2024—2025學年度高一開年摸底大聯考

數學試題

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

考試時間為120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

3

/上4+皿2_、)f(x\

1.已知函數,X+4，則的定義域為()

A.(-4,2)B.[-4,2)C.(-4,2]D.[-4,2]

【答案】A

【解析】

【分析】根據對數函數的特點即可得到不等式組，解出即可.

x+4>0

【詳解】由題意得1c八，解得—4<x<2,

2-x>0

所以函數/(x)的定義域為(-4,2).

故選：A.

2.已知。則下列不等式中不成立的是()

,abb+cb

A.a+c>b+cB.ac>bcC.---<----D.---->—

b-ca-ca+ca

【答案】C

【解析】

【分析】由不等式性質判斷A,由基函數的單調性判斷B；應用作差法比較大小判斷C、D.

【詳角星】由則a+c〉6+c,A對;

又歹二x°在(0,+8)上單調遞增，則3>6。，B對;

ab_a(a-c)-b(b-c)_(a+b-c)(a-b)

b-ca-c(b-c)(a-c)(b-c)(a-c)

1/14

ab

顯然。+6—。>0,a-b〉0,b-c>0,。一。〉0,則----->-----,C錯;

b-ca-c

b+cbab+ac-ab-bec(a-b)

>0,則----->-,D對.

a+caa(a+c)a(a+c)a+ca

故選：C

3.已知函數/5+1

=2x+3.則/（2）的值為（

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

【解析】

令,+1=2可得x的值，將x的值代入/d+l）=2x+3,即可得答案.

【分析】根據題意,

xx

【詳解】解：根據題意，函數/d+l）=2x+3,若工+1=2,解可得x=l,

XX

將x=l代入/[g+l]=2x+3,可得/(2)=5,

故選：B.

171

4.已矢口tana=—2班，貝Jtana——)

3

7V3373

RD.

7

【答案】D

【解析】

【分析】應用差角正切公式求值即可.

71

tana-tan—

【詳解】tanL-y3

l+tan*l+(-2回G5

故選：D

5.已知。=2025°5,/?=0.52°”,C=log20050?5，則()

A.c>b>aB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

【答案】C

【解析】

【分析】根據指數、對數函數的性質比較大小關系，即可得答案.

2/14

【詳解】由。=10820050-5<0<6=0.52°25<1<。=2025°-5,即a>6>c.

故選：C

6.已知函數/（%）=2=2-'+好血+3,且/（加）=6,貝ij/（-加）=（）

A.-6B.-3C.0D..3

【答案】C

【解析】

【分析】計算得/（—加）+/（加）=6即可得到.

【詳解】因為/（加）=6,/（rn）=2m-2-m+?sinm+3,

設/（—加）=2一加一2加一asin加+3=/,

則/（—加）+/（加）=2一"'一2"'—45也加+3+2"'—2一"'+。5由加+3=6=/+6,解得/=0.

故選：C.

7.已知口力為正實數，函數/（x）=Hog/+6的圖象經過點則1+2的最小值為（）

2^4Jab

A.6-2A/2B.6C.4+2后D.8

【答案】D

【解析】

【分析】由函數的圖象經過點得到l=2a+b,再結合基本不等式“1”的妙用求解即可.

（4）

【詳解】函數的圖象經過點,

（4）

，?1,

則l=alog]Z+b,即l=2a+b,

24

X-+-=[-+-\2a+Z>）=4+-+—>4+2

ab\ab）abNBaX^b=8,

b4q

當且僅當一=丁時取等號，

ab

即6=2。=工時取等號.

2

故選：D.

3/14

8.近年來，人工智能快速發展，AI算法是人工智能的核心技術之一，現有一臺計算機平均每秒可進行10"

次運算，在這臺計算機上運行某個AI算法來生成一個文案需要26°次運算，則生成這個文案需要的時間約

為()(lg2?0.3)

A.1秒B.10秒C.20秒D.50秒

【答案】B

【解析】

【分析】設生成這個文案需要的時間約為/秒，則10"/=26°,應用指對數關系及對數運算求上

【詳解】設生成這個文案需要的時間約為/秒，則105=26°,兩邊取對數得lg10"+lg/=1g26°,

所以愴/=60坨2-1721二>/210秒.

故選：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法中正確的有()

A.命題“VxeR,cosx2-1"的否定是"*eR,cosx<-1"

B.若0是第三象限角，則)inC+e：tan(7i+a)j在第三象限

C.已知扇形的面積為4,周長為10,則扇形的圓心角(正角)的弧度數為。

D.若角。的終邊過點(a,2a)(aw0),貝人吊&=竽

【答案】AC

【解析】

【分析】應用全稱命題的否定寫出原命題的否定判斷A；由角所在的象限判斷對應函數值符號，再應用誘

導公式得點坐標為(cos%tamz)判斷B；應用扇形弧長、面積公式求扇形圓心角判斷C；根據正弦函數的

定義求sina,注意參數的符號判斷D.

【詳解】A：由全稱命題的否定為特稱命題，則原命題的否定為mxeR,cosx<-1,對；

B：由。是第三象限角，則sina<0,cosa<0,tana>0,

4/14

又sintan(rt+a),可得(cos%tana)在第二象限，錯;

/+2r=10

r=4r-\

C：設扇形的半徑為，弧長為/,貝！H1,,可得<或<

—rl=41=21=8,

12

r=4，則圓心角的弧度數為工；當<r=11

當《

1°,則圓心角的弧度數為一=8>2兀(舍),

/=2r2/=8r

所以扇形的圓心角(正角)的弧度數為叁，對;

2a2a

D：角a的終邊過點(a,2a)(aw0),則sina

sla2+4a~V5|a\

則sintz=±2也，錯.

顯然。為正數或負數時，對應函數值符號不同,

5

故選：AC

10.已知函數/(x)=lg|x-3|,則()

A./(x)的圖象關于直線x=3對稱B./(2025)</(-2025)

C./(x)無零點D./(x)在(-叫3)上單調遞增

【答案】AB

【解析】

【分析】由已知有/(6-x)=lg|3-x|=/(x)且定義域為{x|xw3},結合對數復合函數的單調性判斷函

數的區間單調性，進而判斷函數值的大小，由對數性質求零點判斷各項的正誤.

【詳解】由/(6-x)=lg|3-x|=lg|x-3|=/(x),且定義域為{x|x23},

所以/(x)的圖象關于直線x=3對稱，A對;

當x<3時，/(x)=lg(3—x)在(—叫3)上單調遞減，D錯;

當x>3時，/(%)=lg(x—3)在(3,+8)上單調遞增，

又/(—2025)=/(2031)>/(2025),B對；

顯然/(4)=/(2)=lgl=0,C錯；

故選：AB

5/14

II.設函數/(X)的定義域為avxe。,于e。，使得/(y)=—/(x)成立，則稱/(x)為“美麗函數”.下

列所給出的函數，其中是“美麗函數”的是(

A.歹=2*

x2+2x+3,x<0

2

C.y=log2(-x+3)

—y[x-2,x20

【答案】BD

【分析】由題意有/(x)的值域關于原點對稱，結合指數、對數、分式型函數及分段函數性質判斷各函數的

值域是否關于原點對稱即可.

【詳解】函數/(x)的定義域為。,X/xe。,力;e。，使得/(y)=—/(X)成立，

所以/(x)的值域關于原點對稱，即為“美麗函數”，

A：>=2、的值域為(0,+8),不關于原點對稱，不符合；

B：^=」一的值域為(-*0)1^0,+8),關于原點對稱，符合；

x-1

2

C：y=10g2(-X+3)(-?,log23],不關于原點對稱，不符合；

(x+1)2+2,x<0

D：yL,則x<0時值域為[2,+oo),0時值域為(一8,-2],

-Vx-2,x20

所以函數的值域為(-8,-2]U[2,+00),關于原點對稱，符合.

故選：BD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

-,八八mSina—2cosa

12.已知tana=3,貝！J------------=_________.

2sina+cosa

【答案】I

【解析】

【分析】由tana=3得sin。=3cos。，代入所求式子可得答案.

Qin(y

【詳解】若tana=-----=3,則sina=3cosa,

cosa

一…sina—2cosa3cosa-2cosacosa1

所以-------------=----------------=-------二-

2sina+cosa6cosa+cosa7cosa7

6/14

故答案為：一.

7

13.已知函數/(x)=(加2—3加-3b”是幕函數，且/(x)是奇函數，則加=.

【答案】-1

【解析】

【分析】由募函數由加2—3加—3=1求參數值，再由幕函數為奇函數確定參數加即可.

【詳解】由題設/一3加一3=1，可得那一3加一4=(加+1)(4)=0,則加=一1或加=4,

當加=—1,則/(x)=4為奇函數，滿足題設；

JC

當加=4,則/(x)=/為偶函數，不滿足題設.

所以加二一1.

故答案為：-1

14.已知函數/(司=卜2+2向+2，x?0,若函數g(x)=[/(x)]2—4(x)—l有5個不同的零點，則

log2x,x>0

實數。的取值范圍是

【答案】｛0｝。@,+“]

【解析】

【分析】根據解析式畫出/(X)的大致圖象，數形結合分析/=/(x)解的個數，再由二次函數性質分析

g(x)=〃⑺=/—而—1根的分布，并列不等式求參數范圍.

7/14

令/=/(x),結合以上函數圖象,

/<一1時，/=/(%)有一個解；

，=一1或/>2時，/=/(工)有兩個解；

—1</<2時，/=/(x)有三個解；

而g(x)=〃(/)=/一8一1有兩個不同零點(4<^2)且A=/+4〉0，皿2=-1，

由g(x)共有5個零點，則有。=—1<才2<2或—1<。<0<2<,2,

當％=—1<1242時，a=0,且弓=1滿足題設;

〃(-1)=a>03

當一1<%<0<2</2時,可得a>一；

%(2)=3—2。<02

綜上，實數a的取值范圍是｛0｝°[1,+“

故答案為：｛0｝。1]，+°°]

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知加eR,命題P：Vxe[0,3],不等式4x—22加？一3加恒成立；命題q:*e[-2,2],使得

m<l-x2成立.

(1)若夕為真命題，求加的取值范圍；

(2)若P和q中有且只有一個為真命題，求加的取值范圍.

【答案】(1)l<m<2；

(2)加<1或

【解析】

【分析】⑴由題意xe[0,3]上不等式以―2之加2—3加恒成立，即(4x—2)總之加？—3加，即可求參數

范圍；

(2)若9為真命題，有加〈1-/在1式-2,2]上能成立，即切4(1-號儂求出參數范圍，再由夕和q中

有且只有一個為真命題確定參數范圍.

【小問1詳解】

由題意，xe[0,3]上不等式4x—2?加？—3加恒成立，即(4x—2)min?加？一3加，

8/14

由一次函數的區間單調性知，(4x12).=-2,故病一加4_2,

所以加2-3加+2=(加一1)(〃[一2)＜0,可得1K加〈2.

【小問2詳解】

若[為真命題，則加＜1—/在工€[—2,2]上能成立，即mWQ—//曲,

2

由二次函數的性質知，(l-x)max=1,故加W1,

要使夕和q中有且只有一個為真命題，結合(1)知：加＜1或1〈加42.

16.已知函數/(x)=2cosx(Gsinx+cosx)-l.

(1)當xe-弓,；時，求函數/(x)的單調遞增區間；

(2)若毛€，且/(Xobt，求sin2x()的值.

【答案】(1)答案見解析；

⑵3用4

10

【解析】

【分析】(1)應用二倍角正余弦公式及輔助角公式化簡函數式，再應用整體法求函數的單調區間；

(2)根據已知可得sin(2xo+V)=g且2%+/§兀]，進而求得cos(2x0+*=—g,由

2x=(2x及差角正弦公式求sin2x.

00660

【小問1詳解】

/(%)=2V3sinxcosx+2cos2x-1二百sin2x+cos2x=2sin(2x+/,

由xe,則2x+?e巨],結合正弦函數的性質，

44633

2xH—e[----|時，/(%)在入￡—上單調遞增,

63246

2x+—e[―,,/(1)在入￡—上單調遞減，

6231_64_

所以/⑴的遞增區間為無￡一;常；

9/14

【小問2詳解】

由題意2%+—G［―,,且/(X。)=2sin(2x0+—)=—,即sin(2x0+—)=—

所以2XQH—G［一,兀］,則cos(2xH—)=—,而2x=(2XQH—)----,

62065066

所以sin2x0=sin(2x0+—)cos--cos(2x0+^)sin—=—x-x—=3忑

6666525210

9%+4

17.已知函數/(x)=為奇函數.

3工

(1)求實數。的值;

(2)判斷/(x)在R上的單調性并用定義進行證明;

(3)若不等式/(軍―2m1+3)+/(2加—1)<0對一切工4-2,2卜恒成立，求實數a的取值范圍.

【答案】(1)a=—1

(2)單調遞增，證明見解析:

(3)m<-5

【解析】

【分析】(1)根據奇偶性定義即可求出答案;

(2)利用函數的單調性證明即可求解;

(3)根據函數性質進行變形理解即可得解.

【小問1詳解】

9尤+〃

因為函數/(%)=33的定義域為R,且/(x)為奇函數,

3、

所以/(0)=1+?=0,解得a=-1.

9~x-l1-9X

止匕時/(—x)==-/(x),所以/(x)為奇函數,

3T3,

所以a=-1符合題意.

【小問2詳解】

/(X)是R上是單調遞增函數.

9%-1

證明：由題知/(x)==3X-—f設再<x,

3%3、-2

10/14

則/a）一/（/）=卜——卜2-《J=3皆一3項+

3西+X2

'：xr<x2,：.3$<3吆，3』+工2>0，

???/（石）一/（%）<0,即/（須）</（々），

所以/（%）在R上是單調遞增函數.

【小問3詳解】

因為歹=/（x）是R上的奇函數且為嚴格增函數，

所以由/（平_2川+3）+/（2加_1）<0,

可得f（4,-2川+3）<-f（2m-1）=/（-2m+1）,

即4*一2x+l+3<-2w+l對一切xe[-2,2]恒成立.

令2*=t，fe!，4,

4_

設g（f）=/—2/+3,所以g?）max=g（4）=U，

即11V-2m+1,解得m<-5.

18.已知函數/（x）=sin（0x+e）在區間|一二,四|上單調遞減，且直線x=-三和》=巴為函數y=/（x）的

I36J36

圖象的兩條對稱軸.

（1）求/（X）的一個解析式；

7IT

（2）將/（x）的圖象先向右平移石■個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到

函數/z（x）的圖象，若對任意的xjog]，不等式）[”x）T].力卜+切―1</z（2x）恒成立，求實數

夕的取值范圍.

【答案】（1）/（x）=sin[2x-1）；

（2）P<6+4后.

【解析】

11/14

【分析】(1)根據題設有二=巴且5/(2*巴+。］=-1,求出參數，即可寫出一個符合要求的解析式；

2216J

(2)由(1)所得解析式，結合圖象平移得/z(x)=sinx,則有在xjog］上

)［sinxcosx-(sinx+cosx)+l］<2sinxcosx恒成立,令/=sinx+cosx并應用輔助角公式化簡求出值

2

域，進一步把問題化為/e(l,拒］上?<2—(1+—)恒成立，確定右側最小值，即可得參數范圍.

t—1

【小問1詳解】

/-TT-TT-JTy-rr

由題意一二一一(――)=-nT=Ji,則一=兀=>^=2,所以/(x)=sin(2x+°),

2632CD

兀)717rSu

2x—+°=—1,則2x—+0=——+2左兀,左wZ,可得0=-----+2kekeZ,

［6J626

所以/(x)=sin||是滿足題設的一個解析式.

【小問2詳解】

7兀

根據(1)所得解析式，圖象先向右平移二個單位長度有

12

7兀

x---=--sin[2(x-=sin(2r-2兀)=sin2v,

12

再把所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，則//(%)=sinx,

兀

所以夕(sinx-1)sin(x+-)-1<sin2x,即P(sinx-l)(cosx-1)<sin2x,

故p[sinxcosx-(sinx+cosx)+1]<2sinxcosx,

令，=sinx+cosx=V^sin(x+巴)，S.xe\0,—|,則x+二￡(二,工)，

4V2)444

/—t2—1

所以，e(1,挺],且sinxcosx=---,

綜上，t€(1,正]上?<—^=2-(1+六)恒成立，

22_

由y=1+-―-在，￡(1,J5]上單調遞減，則JVmin—1+一~=3+2A/2,

所以P<6+4行.

12/14

19.已知函數/(x)=/+i—°2工(a>0,且ari).

(1)當a=3時，求/(x)的最大值；

(2)若對任意xe(l,+oo),均有/(logaX)Va,求。的最大值；

(3)若對任意xe[—1,1],均有—3V/(x)<l,求a的取值范圍.

9

【答案】(1)—；

4

(2)4；

⑶一Va<l或l<a<2.

2

【解析】

【分析】(1)令/=3工〉0，問題化為求/(x)=g⑺=3/—/的最大值，應用二次函數的性質求區間(0,+8)

上的最值即可；

(2)應用指對數關系，將問題化為在xe(l,+。)上a4(x-1)+,+2恒成立，應用對勾函數性質求右

x-1

側最小值，即可得參數范圍；

(3)令/=a,且，均有一3<。/一/<1，討論。〉1、0<a<1,分別研究/上—3<a/—/<1

恒成立、上-恒成立，結合二次函數性質求y=或―〃最值，進而求參數范圍.

【小問1詳解】

aa

由題設/卜)=3用—32"令/=3，〉0,則/(x)=g(/)=3/「=—?一5)2+1

49

所以，當1=5,即x=l—lo