選填03平面向量

幡架導(dǎo)航

Z------------------------------------X

平面向量

考點(diǎn)01用基底表示向量

考點(diǎn)02共線向量問題

考點(diǎn)03數(shù)量積運(yùn)算

考點(diǎn)04模長問題

考點(diǎn)05夾角問題

考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)。6投影向量問題

考點(diǎn)07坐標(biāo)法求最值范,

考點(diǎn)08三角換元求最值范圍

考點(diǎn)09三角形“四小一

考點(diǎn)10極化恒等式：

考點(diǎn)11向量與恒成立問題

模擬題訓(xùn)練

真題訓(xùn)練

￡考點(diǎn)訓(xùn)煉

【考遍01用基底表示向量】

1.在平行四邊形458中，已知E,尸分別為CO,AD的中點(diǎn)，直線BE,C尸交于。，若AB=a,AD=b,

則A。=（）

13341221,

A..—ciH—bB.-ciH—hC.—ciH—bD.一—b

24553333

2.如圖，在長方形ABC。中，點(diǎn)M,N分別是8C,CD的中點(diǎn),若AC=24W+〃AN,貝lj2+〃=()

4

D.

?

3.如圖，在VABC中，。是BC延長線上一點(diǎn)，S.BD=3BC,貝“40=()

B.3AC-2AB

D.-AC--AB

33

4.如圖，在VABC中，AN=-AC,尸是BN的中點(diǎn)，AP=mAB+nAC，則〃，+〃=()

2

C-1D-I

12

5.已知△ABC是邊長為1的正三角形，AN=]NC,尸是BN上一點(diǎn)且AP=〃?AB+§AC,則APA6=(

【考點(diǎn)02共線向量問題】

6.已知6、4不共線，向量"=3耳一2弓，b=kex+6e2,且〃〃/，貝!!左=

7.已知向量。/不共線，AB=Aa+b,AC=a+pib,其中4>0,〃>0,若A,3,C三點(diǎn)共線，則2+4〃的最

小值為（）

A.5B.4C.3D.2

8.已知向量。=。,2）,6=（辦一1）,若°與3a-6平行，則實(shí)數(shù)加的值為（）

A.--B.Ic.3DT

2222

9.已矢口AB=(—l,cosa),BC=(2,0),C?=(2,2sincr),若A,B,O三點(diǎn)共線，則tana=()

A.-2B.—C.—■D.2

22

10.已知。為VA3C內(nèi)一點(diǎn)，MAO=1（OB+OC）,A￡?=MC,若B、O、。三點(diǎn)共線，貝V的值為（）

A.-B.-C.-D.-

4233

【考點(diǎn)03數(shù)量積運(yùn)算】

11.已知線段AB是圓。的一條長為4的弦，則AO.AB=（）

A.4B.6C.8D.16

12.中國象棋是一種古老的棋類游戲，大約有兩千年的歷史，是中華文明非物質(zhì)文化的經(jīng)典產(chǎn)物.如圖，棋

盤由邊長為1的正方形方格組成，已知“兵”“馬”“炮”“帥”分別位于A,8,C,O四點(diǎn)，則（CO+BC）-（D4-OC）=

A.-2B.-V2C.2D.y/2

13.設(shè)〃，方是單位向量，則（〃+b）-。力的最小值是（)

A.-1B.0C.-D.1

4

14.在VABC中，AB=AC=5,BC=6,E,F分別為邊8C,AB的中點(diǎn)，則E尸.EC=.

15.在VABC中，則“4048=4/”是“％43（^是直角三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)04模長問題】

16.已知向量“與b的夾角為120。，口=3,卜+"=如，則W等于（）

A.1B.3C.4D.5

17.折扇，古稱聚頭扇、撒扇等，以其收攏時(shí)能夠二頭合并歸一而得名.某折扇的扇面是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展

2_

開圖，如圖所示.設(shè)AD=2OD=2,44。3=針，則扇面（圖中扇環(huán)）部分的面積是,\OD-CB\=.

18.已知向量何I滿足法=（3,4）,〃.萬=6，,一.=7,則仰=

19.已知向量〃=（羽1）,a-2b=（x,-l）,貝!=，卜+可的最小值為.

20.已知向量”（2,1）,仰=1,且,+.=卜-。卜貝山的坐標(biāo)可以是（）

【考點(diǎn)05夾角問題】

rya

21.已知非零向量滿足：（〃/）=、，且（Q+Z?,[-方）=§兀，則％二

22.已知向量。=（一1,2）,b=（3,Z）,若S-a）_La,則COS〈〃,A〉=.

23.已知三角形ABC的外接圓半徑為1,外接圓圓心為O,且。點(diǎn)滿足204+305+200=0,則

sinZABC=.

24.已知向量a=（l,—l）,Z?=（2,左）,4_LZ?,c=a—rf?.若貝心的值為（）

D.」

A.2B.-2C-

J22

25.單位向量a,b,c滿足a-2萬+2c=0，則cos(a,b-2c)=()

A,正B.逅。.-D.亞

8426

【考點(diǎn)06投影向量問題】

26.在矩形A3CQ中，AB=6,AD=4,E為5C的中點(diǎn)，則向量人后在向量AC上的投影向量是（

11I?910

A.—ACB.—ACC.—ACD.—AC

13131313

27.已知向量a=（1,2））=（3,-1）,則向量b在〃方向上的投影的坐標(biāo)是

28.已知向量Q,Z?的夾角為45。，且同=4,貝心在〃上的投影向量為（）

A.2dB.aC.y[2aD.

29.已知單位向量a，6滿足卜+0=卜-囚，則向量a+B在向量B上的投影向量的模為.

30.已知向量a=(2,-3),6=(-1,2),則在°-6方向上的投影向量為()

、、、

A-1(行8廠行16^JB.「(萬1220,C.1(萬12，-20D(,20司20

【考點(diǎn)07坐標(biāo)法求最值范圍】

31.四邊形ABC。是邊長為4的正方形，點(diǎn)P是正方形內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|AP+8P+CP+DP|=4,貝『AP|

的最大值是()

A.1+&B.72-1C.272-1D.2忘+1

32.如圖，梯形ABCZ）,AB//CD且AB=5,AD=2DC=4,ACBD=0,則NBAT>=,E在線段BC

上，則AE-DE的最小值為.

33.在等腰梯形ABCD中，AB//DC,AB=2BC=2CD=2,P是腰AD上的動(dòng)點(diǎn)，則上尸臺(tái)-尸。的最小值

為.

34.在VABC中，AB=AC=1,AO=DB,CDCA=白，若M是VABC所在平面上的一點(diǎn)，則M4?（MB+MC）

的最小值為.

35.已知VABC中，AC=L3C=6,AB=2,點(diǎn)P,Q是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則CPCQ的取值范圍是（）

33

A.[-,1]B.[0,1]C.[-,3]D.[0,3]

4L」4

【考點(diǎn)08三角換元求最值范圍】

36.在矩形A3CD中，AB=5,A￡>=4,點(diǎn)E滿足2AE=3EB,在平面ABCD中，動(dòng)點(diǎn)尸滿足尸瓦尸2=0,

則DPAC的最大值為（）

A.741+4B.歷一6C.2713+4D.2713-6

37.已知在矩形ABC。中，AB=1,AD=M,動(dòng)點(diǎn)尸在以點(diǎn)C為圓心且與3。相切的圓上，則的

最大值為;AP=mAB+nAD[m,n&R）,則的最大值為.

38.設(shè)48,C,。為平面內(nèi)四點(diǎn)，已知|A8|=2,|AC|=1,AB與AC的夾角為60°,〃為AB的中點(diǎn)，|MO|=1,

則ACAD的最大值為.

39.在矩形ABCZ）中，AB=5,AD=4,點(diǎn)E是線段A3上一點(diǎn)，且滿足AE=4EB.在平面ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P

在以E為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則。PAC的最大值為（）

A.741+4B.741-6C.2713+4D.2713-6

40.在等腰直角三角形A3C中，AB=2,河為斜邊8C的中點(diǎn)，以M為圓心，肱1為半徑作AC，點(diǎn)P在線

段3c上，點(diǎn)。在AC上，則,尸+/0的取值范圍是.

【考點(diǎn)09三角形“四心”】

41.已知在ABC中，G為.ABC的重心，。為邊BC中點(diǎn)，貝U（）

A.AB+AC=2AGB.AD=3AG

c.ABAC=AD'-BDD.ABAD=ACAD

42.在VABC中，已知AB=1,AC=3,點(diǎn)G為VABC的外心，點(diǎn)。為VABC重心，則0G-3C=.

43.（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理

與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知M是VABC內(nèi)一點(diǎn)，ABMC,

AMC,的面積分別為踵，SB，SC，且SA-MA+SB-MB+SC-MC=O.以下命題正確的有（）

M

R

A.若必：SR:Sc=1:1：1,則M為4AMe的重心

B.若M為VABC的內(nèi)心，貝!18c-MA+AC-MB+AEMCuO

C.若NBAC=45°,ZABC=60°,/為VABC的外心，貝U:SB:S0=豆：2:1

D.若M為VABC的垂心，3MA+4Affi+5M3=0，貝IJcos/AAfB=-西

6

------------1-2

44.VABC中，AH為5C邊上的圖且5"=3HC，動(dòng)點(diǎn)尸滿足AP5C=-，則點(diǎn)尸的軌跡一定過VABC

4

的（）

A.外心B.內(nèi)心C.垂心D.重心

45.已知。是VA3C的外心，AB+AC=2AO,|。$=,耳，則向量AC在向量BC上的投影向量為（）

]_F）3ULBUA

A.——BCB.—旺BCC.-BCD.汩BC

4444

【考點(diǎn)10極化恒等式】

46.如圖，在△A3C中，AF=BF=6,EF=5,則￡^.￡*5=（）

lULTi|UUH|

47.已知向量滿足叫=L?=2,且向量08在。4方向上的投影向量為0A.若動(dòng)點(diǎn)C滿足|。4=；,

則CA.CB的最小值為（）

口4-2A/6Q\一幣D5-2A/7

A.

23,2,4

48.已知A,B,C,。是半徑為2的圓O上的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AB=CD=2,則C4.C3+D4.DB的最大值為

()

A.6B.12C.24D.32

49.如圖，在平面四邊形ABCD中，。為80的中點(diǎn)，且。4=3,OC=5.若AHAD=-7,貝.

50.在直角梯形ABCD中，AD//BC,ZABC=90°,A￡>=2AB=25C=2,點(diǎn)尸為梯形A5CD四條邊上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PAPB的取值范圍是（）

A.-g,4B.-2C.[-1,4]4

D.4'

【考點(diǎn)a向量與恒成立問題】

7T4L_

51.向量Q,/?滿足〈。,力〉=：,\b\=-yl3,且V/ER,不等式|8+柩閆6-〃|恒成立.函數(shù)

63

/(x)=|m_(7|+X。-go(xeR)的最小值為()

A.1B.1C.73D.V5

52.（多選）已知平面向量a,b滿足|。|=2,|b|=4,且對任意的實(shí)數(shù)乙都有M+柩閆恒成立，則下列

結(jié)論正確的是（）

A.4a-b與匕垂直B.（3a+b）-b=Z1

c.Aa-^b\+\^a-b的最小值為萬D.^a-b\-\Aa-^b的最大值為2及

53.已知單位向量a,6,若對任意實(shí)數(shù)心卜4+4》弓恒成立，則向量a/的夾角的取值范圍為（）

3'34'4

54.已知平面向量。力,c滿足：|=1,6=-1,若對滿足條件的任意向量6,|c-b|2|c-a|恒成立，則

COS（。+。,外的最小值是.

55.已知平面向量滿足I。1=1,|Z?|=2,\a-b\=^l,若對于任意實(shí)數(shù)上，不等式|妨+仍|>1恒成立,

則實(shí)數(shù)，的取值范圍是（）

A.（一8,-百）u（括,+oo）

C.（A/3,+OO）

@模擬題訓(xùn)煉

、單選題

1.（2024.北京西城?二模）已知向量0,6滿足a=（4,3）,G-2Z?=（10,-5）,貝！J（

A.a+b=QB.a-b=Qc.H>HD.a//b

BABCyflBD

2.（202324高一下?甘肅臨夏?期末）在四邊形ABC。中，A（0,0）,B（l,2）,AB=DC，6=

nALoCn/J

則四邊形ABC。的面積為（）

3.（2024?廣西南寧?一模）已知VABC的外接圓圓心為0,M2AO=AB+AC,|OA|=\AC\,則向量CA在向量

CB上的投影向量為（）

B.2CB

D.—CA

2

4.（2024?全國?一模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/分別交x軸的正半軸、V軸的正半軸

于民C兩點(diǎn)，及9C的面積為若點(diǎn)A。,4）為平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足ARAC=13,則|。。|=()

A.；B.1C.1D.2

5.（2024四川成都?模擬預(yù)測）如圖，在VA2C中，ZBAC=-pAD=2DB，P為CD上一點(diǎn),且滿足

則尸的最小值是（

AP=mAC+^AB,^AB-AC=4,A)

C

ADB

A.2B.4C.辿

D.-

33

6.（2024.內(nèi)蒙古赤峰.二模）如圖，邊長為4的等邊VABC,動(dòng)點(diǎn)。在以5C為直徑的半圓上.若

4尸=2A8+〃AC,則2+工〃的取值范圍是（）

白,

■51「1J「16一「151

A.1,—B.-,1C.不二D.

2」\_2J|_35」|_24J

1]231

7.（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測）在VABC中，BABC=-BC,^a=-AB+-AC,b=-AB+-AC,

3344

25

c=-AB+-AC,貝lj（）

77

A.b〉k〉aB.C.D.

8.（202425高三上?湖南長沙?期末）已知48,G。是半徑為2的圓。上的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AB=CD=2,則

CtCB+ZM./）月的最大值為（）

A.6B.12C.24D.32

二、多選題

9.（2023?廣東梅州?三模）如圖所示，四邊形ABCD為等腰梯形，CD//AB,CD=^AB,E,尸分別為。C,

AE的中點(diǎn)，若=貝|（）

7

C.'D."=1

10.（2024?四川眉山?一模）如圖，VABC是邊長為1的等邊三角形，BD=；BC,點(diǎn)P在以CO為直徑的半

圓上（含端點(diǎn)），T^AP=xAB+yAC,貝！J（）

A.y的值不可能大于1B.AD=-AC+-AB

33

c.AP.AB的最小值為g

D.AP.AB的最大值為1

11.（202425高三上?山東荷澤?期中）如圖，已知VA5C中，B=—,AB=BC=2,M是AC的中點(diǎn)，動(dòng)

點(diǎn)尸在以AC為直徑的半圓弧上.則（）

A.2BM=BA+BC

B.8P.BC最小值為-2

C.8M在8C上的投影向量為;8c

D.若8P=xBA+yBC,x+y的最大值為1+港

三、填空題

12.（2022?江西上饒?二模）己知向量°=（3,-1）,&=（4,-2）,且（a+b）〃（助一a）,則實(shí)數(shù)彳的值為

13.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖所示，在正方形ABC。中，E是AB的中點(diǎn)，尸在BC上且CF=2FB,AF

與DE交于點(diǎn)M,則cosZDMF=.

14.（2024.天津河?xùn)|?二模）如圖所示，正方形A2CD的邊長為屈'，正方形￡7文汨邊長為1,則AE-AG的

值為.若在線段AB上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，則ME-MG的最小值為1

@真題訓(xùn)煉

1.(2024.北京.高考真題)設(shè)a>。是向量，則+一=。"是"°=一萬或°=>”的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.(2024?全國?高考真題)設(shè)向量a=(x+l,x),Z>=(x,2),