25屆二輪備考下的切線問題研究

基本原理

1.用導數的幾何意義求曲線的切線方程的方法步驟：

①求出切點的坐標；

②求出函數y=/(元)在點/處的導數尸(%)

③得切線方程y-7X%)=f(尤X尤-與)

2.求過點A處切線方程方法如下：

設切點為尸(%,%),則斜率左=尸(%)，過切點的切線方程為：y-y0=fXx0)(x-x0),

,過點A(w),二u/'OQO-Xo)然后解出/的值，與有幾個值，就有幾條切

線.

3.若函數y=f(x)的圖象在點A(xi，%)處的切線與函數y=g(x)的圖象在點內)處

的切線相同(公切線)，則等價于人工)的圖象在點A處的切線：y—=—七)

與g(x)的圖象在點B處的切線：y-g(x2)=g'(x2)(x-x2)重合.進一步等價于下列方程組

31f(Xi)=g'(X2)

有解：\,

/(%1)-Xl-f(X1)=g(X2)-X2-g(X2)

4.若動點。為函數y=/(x)圖象上任一點，直線/與y=/(x)圖象相離，則C至1]/距離的

最小值為函數y=/(%)圖象在點C處的切線與I平行時產生，故此時最小距離即為切點到

直線/的距離.

5.與切線有關的新定義問題

(1)隔離曲線：一般來說，''隔離函數”通常有兩類：一類是函數y=/(x)與y=g(x)的

圖像在集合〃上有一個公共點，稱之為“接觸隔離”；另一類是函數y=/(x)與y=g(x)

的圖像在集合加上沒有公共點，稱之為“非接觸隔離”.

(2)自公切線

二.典例分析

★1.與切線有關的新定義問題

例L(浙江省杭州市25屆高三一模)若函數y=/(x)的圖象上的兩個不同點處的切線互

相重合，則稱該切線為函數y=/(x)的圖象的“自公切線”，稱這兩點為函數y="x)的

圖象的一對“同切點”.

(1)判斷函數萬Q)=sinx與%。)=Inx的圖象是否存在“自公切線”，并說明理由；

(2)若aeR,求證：函數。(久)=tanx-x+a在區間(一為)上有唯一零點且該函數的圖象

不存在“自公切線”；

⑶設neN*,函數h(x)=tanx-乂+71兀在(一別)內的零點為$，tG(-p^),求證：

“存在s6(2兀,+8),使得點(s,sins)與(t,sint)是函數y=sinx的圖象的一對"同切點”的

充要條件是、是數列｛/｝中的項”.

解析：(1)顯然直線y=1切、=sinx的圖象于點(5,1),(y,1),直線y=1是丫=sinx的圖像

的一條“自公切線”，故函數左。)的圖象存在“自公切線”；對于力。)=函%,12。)=

;(久>0)是減函數，故心。)在不同點處的切線斜率不同，所以函數為(x)的圖象不存在“自

公切線”.

1-?2?

(2)①g'(x)=質及一1=既焉=tan?%20恒成立，故y=g(x)在(一簫)上單調遞增，可

得y=g(%)至多有一個零點，令g(%)=sin%-(x-a)cosx(xe［一，/)，由y=田(%)的

圖像是連續的曲線，且見(—領靖)=一1<0,所以免(%)在(―今夕上存在零點，故在

(-別)上g(x)=震存在零點，所以g(x)在區間(-別)上有唯一零點.

②假設g(x)的圖象存在“自公切線”，即存在的，％26(—且打力冷，使得9(均的圖

象在％=與汽=第2處的切線重合，函數9(%)在％=處的切線方程為y-tan%1+%1-

22

a=tan%1(%—%。,函數g(%)在％=&處的切線方程為V—tanx2+x2—a=tanx2—

%2),

222

故tan2/=tanx2(*)?Xitan%1+tan/—xt+a=—x2tanx2+tanx2—x2+a(**),

由(*)可得%2=-%1，不妨設%1E(0吟)，將久2=-%1代入(**)，

222

可得—Xitan%!+tan%1—xt=x1tanx1—tan%1+xr,即式式1+tanxt)=tan/,則有

xr=sinjqcosxi,即2%i=sin2x1,令w(%)=2x—sin2x,%e(0*),貝U@’(久)=2—

2cos2%>0,

可知9(%)在(0,方上單調遞增，所以當第16(。4)時，9(%i)>8(0)=0,即2%i>sin2%i，

則方程2/=sin2x］在(0令上無解，故或久)的圖象不存在“自公切線

(3)對給定的九GN*,由(2)知h(%)有唯一零點，所以%九唯一確定.函數y=sin%在點Csint)

處的切線方程為y—sint=cost(%—t),即丁=xcost+sint—tcost,函數y=sin%在點

(s,sins)處的切線方程為y=xcoss+sins—scoss,

①若存在sG(2TT,+8),使得點(s,sins)與(t,sint)是函數y=sin%圖象的一對“同切點

國(COSS=cost(sWt)所以［COSS=cost(sWt)

又te(一舞),故cost>0

、Isins—scoss=sint—tcost〔tans—s=tant—t

可得coss=cost且tans=—tant，從而存在neN*,使得s=2717r—t,代入tans—s=

tant—t,

可得tant-t+TUT=0,故％=t,所以/是數列｛%｝中的項.

②若/是數列｛%n｝中的項，則存在TIEN*,使得%打=t,即tant;—t+n兀=0,

由(2)中的g(x)在(-叫)上單調遞增，可知無(無)在(-第)上單調遞增，

又h(0)=nn>0且h(t)=0,可知七<0,令s=2Tm—t,則sE(2TT,+8)且COSS=cost,

tans—s—(tant—t)=2(t—tant—HTT)=0,即tans—s=tant—t,可得sins—scoss=

sint—tcost,

所以存在sG(2TT,+8),使得點(s,sins)與(t,sint)是函數y=sin%的圖象的一對“同切點”.

綜上可知：“存在sE(2兀,+8),使得點(s,sins)與?sint)是函數y=sin%圖像的一對'同

切點”的充要條件是、是數列m九｝中的項”.

例2.若函數〃x),g(x)與/z(x)在區間。上恒有則稱函數為(x)為

“X)和g(x)在區間。上的隔離函數.

⑴若/1(X)=萬蒼g(X)=-2而:,再(X)=2—+3,D=[1,2],判斷h(x)是否為f(x)和g(x)在區

間。上的隔離函數，并說明理由；

⑵若/(x)=e<l，Mx)=丘，且/⑺之人⑺在R上恒成立,求k的值；

(3)若*x)=e*,g(無)=蛆*!L+l,//(x)=h:+6(A:,6eR),O=(0,+8),證明：》=左一1是〃(尤)

為〃x)和g(x)在(0,+8)上的隔離函數的必要條件.

解析:(1)h(x)是〃x)和g(尤)在區間。上的隔離函數.因為

/(x)=?尤,g(x)=-2"x,/z(x)=2x?+3,所以

〃x)-//(犬)=5>(2/+3)=-2卜一g：+||,〃x)-力(x)在1,^上單調遞增，在

1,2上單調遞減,又11)—〃⑴二〃2)一限)=0,

_oJ2

當尤=2時，〃x)-〃(x)在O上取到最小值0,故以目1,2],〃力2/?(尤).

又/?(x)-g(x)=2x2+3+26x=21+乎]>0,所以/i(x)2g(x).綜上，h(x)是“力和

g(x)在區間￡>上的隔離函數.

(2)設姒x)=e*-l-Ax,尤?R,則d(x)=e*-k,因為°(x)2O=0(O),則x=0是隼(x)的

極小值點，也是最小值點，所以。(0)=1-左=0,即4=1.當左=1時，

尤)=e*—l-x,0'(x)=e'—1,當x>0時，cpz(x)>0；當尤<0時，(pf(x)<0,所以

0(力2W0)=0,即e，zx+l恒成立(當且僅當X=O時取等號)，故左=1.

(3)證明：設/(尤)=/-(如子+l)xe(O,+⑹，由(2)得e0x+1(當且僅當x=0時

取等號)，所以打村=1一(生?+1=，[尤e*一(x+lnx+1)]=工[e**“'一(x+lnx+1)]

>|[^+lnx+l-(x+lax+l)]=0,當且僅當x+lnx=0時取等號，設

G(x)-x+Inx,xe(0,+<x>),則G(x)=l+)>0,所以G(x)在(0,+8)上單調遞增,又

G(l)=l>0,G(e1)=e1-l<0,

所以存在修?廠,1)使得G(x0)=O,即/+1叫,=0,貝I]x°=In—,

/X。

[nY+[1r?y-|-1

又/(x0)=0,則e而=^^+1,由隔離函數定義可得+l=所以

Xox

kxo+b=c,設a(x)=e"—西一瓦光￡(0,+8),貝!J“(%0)=e%—Ax0-b=0,H^x^=e-k,

XH(x)>O=H(xo),則%是"(x)的極小值點，所以哥(%)="-左=0,即左=■,

結合e%=J-，5+6=e*，得1+人=3故6="1,所以人"1是h(x)為〃x)和g(x)在

xo

(0,+8)上的隔離函數的必要條件.

★2.根據導數的幾何意義求切線

例3.(2024年高考全國甲卷數學(理))設函數“力=一則曲線>=〃尤)在(0,1)

處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為()

(e'+2cos尤加+4-⑹+2sinx)-2x

解析：r")

(e。+2cos0)(l+0)-(e。+2sin0)

=3,即該切線方程為y-l=3無，即y=3x+l,

(i+o)

令X=0,則y=l,令y=0,則％=-g,故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積

S=[xlx_：=!.故選：A.

236

★3.過點求切線

例4.(2022年全國新高考2卷)曲線y=ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為

解析：因為y=l中當x>0時y=lnx,設切點為(%,In%),由y'=L所以，'「廣’,

所以切線方程為>Tnx。：,"-%),又切線過坐標原點，所以-山七=’(一%)，解得

x°=e,所以切線方程為y-l=』(x-e),即y=L；

ee

當x<0時y=ln(f),設切點為Rin(-石))，由y'=:,所以*日=;，所以切線方程

11

為y-ln(-%i)=1(x-玉)，又切線過坐標原點，所以一足(一玉)=不(一西)，解得再=_e,所

以切線方程為y-l=L(無+e),即尸-L；故答案為：y=-x；y=--x

-eeee

例5.(2022新高考1卷)若曲線y=(尤+a)e，有兩條過坐標原點的切線，則。的取值范圍是

解析：易得曲線不過原點，設切點為(%,(%+a)e%),則切線斜率為：

一(無0)=5+a+l)e&.可得切線方程為y-(尤0+a)e加=(/+a+l)e",(x-Xo),又切線過原

點，可得-(%+6i)e=—xQ(%0+a+l)e,°,化簡得X。+CLX0—<7=0,又切線有兩條，即方

程有兩不等實根，由判別式A=〃+4a>0,得”<T,或a>0.

★4.求公切線

例6.(2024年新課標全國I卷)若曲線y=e'+x在點(0,1)處的切線也是曲線

y=ln(x+l)+o的切線，貝1|a=..

解析：由、=/+尤得V=e，+1,yL0=e°+l=2,故曲線y=e'+x在(0,1)處的切線方程為

y=2x+l.由y=ln(x+l)+。得y'=￡■,設切線與曲線y=ln(x+l)+a相切的切點為

(尤o/n(x°+l)+a),由兩曲線有公切線得了'=一二=2,解得.%=一:，則切點為

不)十12

[一:,a+lng),切線方程為y=21x+gj+a+ln；=2x+l+a-ln2,根據兩切線重合，所以

Q—ln2=。，解得a=In2.故答案為：In2

例7.(2019全國2卷理20)已知函數/⑴=lnx-

x-1

(1)討論/(X)的單調性，并證明了(X)有且僅有兩個零點；

(2)設/是/(X)的一個零點，證明：曲線y=lnx在點A(xo，lnxo)處的切線也是曲線

y=e”的切線.

解析:⑴函數/(尤)的定義域為(0,1)。(L+8),

X+]尤2+1

/(x)=InX-―f\x)=-1X2,因為函數/■(?的定義域為(0,1)。(1,+8),所

x-1X(X-1Y

以1f(x)>0,因此函數/(X)在(0,1)和(1,+8)上是單調增函數；當xe(0,l),時,

i]2

xfO,yf—8,而/?(一)=ln——J=-->0,顯然當xe(O,l),函數/(元)有零點,

eee-1

e

而函數/(%)在元￡(0,1)上單調遞增，故當X￡(o,l)時，函數〃%)有唯一的零點；當

P+1—?『+12—4

%￡(1,+8)時，f(e)=lne-----=-----<0,/(e2)=lne2-=-...>0,因為

J''117\z2121

e—1e—1e—1e—1

/(e)-/(e2)<0,所以函數/(尤)在(Ge?)必有一零點，而函數/'⑺在(1,共。)上是單調遞

增，故當xe(l,+8)時，函數/(無)有唯一的零點綜上所述，函數/Xx)的定義域

(0,1)D(L+O))內有2個零點;

(2)因為/是/Xx)的一個零點，所以/(Xo)=lnXo-A==O=>lnXo=a=

x°T%—1

1,1

y=lnxny'=—，所以曲線y=Inx在處的切線/的斜率左=一，故曲線

X/

11/、1x+1

y=lnx在A(xo，lnxo)處的切線/的方程為：y—lnx0=一(x—%)而Inx。=—n—,所

x22

以/的方程為y=—+—7,它在縱軸的截距為一r

設曲線y="的切點為3(和0國)，過切點為3(和都)切線,y="=>y=e"所以在

,*)處的切線/的斜率為d,因此切線/的方程為y=*x+

當切線/'的斜率匕=d等于直線I的斜率左=工時，即/=,n%]=-(Inx0),

%/

]X+1

切線/’在縱軸的截距為4n—a—XiXe-n'oa+lnXoA—Q+lnXo),而In/

毛玉)一1

所以優=一(1+二/)=—7,直線/,/的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直

/毛—1xQ-l

線/,/'重合，故曲線y=lnx在A(x0,lnxo)處的切線也是曲線y=e*的切線.

★5.切線問題的綜合應用

例8.(2021年新高考2卷)已知函數網<0，W>0，函數AM的圖象在點

和點可孫/(%))的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M,N兩點，則

噌取值范圍是__________.

IbN|

/、II\1—e*,x<0/、

解析：由題意，/x=^-1=一八，則(x=;1二,所以點■(再,1-和

11e-l,x>0

x

點5（工2，產-1），kAM=-e',kBN=*，所以=-l,Xl+x2=0,

所以AVTy-l+e%=—^（彳一%）,“（0,/%一/+1）,所以

|AW|=J4+（eW占）=Jl+e?”園,同理|BN|=+J尤2.所以

_,1+02百JxJ]l+e為ll+e2x'

2x：=八?0,1).故答案為：(0,1)

W-yfl+e-\x2\71+/%

例9已知函數〃x)=e\

⑴若VxeR,不等式〃礦(x)-x>0恒成立，求實數機的取值范圍；

⑵過點？(口)可以作曲線>=/(x)的兩條切線，切點分別為A(a,e)8(6,e”

①求實數f的取值范圍；

②證明：若a>b,則|AT|>|3T|.

解析：(1)易知〃￡-》>。=機>=~,令g(x)=2，貝ijg〈尤)顯然x<l時，

eee

g'(x)>0,x>l時，g'(x)<0,即g(x)=。在(-8,1)上單調遞增，在。,茁)上單調遞減,

則gOljg⑴=：〈根,即所，，+:|；

A

(2)①設切點(x(),e"),易知入0，，,/'(%)=e*,則有-=e°,BP+x0—1,

令/1(同=。一"+%-1,則y=/,y=/z(%)有兩個交點，橫坐標即分別為。也易知

hf(x)=l-e~x,顯然%>0時，”(力>0,%<0時，則%(%)在(-00,。)上單調遞

減，在(0,+8)上單調遞增，且1-—00時有力(%).y，%f+8時也有/2(尤).+8,

/z(x)>/i(O)=O,

則要滿足題意需/>0,即/e(O,y)；

已-a_|_Q_]_t

一(b<0<a),作差可得e-"-e「〃+a-6=0,§Pca+a=eb+b,

)e~b+b-l^t

由①知：網力在(-8,0)上單調遞減，在(0,+向上單調遞增，令

H(x)=〃(x)-/i(-x)=e^-e"+2xn少(x)=2_(eT+e，)<0,貝|H(x)始終單調遞減，所

//(a)=h[a)-<H(0)=0,即力(a)=/z0)</z(-a),所以6>-a,所以

a>—b>0,

不難發現e-"+o-l=rna=/+l-e-">/,勺’=：,所以由弦長公式可知

kBT=e

=J|AT|=7W^(l-e-)

\BT\=Jl+e2b(j—b)\\BT\=Jl+e2b(e-b-1)

m(x)=71+e2x(l-e-x)(x>0)=加(％)=e~x-71+e2x+>0

所以由a>—b>0n7e2fl+l(l-e-°)>Ve^+l(l-e6)=Je2b+1-=Je"+1(e^+l),即

\A7]>\BT\,證畢.

三.習題演練

1.(25屆泉州市高三開學考試)若曲線y=Inx在X=2處的切線與直線以-y+1=0垂直,

貝!I〃=.

解析：由題意得函數y=ln%的導函數為y'=L,故在x=2處切線的斜率為工，直線

x2

以一y+1=0的斜率存在為。，根據題意得，-.a=-l,解得a=—2.故答案為：—2.

2

2.(浙江省A9協作體25屆高三返校考試)曲線丁="在尤=0處的切線恰好是曲線

y=ln(x+a)的切線，則實數。=.

解析：曲線y=短在尤=。處的切線為y=%+l,g'(%)=」一，設切點(%o，ln(%o+a)),

x+a

%0=—1

由<入0+4，得<

a=2

ln(x0+〃)=%+1

3.(25屆廣東省八校高三聯考).若曲線y=lnx-/+2x在x=1處的切線恰好與曲線

>=式+。也相切,貝!|〃=.

解析：對于：y=lm:-x2+2x,可得了二!一2%+2,當x=l,貝!|y=l,y'=l,可知曲線

x

x

y=lnx—%2+2x在無=1處的切線是y=x；對于：y=e+a9可得y'=e",令y'=e"=l得

x=0,由切點(0,0)在曲線y=e'+〃上得〃=-1.故答案為：-1.

4.(25屆湖北省高三圓創聯考卷)已知函數f(x)=ax,g(x)=：loga(x+l),其中a〉l,

當兩函數圖象對應曲線存在2條公切線時則a的取值范圍是.

解析：令a'=Log“(x+l),則優+i=log°(x+l),令x+l=f,貝！|/=log/,由于函數

>=優,〉=108/互為反函數，故圖象關于y=x對稱，因此只需要考慮

f(x)=ax,g(x)=：log〃(x+l),兩曲線相切時的臨界情況，設切點橫坐標為與,

-=1log〃(xo+l)

故<即

廝，1

a^lna=------------

alntz(x0+1)

△=log“(x()+l)J

Xo+i,1，所以山(%+1)=,設％+1=乙則比。=「，

a°In<2=——7----?(x0+l)lntztint

Ina]/+1)

a>lnt>l,故有e+=〃n2〃兩邊取對并移項1皿+21n(1叫一，=0,記函數

夕⑺=ln/+21n(in/)-',易知°⑺在(1,+8)上單調遞增，因為0(e)=0,所以/=e,

(1、

此時〃_￡，所以。的取值范圍是ee,+oo.

LI—C

5.(浙江名校協作體高三開學考試)已知函數〃x)=x2+2x+4,g(x)=21nx+2x+5.

(1)判斷函數g(x)的零點個數，并說明理由；

（2）求曲線丁=/（%）與丁=8（九）的所有公切線方程.

9

解析：（1）g'（x）=—+2>0,，g⑺在（0,+"）單調遞增

又g（H3）=搟一1<0遙⑴=7>0,.?.g（x）存在唯零點，在（I』）之間.

（2）/'（尤）=2%+2,.?.以上的點（％,〃石））為切點的切線方程為

y-+2%+4）=（2%+2）-.以g（%）上的點（%，g（%））為切點的切線方程為

2

y一（21n%2+2々+5）=---F2-

九2

2%|+2=---F2

X21

令<，貝！1%二一，代入（2）,得

（2、x2

西2+

2玉+4—（2%+2）%=2111%2+2%2+5------F2x2

\X2）

1=即1=%；—1叫,設4；=，，函數人（力）=/一In/,則〃⑺=1」.

當Ov.vl時，〃?）<。,力（1）單調遞減，當/>1時，"?）>。,力（。單調遞增，

^（1）=1,

二.二片一限：的解為％=±1,又/>0,..?%>0,石=1.「./（元）和g（%）存在唯---條

公切線為y=4犬+3.

6.（2021年全國甲卷）曲線y=*7x-1在點（T-3）處的切線方程為________.

x+2

解析：由題，當X-—1時，y~—,故點在曲線上.求導得：

,2（x+2）-（2x-l）5

y=―-=7一不，所以了1一=5.故切線方程為5x—y+2=0.

/（x+，2）（x+2）

7.（2021新高考1卷）若過點（心。）可以作曲線y=e、的兩條切線，則（）

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0<Z?<ea

解析：在曲線y=e'上任取一點P?,e'），對函數y=e，求導得y'=e",

所以，曲線y=/在點P處的切線方程為y—e'=d（xT）,即y=dx+（lT），,

由題意可知，點(。力)在直線y=e'x+(lv)e'上，可得

b=ad+(1—f)e'=(a+l—，

令/(')=(。+1一')/，則/'(。=(。-。/.當/<1時，此時函數/?)單調

a

遞增，當/>a時，/'(。<0,此時函數/?)單調遞減，所以，f(t)nm=f(a)=e,

由題意可知，直線y=b與曲線y=的圖象有兩個交點，則1rax=e〃，

當/<a+l時，/(?)>0,當f>a+l時，/(/)<0,作出函數/?)的圖象如下圖所

示：

rCC

由圖可知，當o<b<e〃時，直線y=^與曲線y=的圖象有兩個交點.故選：D.

8.(2015年新課標卷)已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線

y=依2+(a+2)x+l相切，則口=

解析：y=l+-,所以y|1=2,切線方程為y—l=2(x—l)ny=2x—1,聯立方

x

y=2x-l

程〈2/,=>以~+奴+2=0,從而由相切可得：

y=ax^+(tz+2)x+l

A=?2—8a=0=>a=8

9.若函數y=f(x)的圖象上的若干個不同點處的切線互相重合，則稱該切線為函數y=f(x)

的圖象的“自公切線”，稱這若干個點為函數y=f(x)的圖象的一組“同切點”例如，如圖，直

線/為函數y=f(x)的圖象的“自公切線”，A,B為函數y=f(x)的圖象的一組“同切點”.

(1)已知函數/(x)=xco次在尤=0處的切線為它的一條“自公切線”，求該自公切線方程;

⑵若awR,求證：函數g(x)=x-tanx+a,尤有唯一零點，且該函數的圖象不

存在“自公切線”