/莆田第五中學2024-2025學年下學期高一數學期中考試卷（考試時間120分鐘考試滿分150分）一.選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合要求的）1．若復數z在復平面內對應的點的坐標為，則的共軛復數（

）A．B．C．D．2．的直觀圖如圖所示，其中軸，軸，且，則的面積為（

）

A．B．4C．D．83．已知的邊BC上有一點D，且滿足，則（

）A．B．C．D．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若則 B．若，則C．若∥，則n∥D．m∥β，，則5．在中，角的對邊分別是，若，則（

）A．B．3C．D．26．已知向量，滿足，，則在上的投影向量的坐標為（

）A．B．C．D．7．釋迦文佛塔，又稱廣化寺塔，位于福建省莆田市城廂區廣化寺東側，建造年代尚無法確定，但早于南宋乾道元年(1165年)，是一座仿木樓鬧式石塔..如圖，某同學為測量雷鋒塔的高度，在廣化寺的正西方向找到一座建筑物，高約為15m，在地面上點E處（A，C，E三點共線）測得建筑物頂部B，雷鋒塔頂部D的仰角分別為和，在B處測得塔頂部D的仰角為，則廣化寺塔的高度約為（

）A．25m B．31m C．30m D．44m8．如圖，一個三階魔方由27個單位正方體組成，把魔方的中間一層轉動了45°之后，表面積增加了（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分.部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知，則下列敘述正確的是（

）A．若，則B．若，則C．的最小值為5D．若向量與向量的夾角為鈍角，則且t≠-810．已知的內角的對邊分別為，則下列說法正確的是（

）A．若，則a＞bB．若a=8，b=2，A=30°則三角形有兩解C．若，則為等腰三角形D．若，則為鈍角三角形11．如圖，在棱長為2的正方體中，為正方體的中心，為的中點，為側面正方形內一動點，且滿足平面，則（

）A．動點F的軌跡是一條線段B．直線AB1與BC1的夾角為60°C．三棱錐F-BC1M的體積是隨點F的運動而變化的D．平面AMC1截正方體所得截面的面積為2三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12．已知復數z滿足，則=13．已知圓柱的下底面圓的內接正三角形的邊長為3，為圓柱上底面圓上任意一點，若三棱錐的體積為，則圓柱的外接球的體積．14．如圖，已知是邊長為2的等邊三角形，D是AB的中點，E是BC的一個靠近點B的三等分點，連接DE并延長至點F，連接AF交BC于點G．若，則的值是；若，則的值是．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15．已知復數(1)若復數為純虛數，求實數的值；(2)已知是關于的方程的一個根，其中，，求的值．16.如圖，已知三棱柱中，與交于點為邊上一點，為中點，且平面.求證：

(1)；

(2)平面平面.17．設?ABC內角所對的邊分別為，已知，且．(1)求?ABC(2)若為角的平分線，交于，求的長度．18．如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，為與的交點，為上一點，且．(1)求證：平面；(2)若為正三角形，，求異面直線與所成角的余弦值；(3)若點到底面的距離為3，求三棱錐的體積．19．古希臘數學家托勒密給出了托勒密定理，即圓的內接凸四邊形的兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.已知凸四邊形的四個頂點在同一個圓的圓周上，是其兩條對角線.(1)若為凸四邊形的外接圓直徑，，，，求與的長度；(2)若，且為正三角形，求面積的最大值；(3)已知，且，，求的最大值參考答案一、單選題題號12345678答案DBCADBCA二、多選題題號91011答案BCDADABD三、填空題12.513.3214.?13四、解答題15．(1)(2)【詳解】（1）若復數為純虛數，則，解得.（2）已知是關于的方程的一個根，則也是方程的根，所以，所以.(1)由題意，因為A1B∥平面ADC1，A1B?平面A1BC又因為平面ADC1∩平面A1BC=OD，所以由線面平行的性質得.A1B∥OD.由(1)可知A1B∥OD，又因為O點為A1C的中點，所以D為BC的中點，即BD=12因為D1為B1C1的中點,即D1C1=12又因為BC//B1C1,BC=B1C1，所以BD=D1C1,BD//D1C1所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以BD1//DC1又因為DC1?平面ADC1,BD1?平面ADC所以BD1//平面ADC1又A1B//平面ADC1,AB∩BD1=B,A1B?平面A1BD1,BD1?平面A1BD1,所以平面A1BD//平面ADC1.17．(1)(2)【詳解】（1）由余弦定理可得：，即，因為，，所以，所以；（2）因為為角的平分線，所以因為，所以，而，所以.18．(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）由及，可知，又，所以，所以在中有，又平面，而平面，所以平面；（2）取的中點，連接，根據，可知，則異面直線與所成的角即為，又可得，則，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.（3）分別過點作于，于，可得，所以四邊形的面積為，的面積為，由，可知到平面的距離為1，所以.19．(1)，.(2).(3).【詳解】（1）如圖①，因為為外接圓的直徑，所以，因為，所以.因為，所以（同弧所對的圓周角相等）.在中，，，所以，，.在中，，，由正弦定理，解得.（2）如圖②