)得L＝12m⑨5．（2024吉林長春模擬預(yù)測）我國為了防御小行星撞擊地球，計劃在2030年實現(xiàn)一次對小行星的動能撞擊。已知地球質(zhì)量為M，可視為質(zhì)量分布均勻的球體，引力常量為G。若一顆質(zhì)量為m的小行星距離地心為r時，速度的大小，m遠(yuǎn)小于M。不考慮地球運(yùn)動及其它天體的影響。（1）如圖（a），若小行星的速度方向垂直于它與地心的連線，通過分析判斷該小行星能否圍繞地球做圓周運(yùn)動；（2）如圖（b），若小行星的速度方向沿著它與地心的連線指向地心。已知取無窮遠(yuǎn)處的引力勢能為零，則小行星在距地心為r處的引力勢能。設(shè)想提前發(fā)射質(zhì)量為0.1m的無人飛行器，在距離地心為r處與小行星發(fā)生迎面撞擊，撞擊過程視為完全非彈性對心碰撞且撞擊后均未解體。為徹底解除小行星對地球的威脅（碰撞后運(yùn)動到距地球無窮遠(yuǎn)），求飛行器撞擊小行星時的最小速度v0。

答案（1）見解析；（2）解析（1）若小行星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，則解得由此可知，小行星不能圍繞地球做圓周運(yùn)動；（2）根據(jù)題意，當(dāng)小行星和飛行器發(fā)生完全非彈性碰撞，則有聯(lián)立可得6．（2024山西太原一模）在完成登陸任務(wù)后，登陸艇自某行星表面升空與飛船會合并與飛船一起繞行星做圓周運(yùn)動，其速率為v。飛船與登陸艇的質(zhì)量均為m，行星的質(zhì)量為M，萬有引力恒量為G。已知質(zhì)量為m的物體與該行星的萬有引力勢能（以無窮遠(yuǎn)處勢能為零，M為行星質(zhì)量，r表示物體到行星中心的距離）。（1）求飛船與登陸艇繞行星做圓周運(yùn)動的周期T和軌道半徑R。（2）在啟動返程時，飛船上火箭作一短時間的噴射（噴出氣體的質(zhì)量可忽略），使飛船相對登陸艇以速度u分離，且飛船分離時方向與速度v同向。若分離后飛船恰能完全脫離行星的引力。ⅰ.求飛船相對登陸艇的速度u。ⅱ.求飛船和登陸艇在火箭噴射過程中共獲得的機(jī)械能。答案（1），；（2）ⅰ.，方向與v同向；ⅱ.解析（1）在做圓周運(yùn)動過程中，由萬有引力提供向心力知代入得故（2）ⅰ.由動量守恒令登陸艇的速度為知，由能量守恒知代入得故方向與v相同ⅱ.噴射過程中共獲得的機(jī)械能為7．（2024重慶九龍坡三模）2024年4月25日神舟十八號載人飛船成功發(fā)射，標(biāo)志著中國載人航天技術(shù)已走在世界前列。有人對今后神舟系列飛船的發(fā)射構(gòu)想：沿著地球的某條弦挖一通道，并鋪設(shè)成光滑軌道，在通道的兩個出口分別將一物體和飛船同時釋放，利用兩者碰撞（彈性碰撞）效應(yīng)，將飛船發(fā)射出去，已知地表重力加速度g，地球的半徑為R；物體做簡諧運(yùn)動的周期，m為物體的質(zhì)量，k為簡諧運(yùn)動物體的回復(fù)力和其離開平衡位置的位移大小之比。（1）若神舟十八號飛船貼近地球表面做勻速圓周運(yùn)動，則其運(yùn)行的線速度大小；（2）如圖甲，設(shè)想在地球上距地心h處挖一條光滑通道AB，從A點靜止釋放一個質(zhì)量為m的物體，求物體從A運(yùn)動到B點的時間，以及物體通過通道中心O′的速度大小（質(zhì)量分布均勻的空腔對空腔內(nèi)的物體的萬有引力為零）；（3）如圖乙，若通道已經(jīng)挖好，且，如果在AB處同時釋放質(zhì)量分別為M和m的物體和飛船，他們同時到達(dá)O′點并發(fā)生彈性碰撞，要使飛船飛出通道口時速度達(dá)到第一宇宙速度，M和m應(yīng)該滿足什么關(guān)系？答案（1）；（2），；（3）解析（1）神舟十八號飛船貼近地球表面做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力根據(jù)萬有引力與重力的關(guān)系解得運(yùn)行的線速度大小為（2）半徑為r的球體質(zhì)量為質(zhì)點在距離球心r處所受到的引力為故引力在AB通道方向分力為（設(shè)向右為正方向）該力與成正比，故物體做簡諧運(yùn)動，當(dāng)時，有根據(jù)萬有引力與重力的關(guān)系則物體從A運(yùn)動到B點的時間為從A到O′點，萬有引力做功為從A到O′點，由動能定理可得解得（3）由（2）可知，物體到達(dá)O′點速度均為碰撞中滿足動量守恒根據(jù)機(jī)械能守恒可得解得返回出口過程中，萬有引力做功為返回出口過程中，根據(jù)動能定理其中代入得解得8．（2025云南昭通模擬預(yù)測）某固定裝置的豎直截面如圖所示，該裝置由弧形光滑軌道、豎直光滑圓軌道、水平粗糙直軌道、傾角為的粗糙斜軌道、圓弧形光滑管道平滑連接而成。現(xiàn)將一質(zhì)量為、可視為質(zhì)點的小滑塊由弧形軌道上高處由靜止釋放（未知），在經(jīng)歷幾段不同的運(yùn)動后，在點與靜止在水平臺面上質(zhì)量為的長木板發(fā)生正碰。已知圓軌道半徑，；與軌道、間的動摩擦因數(shù)均為，與水平臺面間的動摩擦因數(shù)，最右端停放一質(zhì)量為、可視為質(zhì)點的小滑塊，與間的動摩擦因數(shù)；水平臺面和木板足夠長；從軌道上滑下后進(jìn)入圓弧軌道，運(yùn)動到與圓心等高的點時對軌道的壓力為。忽略空氣阻力，重力加速度取，、。(1)求的大小。(2)求剛到達(dá)點時的速度大小。(3)若與碰撞時間極短，且碰后立即粘在一起，求最終與最右端之間的距離。答案(1)(2)(3)解析（1）運(yùn)動到C點時，根據(jù)牛頓第二定律得從A到C的運(yùn)動過程，根據(jù)動能定理得聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得（2）m1從A到F的運(yùn)動過程，根據(jù)動能定理得代入數(shù)據(jù)解得（3）m1與M相碰，根據(jù)動量守恒定律得代入數(shù)據(jù)解得m1與M碰后對m2分析得代入數(shù)據(jù)解得對和構(gòu)成的整體受力分析得代入數(shù)據(jù)解得設(shè)經(jīng)過時間t，m2與m1、M共速，則代入數(shù)據(jù)解得共速的速度，該過程中m2運(yùn)動的位移運(yùn)動的位移共速過后，與分別減速運(yùn)動，對m2受力分析得代入數(shù)據(jù)解得對和構(gòu)成的整體受力分析得代入數(shù)據(jù)解得m2對地位移的對地位移最終計算可得距離最右端的長度9．（2024福建福州二模）如圖所示，在豎直向下的勻強(qiáng)電場中有軌道ABCDFMNP，其中BC部分為水平軌道，與曲面AB平滑連接。CDF和FMN是豎直放置的半圓軌道，在最高點F對接，與BC在C點相切。NP為一與FMN相切的水平平臺，P處固定一輕彈簧。點D、N、P在同一水平線上。水平軌道BC粗糙，其余軌道均光滑，可視為質(zhì)點的質(zhì)量為m=0.02kg的帶正電的滑塊從曲面AB上某處由靜止釋放。已知勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)E=2N/C，BC段長度L=1m，CDF的半徑R=0.2m。FMN的半徑r=0.1m?；瑝K帶電量q=0.1C，滑塊與BC間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，重力加速度g=10m/s2；求：(1)滑塊通過半圓軌道CDF最高點F的最小速度vF；(2)若滑塊恰好能通過F點，求滑塊釋放點到水平軌道BC的高度h0；(3)若滑塊在整個運(yùn)動過程中，始終不脫離軌道，且彈簧的形變始終在彈性限度內(nèi)，求滑塊釋放點到水平軌道BC的高度h需要滿足的條件。答案(1)2m/s(2)1m(3)km≤h≤（0.7+k）m（k=0，1，2，3……）解析（1）小球在F點根據(jù)牛頓第二定律有解得（2）設(shè)小球由h0處釋放恰好通過F點，對小球從釋放至F點這一過程由動能定理得解得（3）討論①小球第一次運(yùn)動到D點速度為零，對該過程由動能定理得解得則當(dāng)h≤0.7m時，小球不過D點，不脫離軌道。②小球第一次進(jìn)入圓軌道可以經(jīng)過F點，壓縮彈簧被反彈，沿軌道PNMFDCBA運(yùn)動，再次返回后不過D。小球恰好可以經(jīng)過F點，由動能定理可得解得則當(dāng)h≥1m時，小球可以通過F點。小球再次返回剛好到D點解得則當(dāng)h≤1.7m時，小球被彈簧反彈往復(fù)運(yùn)動后不過D點；綜上，當(dāng)1m≤h≤1.7m，小球第一次進(jìn)入圓軌道可以通過F點，往復(fù)運(yùn)動第二次后不過D點，滿足始終不脫離軌道。③小球第一次進(jìn)入圓軌道可以經(jīng)過F點，壓縮彈簧被反彈，第二次往復(fù)運(yùn)動時滿足小球恰好可以經(jīng)過F點，由動能定理可得解得則當(dāng)h≥2m時，小球可以兩次通過F點；小球再次返回剛好到D點解得則當(dāng)h≤2.7m時，小球被彈簧反彈第二次往復(fù)運(yùn)動后不過D點；綜上2m≤h≤2.7m，小球第一、二次進(jìn)入圓軌道可以通過F點，往復(fù)運(yùn)動第二次后不過D點，滿足始終不脫離軌道。以此類推，可得當(dāng)h滿足km≤h≤（0.7+k）m（k=0，1，2，3……）小球不脫離軌道。1．（2024北京高考真題）科學(xué)家根據(jù)天文觀測提出宇宙膨脹模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物質(zhì)（星體等）在做彼此遠(yuǎn)離運(yùn)動，且質(zhì)量始終均勻分布，在宇宙中所有位置觀測的結(jié)果都一樣。以某一點O為觀測點，以質(zhì)量為m的小星體（記為P）為觀測對象。當(dāng)前P到O點的距離為，宇宙的密度為。（1）求小星體P遠(yuǎn)離到處時宇宙的密度ρ；（2）以O(shè)點為球心，以小星體P到O點的距離為半徑建立球面。P受到的萬有引力相當(dāng)于球內(nèi)質(zhì)量集中于O點對P的引力。已知質(zhì)量為和、距離為R的兩個質(zhì)點間的引力勢能，G為引力常量。僅考慮萬有引力和P遠(yuǎn)離O點的徑向運(yùn)動。a．求小星體P從處遠(yuǎn)離到。處的過程中動能的變化量；b．宇宙中各星體遠(yuǎn)離觀測點的速率v滿足哈勃定律，其中r為星體到觀測點的距離，H為哈勃系數(shù)。H與時間t有關(guān)但與r無關(guān)，分析說明H隨t增大還是減小。答案（1）；（2）a．；b．H隨t增大而減小解析（1）在宇宙中所有位置觀測的結(jié)果都一樣，則小星體P運(yùn)動前后距離O點半徑為和的球內(nèi)質(zhì)量相同，即解得小星體P遠(yuǎn)離到處時宇宙的密度（2）a．此球內(nèi)的質(zhì)量P從處遠(yuǎn)離到處，由能量守恒定律得，動能的變化量b．由a知星體的速度隨增大而減小，星體到觀測點距離越大，運(yùn)動時間t越長，由知，H減小，故H隨t增大而減小。2．（2023北京高考真題）螺旋星系中有大量的恒星和星際物質(zhì)，主要分布在半徑為R的球體內(nèi)，球體外僅有極少的恒星。球體內(nèi)物質(zhì)總質(zhì)量為M，可認(rèn)為均勻分布，球體內(nèi)外的所有恒星都繞星系中心做勻速圓周運(yùn)動，恒星到星系中心的距離為r，引力常量為G。（1）求區(qū)域的恒星做勻速圓周運(yùn)動的速度大小v與r的關(guān)系；（2）根據(jù)電荷均勻分布的球殼內(nèi)試探電荷所受庫侖力的合力為零，利用庫侖力