專題25圓壓軸綜合和切線的性質(zhì)定理（5大

考點(diǎn)）

【考點(diǎn)歸納】

一、考點(diǎn)01線段問題----------------------------------------------------------------------------1

二、考點(diǎn)02角度問題----------------------------------------------------------------------------6

三、考點(diǎn)03圓與三角形綜合----------------------------------------------------------------------10

四、考點(diǎn)04圓與四邊形綜合---------------------------------------------------------------------13

五、考點(diǎn)05切線的性質(zhì)定理---------------------------------------------------------------------16

考點(diǎn)01線段問題

一、考點(diǎn)01線段問題

1.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在中，ZC=90°,。為斜邊上一點(diǎn)，以8。為直徑作。

交/C于E,尸兩點(diǎn)，連接BE,BF,DF.

⑴求證：BCDF=BFCE■,

(2)若44=tanZBFC=V?,AF=40,求CF的長和。。的直徑.

2.（2024?北京?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系X0中，。。的半徑為1,對于。。的弦和不在直線45上

的點(diǎn)C,給出如下定義：若點(diǎn)C關(guān)于直線45的對稱點(diǎn)C'在OO上或其內(nèi)部，且乙4c8=a,則稱點(diǎn)C是弦

AB的“a可及點(diǎn)”.

試卷第1頁，共150頁

(1)如圖，點(diǎn)/(0,1),5(1,0).

①在點(diǎn)C12,0),C2(l,2),。3(別中，點(diǎn)是弦N8的“夕可及點(diǎn)”，其中夕=。；

②若點(diǎn)。是弦48的“90。可及點(diǎn)”，則點(diǎn)。的橫坐標(biāo)的最大值為；

(2)已知P是直線y=瓜-百上一?點(diǎn)，且存在。。的弦使得點(diǎn)P是弦"N的"60。可及點(diǎn)”.記點(diǎn)P的橫

坐標(biāo)為f,直接寫出f的取值范圍.

3.(2024?北京?中考真題)如圖，48是。。的直徑，點(diǎn)C,。在。。上，平分N/OC.

(1)求證：OD〃BC；

OF5

(2)延長。。交。。于點(diǎn)E,連接CE交05于點(diǎn)方，過點(diǎn)5作。。的切線交。石的延長線于點(diǎn)尸.若干=:，

BF6

PE=\,求。。半徑的長.

4.(2024?山東濟(jì)南?中考真題)如圖，/反CD為。。的直徑，點(diǎn)E在筋上，連接點(diǎn)G在AD的延

長線上，AB^AG,ZEAD+ZEDB=45°.

⑴求證：ZG與。。相切；

(2)若BG=46,sin/ZME=；,求的長.

5.(2024?山東濰坊?中考真題)如圖，已知V/BC內(nèi)接于OO,48是。。的直徑，/A4c的平分線交O。于

點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。E1/C,交/C的延長線于點(diǎn)E,連接5D,CD.

試卷第2頁，共150頁

（1）求證：是。。的切線；

⑵若CE=1,smZBAD=1,求。。的直徑.

6.（2024?陜西?中考真題）問題提出

（1）如圖1,在V/3C中，48=15,/C=30。，作VA8C的外接圓。O.則Q的長為；（結(jié)果

（2）如圖2所示，道路48的一側(cè)是濕地.某生態(tài)研究所在濕地上建有觀測點(diǎn)D,E,C,線段ND4C和BC

為觀測步道,其中點(diǎn)N和點(diǎn)3為觀測步道出入口，已知點(diǎn)￡在/C上，且/￡=EC,ZDAB=60°,NABC=120°,

23=1200m,AD^BC=900m,現(xiàn)要在濕地上修建一個新觀測點(diǎn)產(chǎn)，使/DPC=60。.再在線段48上選一

個新的步道出入口點(diǎn)尸，并修通三條新步道PRPD,PC,使新步道PF經(jīng)過觀測點(diǎn)￡,并將五邊形4BCPD

的面積平分.

請問：是否存在滿足要求的點(diǎn)P和點(diǎn)尸?若存在，求此時小的長；若不存在，請說明理由.（點(diǎn)4B,C,

P,。在同一平面內(nèi)，道路與觀測步道的寬、觀測點(diǎn)及出入口的大小均忽略不計，結(jié)果保留根號）

7.（2024?上海?中考真題）在梯形/BCD中，4D〃BC,點(diǎn)￡在邊NB上，且=

試卷第3頁，共150頁

(1)如圖1所示，點(diǎn)尸在邊。上，且DF=#D,聯(lián)結(jié)E產(chǎn)，求證：EF//BC；

(2)己知AD=AE=1；

①如圖2所示，聯(lián)結(jié)如果VNDE外接圓的心恰好落在的平分線上，求V/AE的外接圓的半徑長；

②如圖3所示,如果點(diǎn)M在邊3c上，聯(lián)結(jié)及11、。河、￡。，。四與￡。交于川,如果8。=4,且。02=&1.0￥,

ZDMC=ZCEM,求邊CO的長.

8.(2023?上海?中考真題)如圖(1)所示，已知在A/8C中，AB=AC,。在邊AB上，點(diǎn)廠為邊08中點(diǎn)，

為以。為圓心，50為半徑的圓分別交CB,/C于點(diǎn)D,E,聯(lián)結(jié)昉交OD于點(diǎn)G.

圖⑴

(1)如果OG=Z)G,求證：四邊形CEG。為平行四邊形;

(2)如圖(2)所示，聯(lián)結(jié)OE,^BAC=90°,ZOFE=ZDOE,AO=4,求邊08的長;

(3)聯(lián)結(jié)3G,如果AOBG是以08為腰的等腰三角形，S.AO=OF,求器的值?

9.(2024?黑龍江綏化?中考真題)如圖1,。是正方形48co對角線上一點(diǎn)，以。為圓心，0C長為半徑的。。

與4。相切于點(diǎn)E,與/C相交于點(diǎn)尸.

試卷第4頁，共150頁

（2）若正方形/BCD的邊長為a+1，求。。的半徑.

（3）如圖2,在（2）的條件下，若點(diǎn)M是半徑0C上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)“作MNLOC交無于點(diǎn)N.當(dāng)

CM:W=1:4時，求CN的長.

10.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，在菱形48CZ）中，/C=120。.點(diǎn)E在射線8c上運(yùn)動（不與點(diǎn)B,

點(diǎn)C重合），A/EB關(guān)于NE的軸對稱圖形為.

（1）當(dāng)48/尸=30。時，試判斷線段AF和線段ND的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；

⑵若48=6+66，OO為△/￡尸的外接圓，設(shè)。。的半徑為

①求〃的取值范圍；

②連接ED,直線￡0能否與。。相切？如果能，求3E的長度；如果不能，請說明理由.

11.（2024?浙江?中考真題）如圖，在圓內(nèi)接四邊形48CD中，AD<AC,ZADC<ZBAD,延長4D至點(diǎn)￡,

使/￡=/C,延長胡至點(diǎn)R連結(jié)￡尸，使/4FE=/4DC.

⑴若Z4EE=60。，CD為直徑，求的度數(shù).

（2）求證：①EF〃BC；②EF=BD.

12.（2023?浙江?中考真題）小賀在復(fù)習(xí)浙教版教材九上第81頁第5題后，進(jìn)行變式、探究與思考：如圖1,

。。的直徑CD垂直弦于點(diǎn)E,且CE=8,DE=2.

試卷第5頁，共150頁

圖2圖3

(1)復(fù)習(xí)回顧：求48的長.

(2)探究拓展：如圖2,連接NC,點(diǎn)G是前上一動點(diǎn)，連接ZG,延長CG交的延長線于點(diǎn)F

①當(dāng)點(diǎn)G是前的中點(diǎn)時，求證：ZGAF=ZF；

②設(shè)CG=x,CF=y,請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并說明理由；

③如圖3,連接。EBG,當(dāng)VCD尸為等腰三角形時，請計算2G的長.

13.(2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題)在綜合實(shí)踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊情

況，猜想結(jié)論，然后再研究一般情況，證明結(jié)論.

如圖，已知V4BC,CA=CB,。。是V48c的外接圓，點(diǎn)。在OO上(AD>BD),連接AD、BD、CD.

【特殊化感知】

(1)如圖1,若44c2=60。，點(diǎn)。在NO延長線上，則ND-8。與CD的數(shù)量關(guān)系為；

【一般化探究】

(2)如圖2,若N/C2=60。，點(diǎn)C、。在同側(cè)，判斷與CD的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

【拓展性延伸】

(3)若ZACB=a,直接寫出AD、BD、CD滿足的數(shù)量關(guān)系.(用含a的式子表示)

考點(diǎn)02角度問題

二、考點(diǎn)02角度問題

14.(2024?湖南?中考真題)【問題背景】

已知點(diǎn)/是半徑為r的。。上的定點(diǎn)，連接,將線段。4繞點(diǎn)。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90。)得到OE,

試卷第6頁，共150頁

連接/E,過點(diǎn)/作。。的切線/,在直線/上取點(diǎn)C,使得為銳角.

【初步感知】

（1）如圖1,當(dāng)a=60。時，ZCAE=_°；

圖1

【問題探究】

（2）以線段/C為對角線作矩形45C。，使得邊AD過點(diǎn)￡,連接CE,對角線/C,8。相交于點(diǎn)R

①如圖2,當(dāng)/C=2r時，求證：無論"在給定的范圍內(nèi)如何變化，BC=CD+ED總成立:

圖2

4CF2AR

②如圖3,當(dāng)4C=:r,*=:時，請補(bǔ)全圖形，并求tanc及黑的值.

3OE3BC

圖3

15.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）數(shù)學(xué)活動課上，某小組將一個含45。的三角尺/所利一個正方形紙板

A8CD如圖1擺放，若/E=l,AB=2.將三角尺/環(huán)繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)a（O°VaV9O。）角，觀察圖

形的變化，完成探究活動.

試卷第7頁，共150頁

【初步探究】

如圖2,連接8E,。尸并延長，延長線相交于點(diǎn)G,8G交么。于點(diǎn)

問題1BE和。E的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是

【深入探究】

應(yīng)用問題1的結(jié)論解決下面的問題.

問題2如圖3,連接80,點(diǎn)。是3。的中點(diǎn)，連接。4,OG.求證。/=O0=OG.

【嘗試應(yīng)用】

問題3如圖4,請直接寫出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角二從0。變化到60。時，點(diǎn)G經(jīng)過路線的長度.

16.（2024?江蘇連云港?中考真題）【問題情境】

（1）如圖1,圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形面

積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45。（如圖2）,這時候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的

倍.由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略；

（2）如圖3,圖①是一個對角線互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d之間存在某種數(shù)量關(guān)系.小昕按所示

步驟進(jìn)行操作，并將最終圖形抽象成圖4.請你結(jié)合整個變化過程，直接寫出圖4中以矩形內(nèi)一點(diǎn)尸為端點(diǎn)

的四條線段之間的數(shù)量關(guān)系；

試卷第8頁，共150頁

【探究應(yīng)用】

(3)如圖5,在圖3中“④”的基礎(chǔ)上，小昕將△尸DC繞點(diǎn)尸逆時針旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中乙D4P存在最

大值.若P￡=8,PF=5,當(dāng)404P最大時，求40的長；

圖5

(4)如圖6,在中，NC=90。，點(diǎn)D、E分另！J在邊NC和3c上，連接DE、AE、BD.若/C+CD=5,

BC+CE=8,求/E+3D的最小值.

圖6

17.(2024?江蘇常州?中考真題)對于平面內(nèi)有公共點(diǎn)的兩個圖形，若將其中一個圖形沿著某個方向移動一

定的距離/后與另一個圖形重合，則稱這兩個圖形存在“平移關(guān)聯(lián)”，其中一個圖形叫做另一個圖形的“平移

關(guān)聯(lián)圖形”.

(1)如圖1,B、C、。是線段/￡的四等分點(diǎn).若ZE=4,則在圖中，線段NC的“平移關(guān)聯(lián)圖形”是

d=(寫出符合條件的一種情況即可)；

試卷第9頁，共150頁

（2）如圖2,等邊三角形N3C的邊長是2.用直尺和圓規(guī)作出VN8C的一個“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足d=2（保

留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（3）如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xQv中，點(diǎn)。、E、G的坐標(biāo)分別是（-1,0）、（1,0）、（0,4）,以點(diǎn)G為圓心，r為

半徑畫圓.若對。G上的任意點(diǎn)下，連接DE、EF、ED所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形“，且滿足“23,

直接寫出廠的取值范圍.

18.（2024?四川德陽?中考真題）已知。。的半徑為5,B、C是。。上兩定點(diǎn)，點(diǎn)A是。。上一動點(diǎn)，且

NBAC=60°,ZBAC的平分線交。。于點(diǎn)D.

（1）證明：點(diǎn)。為前上一定點(diǎn)；

（2）過點(diǎn)D作BC的平行線交A8的延長線于點(diǎn)F.

①判斷。尸與。O的位置關(guān)系，并說明理由；

②若V48c為銳角三角形，求。尸的取值范圍.

考點(diǎn)03圓與三角形綜合

三、考點(diǎn)03圓與三角形綜合

19.（2023?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，NB是。。的直徑，E為。。上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是淞的中點(diǎn)，連接8C,

過點(diǎn)C的直線垂直于8E的延長線于點(diǎn)D,交BA的延長線于點(diǎn)尸.

Q）若PC=2枝BO,尸3=10,求8E的長.

20.（2023?黑龍江哈爾濱?中考真題）已知V48c內(nèi)接于。。，42為。。的直徑，N為就的中點(diǎn)，連接ON

交AC于點(diǎn)、H.

試卷第10頁，共150頁

DD

圖③

(2)如圖②，點(diǎn)。在OO上，連接。8,DO,DC,DC交OH于點(diǎn)、E,若DB=DC,求證OZ)〃/C；

(3)如圖③，在(2)的條件下，點(diǎn)f在AD上,過點(diǎn)尸作尸G，。。，交DO于點(diǎn)G.DG=S,過點(diǎn)/作ERLOE,

垂足為尺，連接跖，EA,斯:。尸=3:2,點(diǎn)7在BC的延長線上，連接/T,過點(diǎn)T作7M交DC

的延長線于點(diǎn)若FR=CM,AT=班,求N3的長.

21.(2023?遼寧錦州?中考真題)如圖，/E為。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，45與。。相切于點(diǎn)N,與OC延

長線交于點(diǎn)3,過點(diǎn)2作交NC的延長線于點(diǎn)D

⑴求證：AB=BD；

3

(2)點(diǎn)尸為。。上一點(diǎn)，連接EP,BF,BF與AE交于■點(diǎn)、G.若/E=45。，AB=5,tanZABG^-,求。。

的半徑及4。的長.

22.(2023?吉林長春?中考真題)【感知】如圖①，點(diǎn)4B、尸均在。。上，乙408=90。，則銳角的

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，O。是等邊三角形N3C的外接圓，點(diǎn)尸在上(點(diǎn)P不與點(diǎn)

試卷第11頁，共150頁

A,。重合)，連結(jié)尸/、PB、PC.求證：P3=P/+PC.小明發(fā)現(xiàn)，延長尸/至點(diǎn)E,使4E=PC,連結(jié)BE,

通過證明△尸8C四△ER4,可推得PBE是等邊三角形，進(jìn)而得證.

下面是小明的部分證明過程：

證明：延長尸/至點(diǎn)E,使Z￡=PC,連結(jié)BE,

四邊形48cp是。。的內(nèi)接四邊形，

ZBAP+ZBCP=180°.

???NB4P+NB4E=180°,

ZBCP=NBAE.

?.?A/8C是等邊三角形.

BA=BC,

:.APBC知EB4(SAS)

請你補(bǔ)全余下的證明過程.

【應(yīng)用】如圖③，。。是V4BC的外接圓，ZABC=90°,/3=3C,點(diǎn)P在。。上，且點(diǎn)尸與點(diǎn)5在NC的

PR

兩側(cè)，連結(jié)尸/、PB、PC.若PB=2?PA,則正的值為.

23.(2023?湖北宜昌?中考真題)如圖1,已知N3是。。的直徑，尸8是。。的切線，P4交。。于點(diǎn)C,

A3=4,PB=3.

(1)填空：NPA4的度數(shù)是,尸/的長為；

⑵求V/8C的面積；

(3)如圖2,CDLAB,垂足為D.E是公上一點(diǎn)，AE=5EC.延長NE,與DC,BP的延長線分別交于

點(diǎn)EG,求竺的值.

24.(2023?浙江臺州?中考真題)我們可以通過中心投影的方法建立圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，用直

線上點(diǎn)的位置刻畫圓上點(diǎn)的位置，如圖，N8是。。的直徑，直線/是。。的切線，3為切點(diǎn).P,。是圓上

試卷第12頁，共150頁

兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合，且在直徑的同側(cè)），分別作射線/尸，月。交直線/于點(diǎn)。，點(diǎn)D.

⑵如圖2,當(dāng)*,我而時，求H的值?

（3）如圖3,當(dāng)sin/A40=乎，BC=CD^,連接AP,PQ,直接寫出器的值.

25.（2024?河北?中考真題）已知。。的半徑為3,弦MN=2亞,V4BC中，NABC=90°,AB=3,BC=36.在

平面上，先將V/BC和。。按圖1位置擺放（點(diǎn)2與點(diǎn)N重合，點(diǎn)/在O。上，點(diǎn)C在O。內(nèi)），隨后移動

NABC,使點(diǎn)8在弦"N上移動，點(diǎn)/始終在。。上隨之移動，設(shè)BN=x.

（2）當(dāng)。4〃MV時，如圖2,求點(diǎn)3到。/的距離，并求此時x的值；

（3）設(shè)點(diǎn)O到BC的距離為d.

①當(dāng)點(diǎn)/在劣弧而上，且過點(diǎn)/的切線與/C垂直時，求d的值；

②直接寫出4的最小值.

考點(diǎn)04圓與四邊形綜合

四、考點(diǎn)04圓與四邊形綜合

26.（2024?山東泰安?中考真題）如圖，菱形N3CD中，々=60。，點(diǎn)E是48邊上的點(diǎn)，AE=4,BE=8,

點(diǎn)尸是BC上的一點(diǎn)，AEGF是以點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)，NEFG為30。角的直角三角形，連結(jié)4G.當(dāng)點(diǎn)尸在直線

試卷第13頁，共150頁

BC上運(yùn)動時，線段/G的最小值是（）

A.2B.4百-2C.273D.4

27.（2024?四川達(dá)州?中考真題）如圖，V/2C是等腰直角三角形，ZABC=90°,4B=4,點(diǎn)D,E分別在

AC,3c邊上運(yùn)動，連結(jié)NE,BD交于點(diǎn)、F,且始終滿足/。=變。￡,則下列結(jié)論：①匹=夜；

2BD

②NDFE=135°；③△/昉面積的最大值是4逝一4;④CF的最小值是2所-2vL其中正確的是（）

C.②③④D.①②③④

28.（2024?河南?中考真題）如圖，在中，ZACB=90°,CA=CB=3,線段CD繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋

轉(zhuǎn)，過點(diǎn)8作/。的垂線，交射線于點(diǎn)￡.若CD=1,則/E的最大值為,最小值為.

29.（2024?湖南長沙?中考真題）對于凸四邊形，根據(jù)它有無外接圓（四個頂點(diǎn)都在同一個圓上）與內(nèi)切圓

（四條邊都與同一個圓相切）,

可分為四種類型，我們不妨約定：

既無外接圓，又無內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；

只有外接圓，而無內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓''四邊形；

只有內(nèi)接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形；

既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形.

請你根據(jù)該約定，解答下列問題：

（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應(yīng)的括號中，正確的打W"，錯誤的打“X”,

試卷第14頁，共150頁

①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；（）

②內(nèi)角不等于90。的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；（）

③若“完美型雙圓''四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為心內(nèi)切圓半徑為八則有

）

⑵如圖1,已知四邊形內(nèi)接于。。，四條邊長滿足：AB+CD^BC+AD.

①該四邊形/BCD是“_____"四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）;

②若434D的平分線/￡交。。于點(diǎn)E,/BCD的平分線CF交。。于點(diǎn)尸，連接EF.求證：E尸是。。的

圖3

⑶已知四邊形/8CA是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓。。與48,BC,CD,40分別相切于點(diǎn)E,F,G,

H.

①如圖2.連接EG,FH交于點(diǎn)、P.求證：EG±FH.

②如圖3,連接04OB,OC,OD,若。4=2,02=6,OC=3,求內(nèi)切圓。。的半徑r及。。的長.

30.（2024?湖北?中考真題）如圖，在Rta/BC中，NNCS=90。，點(diǎn)E在NC上，以CE為直徑的。。經(jīng)過48

上的點(diǎn)D,與OB交于點(diǎn)、尸,且AD=BC.

（1）求證：AB是。。的切線;

⑵若40=百，AE=1,求）的長.

31.（2024?海南?中考真題）正方形4BCD中，點(diǎn)E是邊8C上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)3、C重合），Zl=Z2,AE=EF,

AF交CD于點(diǎn)、H,尸G,3c交2c延長線于點(diǎn)G.

試卷第15頁，共150頁

⑵如圖2,瓦W_L/尸于點(diǎn)P,交/。于點(diǎn)

①求證：點(diǎn)尸在/N2C的平分線上；

②當(dāng)g=小時，猜想/P與的數(shù)量關(guān)系，并證明；

DH

③作HN工AE于點(diǎn)、N,連接MMHE,當(dāng)MN〃/ffi時，若48=6,求8E的值.

32.（2024?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，A/CD內(nèi)接于。。，直徑48交CD于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作射線。尸，使得

ZADF=ZACD,延長。C交過點(diǎn)3的切線于點(diǎn)E,連接3c.

Q

⑵若CD=1CG,BE=3CE=3.

①求DE的長；

②求。。的半徑.

考點(diǎn)05切線的性質(zhì)定理

五、考點(diǎn)05切線的性質(zhì)定理

33.（2024?甘肅蘭州?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：點(diǎn)尸是圖形少外一點(diǎn)，點(diǎn)。在

PO1

尸。的延長線上，使得吊=不，如果點(diǎn)。在圖形少上，則稱點(diǎn)尸是圖形少的“延長2分點(diǎn)”，例如：如圖1,

（3、po1

^（2,4）,5（2,2）,P-1,--是線段外一點(diǎn)，。（2,3）在PO的延長線上，且吊=不，因為點(diǎn)。在線段28上,

所以點(diǎn)尸是線段的“延長2分點(diǎn)”.

試卷第16頁，共150頁

8(2,2),在吊_|,_1)劣(_1「1底(-1,_2)中,

（1）如圖1,已知圖形%:線段48,/(2,4),是

圖形所的“延長2分點(diǎn)”;

⑵如圖2,已知圖形%:線段8C,8(2,2),C（5,2）,若直線MN-.y=-x+b上存在點(diǎn)尸是圖形％的“延

長2分點(diǎn)”，求6的最小值:

（3）如圖3,已知圖形色:以T&1）為圓心，半徑為1的eT,若以。（-1,-2）,￡（-1,1）,尸（2,1）為頂點(diǎn)的等

腰直角三角形。所上存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)P是圖形色的“延長2分點(diǎn)”.請直接寫出/的取值范圍.

34.（2024?甘肅蘭州?中考真題）如圖，V/BC內(nèi)接于OO,為O。的直徑，點(diǎn)D為O。上一點(diǎn)，BC=BD,

延長創(chuàng)至E,使得N4DE=NCB4.

（1）求證：ED是O。的切線；

（2）若8O=4,tan/CA4=；,求的長.

35.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，“8C為。。的內(nèi)接三角形，48為。。的直徑，將“8C沿直線4B

翻折到點(diǎn)。在。。上.連接CD,交力8于點(diǎn)￡,延長BD,CA,兩線相交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)A作O。的

切線交8P于點(diǎn)G.

試卷第17頁，共150頁

(1)求證：AG//CD；

(2)求證：P#=PG?PB;

(3)若sin/4PZ)=；,PG=6.求tan/XGB的值.

36.(2024?山東濟(jì)寧?中考真題)如圖，V/8C內(nèi)接于。。，。是3C上一點(diǎn)，AD=AC.E是。。外一點(diǎn),

(1)若48=8,求/E的長；

(2)求證：ES是。。的切線.

37.(2024?江蘇常州?中考真題)將邊長均為6cm的等邊三角形紙片/2C、尸疊放在一起，使點(diǎn)E、B分

別在邊NC、Z)F±(端點(diǎn)除外)，邊48、E/相交于點(diǎn)G,邊BC、DE相交于點(diǎn)〃

(2)如圖2,若EF〃BC,求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；

(3)如圖3,當(dāng)AE>EC,FB>BD^,NE與必有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由.

38.(2024?湖北?中考真題)RtZ\48C中，N/C8=90。，點(diǎn)。在/C上，以O(shè)C為半徑的圓交于點(diǎn)。，交

NC于點(diǎn)E.S.BD=BC.

試卷第18頁，共150頁

⑴求證：NB是。。的切線.

(2)連接。2交。。于點(diǎn)尸，若AD=?AE=1,求弧CF的長.

39.(2024?青海?中考真題)如圖，直線45經(jīng)過點(diǎn)C,且CM=03,CA=CB.

(1)求證：直線48是。。的切線；

⑵若圓的半徑為4,ZS=30°,求陰影部分的面積.

40.(2024?貴州?中考真題)如圖，AB為半圓。的直徑，點(diǎn)尸在半圓上，點(diǎn)P在AB的延長線上，PC與半

圓相切于點(diǎn)C,與。尸的延長線相交于點(diǎn)D4c與。尸相交于點(diǎn)E,DC=DE.

⑴寫出圖中一個與NDEC相等的角：；

(2)求證：OD工4B；

(3)若CM=2OE,DF=2,求必的長.

41.(2024?江蘇蘇州?中考真題)如圖，VABC中，=4也，。為48中點(diǎn)，ABAC=ZBCD,cosZADC=—,

。。是A/CZ)的外接圓.

⑴求8c的長；

(2)求。。的半徑.

42.(2024?天津?中考真題)已知V/08中，NAB。=30。,/3為。。的弦，直線"N與。。相切于點(diǎn)C.

試卷第19頁，共150頁

(1)如圖①，若AB〃MN,直徑CE與48相交于點(diǎn)。，求和48CE的大小；

(2)如圖②，若OB〃MN,CGLAB,垂足為G,CG與02相交于點(diǎn)￡04=3,求線段。尸的長.

43.(2024?甘肅?中考真題)如圖，是。。的直徑，病=訪，點(diǎn)￡在的延長線上，且NADC=NAEB.

(1)求證：BE是。。的切線；

(2)當(dāng)。。的半徑為2,BC=3時，求tan/XEB的值.

44.(2024?山東?中考真題)如圖，在四邊形/BCD中，AD//BC,ZDAB=60°,AB=BC=2AD=2.以

點(diǎn)A為圓心，以為半徑作項交48于點(diǎn)￡,以點(diǎn)8為圓心，以BE為半徑作》所交BC于點(diǎn)尸，連接網(wǎng)＞

交》于另一點(diǎn)G,連接CG.

⑴求證：CG為樂所在圓的切線；

(2)求圖中陰影部分面積.(結(jié)果保留萬)

45.(2024?廣東深圳?中考真題)如圖，在△48。中，AB=BD,。。為△48。的外接圓，BE為。。的切線,

/C為O。的直徑，連接。C并延長交8E于點(diǎn)E.

試卷第20頁，共150頁

(1)求證：DELBE-,

Q)若AB=5&,BE=5,求。。的半徑.

46.(2024?遼寧?中考真題)如圖，。。是V/5C的外接圓，48是。。的直徑，點(diǎn)。在前上，AC=BD,E

在A4的延長線上，ACEA=ACAD.

(1)如圖1,求證：CE是。。的切線；

(2)如圖2,若NCEA=2NDAB,04=8,求前的長.

47.(2024?四川?中考真題)如圖，AB為。O的弦，C為標(biāo)的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作CD〃/2,交。3的延長線

于點(diǎn)。.連接04OC.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若。4=3,應(yīng))=2,求AOCD的面積.

試卷第21頁，共150頁

專題25圓壓軸綜合和切線的性質(zhì)定理（5大

考點(diǎn)）（解析版）

【考點(diǎn)歸納】

一、考點(diǎn)01線段問題-----------------------------------------------------------------------------1

二、考點(diǎn)02角度問題----------------------------------------------------------------------------6

三、考點(diǎn)03圓與三角形綜合----------------------------------------------------------------------10

四、考點(diǎn)04圓與四邊形綜合---------------------------------------------------------------------13

五、考點(diǎn)05切線的性質(zhì)定理---------------------------------------------------------------------16

考點(diǎn)01線段問題

1.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在Rt448C中，ZC=90°,。為斜邊上一點(diǎn)，以8。為直徑作

QO,交/C于E,尸兩點(diǎn)，連接BE,BF,DF.

(1)求證：BCDF=BFCE■,

⑵若ZA=NCBF,tanNBFC=BAF=4。,求CF的長和的直徑.

【答案】(1)見詳解；

(2)75,3瓜

【分析】（1）先證明AEBCSAD瓦/,然后利用對應(yīng)邊成比例，即可證明；

（2）利用AEBCSADRF,知道NEBC=NDBF,從而推出=結(jié)合=產(chǎn)，知道

N4=NEB4,推出/￡=接下來證明N5FC=NN2C,那么有加〃/8bC=tanN48C=6,即

—=—=45,不妨設(shè)CF=x,代入求得CF的長度，不妨設(shè)跖=了，在RtZkCEB和RtACRB中利用勾

CFBC

股定理求得所和5尸的長度，最后利用tanNCE8=tanNED8,求得。下的長度，然后再利用勾股定理求得

試卷第22頁，共150頁

2。的長度.

【詳解】（1）Q8。是。。的直徑

NBFD=9Q°=NC

又：NCEB=NFDB

:AEBCS^DBF

.EC_CB

.而一訪

:.BCDF=BF-CE

（2）由（1）可知，AEBCS^DBF

/EBC=/DBF

/.ZEBC-ZFBE=ZDBF-/FBE

ZCBF=ZEBA

a4=ZCBF

N4=ZEBA

AE=BE

44=ZCBF

/.90°-ZA=90°-ZCBF

/./ABC=ZCFB

tanZBFC=yj~5

tanZBFC=tanAABC=j5

，烏上石

CFBC

不妨設(shè)CF=x,那么。5=石不

???AF=4y[5

x+4/T

「?一r=-=V5

yJ5x

：.X-y/5

CF=45,。8=&=島6=5

不妨設(shè)跖=y,那么4E=AF-EF=4后-y=BE

試卷第23頁，共150頁

在RtZkC匹中，CE=EF+CF=y+45,CB=5,BE=^-y

(y+V5)2+52=(4V5-y)2

?"y=Vs

:.EF=45

在RtZkCEB中，CF=M,BC=5

BF=VCF2+BC2=J(V5)2+52=V30

NCEB=NFDB

tan/CEB=tan/FDB

.CB_BF

,CE~DF

.5_V30

"V5+V5-DF

DF=276

BD=y/DF2+BF2=7(276)2+(V30)2=3x/6

。。的直徑是3街.

【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股

定理，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，二次根式的化簡，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

2.(2024?北京?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系X0中，。。的半徑為1,對于。。的弦42和不在直線

上的點(diǎn)C,給出如下定義：若點(diǎn)C關(guān)于直線48的對稱點(diǎn)C'在OO上或其內(nèi)部，且乙4c8=則稱點(diǎn)C是

弦42的可及點(diǎn)”.

⑴如圖，點(diǎn)s(i,o).

試卷第24頁，共150頁

①在點(diǎn)G（2,0）,C2（l,2）,中，點(diǎn)是弦的可及點(diǎn)”，其中。；

②若點(diǎn)D是弦AB的“90°可及點(diǎn)”，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的最大值為；

（2）已知P是直線y=上一點(diǎn)，且存在。。的弦使得點(diǎn)P是弦的“60。可及點(diǎn)”.記點(diǎn)P的

橫坐標(biāo)為直接寫出/的取值范圍.

【答案】⑴①&，45；②匕正

2

,c、3-而1-,3+V13

424

【分析】（1）由相對運(yùn)動理解，作出。。關(guān)于N8的對稱圓。0',若點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)C'在。。上

或其內(nèi)部，且44c3=a,則稱點(diǎn)C是弦的“a可及點(diǎn)”，則點(diǎn)C應(yīng)在。。，的圓內(nèi)或圓上，先求得

根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法分別判斷即可得出G在。0,上，故符合題意，根據(jù)圓周角定理即可求解

a=-ZAO'B=45°；

2

②取中點(diǎn)為X,連接。X,可確定點(diǎn)。在以〃為圓心，血為半徑的上方半圓上運(yùn)動（不包括端點(diǎn)

A、B）,當(dāng)。"〃x軸時，點(diǎn)。橫坐標(biāo)最大，可求馬=馬+。8=與1,故點(diǎn)。的橫坐標(biāo)的最大值為11；

（2）反過來思考，由相對運(yùn)動理解，作出OO關(guān)于NB的對稱圓。0',故點(diǎn)尸需要在。。'的圓內(nèi)或圓上，作

出的外接圓。。"，連接O"MQ*N,則點(diǎn)尸在以。"為圓心，MO〃為半徑的加上運(yùn)動（不包括端點(diǎn)

M、N）,可求MN=2MQ=6MO",隨著"N的增大，0（7會越來越靠近OO,當(dāng)點(diǎn)O'與點(diǎn)重合時，點(diǎn)

P在OO,上，即為臨界狀態(tài)，此時最大，血W=&M0"=若，由。「40。〃+。?，故當(dāng)力火最大，兒亞=6

時，此時△跖叱為等邊三角形，此時MO"=O"P=^=1,故當(dāng)r=l,。尸的最大值為2,設(shè)尸，，石-8）,

則0尸=（"0）2+（4-6）2=22,解得：仁三普，可求直線與OO交于點(diǎn)7（1,0）,5,，-母），故/

的取值范圍是三叵或1＜鵬士叵.

424

【詳解】（1）解：①：反過來思考，由相對運(yùn)動理解，作出。。關(guān)于的對稱圓

?..若點(diǎn)C關(guān)于直線48的對稱點(diǎn)C'在OO上或其內(nèi)部，且=則稱點(diǎn)C是弦48的“a可及點(diǎn)”，

...點(diǎn)C應(yīng)在的圓內(nèi)或圓上，

試卷第25頁，共150頁

?.?點(diǎn)5(1,0),

OA=OB=\,

而408=90°,

ZABO=ZOAB=45°,

由對稱得：ZO'BA=O'AB=45°,

???A。'"為等腰直角三角形，

設(shè)。。半徑為R,

則。0'=7?齊=0＞火=1,故￡在。0，外，不符合題意;

C2O'=2-l=l=R,故G在。O,上，符合題意；

故C3在外，不符合題意,

二點(diǎn)是弦N5的“C可及點(diǎn)”

可知民。',。2三點(diǎn)共線，

??加=萬，

Z.a=乙4GB=^ZAO'B=45°:

故答案為：G，45；

②取中點(diǎn)為8,連接。〃，

:

_z?u

試卷第26頁，共150頁

*.?ZADB=90°.

：.HD=HA=HB,

?,?點(diǎn)。在以“為圓心，/￡4為半徑的上方半圓上運(yùn)動(不包括端點(diǎn)/、B),

???當(dāng)點(diǎn)。〃〃了軸時，點(diǎn)。橫坐標(biāo)最大，

1

t。卜一方X

VOA=OB=\,408=90。，

??AB=V2，

???點(diǎn)4(0,1),5(1,0),

PI

此時xD=XH+DH=,

.??點(diǎn)。的橫坐標(biāo)的最大值為匕正

故答案為：匕正

(2)解：反過來思考，由相對運(yùn)動理解，作出0。關(guān)于48的對稱圓。0',

:若點(diǎn)C關(guān)于直線”的對稱點(diǎn)C'在。。上或其內(nèi)部，且乙4cB=a,則稱點(diǎn)C是弦的“a可及點(diǎn)”,

...點(diǎn)。應(yīng)在0。'的圓內(nèi)或圓上，

故點(diǎn)P需要在。。'的圓內(nèi)或圓上，

作出的外接圓。。"，連接O"M,O"N,

試卷第27頁，共150頁

...點(diǎn)P在以。"為圓心，V。"為半徑的曲上運(yùn)動（不包括端點(diǎn)m、N）,

：.ZMO"N=2ZMPN=120°,

NO"MN=30°,

由對稱得點(diǎn)0,0'在MN的垂直平分線上，

AMPN的外接圓為。。"，

二點(diǎn)也在&W的垂直平分線上，記O。'與7W交于點(diǎn)0,

/.MQ=cos30°=三MU',

MN=2MQ=s[3MO",

隨著MN的增大，會越來越靠近。6>,當(dāng)點(diǎn)。'與點(diǎn)。"重合時，點(diǎn)尸在。0'上，即為臨界狀態(tài)，此時

試卷第28頁，共150頁

.?.當(dāng)AW最大，兒W=g時，此時為等邊三角形,

由上述過程知MN=2MQ=s/3MO"

:.MO"=O"P=^=l,

V3

二當(dāng),?=1,0尸的最大值為2,

設(shè)尸”,每一石），則OP2=?-0）2+（4