/導數及其應用目錄【解密高考】總結常考點及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關策略（含押題型）【題型一】切線問題【題型二】極值與極值點【題型三】含參討論單調性【題型四】恒成立求參【題型五】能成立求參【題型六】零點問題【題型七】隱零點問題【題型八】構造函數求參【題型九】多變量問題【誤區點撥】易錯點1：①除法求導要注意分子是相減，分母帶平方；②復合函數對自變量的導數等于已知函數對中間變量的導數,乘以中間變量對自變量的導數,即．易錯點2：使用導數求函數極值時，很容易出現的錯誤是求出使導函數等于0的點，還需要對這些點左右兩側導函數的符號進行判斷：導數在新結構試卷中的考察重點偏向于小題，原屬于導數的壓軸題有所改變，但導數在高考中的考察依然屬于重點，題型很多，結合的內容也偏多，比如常出現的比較大小和恒成立問題等都結合著構造函數的思想.：在處理含對數的等式、不等式時，通常要將對數型的函數“獨立分離”出來，這樣再對新函數求導時，就不含對數了，從而避免了多次求導.這種讓對數“孤軍奮戰”的變形過程，俗稱之為“對數單身狗”.【題型一】切線問題【例1】已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求過點且與曲線相切的直線的切點坐標.【例2】若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則【變式1】已知曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C．1 D．【變式2】過原點且與曲線相切的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【變式3】過定點作曲線的切線，恰有2條，求實數的取值范圍.【題型二】極值與極值點【例1】設三次函數的導函數為，函數圖象的一部分如圖所示，則下列說法正確的個數為（

）①函數有極大值②函數有極小值③函數有極大值④函數有極小值A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【例2】已知函數在處取得極值.(1)求的值；(2)當時，求曲線在處的切線方程；(3)當時，求曲線的極值.【變式1】已知函數若，則函數的極小值點是；若函數在上存在唯一的極值點．則實數a的取值范圍為．【變式2】已知函數（為常數），曲線在點處的切線平行于直線.(1)求函數的解析表達式；(2)求函數的極值.【變式3】已知函數有兩個極值點，則實數的取值范圍是．【題型三】含參討論單調性【例1】設函數，直線是曲線在點處的切線．(1)當時，求的單調區間.【例2】設函數，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設函數，求的單調區間；【變式1】已知函數．(1)當時，討論的單調性；【變式2】已知函數．(1)討論的單調性；【題型四】恒成立求參【例1】已知函數，若在上恒成立，則實數的取值范圍是．【例2】已知函數.(1)若存在極小值，且極小值為，求；(2)若，求的取值范圍.【變式1】已知對于任意的，存在，使得不等式恒成立，則實數的取值范圍為．【變式2】已知函數．(1)討論的單調性；(2)當時，，求實數的值．【題型五】能成立求參【例1】若函數存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是．【例2】已知函數(1)當時，求的極值；(2)若存在，使得，求的取值范圍．【變式1】已知函數，若存在實數，使得成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式2】已知函數.(1)當在處的切線是時，求的單調區間與極值；(2)若在上有解，求實數的取值范圍.【題型六】零點問題【例1】已知函數(1)判斷函數的單調性，并求出的極值；(2)畫出函數的大致圖像并求出方程的解的個數．【例2】函數有三個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1】若函數，當時，函數有極值，關于x的方程有三個不等實根，則實數k的取值范圍是.【變式2】已知函數．(1)求函數的單調區間；(2)若函數有兩個零點，求實數的取值范圍．【變式3】已知函數．(1)若，求在上的值域；(2)若，求在上的零點個數．【題型七】隱零點問題【例1】已知函數.(1)求函數的單調區間；(2)求證：函數的圖象在x軸上方.【例2】已知函數．(1)若曲線在處的切線經過點，求實數a的值；(2)若對任意，都有（e為自然對數的底），求證：．【變式1】已知函數，.（1）討論函數的單調性；（2）若函數在區間有唯一零點，證明：.【變式2】已知函數．（1）證明：在區間內存在唯一的零點；（2）若對于任意的，都有，求整數的最大值．【題型八】構造函數求參【例1】已知，則（

）A． B． C． D．【例2】已知實數滿足且，則的最小值為.【例3】已知定義在上的函數，是的導函數，滿足，且，則不等式的解集是（

） B． C． D．幾種導數的常見構造：對于，構造若遇到，構造對于，構造對于，構造對于或，構造對于，構造對于，構造【變式1】已知是定義在上的偶函數，且當時，，則滿足的的取值范圍是．【變式2】已知恒成立，則正數的取值范圍為．【變式3】（多選）定義在上的函數滿足，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【題型九】多變量問題【例1】已知函數，其中(1)討論的單調性；(2)若函數有兩個極值點，，證明：【例2】已知函數．(1)若函數有兩個零點，求的取值范圍；(2)設是函數的兩個極值點，證明：．【變式1】已知函數，其中，為自然對數的底數.(1)求的單調區間；(2)設且，請判斷與的大小，并證明.【變式2】已知函數．(1)若函數在處有極值，且關于的方程有3個不同的實根，求實數的取值范圍；(2)記.若對任意且時，均有成立，求實數的取值范圍．【變式3】已知函數．(1)求函數的單調區間；(2)已知函數的圖象與的圖象關于直線對稱，證明：當時，；(3)如果，且，證明：．目標希望是這樣的：由；在處理含指數的等式、不等式時，通常要將指數型函數與其它函數（乘或除）結合起來，這樣再對新函數求導時，就避免了多次求導.俗稱之為“指數找朋友”或“指數常下沉”.例1、知函數fx=log(1)當a=2時，判斷fx(2)若fx≥?1恒成立，求變式1、已知函數f(1)若a=2，求fx(2)若對?x∈0,+∞，fx變式2、已知函數fx=ln(1)討論fx(2)若恒成立，求.

導數及其應用目錄【解密高考】總結常考點及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關策略（含押題型）【題型一】切線問題【題型二】極值與極值點【題型三】含參討論單調性【題型四】恒成立求參【題型五】能成立求參【題型六】零點問題【題型七】隱零點問題【題型八】構造函數求參【題型九】多變量問題【誤區點撥】易錯點1：①除法求導要注意分子是相減，分母帶平方；②復合函數對自變量的導數等于已知函數對中間變量的導數,乘以中間變量對自變量的導數,即．易錯點2：使用導數求函數極值時，很容易出現的錯誤是求出使導函數等于0的點，還需要對這些點左右兩側導函數的符號進行判斷：導數在新結構試卷中的考察重點偏向于小題，原屬于導數的壓軸題有所改變，但導數在高考中的考察依然屬于重點，題型很多，結合的內容也偏多，比如常出現的比較大小和恒成立問題等都結合著構造函數的思想.：在處理含對數的等式、不等式時，通常要將對數型的函數“獨立分離”出來，這樣再對新函數求導時，就不含對數了，從而避免了多次求導.這種讓對數“孤軍奮戰”的變形過程，俗稱之為“對數單身狗”.【題型一】切線問題【例1】已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求過點且與曲線相切的直線的切點坐標.【答案】(1)(2)或【分析】（1）求出的值，利用導數的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）設切點坐標為，利用導數的幾何意義求出切線方程，將點的坐標代入切線方程，求出的值，即可得出所求切點的坐標.【詳解】（1）因為，求導得，故，因此，曲線在點處的切線方程為，即.（2）設切點坐標為，則曲線在點處的切線的斜率為，故所求切線方程為，將點的坐標代入切線方程得，整理可得，即，解得或，故所求切點的坐標為或.【例2】若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則【答案】2【分析】設出兩切點和點，求導，利用導數幾何意義得到，表達出上點處的切線方程，代入點坐標，得到方程，聯立得到，，求出.【詳解】設上點處的切線和在點處的切線相同，，，故，故，上點處的切線方程為，顯然在切線上，故，即，即，解得，故.故答案為：2【變式1】已知曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】求，利用導數的幾何意義可求的值.【詳解】由題意得，函數的定義域為，且，∴，∵曲線在點處的切線與直線垂直，∴，即，故.故選：D.【變式2】過原點且與曲線相切的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】先求出導函數，再設切點，根據導函數得出切線斜率再應用兩點求斜率計算求參進而得出切線即可.【詳解】設切點，因為曲線，所以，所以，所以，所以或，當時，所以，所以切線方程為，即；當時，所以，所以切線方程為，即；當時，所以，所以切線方程為，即；所以切線有3條.故選：C.【變式3】過定點作曲線的切線，恰有2條，求實數的取值范圍.【答案】【分析】設出切點，根據點斜式求解直線方程，構造函數，利用導數求解單調性，結合函數圖象即可求解.【詳解】由，得，切點為，則切線的斜率為，所以切線方程為，因為，所以，因為點在切線上，所以，得，令，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以在處取得極小值，當時，，當時，，由題意可得直線與函數的圖象有兩個交點，所以，解得，所以實數a的取值范圍為，【題型二】極值與極值點【例1】設三次函數的導函數為，函數圖象的一部分如圖所示，則下列說法正確的個數為（

）①函數有極大值②函數有極小值③函數有極大值④函數有極小值A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】結合圖象先判斷的正負性，即可得出的增減性，進而得出極值.【詳解】由題圖知，當時，，則；當時，，則；當時，，則；當時，，則，則在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，則的極大值是，極小值是，①④正確，故選：B【例2】已知函數在處取得極值.(1)求的值；(2)當時，求曲線在處的切線方程；(3)當時，求曲線的極值.【答案】(1)(2)(3)極大值為，極小值為-2.【分析】（1）利用導函數的零點結合極值點的定義計算驗證即可；（2）利用導數的幾何意義計算即可；（3）利用導數研究函數的單調性，結合極值的概念列表計算即可.【詳解】（1），由題意知，所以，即當時，，故在單調遞增，單調遞減，故在處取得極值.故；（2）由（1）可知.當時，，所以，所以在處的切線方程為，即；（3）由（1）（2）可知，，令，得或1+0-0+單調遞增單調遞減單調遞增所以在處取得極大值，在處取得極小值，故極大值為，極小值為.【變式1】已知函數若，則函數的極小值點是；若函數在上存在唯一的極值點．則實數a的取值范圍為．【答案】1【分析】①時，直接求導得到導函數，判斷導函數零點左右的正負即可得到極值點；②若函數在上存在唯一的極值點，則只有一個零點在內，結合為的對稱軸可以更具體地得到，解不等式組即可得出答案.【詳解】①時，，的定義域為，，令，得或，當時，；當時，，故函數的極大值點為，極小值點為，②，對稱軸為，若函數在上存在唯一的極值點，則只有一個零點在內，因為的對稱軸為，所以，即且，解得，所以實數的取值范圍為，故答案為：1；.【變式2】已知函數（為常數），曲線在點處的切線平行于直線.(1)求函數的解析表達式；(2)求函數的極值.【答案】(1)(2)極大值為，極小值為【分析】（1）求導，由求得的值，得解；（2）利用導數判斷單調性，求出極值.【詳解】（1）根據題意，，則，解得，.（2）由（1），令，解得或，令，解得，所以當或時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，取得極大值，極大值為，當時，取得極小值，極小值為.【變式3】已知函數有兩個極值點，則實數的取值范圍是．【答案】【分析】直接求導得，再設新函數，討論和的情況，求出函數的極值點，則由題轉化為，解出即可.【詳解】因為，，令，函數有兩個極值點，則在區間上有兩個不等實數根，又，當時，，則函數在區間單調遞增，因此在區間上不可能有兩個實數根，舍去，當時，令，解得，令，解得，此時函數在單調遞增，令，解得，此時函數在單調遞減，當時，函數取得極大值，當趨近于0與趨近于時，，要使在區間上有兩個實數根，則，解得，實數的取值范圍是．故答案為：.【題型三】含參討論單調性【例1】設函數，直線是曲線在點處的切線．(1)當時，求的單調區間.【答案】(1)單調遞減區間為，單調遞增區間為.【分析】（1）直接代入，再利用導數研究其單調性即可；【詳解】（1），當時，；當，；在上單調遞減，在上單調遞增.則的單調遞減區間為，單調遞增區間為.【例2】設函數，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設函數，求的單調區間；【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）先對求導，利用導數的幾何意義得到，，從而得到關于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數軸穿根法求得與的解，由此求得的單調區間；【詳解】（1）因為，所以，因為在處的切線方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調遞減，在，上單調遞增，即的單調遞減區間為和，單調遞增區間為和.【變式1】已知函數．(1)當時，討論的單調性；【答案】(1)在上單調遞減【分析】（1）代入后，再對求導，同時利用三角函數的平方關系化簡，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負情況，從而得解；（2）法一：構造函數，從而得到，注意到，從而得到，進而得到，再分類討論與兩種情況即可得解；法二：先化簡并判斷得恒成立，再分類討論，與三種情況，利用零點存在定理與隱零點的知識判斷得時不滿足題意，從而得解.【詳解】（1）因為，所以，則，令，由于，所以，所以，因為，，，所以在上恒成立，所以在上單調遞減.【變式2】已知函數．(1)討論的單調性；【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求導，再分類討論與兩種情況，結合導數與函數單調性的關系即可得解；【詳解】（1）因為，定義域為，所以，當時，由于，則，故恒成立，所以在上單調遞減；當時，令，解得，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增；綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.【題型四】恒成立求參【例1】已知函數，若在上恒成立，則實數的取值范圍是．【答案】【分析】構造函數，研究其單調性，求的最大值即可.【詳解】，則在上恒成立，令，則，則得，得，則在上單調遞增，在上單調遞減，則，故，則實數的取值范圍是.故答案為：.【例2】已知函數.(1)若存在極小值，且極小值為，求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導，判斷函數的單調性，結合極小值為求解；（2）將不等式分離參數，得，設，，利用導數求出最值即可.【詳解】（1），，當時，，所以函數無極值，當時，由，得，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的極小值為，解得.（2）由，得，即，，設，，則，當時，，即在上單調遞減，當時，，即在上單調遞增，所以，則，所以的取值范圍為.【變式1】已知對于任意的，存在，使得不等式恒成立，則實數的取值范圍為．【答案】【分析】令，則，令，利用導數求出函數的單調區間，從而可求出函數的零點，進而求出的符號分別情況，即可求出函數的單調區間，進而求出，即可得解.【詳解】令，則，令，則，當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以又，且當時，，當時，，即，且當時，，當時，，所以存在唯一，使得，所以，故當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則，令，則，當時，，當時，，所以函數上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，所以實數的取值范圍為.故答案為：.【變式2】已知函數．(1)討論的單調性；(2)當時，，求實數的值．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）對函數求導，分別討論，當以及當時，導函數的正負情況，從而得到函數的單調區間；（2）由（1）得，當時，，則要使不等式成立，即需使不等式成立，令，利用導數分析函數的單調性，從而得到恒成立，故若要使，則，從而求得的值.【詳解】（1）因為，定義域為，求得，所以，當時，成立，此時在上單調遞減；當時，，，在上單調遞減；，，在上單調遞增．綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增．（2）由（1）得，當時，，要使不等式成立，即需使不等式成立，即不等式成立，令，，則，令，則；令，則；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，若，則,所以.【題型五】能成立求參【例1】若函數存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是．【答案】【分析】由題意可知，使得成立，則，利用導數求出函數的最大值，即可得出實數的取值范圍.【詳解】函數的定義域是，則．若存在單調遞減區間，即，使得成立，則．令，則，令，解得，令，解得，故在上單調遞增，在上單調遞減，故，故．故答案為：.【例2】已知函數(1)當時，求的極值；(2)若存在，使得，求的取值范圍．【答案】(1)極大值為，極小值為(2)【分析】（1）結合導數分析函數的單調性，進而求解極值；（2）求導，分，，三種情況分析求解即可.【詳解】（1）當時，，則，令，得；令，得或，所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減，則時，函數取得極大值，時，函數取得極小值.（2）由，，則，當時，，此時，函數在上單調遞增，則，即；當時，，則時，；時，，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，即，與矛盾，不符合題意；當時，，此時，函數在上單調遞減，則，即恒成立，符合題意.綜上所述，的取值范圍為．【變式1】已知函數，若存在實數，使得成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求導函數得出函數的單調性得出函數值范圍計算即可求參.【詳解】因為函數，若存在實數，使得成立，當時，存在，所以；當時，不成立；當時，存在，所以成立，令，，當單調遞增；當單調遞減；所以時，，，，所以；綜上得：或.故選：D.【點睛】方法點睛：解題的方法是分類討論三種情況結合函數值域及導函數求參單調性計算求解即可.【變式2】已知函數.(1)當在處的切線是時，求的單調區間與極值；(2)若在上有解，求實數的取值范圍.【答案】(1)減區間，增區間，極小值，無極大值.(2)【分析】（1）根據切線求得，利用導數求得的單調區間與極值.（2）由不等式分離參數，然后利用構造函數法，結合導數來求得的取值范圍.【詳解】（1），若在處的切線是，則，則，所以在區間上單調遞減；在區間上單調遞增，所以在處取得極小值，無極大值.（2）依題意，①在上有解，①可化為，設，，由（1）知，當且僅當時函數值為，所以在區間單調遞減；在區間單調遞增；所以，所以的取值范圍是.【題型六】零點問題【例1】已知函數(1)判斷函數的單調性，并求出的極值；(2)畫出函數的大致圖像并求出方程的解的個數．【答案】(1)單調遞減區間為，單調遞增區間為，極小值；(2)當時，有個解；當或時，有個解；當時，有個解.【分析】（1）直接對于求導，判斷單調性，進而求解極值；（2）由（1）的單調性與極值，最值，畫出函數圖像，利用數形結合求出的解的個數.【詳解】（1）由題意可知，的定義域為，則，令，則，當時，，則單調遞減，當時，，則單調遞增.所以故;（2）由（1）可知作出函數圖像，由圖，當時，方程的解個數為個；當或時，方程的解個數為個；當時，方程的解個數為個.【例2】函數有三個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據條件，將問題轉化成與有三個交點，再利用導數與函數單調性間的關系，求出的單調區間，進而可得出的圖象，數形結合，即可求解.【詳解】因為，易知，所以0不是零點，令，即，得到，令，，則，易知恒成立，由，得到，當時，，時，，時，，所以在單調遞增，單調遞減，單調遞增，又易知，當，且時，，時，，當時，時，，且，當時，時，，所以的圖象如圖所示，由題知與有三個交點，所以，故選：A.【變式1】若函數，當時，函數有極值，關于x的方程有三個不等實根，則實數k的取值范圍是.【答案】【分析】根據當時，函數有極值，求得的解析式，利用導數法，作出函數的圖象求解.【詳解】由題意可知，，∴，解得經檢驗，，符合題意.故所求函數的解析式為.則.令，得或，當x變化時，，的變化情況如表，x2+0-0+↗↘↗∴當時，有極大值；當時，有極小值.則函數的圖象如圖所示：由圖象知：要使關于的方程有三個不等實根，則k應滿足.即實數k的取值范圍是.故答案為：【變式2】已知函數．(1)求函數的單調區間；(2)若函數有兩個零點，求實數的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導，再分和兩種情況討論即可；（2）由（1）知，要使函數有兩個零點，則，則，進而可得出答案.【詳解】（1），當時，，所以函數在單調減區間為，當時，令，則，令，則，所以函數的單調增區間為，單調減區間為，綜上所述，當時，在單調減區間為，沒有增區間；當時，函數的單調增區間為，單調減區間為；（2）由（1）知，要使函數有兩個零點，則，當時，，又當時，，當時，，因為函數有兩個零點，所以，令，因為函數在上都是增函數，所以函數在上是增函數，又因為，所以不等式的解集為，所以實數的取值范圍為.【變式3】已知函數．(1)若，求在上的值域；(2)若，求在上的零點個數．【答案】(1)(2)答案見解析；【分析】（1）多次求導后，可判斷在上單調遞增，據此可得值域；（2）時，多次求導后，可得在上單調遞增，在上單調遞減，其中，然后由零點存在性定理可得答案.【詳解】（1）時，，此時，令，.則，則在上單調遞增，則，故在上單調遞增，則；（2）由題，令，.則，，，時，，根據正弦函數性質知在上的零點個數為0；時，所以，故在上單調遞減.又，則，使.則，故在上單調遞增，在上單調遞減.又注意到，，結合在上單調遞增，則時，，，又，結合在上單調遞減.則存在，使.綜上，當時，在上的零點個數為0，當時，在上的零點個數為1.【題型七】隱零點問題【例1】已知函數.(1)求函數的單調區間；(2)求證：函數的圖象在x軸上方.【答案】(1)單調遞增區間為，單調遞減區間為；(2)證明見解析.【分析】(1)求，根據正負即可求y的單調區間；(2)求，根據零點的范圍求出g(x)的最小值，證明其最小值大于零即可.【詳解】（1），令則.當時，，∴函數在上單調遞增；當時，，∴函數在上單調遞減.即的單調遞增區間是，單調遞減區間是；（2），，易知單調遞增，又，，∴在上存在一個，使得：，即：，且，當，有單調遞減；當，有單調遞增.∴，∴，∴函數的圖象在x軸上方.【點睛】本題考查隱零點，關鍵是判斷單調，且，，由此得出在(1，2)之間存在零點，據此求出g(x)的最小值，證明此最小值大于零即可.【例2】已知函數．(1)若曲線在處的切線經過點，求實數a的值；(2)若對任意，都有（e為自然對數的底），求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】(1)，所以，，

所以曲線在點處的切線方程為，因為切線經過點，所以解得．(2)設，則，

設，則，因為在上遞增，所以當時，，當時，所以在上遞減，在上遞增，所以，

令，則所以在遞減，因為，所以，所以．【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數的綜合應用，考查導數的幾何意義，考查利用導數證明不等式，解題的關鍵是構造函數，利用導數求得，再利用函數的單調性結合可證得結論，考查數學轉化思想，屬于較難題【變式1】已知函數，.（1）討論函數的單調性；（2）若函數在區間有唯一零點，證明：.【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）求導得，分，，，三種情況討論可得單調區間.（Ⅱ）由（1）及可知：僅當極大值等于零，即且所以，且，消去得，構造函數，證明單調且零點存在且唯一即可.試題解析：（Ⅰ），，令，，若，即，則，當時，，單調遞增，若，即，則，僅當時，等號成立，當時，，單調遞增.若，即，則有兩個零點，，由，得，當時，，，單調遞增；當時，，，單調遞減；當時，，，單調遞增.綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減.（Ⅱ）由（1）及可知：僅當極大值等于零，即時，符合要求.此時，就是函數在區間的唯一零點.所以，從而有，又因為，所以，令，則，設，則，再由（1）知：，，單調遞減，又因為，，所以，即點晴：本題考查函數導數與單調性.確定零點的個數問題：可利用數形結合的辦法判斷交點個數，如果函數較為復雜，可結合導數知識確定極值點和單調區間從而確定其大致圖象.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數的值域問題處理.恒成立問題以及可轉化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分離的方法，轉化為求函數最值處理．也可構造新函數然后利用導數來求解.注意利用數形結合的數學思想方法.【變式2】已知函數．（1）證明：在區間內存在唯一的零點；（2）若對于任意的，都有，求整數的最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）3．【分析】（1）先利用導數證明在上單調遞增，再結合零點存在定理，得證；（2）參變分離得，令，原問題轉化為求在上的最小值，結合（1）中結論和隱零點的思維，即可得解．【詳解】（1）證明：∵，∴，當時，，∴在上單調遞增，∵，，∴在區間內存在唯一的零點．（2）解：∵，且，∴，令，則，，由（1）知，在上單調遞增，且在區間內存在唯一的零點，設該零點為，則，故當時，，即，在上單調遞減，當時，，即，在上單調遞增，∴，∴，故整數的最大值為3．【點睛】本題考查利用導數研究函數的零點，以及不等式問題，考查轉化與劃歸思想，邏輯推理能力和運算能力，屬于較難題．【題型八】構造函數求參【例1】已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應用對數單調性得出，再構造函數，求出導函數得出函數單調性判斷即可判斷.【詳解】因為．構造函數，則，當時，單調遞增，所以，所以．故．故選：A.【例2】已知實數滿足且，則的最小值為.【答案】【分析】首先通過對數運算法則對已知等式進行變形，構造函數，利用導數判斷其單調性，再根據函數值相等及單調性得到與的關系，進而得到關于的表達式，構造新函數，通過求導判斷其單調性來求解最小值.【詳解】，即，設，則上式表明，求導得，當時，在上單調遞增，由于，令，，當時，單調遞減；當時，單調遞增，.故答案為：.【例3】已知定義在上的函數，是的導函數，滿足，且，則不等式的解集是（

） B． C． D．幾種導數的常見構造：對于，構造若遇到，構造對于，構造對于，構造對于或，構造對于，構造對于，構造【答案】D【分析】構造函數，結合題意利用導數計算可得該函數單調性，即可將不等式轉化為，從而得到，即可得解.【詳解】令，則，則當時，，即在上單調遞減，由，則，又，即不等式等價于，即，即有，解得.故選：D.【變式1】已知是定義在上的偶函數，且當時，，則滿足的的取值范圍是．【答案】【分析】構造函數，應用導函數得出單調性，再結合偶函數性質得出，最后計算求解.【詳解】設，則．由當時，，得，即，故在區間上單調遞增．又，所以，即．因為為上的偶函數，所以，即，計算得，所以，解得或．故答案為：.【變式2】已知恒成立，則正數的取值范圍為．【答案】【分析】將原不等式同構為，即，令，分析單調性可得，令利用導數求出最值得解.【詳解】由，可得．令，易知在上單調遞增，由，可得，故，即.令，則，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，則，所以，即，故正數的取值范圍是.故答案為：.【變式3】（多選）定義在上的函數滿足，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由構造函數，判斷的單調性，結合選項和函數的單調性比較函數值的大小即可.【詳解】構造函數，則，因為，所以，故是增函數.由得，，即，故A正確；由得，，即，故B正確；由得，，即，故C錯誤；由得，，即，即，故D正確.故選：ABD．【題型九】多變量問題【例1】已知函數，其中(1)討論的單調性；(2)若函數有兩個極值點，，證明：【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導，分類討論函數的單調性.（2）由函數有兩個極值點，確定a的范圍，代入函數值，構造函數，利用函數單調性求解.【詳解】（1）由題意得，函數的定義域為，且，，令，當，即時，恒成立，則，所以在上是單調遞減；當，即時，函數有兩個零點：，，當x變化時，，的變化情況如下表所示：x-0+0-單調遞減單調遞增單調遞減綜上，當時，在內單調遞增，在和上單調遞減；當時，在上單調遞減.（2）由（1）知，當時，有兩個極值點，，則，是方程的兩個根，由韋達定理，得，，所以，，令，，則，當時，，則在區間上單調遞減，從而，故【例2】已知函數．(1)若函數有兩個零點，求的取值范圍；(2)設是函數的兩個極值點，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）函數有兩個零點轉化為直線與函數的圖象有兩個不同的交點，利用導數研究函數單調性與最值，數形結合即可求的取值范圍；（2）由（1）知，不妨設，要證，即證，只需證，結合單調遞增只需證，再根據單調性可得答案.【詳解】（1），則，令，得，若函數有兩個零點，則直線與函數的圖象有兩個不同的交點．設，則．當時，單調遞減，當時，單調遞增，因此．當時，，當時，，作出函數的大致圖象與直線，如圖所示，要使二者有兩個不同交點，則，故的取值范圍為．（2）因為是函數的兩個極值點，所以．由（1）知，不妨設，要證，即證，只需證，顯然．由（1）知當時，單調遞增，所以只需證，而，所以即證．設，則，當時，單調遞減，所以當時，，所以當時，，原不等式得證．【點睛】方法點睛：解答函數零點個數問題常見思路：1，轉化為方程的根的個數求解；2，轉化為函數圖象的交點個數求解.【變式1】已知函數，其中，為自然對數的底數.(1)求的單調區間；(2)設且，請判斷與的大小，并證明.【答案】(1)單調遞減區間為和；單調遞增區間為(2)，證明見解析【分析】（1）求出導函數，利用導數法求得的單調區間即可．（2）構造函數，利用多次求導的方法判斷出的單調區間，從而判斷出兩者的大小關系．【詳解】（1）的定義域為，，，令得，令得且，即在區間和上，單調遞減，在區間上，單調遞增，所以的增區間為，減區間為，．（2），證明如下：令，則定義域為，，令，則，則當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則，所以在，上單調遞增，因為且，所以或，所以恒成立，即，所以.【變式2】已知函數．(1)若函數在處有極值，且關于的方程有3個不同的實根，求實數的取值范圍；(2)記.若對任意且時，均有成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據極值點的定義求，并利用函數的導數，判斷函數的單調性，求函數的極值，結合函數有3個零點求參數的取值范圍；（2）首先根據函數的的單調性去絕對值，再變形不等式，轉化為函數在遞減；在遞增，再利用函數的導數和單調性的關系，轉化為參變分離，求最值問題，即可求解.【詳解】（1）函數在處有極值，可得，解得，經檢驗，滿足題意，所以當時，在單調遞減；當或時，在上單調遞增，可得在處取得極小值，且為0，在處取得極大值，且為，方程有3個不同的實根，等價為，即有的取值范圍是.（2）在遞減，可得時，，，即為，即即為即對任意且時恒成立.所以在遞減；在遞增.當在恒成立時，可得，即在恒成立，在上單調遞增，即，則.當在恒成立時，可得，即在恒成立，，當時等號成立，則，則.綜上可得的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是第2問，變形不等式，轉化為兩個函數的單調性問題，結合導數，即可求解.【變式3】已知函數．(1)求函數的單調區間；(2)已知函數的圖象與的圖象關于直線對稱，證明：當時，；(3)如果，且，證明：．【答案】(1)的單調遞增區間為，單調遞減為；(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由導數知識可得的單調區間；（2）由題可得，然后研究單調性，可完成證明；（3）方法1，由導數知識可得大致圖象，據此可得，然后通過研究函數，可得對恒成立，最后由題意，結合，可完成證明；方法2，要證，即證，然后通過研究可完成證明；方法3，令，要證，即證：，然后通過研究可完成證明.【詳解】（1）.。則的單調遞增區間為，單調遞減為；（2）因的圖象與的圖象關于直線對稱，則.構造函數，則.因，則，則在上單調遞增，則，即當時，；（3）法一：，易得在上單調遞增，在上單調遞減，時，，，時，，函數在處取得極大值，且，如圖所示．由，不妨設，則必有，構造函數，則，所以在上單調遞增，，也即對恒成立．由，得，所以，即，又因為，且在上單調遞減，所以，即法二：欲證，即證，由法一知，故，又因為在上單調遞減，故只需證，又因為，故也即證，構造函數，則等價于證明對恒成立．由，則在上單調遞增，所以，即已證明對恒成立，故原不等式成立．法三：由，得，化簡得，不妨設，