解題秘籍05圓的綜合問題

（9種題型匯總+專題訓I練+模擬預測）

【題型匯總】

【考情分析】圓的綜合問題在中考中常常以選擇題以及解答題的形式出現，解答題居多且分值較大，難度

較高，多考查切線的性質與判定、圓中求線段長度問題和圓中最值問題，一般會用到特殊三角形、特殊四

邊形、相似三角形、銳角三角函數、勾股定理、圖形變換等相關知識點以及數形結合、整體代入等數學思

想.

題型01切線的判定

1）給出了直線與圓的公共點和經過公共點的半徑時，可直接根據“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的

直線是圓的切線”來證明.口訣是“見半徑，證垂直”.

2）給出了直線與圓的公共點，但未給出過這點的半徑時，可連接公共點和圓心，然后根據“經過半徑的外

端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明，口訣是“連半徑，證垂直”.

3）當直線與圓的公共點不明確時，先過圓心作該直線的垂線，然后根據“若圓心到直線的距離等于圓的半

徑,則該直線是圓的切線”來證明.口訣是“作垂直，證相等”.

1.（2024?湖北?中考真題）如圖，在RtaaBC中，^ACB=90°,點E在力C上，以CE為直徑的O。經過ZB

上的點D,與。B交于點F,且8D=8C.

A

(1)求證：48是。。的切線；

(2)若4D=百，AE=1,求6的長.

【答案】(1)證明見解析；

(2號

【分析】(1)連接0D,可得△ODB三△OCB(SSS),得到=NOCB=90。，即得。DJ.4B,即可求證;

(2)設。。的半徑為r,貝U04=r+l,在Rt△。力。中由勾股定理得(r+l)2=(K)+r2,可得r=L

即得tan乙4。。=券=百，得到=60°,進而得到乙8。。=乙BOC=60°,最后利用弧長公式即可求解.

【詳解】(1)證明：連接。。，則。。=。。，

???Z.ODB=乙OCB=90°,

???0D1AB.

■：。。是。。的半徑，

???力B是O。的切線；

(2)解：設。。的半徑為r,貝!]04=r+l,

,:乙0DB=90°,

：.Z.ODA=180°-90°=90°,

在Rt2XO4D中，。42=4。2+。。2,

2

(r+l)2=(V3)+r2,

解得r=1,

???tanZ-AOD=—=V3,

OD

Z.AOD=60°,

???乙DOC=120°

???△ODB=AOCB,

???乙BOD=LBOC=6U。,

???6的長為端H

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，切線的判定，勾股定理，三角函數及弧長公式，求出乙8。。=

乙BOC=60。是解題的關鍵.

2.(2024?青海?中考真題)如圖，直線48經過點C,且。4=OB,CA=CB.

(1)求證：直線48是O。的切線；

(2)若圓的半徑為4,48=30。，求陰影部分的面積.

【答案】(1)詳見解析

⑵S陰影=8巡一與

【分析】本題考查了切線的判定和性質、直角三角形的性質和勾股定理、扇形面積的計算等知識，解題的

關鍵是掌握切線的判定與性質.

(1)利用等腰三角形的性質證得OC，4B,利用切線的判定定理即可得到答案；

(2)在Rt^OCB中，利用直角三角形的性質和勾股定理求得。B=8,BC=4同再根據S陰影=S^CB-

S扇形OCD，計算即可求解.

【詳解】(I)證明：連接。C,

o

v/i:70

/\?/

i/

/N-----------------------------

:在△OAB中，OA=OB,CA=CB,

：.OC1AB,

又：oc是。。的半徑，

.?.直線48是。。的切線；

(2)解：由(1)知NOCB=90。，

WF=30°,

SB=90°-30°=60°,

?C_607r42_87r

?'3扇形。CD—360-3'

在RtZXOCB中，AB=30°,0C=4,

：.0B=8,

：.BC='OB2一。。2=V82-42=4后

:.S&OCB=”C?OC=3X4V3x4=8V3,

S陰影=S&OCB-S扇形.CD=8百~y-

3.(2023?湖北襄陽?中考真題)如圖，在△ABC中，AB=AC,。是8c的中點，。。與4B相切于點D,與BC

交于點E,F,DG是。。的直徑，弦GF的延長線交2C于點H,且GH1AC.

(1)求證：AC是。。的切線；

(2)若。E=2,GH=3,求屬1的長I.

【答案】⑴見解析

(2嚀

【分析】(1)連接。4過點。作0M14C于點M,根據等腰三角形的性質得4。為N瓦1C的平分線，再根據。。

與相切于點。，DG是。。的直徑得0M=。。，進而根據切線的判定可得到結論；

(2)過點E作引V14B于點N,先證△ODEmaOGF得到DE=GF=2,進而得到FH=1,MilEABNE=A

CHF得到EN=FH=1,然而在RJDEN中利用三角函數可求出NEDN=30。，進而得△ODE為等邊三角形，

據此得乙DOE=60。，OD=OE=DE=2,則ZDOF=120。，最后得到弧長公式即可得到答案.

【詳解】(1)證明：連接。4過點。作。于點M,

???AB=AC,。是BC的中點,

40為NB"的平分線，

???。。與48相切于點。，DG是。。的直徑,

。。為。。的半徑，

OD1AB,

又。MJ.4C,

OM=OD,

即。M為。。的半徑，

???4C是。。的切線；

(2)解：過點E作EN1于點N,

BE\O

???點。為O。的圓心,

OD=OG,OE=OF,

在aODE和△OGF中,

OD=OG

Z-DOE=Z-GOF,

OE=OF

.*.△ODEOGF(SAS),

DE—GF,

???DE=2,GH=3,

GF=2,

-.FH=GH-GF=3-2=1,

vAB=AC,。是BC的中點，

AOB=OC,乙B=Z.C,

又OE=OF,

??.BE=CF,

???GHLACfENLAB,

??.Z.BNE=(CHF=90°,

在^BNE和中，

ZBNE=乙CHF

Z-B=ZC,

、BE=CF

.-.ABNE=△CHF(AAS),

??.EN=FH=1,

在RIDDEN中，DE=2,EN=1,

EN1

???sin乙EDN

DE2

???乙EDN=30°,

???OD1AB,

???乙ODE=90°-乙EDN=90°-30°=60°,

又OD=OE,

??.△ODE為等邊三角形，

???乙DOE=60。,OD=OE=DE=2,

???乙DOF=180°-乙DOE=180°-60°=120°,

j60TTX227r

???I=----=——.

1803

【點睛】此題主要考查了切線的判定和性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形

的判定和性質，弧長的計算公式，熟練掌握切線的判定和性質，全等三角形的判定和性質是解答此題的關

鍵.

4.(2024?湖北武漢?中考真題)如圖，△4BC為等腰三角形，。是底邊BC的中點，腰力C與半圓。相切于點D,

底邊8c與半圓。交于E,尸兩點.

(2)連接。4若CD=4,CF=2,求sinz?。4C的值.

【答案】(1)見解析

【分析】本題考查了等腰三角形三線合一，角平分線的判定與性質，解直角三角形，熟練掌握以上知識點

是解題的關鍵.

(1)連接。4、OD,作。N14B交4B于N,根據等腰三角形三線合一可知，AO1BC,4。平分NB4C,結合

4C與半圓。相切于點D,可推出ON=。。，得證；

(2)由題意可得出N04C=NC。。，根據。F=。。，在Rt^ODC中利用勾股定理可求得OD的長度，從而得

到。。的長度，最后根據sinNO"=sinzCOD=器即可求得答案.

【詳解】(1)證明：連接。力、OD,作。N14B交2B于N,如圖

???AO1BC,4。平分NB4C

???4C與半圓。相切于點。

???0D1AC

由ON1AB

■.ON=OD

.MC是半圓。的切線

(2)解：由(1)可知401BC,OD1AC

/.AOC=90°,/.ODC=90°

.-.Z.OAC+Z.OCA=1800-/-AOC=90°,乙COD+/.OCA=180°-4ODC=90°

Z.OAC=4COD

CD

sinZ.OAC=sinzCOD=——

oc

又???OF=OD,CF=2

.?.在RtZkODC中，CD=4,OCOF+FCOD+2

OC2=CD2+OD2,

???(OD+2)2=42+OD2

解得：。。=3

CD_CD_4_4

smZ-OAC=sinzCODOC=OD+2=3+2=5

【模擬預測】

5.(2025?遼寧撫順?一模)如圖，△ABC是。。的內接三角形，“=60。，點D在B。的延長線上，且A8=40.

(1)求證：ZM是。。的切線;

(2)若，。。的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.(結果保留it和根號)

【答案】(1)見解析

(2)y-V3

【分析】本題考查了切線的判定定理、扇形的面積公式，勾股定理，直角三角形的性質等知識點，熟練掌

握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線是解此題的關鍵.

(1)連接。4證明N04D=90。即可得證；

(2)過點。作OE1AB,垂足為點E,求出SA4OB="B-OE=?S扇形。的=需=季再根據S陰影=

S扇形04B一S/X40B計算即可得解?

【詳解】(1)證明：如答圖1,連接04

答圖1VZC=60°,

???^AOB=120°,

OA—OB,

???Z-OBA=Z.OAB,

???在△ZOB中，^AOB+^OBA+Z.OAB=180°,

??.AOBA=Z.OAB=30°,

??,AB=AD,

???AABD=乙ADB=30°,

???在△ZBO中，Z.BAD+/.ABD+AADB=180°,

???^LBAD=120°,

???Z-BAD=Z.OAB+Z.OADj

Z.OAD=90°,即。4I/O,

04是半徑，

￡M是。。的切線.

(2)解：過點。作。E14B,垂足為點E,

D

答圖24OEB=90°,AB=2BE,

??.在RtZ\OEB中，NOBE=30。，OB=2,

.-.OE=1,

???BE2=OB2-OE2=22-I2=3,

BE—y/3,

???AB=2BE=2V3,

S^AOB=3AB-OE=gx2A/3義1=V3,

??、c——nur2—-1-2-0-TT-22——4TI

“扇形。48—360—360-3

"S陰影=S扇形04B_SAAOB---V3.

答：圖中陰影部分的面積為與-后

6.(2025?湖北黃石?一模)如圖，△力BC內接于O。，為直徑,作。。14B交BC于點E,S.DE=DC.

D

(1)求證：直線CD是O。的切線.

(2)如果。力=2舊，OE=2,求圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)見解析

(2)273-n

【分析】（1）連接C。，可得=然后推導4BC。+/OCE=90。，即可解題;

（2）先根據正弦得到/DEC=LOEB=60°,即可求出OC=CE=DE=OE=2,然后根據S陰影=S^OCD一

S扇形解題即可，

【詳解】（1）證明：連接C。，

?：DC=DE,

:?乙DCE=LDEC,

9：0DLAB,

:.乙DOB=90°,

+A.BEO=90°,

:?乙BEO=乙DEC,

VCO=BO,

Z-B=乙BCO,

?"BC。+"CE=90。，

即4。。。=90°,

.??DC為。。的切線；

(2)解:VOA=OB=2V3,OE=2,

AtanzOEB=—=V3,

OE

:?乙DEC=LOEB=60°,

???△CDE是等邊三角形，

:?乙DCE==60°,DC=CE=DE,

又。：(DCO=90°,

:?乙ECO=乙EOC=30°,

：.DC=CE=DE=OE=2,

A0D=4,

???S陰影=S^OCD-s扇形=1X2X2V3-駟筍=2禽-m

【點睛】本題考查切線的判定，等邊三角形的判定和性質，扇形的面積，等腰三角形的性質，解直角三角

形，掌握切線的判定和性質是解題的關鍵.

7.（22-23九年級上?江西贛州?期末）（1）課本再現：如圖1,PA,PB是。。的兩條切線，切點分別為4B.則

圖中的PA與P8,乙4P。與NBP。有什么關系？請說明理由，

（2）知識應用：如圖，PN、PD、DE分別與。。相切于點4B、C,且DE||PN,連接。。、0P,延長P。

交O。于點M,交OE于點E,過點M作MN||。。交PN于N.

①求證：MN是。。的切線；

②當。。=6cm,OP=8cm時，求。。的半徑及圖中陰影部分的面積.

圖1圖2

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②半徑是4.8cm,圖中陰影部分的面積是（24-5.76it）cm2

【分析】本題考查圓的切線的證明、扇形的面積計算等，解題的關鍵在于熟練掌握圓的知識點，切線的證

明與性質，圓中的相關面積計算等.

（1）連接。4和。B,根據切線的性質，可得Rt△力。PmBOP,即可得出結論；

（2）①根據題意求證MN||。。，即可得出MNLOM,即可得出答案；②根據S^POD=g0P-。。=gPDOB,

求出。B的長，再用三角形面積減去扇形面積即可得出答案.

【詳解】（1）證明：如圖1,連接。4和0B,

???PA和P8是。。的兩條切線，

???0A1AP,OB1BP.

又OA=OB,OP=OP.

：■RtAAOP=RtABOP(HL),

??.PA=PB,Z-APO=乙BPO.

(2)①證明：?：PN、PD、DE分別與。。相切于點4、B、C,

：.OD、OP分別平分NPDE、乙DPN.

又???DE||PN.

.-.4PDE+乙DPN=180°.

11

???Z.ODP+Z.DPO=-(4PDE+乙DPN)=,X180°=90°

???KPOD=90°.

又「MN||OD,

■■■MN1OM,

又；MN經過半徑。M的外端點M,

MN是。。的切線.

②解：連接。B,則。B1PD,

OD=6cm,OP=8cm,

：.PD=y/OD2+OP2=V62+82=10,

:.S&POD=%OP-OD=^PD9B,

OB=PD=4.8,

即。。的半徑為4.8cm.

2

陰影=1x6x8-9。；*=24-5.767T(cm)

綜上所述：。。的半徑是4.8cm,圖中陰影部分的面積是(24-5.76?r)cm2.

DC

題型02圓中求線段長度

1）確定位置.確定所求線段所在的三角形.

2)作輔助線.利用圓的相關定理和性質作輔助線.

3)分析計算.分析題目條件并選取合適的方法進行計算.

8.(2024?內蒙古包頭?中考真題)如圖，4B是。。的直徑，是。。的兩條弦，點C與點。在4B的兩側,

E是08上一點(OE>BE),連接。C,CE,5.Z-B0C=1/.BCE.

(1)如圖1,若BE=1,CE=V5,求。。的半徑；

(2)如圖2,若BD=2OE,求證：BDIIOC.(請用兩種證法解答)

【答案】⑴3

(2)見解析

【分析】(1)利用等邊對等角、三角形內角和定理求出N08C=N0C8=3180。-NBOC),結合NBOC=

2乙BCE,可得出4。8。+48。￡'=90。，在RtZkOCE中，利用勾股定理求解即可；

(2)法一:過。作。FlBQ于尸，利用垂徑定理等可得出BF==0E,然后利用HL定理證明Rt△CEO三

RtAOFB,得出NC0E=N0BF,然后利用平行線的判定即可得證；

法二：連接4D,證明△CE0s2\4DB,得出NC0E=然后利用平行線的判定即可得證

【詳解】(1)解:?；0C=0B,

：/OBC=乙OCB=|(180°-ZBOC),

，,ZBOC=2乙BCE,

.-.Z.OBC=；(180。-2乙BCE)=90°-乙BCE,BPzOBC+Z.BCE=90°,

；/OEC=90°,

--0C2=OE2+CE2,

2

：.oc2=(OC-I)2+(Vs),

解得。C=3,

即O。的半徑為3；

(2)證明：法一：過。作。F1BD于R

：.BF=-BD,

2

??,BD=20E

：.0E=BF,

又OC=OB,乙OEC=LBFO=9G。,

.-.Rt△CEO三Rt△。/8(HL),

COE=Z-OBF,

'.BD\\OC；

法二：連接力D,

?MB是直徑,

.-.AADB=90°,

■■.AD=7AB2-BD2=7(2OC)2-(2OE)2=2VOC2-OE2=2CE,

.￡￡_CE_OE_1

''AB~AD~BD~29

.*.△CEOFADB,

:?(COE=Z.ABD,

：,BDWC.

【點睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，全

等三角形的判定與性質等知識，明確題意，靈活運用所學知識解題是解題的關鍵.

9.(2024?江蘇宿遷?中考真題)如圖，在。。中，4B是直徑，CD是弦，且力B1CD,垂足為E,4B=20,CD=12,

在B4的延長線上取一點F,連接CF,使4FCD=2/B.

―o—^

(1)求證：CF是。。的切線;

⑵求EF的長.

【答案】(1)見解析

【分析】本題考查了切線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，圓周角定理，正確地作出

輔助線是解題的關鍵.

(1)連接。C,根據等腰三角形的性質得到NB=NBC。，等量代換得到NFCD=NCOE,得至！J/OCF=90。，

根據切線的判定定理得到結論；

(2)根據垂徑定理得到CE==6,根據勾股定理得到。E=VOC2-CE2=8,根據相似三角形的判定

和性質定理即可得到結論.

【詳解】(1)證明：連接。C,

FAEO]B

???OC=OB,

Z-B=Z-BCO,

???Z-AOC=Z-B+Z-BCO=2/-B,

AB1CD,

???MEO=90°,

??.Z.COE+Z.OCE=90°,

乙FCD=2(B,

???乙FCD=Z-COE,

???乙FCD+Z.OCE=90°,

???乙OCF=90°,

???oc是。。的半徑，

CF是O。的切線；

(2)解：rAB是直徑，CD是弦，且48J.CD,

1

CE=-CD=6,

2

???AB=20,

OC=10,

??.OE=VOC2-CE2=8,

???Z.OCF=Z.OEC=90°,Z.COE=(FOC,

.-.AOCEOFC,

.OC_OE

OFOC

108

:、—=—,

OF10

25

??.OF=—,

2

259

EFOF-OE^--8^-.

22

10.(2024?西藏?中考真題)如圖，4B是O。的直徑，C,。是O。上兩點，連接力C,BC,CO平分乙4CD,CE1DB,

交DB延長線于點E.

C

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)若。。的半徑為5,sinD=2,求的長.

【答案】(1)見解析

⑵BD=￡

【分析】⑴根據角平分線的定義得出NACO=ADC。="江￡),根據圓周角定理得出N4BD=乙4CD=

2乙4CO,證明COIIDE,根據平行線的性質得出NOCE=180。-NCED=90。，得出。C1CE,即可證明結論;

(2)根據比=覺，得出N4=ND,解直角三角形得出BC=4Bxsin力=10x|=6,證明NECB=

解直角三角形得出BE=9x6=￡，根據勾股定理得出CE=7BC2-BE2=心-償f=得解直角三角

形得出8=?此=*當=8,根據勾股定理得出DE=""一CE2='—傳丫=最后求出結果即

可.

【詳解】(1)證明：???C。平分"CD,

1

：^ACO=/.DCO=-Z-ACD,

2

'-'AD=AD,

'-Z-ABD=Z.ACD=2/.ACO,

-AO=CO,

.\Z-ACO=Z.CAO,

??/COB=Z-ACO+Z-CAO=2/.ACO,

?-Z-ABD=乙COB,

???COIIDE,

，：CE1DE,

；/CED=90°,

-COWDE,

"OCE=180°-MED=90°,

，OC1CE,

???oc為半徑，

??.CE是。。的切線；

(2)解：:。。的半徑為5,

-，-AB=2x5=10,

■：BC=BC,

-'-Z-A—乙D,

3

???sin/=sinD-

?MB為。。的直徑,

??.乙4cB=90°,

3

-'-BC—ABxsinA=10x-=6,

??ZECB+Z.BCO=乙BCO+Z.ACO=90°,

?，./-ECB=Z-ACO,

??2ZC。="

:?乙ECB=Z.A,

3

-'-sinZ-ECB=sinZ=

：.CE=VBC2-BE2=J62一管丫=

.nCE3

???sin。=—=

CD5

5y-?v—■524

??.CD=-CE=-x—=8,

335

.■.DE=VCD2-CE2=J82一管丫=卷

：.BD=DE-BE=y-y=y.

【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，解直角三角形的相關計算，勾股定理，等腰三角形的

性質，余角的性質，平行線的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握相關的判定和性質.

11.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，在菱形力BCD中，ZC=120°.點E在射線BC上運動（不與點B,點C

重合），aAEB關于力E的軸對稱圖形為△AEF.

⑴當NB4F=30。時，試判斷線段力F和線段力D的數量和位置關系，并說明理由;

（2）若4B=6+6百，。。為△AEF的外接圓，設O。的半徑為r.

①求丁的取值范圍；

②連接FD,直線FD能否與O。相切？如果能，求BE的長度；如果不能，請說明理由.

【答案】(1)力F=AD,AF1AD

(2)①3+3舊且「72g+6；②能，BE=12

【分析】(1)由菱形的性質可得NB4D=NC=120。，AB=AD,再結合軸對稱的性質可得結論；

(2)①如圖，設△力EF的外接圓為。。，連接力C交B。于H.連接。4,OE,OF,OC,證明△ABC為等邊三

角形，力,E,F,C共圓，N力。E=2/.AFE=120°,。在BD上，N力E。=AEAO=30°,過。作。/14E于/,當4E1

BC時，4E最小，貝!M。最小，再進一步可得答案；②如圖，以力為圓心，4c為半徑畫圓，可得B,C,F,D在

上，延長C4與。力交于3連接。3證明NCFD=180。-30。=150。，可得NOFC=60。，△0C尸為等邊三

角形，證明NB4F=120。—30。=90。，可得：ABAE=^FAE=45°,BE=EF,過E作EM_L力/于M,再進

一步可得答案.

【詳解】(1)解：AF^AD,AFLAD-,理由如下：

?；在菱形4BCD中,ZC=120°,

：./.BAD=NC=120°,AB=AD,

?；4BAF=30°,

：.^FAD=120°-30°=90°,

.,.AF1AD,

由對折可得：AB=AF,

：.AF=AD；

(2)解：①如圖，設△力E尸的外接圓為。。，連接力C交BD于H.連接。4OE,OF,0C,

,?,四邊形ABCD為菱形，乙BCD=120°,

：.AC1BD,^.BCA=60°,BA=BC,

.?.△ABC為等邊三角形,

：./.ABC=Z.AFE=60°=Z.ACB,

.?.4E,F,C共圓，AAOE=2AAFE=120°,。在BQ上,

,-AO=OE,

.-.^AEO=Z.EAO=30°,

過。作。/14E于/,

：.A]=EJ,AO^—A],

：.AO=—AE,

3

當2E_LBC時，4E最小，貝必。最小，

■-AB=6+6V3,4ABC=60°,

：.AE=AB-sin60°=（6+6甸X—=3A/3+9,

■.AO=y（3V3+9）=3+3V3；

???點E不與從C重合，

???AE>9+3V3,且4E76+6亞

.vr的取值范圍為r>3+3b且rA2百+6；

②DF能為。。的切線，理由如下：

如圖，以4為圓心，力C為半徑畫圓，

'-AB=AC=AF=AD,

；BC,F,。在。4上，

延長乙4與。4交于3連接。3

同理可得4zc。為等邊三角形，

：.^LCAD=60°,

：/CLD=30°,

：.Z.CFD=180°-30°=150°,

???DF為。。的切線，

.ZOFD=90°,

：/OFC=60°,

-：OC=OF,

??.△OCF為等邊三角形，

.-.ZCOF=60°,

.-.zCi4F=-zCOF=30°,

2

.?.54尸=60。-30。=30。，

,?ZBAF=120°-30°=90°,

由對折可得：^BAE=Z.FAE=45°,BE=EF,

過E作EM1Z尸于M,

???設=EM=x,

UEFM=60°,

.：FM=^EM=^X,

?,?%+與x=6+6V3,

解得：x=6V3,

：.FM=yx6V3=6,

：.BE=EF=2FM=12.

【點睛】本題考查的是軸對稱的性質，菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，圓周角定理的應用，銳角

三角函數的應用，勾股定理的應用，切線的性質，本題難度很大，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.

【模擬預測】

12.(2025?陜西?模擬預測)如圖，△力BC內接于。。,力。是。。的直徑，C是助的中點，過點。作。。的切

線分別交48、AC的延長線于點E、F.

(2)若48=4,BE=1,求BC的長.

【答案】(1)見解析

(2)372

【分析】(1)連接CD.證明△4CD是等腰直角三角形得NOW=/-CDA=45°.由EF是O。的切線得N4DF=

AADE=90°,求出NF=45。，然后證明△B4CFAE可得N4CB=NE；

(2)證明△ACD三△FCD(ASA)得=FD,AC=CF,證明△B力CF4E得些=也=些，求出AC=VTU,

AEAFEF

再求出EF=DE+DF=3病，代入比例式即可求解.

【詳解】(1)證明：連接CD.

,.C是用的中點，

'-AC—CD,

'-AC—CD.

??弘。是。。的直徑，

.,ZACD=Z.DCF=90°,

??.△ZCD是等腰直角三角形，

：./.CAD=ACDA=45°.

???EF是。。的切線，

：.^ADF=乙ADE=90°,

??/CDF=90°-45°=45°,zF=90°-45°=45°.

-AC=AC,

.?ZZBC=乙ADC=45°,

；zABC=乙F,

\'Z-BAC=Z.FAE,

.-.ABAC?AFAE,

.\Z-ACB=Z-E；

(2)解：?.240C=4C0F=45。，CD=CD,^ACD=Z.DCF=90°,

.-.AACD=△FCD(ASA),

?.AD=FDtAC=CF,

,-AB=4,BE=1,

-'-AE=5.

???△B4C?△凡4E,

tAC__AB_BC

,?族~~AF~~EF9

tAC__4

??5-2ACf

.-.AC=VTo,

：.AF=2V10,

■■,AD=DF=^-AF=2V5,

.■.DE=>JAE2-AD2=V5,

：.EF=DE+DF=3V5,

V10_BC_

=市，

-'-BC—3V2.

【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識，熟練掌握圓

的性質是解答本題的關鍵.

13.(2025?廣東廣州?一模)如圖，48是。。的直徑，。是數上的點，弦8D和CE交于點F,=DC.EH

是。。的切線，EH||AB,AC.AE.BE.

HEHE

備用圖

(1)求證：EB=EF；

(2)求證：F是△ABC的內心；

(3)若CE=7V^BC=6,求直徑力B的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

⑶10

【分析】(1)根據等腰三角形的性質得4DCF=4DFC,再根據對頂角相等及同弧所對的圓周角相等得

Z.DBE=乙EFB,即可證明EB=EF；

(2)連結。E.證明CF平分N4CB,BF平分乙4BC,即可得出結論；

(3)解法一：過點E作EM_L4C于點M,過點E作EN1CB交CB的延長線于點N.證明Rt△4ME三口△

BNE(HL),得到4M=BN,再證明四邊形EMCN是正方形，利用正方形的性質與勾股定理求解即可；

解法二：將△BCE繞點E逆時針旋轉90。得到△力C'E.證明C',4c三點共線，求得C。'=&CE=14,從而求

得力C=CC'-AC'=14-6=8,然后由勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明：???DF=DC,

???乙DCF=Z.DFC,

Z.DCF=乙BFE,

???DE—DE,

???Z-DCF=Z-FBE,

???Z-BFE=Z.FBE,

EB=EF.

(2)證明：如圖①，連結OE.

HE

圖①是。。的切線,

???OE1EH,

???EH||AB,

???OE1AB.

又???在。。中，OE=OB,

??.△OBE是等腰直角三角形，

???乙OBE=乙OEB=45°,

AE=AE,

???/-ACE=乙OBE=45°,

???是。。的直徑，

??.LACB=/.AEB=90°,

???乙BCE=Z.ACB-AACE=45°,

/.L.BCE=Z-ACE,艮flCF平分

由（1）得：EB=EF,

???設=Z.FBE=%,

???乙CBF=乙BFE-乙BCE=%—45。,

乙ABD=乙FBE一Z.OBE=x-45°,

；.4CBF=4ABD,即BF平分/ABC.

???F是△ABC的內心.

(3)解法一：如圖②，過點E作EM，4c于點M,過點E作EN,CB交C8的延長線于點N.

???^AME=NN=90°

...平分乙4CB,EM1AC,EN1CB,

???EM=EN.

由(2)得N4EB=90°,NOBE=45°,

/.OAE=180°-Z.AEB-乙OBE=45°,

???Z.OAE=乙OBE,

???AE—BE.

HE

圖②

在Rt△力ME和RgBNE中，%,

'-EM-EN

：.Rt△AME三Rt△BNE(HL).

AM=BN.

EM1AC,EN1CB,EM=EN,

???四邊形EMCN是正方形.

在正方形EMCN中，???CE=7V2,

?-.CM=CN^—CE=7,

2

.?.AM=BN=CN—BC=7—6=1,

ZC=CM+/M=7+1=8.

在口△/BC中，由勾股定理得ZB='BC?+4c2=10.

???直徑48的長為10.

解法二：如圖③，將△BCE繞點E逆時針旋轉90。得到△"'￡

由（2）設NFBE=x,NCBF=x-45°,

???Z.CBE=Z.CBF+乙FBE=2x—45°,

???Z.CBE+Z.CAE=180°,

A^CAE=180°-UBE=225°-2x.

由旋轉的性質得NC'AE=乙CBE=2x-45°,

C'E=CE=7V2,/.CEC=90。,AC'=BC=6

AC'AE+^CAE=2x-45°+225°-2x=180°,

???C',4c三點共線.

???C'E=CE=7A/2,AC'EC=90°,

CC'=V2CF=14.

???AC=CC'-AC'=14-6=8.

在中，由勾股定理得.

直徑的長為10.

【點睛】本題考查等腰三角形的判定與性質，圓周角定理，切線的性質，三角形的內心，全等三角形的判

定與性質，勾股定理，旋轉的性質.熟練掌握相關性質是解題的關鍵.

14.（2025?湖南婁底?模擬預測）如圖，點/在以BC為直徑的。。上，乙4BC的角平分線與。。交于點。，與

AC交于點E,過點C作力B的平行線交于點F.

⑴求證：BD=DF-.

（2）連接2F,若4F與。。相切，BC2=-4+4V5,求DE的長度.

【答案】(1)見解析

(2)￡)F=2V5-4

【分析】(1)角平分線結合平行線推出BC=CF,圓周角定理推出CD，8凡三線合一即可得出結論；

(2)連接4。并延長，交。。于點G,連接DG,先證明△4BCsZ\c4F,得到BC?CF=4F?AC,設4F=x,

勾股定理求出4C的長，列出方程求出4尸的長，再證明△力FB-△DF4得到4尸=DF-FB=8,結合BF=

2DF,求出DF的長，勾股定理求出GA證明△CEDs/XFCC,得至北屏=。??進行求解即可.

【詳解】(1)證明：?.ZHBC的角平分線與。。交于點。，

-t-Z-ABD=乙CBD,

-AB||CF,

；zABD=Z.BFC,

：/CBD=乙BFC,

：.BC=CF,

???BC是。。的直徑，

.」BDC=90°,

：?CD1BF,

??.BD=DF；

(2)連接4。并延長，交。。于點G,連接OG,

??弘尸是。。的切線，

：.^OAF=AOAC+Z.CAF=90°,

???BC為。。的直徑，

：./-BAC=/LBAO+Z-OAC=90°,

：.Z-BAO=Z-CAF,

,：0A—OB,

：-Z-OBA=Z.OAB=Z.CAF,

-AB||CF,

：./.ACF=ABAC=90°,

:AABCCAF,

型_AC

''~AF~'CF'

：.BC-CF=AF-AC,

由（1）知BC=C尸,

'.BC2=AF-AC=-4+4V5,

設=貝1J：AC=yjAF2-CF2=y/AF2-BC2=7X2+4-4A/5,

.,-%Vx2+4—4A/5=—4+4V5,

2

??.x2（x2+4—4V5）=（—4+4V5）,

2

.-.%4+（4-4V5）x2-（4V5-4）=0,

解得：％2=8或/=47^-12（舍去）；

.,%=V8=2V2,

MF=2V2,

?MG為直徑,乙40G=90。，

??z￡MG+Z.AGD=90°,

'.'Z-OAF=Z-OAD+Z.DAF=90°,

-^Z-DAF=Z-AGD,

又???乙4G。=/.DBA,

；zDBA=Z-DAF,

,：Z-AFB=Z.AFD,

.*.△AFB~ADFA,

tAF_FB_

"DF一而‘

.?.4尸2=DF?FB=8,

-FB=2DF,

：.2DF2=8,

/.DF=2,

在Rt△COF中，CD2=CF2-DF2=-4+4A/5-4=475-8,

vCF||AB,

；zDBA=乙CFB,

?：Z-DBA=Z.ACD,

.，-Z.ACD=乙CFE,

-Z.CDE=乙CDF=90°,

.-.ACED?AFCD,

-C-D-=--E-D-?

DFCD

■■.CD2=DF-DE,即：4V5-8=2DE,

■.DE=2V5-4.

【點睛】本題考查圓周角定理，切線的性質，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，勾股

定理等知識點，熟練掌握相關知識點，添加輔助線，導角，證明三角形相似，是解題的關鍵.

15.(2025?安徽?模擬預測)如圖，是。。的弦，半徑。C14B,垂足為D,弦CE與4B交于點R連接力E,

(1)求證：4BAC=ZF；

(2)若力B=8,DC=2,CE=3V10,求CF的長.

【答案】(1)見解析

(2)CF=等

【分析】本題考查垂徑定理，相似三角形的判定和性質，圓周角定理.

(1)由垂徑定理，得AD=BD,AC^BC,由圓周角定理，得NB4C=NE；

(2)可證△ACFszXECA得竺="；Rt△力DC中，勾股定理求得AC=2Z，于是CF=空電.

ECCA3

【詳解】(1)證明：???0C14B,0C是。。的半徑,

.■.AD=BD,AC=BC（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧）

：.LBAC=ZF（同弧或等弧所對的圓周角相等）；

（2）解：.:4BAC=AE,

又?24CF=/.ECA,

ACF-AECA,

嚕=鳥（相似三角形對應邊成比例），

ECCA

'-'AB=8,

-9-AD=BD=4,

在RtZkZOC中乙40。=90。，AD=4,CD=2,

■.AC=VXD2+DC2=V42+22=2V5,

即延=8

K3V102Vs'

b2V10

-'-CF=------

3

題型03求圓中陰影部分面積

解題方法：求與圓有關的不規則圖形的面積時，最基本的思想就是轉化思想，即把所求的不規則的圖形的

面積轉化為規則圖形的面積.

16.（2024嚀夏?中考真題）如圖，。。是△ABC的外接圓，AB為直徑,點。是△力BC的內心，連接力D并延

長交O。于點E,過點E作。。的切線交的延長線于點F.

⑴求證：BC||EF；

（2）連接CE,若。。的半徑為2,sinN4EC=5求陰影部分的面積（結果用含n的式子表示）.

【答案】（1）見解析

（2）2V3-y

【分析】本題考查了三角形的內切圓與內心，三角函數的定義，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，扇

形面積的計算.

(1)連接。E,交BC于點G,根據等腰三角形的性質得到N04E=AOEA,由D為△力BC的內心，得到N04E=

^CAE,求得。EMC,根據圓周角定理得到NN4CB=90°,求得4BGO=90°,根據切線的性質得到NFE。=90°,

根據平行線的判定定理得到結論；

(2)根據三角函數的定義得到N4EC=30°,求得N4BC=N4EC=30°,求得EF=OE-tan60°=2V3,根

據扇形和三角形的面積公式即可得到結論.

【詳解】(1)證明：連接。E,交BC于點G,

OA=OE,

Z.OAE=Z.OEA,

又???。為△48。的內心，

???Z.OAE=Z.CAE,

???Z.OEA=Z.CAE,

??OEWAC,

又??,/B為。。的直徑，

LACB=90°,

???乙BGO=90°

又???EF為。。的切線且。E為。。的半徑,

???乙FEO=90°,

Z.BGO=Z.FEO,

：.BC||EF；

(2)解：vsin^AEC=

???乙AEC=30°,

???/.ABC=Z-AEC=30°,

???乙BOE=60°,Z.EFO=30°,

??.EF=OE?tan60°=2V3,

S陰影部分=S^EFO-S扇形BOE

2

1「60xITx2

=—x2x2v3-

360

=2V3-y.

17.（2024?山東德州?中考真題）如圖，圓O0與。。2都經過4,2兩點，點。2在。。1上，點C是4仿B

上的一點，連接4C并延長交。。2于點P,連接AB,BC,BP.

（2）若NP=30°,AB=2V3.

①求。。1的半徑；

②求圖中陰影部分的面積.

【答案】（1）見解析

⑵①2

②2百一年

【分析】對于（1）,連接4。2,8。2,在。。1中，先根據同弧所對的圓周角相等得乙4cB=^AO2B,然后在。02

中，根據圓周角定理得NP=（乙4。2a可得答案；

對于（2）①，由乙P=30。結合（1）,可得乙4cB=^AO2B=60。,再連接4。1，8。1，作。1。148,可得44。18=

120°,AD=BD=3AB,進而得出NAO/=60。，然后在Rt^AOiD中，根據sin60。=黑得出答案；

2AO-\

對于②，先說明△4。28是等邊三角形，即可求出其面積，在。。2中，求出弓形的面積，然后根據S陰影=

S扇形—S^viOiB-S弓形4EB得出答案.

【詳解】⑴如圖所示.連接力。2刀。2,

在。。1中，Z.ACB=/.AO2B,

=

在。。2中,^-P^AO2B,

???乙4cB=Z.AO2B=2zP；

A

(2)①，vzP=30°,

；/ACB=AAO2B=60°.

連接力。i，BOi，過點。i作。iDJ.4B,交力B于點。,

.-.AAOrB=120°,AD=BD=^AB=6,

1

-，-Z-AO1D=-Z-AO1B=60°.

在Rt△力。1。中，sin6(T=端，

即立=0，

24。1

=2,

所以0。1的半徑是2；

②必。？=BO?,(AOzB=60°,

.??△4。23是等邊三角形，

??.ZO2=BO?=AB=2A/3.

,?4。1=8。1，2。2=8。2，

.?.DO2垂直平分48,。。1垂直平分

???點。。1，。2三點共線.

在及2\4。。2中，。。2=^AOj-AD2=3,

2

在Rt△力DO1中，D01=JAOI-AD=1.

在。。2中，4B上標點E,S弓形.=S扇形MB-S-BO2=6°一廿2三Xx3=2兀一3?

在。。I中，s陰影=S^AO1B-SAA01B-S^AEB=號M-ix2V3xl-(27r-3V3)

=y-V3-2TT+3V3=2V3-y.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，線段垂直平分線的性質和判定，勾股定理，余弦，求扇

形的面積，等邊三角形的性質和判定，構造輔助線是解題的關鍵.

18.(2024?四川內江?中考真題)如圖，4B是。。的直徑，C是前的中點，過點C作力。的垂線，垂足為點E.

(1)求證：△ACE-△力BC；

(2)求證：CE是。。的切線；

(3)若4D=2CE,OA=V2,求陰影部分的面積.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3加1

【分析】+(1)分另IJ證明44CB=N4EC,/.BAC-Z.EAC,從而可得結論；

(2)連接。C,證明NE4C=N4C。，可得。C||AE,再進一步可得結論；

(3)連接DB、OD,證明四邊形DECF是矩形，可得DF=EC,再證明4。=DB,可得=4DBA=45°,

可得400/二2乙DBA=90°,禾II用S陰影部分=S扇形a。。一SA4OD可得答案.

【詳解】(1)證明：,?98是。。的直徑

?.乙ACB=90°,

X--CELAD,

"EC=90°,

'-Z-ACB=Z.AEC,

???C是皿的中點，

??BC=DC,

.t-Z.BAC=Z.EACf

.-.