/秦皇島市第三中學2024-2025學年度第二學期期中考試高一數學試卷A卷考試說明：考試時間：120分鐘總分：150分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。只有一個選項是正確的。請把正確的選項填在答題卡的相應位置1.若2+a+1ia∈A.2-iB.2+i2.已知a→=3,2，b→=-6A.-4B.4C.9D.3.已知在△ABC中，角A，B的對邊分別為a，b，若asinA=2，sinA.22B.2C.1D.4.已知空間向量a→，b→且AB→=a→+A.A，B，DB.A，B，CC.B，C，DD.A，C，D5.已知向量a→=x,3，b→=A.1B.3C.1或-3D.1或36.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，由A1，C1A.2a2B.3a27.在△ABC中，AD→=23AC→，點E在BDA.-23B.-458.已知兩個單位向量e→1，e→2的夾角為①e→1在e→2上的投影向量為cosθ；②eA.1個B.2個C.3個D.4個二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分9.已知i為虛數單位，復數z滿足z=1+A.z的實部為3B.z的虛部為2iC.zD.z―10.（多選）某工廠生產出一種機械零件，如圖所示，零件的幾何結構為圓臺O1O2，在軸截面ABCD中，AB=AD=A.該圓臺的高為3B.該圓臺軸截面面積為24cC.該圓臺軸截面面積為12D.一只螞蟻從點C沿著該圓臺的側面爬行到AD的中點，所經過的最短路程為10cm11.若向量a→=2,1A.aB.a→-bC.a→+2bD.sin?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.△ABC的內角A、B、C所對邊長分別為a、b、c，且a2-13.向量a→，b→在邊長為1的正方形網格中的位置如圖所示，則14.若a-2i2+i=b-i（a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.（13分）計算(1)5i(2)1(3)216.（15分）已知向量a→=1(1)求2a(2)求a→(3)求cos?a17.（15分）我國古代數學名著《九章算術》，將底面為矩形且有一條側棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1(1)求證：四棱錐D1(2)求該“陽馬”D118.（17分）如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從點A測得點M的仰角∠MAN=45°，點C的仰角∠CAB=60°，以及(1)求兩點AC間的長度；(2)求山MN的高度．19.（17分）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a(1)求a2(2)若B=2π3，△ABC的面積為153

秦皇島市第三中學2024-2025學年度第二學期期中考試高一數學試卷A卷答案一、單選題1．若為實數，是純虛數，則復數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據復數的概念得出的值即可.【詳解】為實數，則，是純虛數，則，則故選：D2．已知，，若與共線，則（

）A． B．4 C．9 D．【答案】A【分析】根據平面向量共線的坐標表示即可求解.【詳解】因為與共線，所以，解得.故選：A.3．已知在中，角的對邊分別為，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據正弦定理即可求解.【詳解】由正弦定理可得,故.故選：C4．已知空間向量且則一定共線的三點是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】A【分析】利用向量加法求出，利用共線向量定理逐一判斷即可.【詳解】解：對于A選項，，所以三點共線，A正確；對于B選項，設，則，即無解，B錯誤；對于C選項，設，則,即,無解，C錯誤；對于D選項，，設，即，即，無解，D錯誤．故選：A5．已知向量，，若，則（

）A．1 B．3 C．1或 D．1或3【答案】C【分析】先應用向量加法，再應用垂直得出平面向量的數量積為0計算求參.【詳解】因為，，所以.又，所以，解得或.故選：C.6．8．在正方體中，由，，，四個點為頂點的正四面體的表面積為，則該正方體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設正方體的棱長為，則正四面體的棱長為，由正四面體的表面積求出，從而求出正方體的表面積.【詳解】設正方體的棱長為，則正四面體的棱長為，所以，所以，所以.故選：B7.在中，，點E在上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的線性運算將用與表示出來，再利用向量共線定理的推理即可得解.【詳解】因為，所以，則，因為三點共線，所以，解得.故選：C8．已知兩個單位向量的夾角為，則下列結論中正確的有（

）①在上的投影向量為；②；③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據投影公式判斷①，應用平面向量數量積公式定義判斷②，根據向量數量積平方計算判斷③，應用向量的垂直判斷④.【詳解】在上的投影向量是一個向量，故①不正確；故②不正確；，故③正確；如圖所示，設，作平行四邊形，則為菱形．則．故④正確.故選：B.二、多選題9．已知為虛數單位，復數滿足，則（

）A．的實部為3B．的虛部為C．D．在復平面內對應的點在第四象限【答案】ACD【分析】先根據復數除法法則化簡，即可判斷A,B；再計算復數的模以及共軛復數定義，結合復數幾何意義判斷C,D.【詳解】由于，則的實部為的虛部為2，不是，所以A正確，B錯誤；由于在復平面內對應的點在第四象限，所以CD都正確，故選：ACD.10．（多選）某工廠生產出一種機械零件，如圖所示，零件的幾何結構為圓臺，在軸截面中，，則下列說法正確的有（

）A．該圓臺的高為B．該圓臺軸截面面積為C．該圓臺軸截面面積為D．一只螞蟻從點C沿著該圓臺的側面爬行到的中點，所經過的最短路程為【答案】CD【分析】由勾股定理即可求得圓臺的高，即可判斷A選項；由梯形面積公式即可判斷BC選項；由圓臺側面展開圖結合勾股定理即可判斷D選項．【詳解】如圖①，作交于E，則，則，則圓臺的高為，故A錯誤；圓臺的軸截面面積為，故B錯誤，C正確；將圓臺的一半側面展開，如圖②，設P為的中點，由圓臺補成圓錐，圓臺對應的圓錐的一半側面展開為扇形，可得大圓錐的母線長為，底面半徑為，圓錐側面展開圖的圓心角為，連接，可得，，則，所以沿著該圓臺表面從點C到中點的最短距離為，故D正確．故選：CD．11．若向量，則下列說法正確的是（

）A． B．與平行C．在上的投影向量為 D．【答案】ACD【分析】對于A，根據平面向量的模的坐標公式計算即可判斷；對于B，根據平面向量的坐標判斷即可；對于C，根據投影向量的定義計算即可；對于D，先根據平面向量夾角余弦的坐標公式計算，再利用平方關系求正弦值即可.【詳解】A選項：，則，，則，所以，故A正確；B選項：，又，因為，所以與不平行，故B錯誤；C選項：，又，所以，，所以在上的投影向量為，故C正確；D選項：，又，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題12．△ABC的內角、、所對邊長分別為、、，且，則．【答案】【分析】應用余弦定理求出角即可.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：.13．向量在邊長為1的正方形網格中的位置如圖所示，則.【答案】【分析】建立適當的平面直角坐標系，由向量的線性運算以及向量模的坐標公式即可求解.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系：小網格的邊長為1，從而，所以，從而，所以.故答案為：.14．若（，為虛數單位），則．【答案】73【分析】根據復數乘法運算及復數相等求出得解即可.【詳解】因為，所以，解得，則.故答案為：73四、解答題15．已知向量，．(1)求；(2)求；(3)求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據平面向量線性運算的坐標表示計算可得.（2）根據向量模的計算公式計算可得.（3）利用向量夾角余弦公式可求出答案.【詳解】（1）因為，,所以（2）因為，,所以，所以,（3）.16．計算(1)(2)(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據復數的加減法法則求解；（2）根據復數的乘除法法則求解；（3）根據復數的乘法法則求解.【詳解】（1）；（2）（3）.17．我國古代數學名著《九章算術》，將底面為矩形且有一條側棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”.如圖所示，在長方體中，已知，.(1)求證：四棱錐是一個“陽馬”，并求該“陽馬”的體積；(2)求該“陽馬”的外接球的表面積.【答案】(1)證明見解析，4(2)【分析】（1）根據平面，且是矩形，可證明四棱錐是“陽馬”，根據錐體的體積公式可求其體積；（2）根據長方體的外接球即為四棱錐的外接球，長方體的對角線就是外接球的直徑，結合球體的表面積公式求解.【詳解】（1）因為長方體中，平面，且是矩形，所以四棱錐中，底面是矩形，且側棱底面，所以四棱錐是一個“陽馬”，體積；（2）長方體的外接球即為四棱錐的外接球，因為，.長方體的對角線長為，則長方體的外接球的半徑，該“陽馬”外接球的表面積為.18．如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從點A測得點M的仰角，點C的仰角，以及.從點C測得，已知山高.(1)求兩點AC間的長度；(2)求山MN的高度.【答案】(1)(2)200【分析】（1）解直角三角形即可求得答案；（2）應用正弦定理求出,再結合直角三角形即可求；【詳解】（1）在中，因為，，，所以，（2）在△AMC中，因為，，可得，因為，所以，在直角中，可得.19．在中，內角A