板塊一函數與導數提優點3同構函數知識拓展同構法在近幾年的?？贾蓄l繁出現，首先將題目中的等式或不等式經過適當的整理變形，表示成兩側具有相同結構，然后利用這個結構式構造相對應的函數，再利用函數單調性解題.精準強化練類型一地位同等同構型類型二指對跨階同構型類型三零點同構型類型突破類型一地位同等同構型(1)(2024·溫州統考)已知x，y∈R，則“x>y>1”是“x－lnx>y－lny”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件例1√√含有地位同等的兩個變量的不等式(方程)，關鍵在于對不等式(方程)兩邊變形或先放縮再變形，使不等式(方程)兩邊具有結構的一致性，再構造函數，利用函數的性質解決問題.規律方法訓練1(1)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，則A.a>2b

B.a<2b

C.a>b2

D.a<b2√由指數和對數的運算性質可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f(x)＝2x＋log2x，則f(x)在(0，＋∞)上單調遞增.又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，∴2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a)<f(2b)，∴a<2b.故選B.√類型二指對跨階同構型例2考向1指對同構與恒成立問題∴當a≤0時，(*)不成立，故a>0.當a>0時，(*)整理得ax(eax＋1)≥2(x2＋1)·lnx(x>1)恒成立，即axeax＋ax≥x2lnx2＋lnx2＝lnx2·elnx2＋lnx2(x>1)恒成立.設g(t)＝tet＋t，t>0，則g′(t)＝(t＋1)et＋1>0在(0，＋∞)上恒成立，∴g(t)＝tet＋t在(0，＋∞)上單調遞增.又a>0，x∈(1，＋∞)，例3考向2指對同構與證明不等式已知函數f(x)＝ex－1lnx，g(x)＝x2－x.(1)討論f(x)的單調性；(2)當a≤2時，證明：當x>1時，f(x)<ex－1恒成立.規律方法規律方法已知函數f(x)＝x－lnx.(1)求函數f(x)的單調性；訓練2令f′(x)＝0，解得x＝1，則當0<x<1時，f′(x)<0；當x>1時，f′(x)>0，所以f(x)在(0，1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增.類型三零點同構型(1)已知函數f(x)＝xex－a(x＋lnx)有兩個零點，則實數a的取值范圍是___________.例3(e，＋∞)2(2)已知x0是函數f(x)＝x2ex－2＋lnx－2的零點，則e2－x0＋lnx0＝________.在涉及函數的零點問題時，可根據函數式的結構或轉化為方程后構造函數，其實質是把函數式簡化，以達到研究函數零點的目的.規律方法訓練3當x→0時，φ(x)→＋∞，當x→＋∞時，φ(x)→＋∞，所以a＞1，綜上，a的范圍為(1，＋∞).【精準強化練】√1.(2024·合肥調研)若2024x－2024y<2025－x－2025－y，x，y∈R，則A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0由2024x－2024y<2025－x－2025－y，x，y∈R，可得2024x－2025－x<2024y－2025－y，由于函數y＝2024x，y＝－2025－x均在R上單調遞增，則函數f(x)＝2024x－2025－x在R上單調遞增.則2024x－2025－x<2024y－2025－y?f(x)<f(y)?x<y.A，B選項，y>x?y－x＋1>1?ln(y－x＋1)>ln1＝0，故A正確，B錯誤.C，D選項，由條件知|x－y|與1的大小關系無法判斷，故C，D錯誤.√2.已知實數x1，x2滿足x13x1＝9，x2(log3x2－2)＝81，則x1x2＝A.27 B.32 C.64

D.81由題意得，x1>0，x2>0.令log3x2－2＝t，則x2＝32＋t，32＋tt＝81，得t·3t＝9，∴x1，t是方程x·3x＝9的根.令f(x)＝x·3x(x>0)，則f′(x)＝3x＋x·3xln3>0，∴f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，∴x1＝t，即log3x2－2＝x1，∴x1x2＝(log3x2－2)x2＝81.√√∵ex－a≥lnx＋a，∴ex－a＋x－a≥x＋lnx，∴ex－a＋x－a≥elnx＋lnx，設f(t)＝et＋t，則f′(t)＝et＋1＞0，∴f(t)在R上單調遞增，故ex－a＋(x－a)≥elnx＋lnx，即f(x－a)≥f(lnx)，即x－a≥lnx，即a≤x－lnx，

√√6.(2024·茂名模擬)已知mem＋lnn>nlnn＋m(m∈R)，則下列結論一定正確的是A.若m>0，則m－n>0 B.若m>0，則em－n>0C.若m<0，則m＋lnn<0 D.若m<0，則em＋n>2√原式可變形為mem－m>nlnn－lnn，即mem－m>lnn·elnn－lnn，因而可構造函數f(x)＝xex－x，則f(m)>f(lnn).f′(x)＝ex(x＋1)－1，當x>0時，ex>1，x＋1>1，則ex(x＋1)>1，f′(x)>0，當x<0時，0<ex<1，x＋1<1，則ex(x＋1)<1，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增.√對于A，取m＝n＝e，則lnn＝1<m，∵f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，∴f(m)>f(lnn)，滿足題意，但m－n＝0，A錯誤.對于B，若m>0，則當lnn≤0，即0<n≤1時，em>1≥n，即em－n>0；當lnn>0，即n>1時，由f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，且f(m)>f(lnn)，得m>lnn，則em－n>0.B正確.對于C，若m<0，則當lnn≤0，即0<n≤1時，m＋lnn<0顯然成立.當lnn>0時，即n>1時，令h(x)＝f(x)－f(－x)＝x(ex＋e－x－2).7.若關于x的不等式x2e3x≥(k＋3)x＋2lnx＋1對任意x>0恒成立，則k的取值范圍是______________.(－∞，0]原不等式可變形為e2lnx＋3x－(3x＋2lnx)≥kx＋1，e2lnx＋3x－(3x＋2lnx)－1≥kx，利用ex≥x＋1，可得