專題14同的概念及性質

目錄

01理?思維導圖：呈現教材知識結構，構建學科知識體系。

02盤.基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（2大模塊知識梳理）

知識模塊一：圓的相關概念

知識模塊二：圓的相關性質

03究?考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（8大基礎考點）

考點一：利用垂徑定理求解

考點二：利用垂徑定理結合全等，相似綜合求解

考點三：在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標

考點四：垂徑定理的實際應用

考點五：利用弧，弦，圓心角的關系求解

考點六：利用弧，弦，圓心角的關系證明

考點七：利用圓周角定理求解

考點八：利用圓內接四邊形性質求角度

04破,重點難點：突破重難點，沖刺高分。（3大重難點）

重難點一：弧中點模型

重難點二：與圓有關的常見輔助線-遇到弦時，常添加弦心距

重難點三：與圓有關的常見輔助線-遇到直徑時，常添加直徑所對的圓周角

05辨?易混易錯：點撥易混易錯知識點，夯實基礎。（2大易錯點）

易錯點1：對同弦所對的圓周角的個數考慮不全面而漏解

易錯點2：對弦的位置考慮不全面而漏解

愿境學吩

1

描述法線段繞端點旋轉一周

9在平面上

集合性到定點距離=定長的點

等圓能重合的兩個圓「相等

中心對稱圖形對稱中心：圓心

對稱性

圓的概念及性質

性質

知識模塊一：圓的相關概念

知識點一：圓的定義

圓的定義［動態］:如圖，在一個平面內線段0A繞它固定的一個端點。旋轉一周，另一個端點A所形成的圖

形叫圓，其中，點。叫做圓心，線段0A叫做半徑.

圓的定義［靜態］:圓是到定點的距離等于定長的點的集合，其中，定點叫做圓心，定長叫做半徑.

圓的表示方法：以點0為圓心的圓，記作“0”，讀作“圓0”.

確定圓的兩個條件：①圓心（確定圓的位置）；②半徑（確定圓的大小），兩者缺一不可.

知識點二：弦與直徑

弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦.

2

直徑：經過圓心的弦叫做直徑.

知識點三：弧，半圓，優弧，劣弧，等弧

弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.弧用符號表示，以A、B為端點的弧記作隔，讀作:

“圓弧AB”或“弧AB”.

半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.

優弧：大于半圓的弧叫做優弧，用三個字母表示，如右圖中的ACB

劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧，如右圖中的A3.

等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.

知識點四：同圓、等圓、同心圓

同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓.

等圓：能夠完全重合的圓叫做等圓.

同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓

知識點五：圓心角與圓周角

圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.

圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

知識點六：弓形和扇形

弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形，如圖，弦AB和組成兩個不同的弓形.

扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形.如圖所示，A3和半徑OA,0B組

成的圖形是一個扇形，讀作“扇形AOB”.

3

知識模塊二：圓的相關性質

知識點一：圓的對稱性

內容

圓的軸對經過圓心任意畫一條直線，并沿此直線將圓對折,直線兩旁的部分能夠完全重合，因此圓是軸對稱

稱性圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，圓有無數條對稱軸.

圓的中心將圓繞圓心旋轉180°能與自身重合，因此它是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心.將圓繞圓心

對稱性旋轉任意角度都能與自身重合，這說明圓具有旋轉不變性.

知識點二：垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論1:平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

知識點三：弧，弦，圓心角之間的關系

定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組

量都分別相等.

知識點四：圓周角定理

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.（即：圓周角w圓心角）

推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等.

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.

知識點五：圓內接四邊形的性質

圓內接四邊形的性質：1）圓內接四邊形對角互補.

如圖，ZBAD+ZBCD=180°,ZABC+ZADC=180°

2）圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角.

4

如圖,Z1=Z2

?費考就著法、

考點一：利用垂徑定理求解

1.（2024?湖南長沙?中考真題）如圖，在。。中，弦4B的長為8,圓心。至!的距離。E=4,則。。的半

C.5D.5V2

2.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，。。中，弦力B的長為4百，點C在。。上，0clAB,^ABC=30°.O

。所在的平面內有一點P,若。P=5,則點P與O。的位置關系是（）

A.點P在。。上B.點P在。。內C.點P在。。外D.無法確定

3.（2024?新疆?中考真題）如圖，是。。的直徑，CD是。。的弦，4B1CD,垂足為E.若CD=Q,OD=5,

C.3D.4

5

考點二：利用垂徑定理結合全等，相似綜合求解

1.(2024.內蒙古包頭.中考真題)如圖，4B是。。的直徑，BC,BD是。。的兩條弦，點C與點。在4B的兩側,

E是。B上一點(OE>BE),連接。5.Z.B0C=2ABCE.

D

圖2

(1)如圖1,若BE=1,CE=V5,求。。的半徑；

(2)如圖2,若BD=2OE,求證：BDWOC.(請用兩種證法解答)

2.(2023?山東?中考真題)已知：射線。P平分NM0N,4為。P上一點，O4交射線。M于點B,C,交射線ON于

點O,E,連接4B,AC加.

(1)如圖1,若4DII0M,試判斷四邊形。82。的形狀，并說明理由；

(2)如圖2,過點C作CF1OM,交。P于點F；過點。作DG1ON,交0P于點G.求證：AG=AF.

3.(2023?貴州?中考真題)如圖，已知O。是等邊三角形48C的外接圓，連接CO并延長交4B于點D,交。。

于點E,連接E4EB.

(1)寫出圖中一個度數為30。的角：,圖中與AACD全等的三角形是

(2)求證：4AED“4CEB；

6

（3）連接。4,OB,判斷四邊形02E8的形狀，并說明理由.

考點三：在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標

1.（2024?廣東廣州?二模）如圖在平面直角坐標系xOy中，直線y=fx+誓與圓O相交于4、8兩點,

且點A在x軸上，求弦28的長.

2.（2021?廣西河池?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，以M（2,3）為圓心，為直徑的圓與無軸相

切，與y軸交于A,C兩點，則點B的坐標是.

3.（2024?山東濟寧?模擬預測）如圖，。。與x軸交于點A,B,與y軸交于點C,D,尸為。。上一動點,

。為弦力P上一點，2AQ=3PQ.若點。的坐標為（0,-5）,貝UCQ的最小值為.

考點四：垂徑定理的實際應用

1.（2023?山東東營?中考真題）《九章算術》是中國傳統數學重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記

載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之、深一寸，鋸道長一尺，問徑幾

何？”用幾何語言表達為：如圖，4B是。。的直徑，弦CD1AB于點E,EB=1寸，CD=10寸，則直徑長

7

2.（2024?陜西西安.模擬預測）唐代李皋發明了“槳輪船”，他設計的槳輪船在船的舷側或尾部裝有帶有槳葉

的槳輪，通過人力踩動槳輪軸來推動船體前進.這種船的槳輪下半部浸入水中上半部露出水面，因其推進

方式類似車輪，故又被稱為“槳輪船”或“輪船”.如圖，該槳輪船的輪子的橫截面為O0,輪子被水面截得線

段力B長為12m,輪子的吃水深度CD長為2m,則該槳輪船輪子半徑為（）

3.（2024?河北廊坊?二模）如圖是放于水平桌面上的帶底座的魚缸，其主體部分的縱截面是弓形開

口部分4B與桌面平行，將一玻璃棒斜放進魚缸（魚缸內無水），使玻璃棒底端恰在的中點M處，發現4M=

AB,將玻璃棒豎立起來（MN1AB）時，測得MN=37.5cm.

（1）求NB力M的度數，并求的2B長；

（2）求的長；

（3）若向魚缸內加水，使水面的寬度為48cm,求魚缸內水的深度.

考點五：利用弧，弦，圓心角的關系求解

1.（2023?湖南常德?中考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長

度的“會圓術”，如圖.45是以。為圓心，為半徑的圓弧，C是弦48的中點，。在和上，CDLAB.

8

圓術”給出腦長/的近似值s計算公式：s=AB+^,當。4=2,乙4。8=90。時，\l-s\=.（結

果保留一位小數）

2.（2023?河北?中考真題）如圖，點尸1?28是。。的八等分點.若AP]P3P7,四邊形P3P4P6P7的周長分別為

a,b,則下列正確的是（）

A.a<bB.a=bC.a>bD.a,人大小無法比較

3.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，已知點/、B、C在。。上，C為腦的中點.若444。=35。，貝lj乙4。8等

120°C.110°D.70°

考點六：利用弧，弦，圓心角的關系證明

1.（2023?江蘇?中考真題）如圖，4D是。。的直徑，△力BC是。。的內接三角形.^^DAC=AABC,AC=4,

則O。的直徑4。=

9

c

D

2.（2024?江蘇南京.二模）如圖，AB,CD是O。的兩條弦，AC與BD相交于點E,AB=CD.

（1）求證：AC=BD；

⑵連接BC,作直線E。，求證：EOLBC.

3.（2024?廣東?模擬預測）綜合運用

如圖所示，圓內接四邊形4BCD中，點8平分金出，C2平分N8CD.

⑴求證：乙CDE=24ECD.

⑵若cosNCBA=求證：乙BDC=4ACBD.

(3)求證:BC2-AB2=CAAD.

考點七：利用圓周角定理及推論求解

1.（2024.海南.中考真題）如圖，2。是半圓O的直徑，點B、C在半圓上，且左8=胱=8,點P在6上,

若乙PCB=130°,則4PB4等于（）

10

A.105°B.100°C.90°D.70°

2.（2024.內蒙古.中考真題）如圖,正四邊形4BCD和正五邊形CEFGH內接于。。，和“相交于點M,

C.28°D.30°

3.（2024?西藏?中考真題）如圖，AC為。。的直徑，點5,。在。。上，^ABD=60°,CD=2,則4。的長

C.2V3D.4

考點八：利用圓內接四邊形性質求角度

1.（2024.黑龍江牡丹江.中考真題）如圖，四邊形4BCD是O。的內接四邊形,4B是O。的直徑,若乙BEC=20°,

則N2DC的度數為（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

2.（2024.四川廣元?中考真題）如圖，已知四邊形A8CD是O。的內接四邊形，E為4。延長線上一點，乙4OC=

128°,貝!UCDE等于（）

11

B

A.64°B.60°C.54°D.52°

3.（2024.江蘇無錫.中考真題）如圖，48是。。的直徑，△4?。內接于。。，6=町AB,CO的延長線

相交于點凡&DE=AD.

（1）求證：

（2）求乙4DC的度數.

i點燃點

重難點一：弧中點模型

1.（2021?四川巴中?中考真題）如圖，A2是。。的弦，且42=6,點C是弧A8中點，點O是優弧上

的一點，ZAZ）C=30°,則圓心。到弦AB的距離等于（）

A.3V3B.-C.V3D.—

22

2.（2020?貴州畢節?中考真題）如圖，已知AB是。。的直徑，。。經過RtAACD的直角邊DC上的點F,交"

邊于點E,點F是弧EB的中點，ZC=90°,連接2F.

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E

（1）求證：直線CD是0O切線.

(2)若BD=2,0B=4,求tan4力FC的值.

3.（2024?甘肅定西?模擬預測）如圖，4B是O。的直徑，若48=22C,D是弧的中點，則NCW的度數

C.35°D.45°

重難點二：與圓有關的常見輔助線-遇到弦時，常添加弦心距

1.（2024?四川遂寧?中考真題）工人師傅在檢查排污管道時發現淤泥堆積.如圖所示，排污管道的橫截面

是直徑為2米的圓，為預估淤泥量，測得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬48為1米，請計算出淤泥橫截面的

面積（）

1V31V3cl1

AA.-n------TT--------C.|n-V3D.-71——

646264

2.（2023?寧夏?中考真題）如圖，已知ZB是。。的直徑，直線DC是。。的切線，切點為C,AE1DC,垂

足為E.連接4C.

13

B

⑴求證：ac平分NBHE；

（2）若4C=5,tanZ71CE=，求O。的半徑.

3.（2023?湖北武漢?中考真題）如圖，。4。8,。。都是。。的半徑，Z71CB=2Z.BAC.

⑴求證：N40B=2NBOC；

（2）若AB=4,BC=而，求。