2025年中考數學總復習《正多邊形和圓的綜合》專項測試卷（附答案）

學校:姓名：班級：考號：

1.如圖，正六邊形ABCD跖內接于O.若△山＞的面積為26，求。的面積.（結

果保留加）

2.如圖，在圓內接正六邊形A3CDE廠中，半徑03=3,求這個正六邊形的周長.

3.如圖，正六邊形ABCDEb內接于。，尸4與［。相切于點A,求/PA3的度數.

D

AP

4.如圖，六邊形ABC。跖是：。的內接正六邊形，連接OAOB.

（D填空：的度數為;

（2）若正六邊形ABC。所的邊心距為2月，求圖中陰影部分的周長.

⑴求圓心。到CD的距離.

(2)求正六邊形ABCDEF的面積.

6.正方形AB。的四個頂點都在。上，E是，。上一動點.

(2)如圖2,若點E在BC上運動(點后不與點5、。重合)，連接班，EC?AE，"V式

探究線段BE,EC,AE的數量關系并說明理由；

(3)如圖3,若點石在AD上運動，分別取A3、CD的中點又、N,連接班,MN,BE

交MN千點、F,四邊形屏WC與四邊形由關于直線8E對稱，連接MC,MN',當

正方形ABCD的邊長為2時，求面積的最小值.

7.如圖，四邊形A3。內接于O,AD為直徑，過點C作于點E,連接AC.

D

o

(1)求證：NCAD=NECB；

⑵連接。C,若OC〃AB,ZEAD=60°,AD=4,求陰影部分的面積.

8.如圖1,五邊形AB8E是。的內接五邊形，AB=AE,對角線AC工友)于點乙

(1)①若^CB=40°,則NBDE=；

②猜想NR4E和ZCBD的數量關系，并證明；

(2)如圖2,當題＞經過圓心。時，若跳'=2,AF=4,求DE；

⑶作OGLAC于點G,求學的值.

9.如圖1,半徑為R的。內接一個正十邊形，鈿是其中一條邊.

⑴用R和含18。的三角函數的式子表示邊長A瓦

(2)如圖2,作ZABO的平分線與半徑0A交于點C,試猜想(1)中18。的三角函數和

黃金比(①=鋁)有怎樣的關系，并說明理由.

10.如圖，。的半徑為4cm,正六邊形ABC。所內接于求:

⑴圓心。到"的距離；

(2)正六邊形ABCDEF的面積.

11.如圖，。的周長等于8%cm,正六邊形內接于O.

(1)求圓心。到AF的距離；

(2)求正六邊形ABCDEF的面積.

12.如圖1,正五邊形ABCDE內接于。0,閱讀以下作圖過程，并回答下列問題,

作法：如圖2,①作直徑■；②以尸為圓心，尸。為半徑作圓弧，與。。交于點

N;③連接

圖1圖2

⑴求NABC的度數.

(2)AMN是正三角形嗎？請說明理由.

⑶從點4開始，以DN長為半徑，在。。上依次截取點，再依次連接這些分點，

得到正〃邊形，求〃的值.

13.如圖，等邊三角形A5C內接于半徑長為2的點尸在圓弧A5上以2倍

速度從5向4運動，點。在圓弧上以1倍速度從。向5運動，當點P,0,

。三點處于同一條直線時，停止運動.

(D求點。的運動總長度；

(2)若M為弦尸5的中點，求運動過程中。/的最大值.

14.圖，正六邊形所內接于。，。的半徑為6

?。)

C

⑴求正六邊形ABCDEF的邊心距；

(2)過尸作FG1AB交5A的延長線于點G,求證：FG是。的切線；

⑶若點M是BC中點，連接MA,求弓形的面積.

15.如圖，。的半徑為4,將該圓等分成8份，連接44,44并延長交于點尸.

Al

』8

p

45

(1)連接直接與出和尸4的位置關系

(2)求證：%=尸4；

(3)求AH的長；

參考答案

1.4萬

【分析】本題考查了正多邊形的性質，圓的基本性質，圓周角定理，直角三角形

的特征，勾股定理等；連接尸。，由正六邊形的性質得及圓周角定理得

ZADF=|ZAOF=300,由勾股定理得。尸=一A尸=&F,由等邊三角形的判定及

性質得AO?是等邊三角形，可求出圓的半徑，即可求解；掌握正多邊形的性質，

圓的基本性質，圓周角定理，能熟練利用勾股定理求解是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，連接/。，

?/六邊形A3CDEF是正六邊形,

ZAOF=^360-°=60°,

6

/.ZADF=-ZAOF=30°,

2

AD是。的直徑，

ZAFD=90°,

I.AD=2AF,

在RtAD/中，

DF=^AD*2-AF2

=y/（2AF）2-AF2

=43AF,

：.s^^^AFxDF

=—AF2=2y/3,

2

/.AF=2,

:.AD=4,

即。的半徑為2,

J。。的面積為兀x2?=4兀.

2.這個正六邊形的周長為18.

【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定與性質.連接。C,如圖，

根據正六邊形的性質得到4OC=W=60°，則△O3C為等邊三角形，所以3c=08=3,

進而可求出正六邊形的周長.

【詳解】解：如圖，連接。C,

:.OB=OC.

六邊形ABCDEF是正六邊形,

08c是等邊三角形,

：.BC=OB=3,

???這個正六邊形的周長為6x3=18.

【分析】本題考查了正多邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，切線的性質,

由正六邊形的性質可得VA03是等邊三角形，即得NOAB=60。，由切線的性質可得

NOAP=90。，再根據角的和差關系即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：連接OB,

丁ABCD斯是正六邊形，

360°

NAOB=——=60°,

6

,/OA=OB,

...VA03是等邊三角形，

Za4B=60°,

???9與。相切于點A,

/.OA1AP,

/.ZOAP=9Q0,

ZPAB=ZOAP-ZOAB=90°-60°=30°.

D

（2）f+4

【分析】（1）根據正〃邊形中心角為獨，即可求解；

n

（2）過點。作于點P,求得△048是等邊三角形，利用直角三角形的性質

結合勾股定理求得半徑為4,利用弧長公式求解即可.

360°

【詳解】（1）解：/4。5=h=60。,

O

故答案為：60。；

（2）解：如圖，過點。作O尸，4?于點P,

OA=OB,ZAOB=60°,

???/XOAB是等邊三角形,

:?ZAOP=30°,

：.OA=2AP.

?「OP=26,

由勾股定理得OA2=AP2+OP2,即（2AP『=AP2+僅⑹2,

解得AP=2（舍去負值），

??OA=2AP=49

/.AB=4.

??的工4|60?兀?4471

?A3的長為一八二方,

LoUJ

???陰影部分的周長為f+4.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓，直角三角形的性質和勾股定理，以及弧長公

式.此題難度不大.

5.(1)4^cm

(2)96V3cm2

【分析】(1)連接。C、過點。作由，8于點H,由圓的周長可得OC=8cm,由

正六邊形的性質可得60。，即得NCOH=30。，得至l]CH=；0C=4cm,再利用勾

股定理解答即可求解；

(2)由(1)可得.08是等邊三角形，得至I]CD=OC=8cm，可得S9=；CDOH=16限n?,

再根據“六邊形ABCDEF=6sOCD解答即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，連接OC、OD,過點。作于點“，則”"0=90。，

。的周長等于167Km,

/.半徑OC=8cm,

,/六邊形ABCDEF是正六邊形,

ZCOD=60°,

ZCOH=30°,

CH=-(9C=4cm,

2

?*.CH=^OC1-CH2=yj82-42=4瓜m,

即圓心。到CD的距離為4石cm；

(2)解：VZCOD=60°,OC=OD,

???是等邊三角形，

/.CD=OC=8cm,

S=-CDOH=-X8X473=16^cm2,

oro22

?,^JETKHL^ABCDEF=6SOCD=6X16>/5=96、/5cm2.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，直角

三角形的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵.

6.(1)45°或135°；

Q)AE=CE+6BE,理由見解析

(3)1.

【分析】(1)連接AC,求得以6=45。，利用圓周角定理結合圓內接四邊形即可求

解；

(2)在AE上截取AG=CE,連接BG,△G4B絲△ECB(SAS),推出3G=跖，ZABG=ZCBE,

再證明△BGE是等腰直角三角形，據此得到AE=CE+/E；

(3)根據對稱的性質求得8c=8C=3A=4,C'N'=CN=2,當CM邊上的高最小時，

面積取得最小值，則當點C與點4重合，此時點石與點。重合，所以CM

邊上的高就是AM的長，據此求解即可.

【詳解】(1)解：連接AC,

E

「正方形A5C，

/.ZACD=45。，

當點E在優弧A。上時，ZAED=ZACD=45°,

當點E在劣弧A。上時，4@=18。。一45。=135。,

綜上，上4￡D的度數為45。或135。；

(2)AE=CE+母BE,理由如下，

在的上截取AG=CE,連接3G,

.AB=CB,NGAB=NECB,

：.△G4B四△ECB(SAS),

/.BG=BE,ZABG=NCBE,

...Z.GBE=NCBE+ZGBC=ZABG+ZGBC=ZABC=90°,

...ABGE是等腰直角三角形，

...GE=y/2BE,

AE=AG+GE=CE+y/2BE;

(3)解：?.?正方形ABC。的邊長為2,點〃、N是AB、。的中點,

BM=AM=CN=-x2=l,

2

,**四邊形BFNC與四邊形BFN'C關于直線對稱，

：.BC=BC=BA=2,C'N'=CN=1,

.,.當CM邊上的高最小時，△MCM面積取得最小值，

，當點C與點4重合，此時點石與點。重合，

???CN邊上的高就是四的長，

面積的最小值為:xlx2=l.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，圓周角定理，圓內接四邊形的性

質，軸對稱的性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，正確作出輔助線

解決問題是解題的關鍵.

7.⑴見解析

(2)出+g

【分析】(1)根據圓內接四邊形的性質，可得WC+WC=180。，結合

ZCBE+ZABC=180°,可推出NCBE=ZADC,再根據直徑所對的圓周角為90。，可推出

ZCAD+ZADC=90°,得至I]/CBE+/C4D=90。，最后根據CE1AB,得至ij/C3E+/3CE=90。，

即可證明；

(2)過點。作O"J_AC于點H,由。C〃鉆，可得NCW=ZE4D=6O。，推出△COD是等

邊三角形，得到OD=8=：AO=2,進而得到AC=2g,ZCAD=30°,推出。”=(OA=1,

最后根據S陰影面積=SAOC+S扇形DOC,即可求解.

【詳解】(1)證明：四邊形神。是。的內接四邊形，

ZAT>C+ZABC=180°,

又.ZCBE+ZABC=1SQ°,

???ZCBE=ZADC,

AD為。的直徑，

ZACD=9G°,

ZCAD-^-ZADC=90°,

ZCBE+ZG4D=90°,

CE1AB,

???/CBE+/BCE=90。,

NCAD=NBCE；

（2）如圖，過點。作O"J_AC于點”,

OC//AB,

ZCOD=ZEAD=60°,

OC=OD,

???△CO。是等邊三角形，

ZCOD=ZD=60°,OD=CD=-AD=2,

'2'

AC=V^D2-CD2=2A/3,ZC4D=30°,

（?H=-OA=1,

2

$陰影面積

=SAOC+jgDOC=-AC.OH+x2>/3x1+=A/3+.

【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質，平行線的性質，圓周角定理，等邊三

角形的判定與性質，含30。的直角三角形的性質，扇形的面積公式，掌握相關知識

是解題的關鍵.

8.(1)①80°;②ZBAE=2NCBD

(2)6

(3)2

【分析】(1)①連接AD,由題意可得AB=AE,根據圓周角定理可得

ZACB=ZADE=ZADB=40°,以止匕即可求向軍；

②連接班，根據三角形內角和定理可得ZACB=90。-/CBD,由圓周角定理可得

ZACB=ZAEB=ZABE,再根據三角形內角和定理得ZBAE=180O-2^BE=180O-2ZACB,將

ZAC3=90。-/CBD代入化簡即可；

(2)如圖，連接OA、OE,連接BE交OA于點G,根據勾股定理求得AB=2石，設。尸”，

則O4=OB=x+2,在RtAO尸中，利用勾股定理建立方程解得x=3,于是。歹=3,

OB=OA=OD=5,BD=W,易得0A垂直平分BE,設AG=a,則OG=5一“，利用雙勾股定

理建立方程求得。=2,進而求出3G=4,BE=8,在Rt△%>E中，利用勾股定理即可

求解；

(3)連接。1、OB、OE、OD,過點。作8，叱于點P,由圓周角定理可得ZAO3=4DE,

易得OG〃BD,由平行線的性質得ZBOG=NO8D,由等邊對等角得NOa>=N83,進而

可得ZBOG=NOBD,根據等角減等角相等可得Z40G=4?尸，于是可通過AAS證明

AOG絲ODP,得到OG=D尸，根據等腰三角形三線合一性質得方=；理=",以此即可

求解.

【詳解】(1)①解：如圖，連接AD,

AB=AB,

:.ZACB=ZADB=40°,

AB=AE,

…AB=AE，

:.ZADE=ZADB=40°9

ZBDE=ZADE+ZADB=400+40°=80°；

故答案為：80。；

②NBAE=2NCBD,

證明：如圖，連接旗，

AC±BD,

:.ZBFC=90°,

.\ZCBD+ZACB=90°,

ZACB=900-ZCBD,

AB=AE,

.\ZACB=ZAEB=ZABE,

2ZABE+ZBAE=1SO°,

/BAE=180°-2ZABE=180°-2ZACB=180°-2(90°-NCBD)=2NCBD,

即NBAE=2NCBD；

(2)解：如圖，連接3、OE,連接助交0A于點G,

在RtABF^,AB=4BF2+AF?=弁+4。=2亞，

設OP=x,貝ljCM=O8=OF+8F=x+2,

在RtAOF中,OA2=OF2+AF2,

(x+2)2=x2+42,

解得：*=3,

：.OF=3,OB=OA=OD=5,BD=10,

AB=AE,OB=OE,

垂直平分BE,

:.ZAGB=ZBGD=90°,BG=EG,

設AG=a,貝l]0G=5-0,

在RSABG中，BG2=AB2-AG2=2O-a2,

在RtABOG中，BG2=OB2-OG2=25-(5-a)2,

解得：a=2,

BG-q20-a'=4,

/.BE=8,

Q%)為二。的直徑，

:.ZBED=90°,

在RtA&DE中，DE=^IBD2-BE2=V102-82=6;

(3)解：如圖，連接。1、OB、OE、OD,過點。作8,DE于點P,

AB=AE

…AB=AE，

:.ZAOB=ZBDE,

OG1AC,BD1AC,

:.OG//BD,

:.ZBOG=ZOBD,

OB=OD,

:.NOBD=/ODB,

:.ZBOG=ZOBD,

ZAOB-ZBOG=ZBDE-Z.OBD,gpZAOG=NODP,

在“OG和O融中，

NAGO=NO尸0=90。

<ZAOG=ZOPD,

OA=OD

AOG均ODP(AAS),

:.OG=DP,

OE=OD,OP.LDE,

:.DP=-DE,

2，

OG=-DE,

2，

【點睛】本題主要考查正多邊形與圓綜合，圓周角定理、三角形內角和定理、勾

股定理、等腰三角形的性質、線段垂直平分線的性質、全等三角形的判定與性質，

正確作出輔助線，構造全等三角形是解題關鍵.

9.（l）AB=27?sinl8°

（2）sinl8。為黃金比（①=與）的一半，理由見解析

【分析】（1）過。作8,四于得到ZAOB=36。，且△OAB為等腰三角形，所以得

至=ZAOD=ZBOD=18°,根據三角函數計算即可;

(2)由8C是ZABO的角平分線，得到ZAO3=NCBA=36。，ZOAB=ZBAC=12°,證得

ABR

OA3S3CA,即等=胃=等，進而得到CO=C5=M,得等=黑,

nCADACACAnR-AB~AB'

得到二=4,于是例=與我，根據三角函數計算即可?

K-ADAD2

【詳解】（1）解：過。作OD^AS于D,

圖1

由正十邊形內接于圓，所以得到"03=36。,

又OA=OB,

所以ZA8=N38=18。，AD=BD=；AB,

在RtAOD中，sinZAOD=—,

AD=OAsinZAOD=Rsinl809

AB=2AD=2Rsin180；

(2)解：由(1)可知:

ZOBA=72°,

圖2

8c是ZA30的角平分線，

NCBA=ZCBO=-ZOBA=36°,

2

ZAOB=ZCBA=36°,ZOAB=ABAC=72°,

OAB^tBCA9

所以空一名一空

所"BCABAC

△QA3是等腰三角形,

.?.V3C4也是等腰三角形,

AB=BC,

在AOBC中,NCOB=NCBO=36°,

所以CO=CB=AB,

所以得到我附

即ABR

R-ABAB

AB=^^-R,

2

由（1）可知:sinZAOD=-OA

sinl80=—==='

OAR42

即sinl8。為黃金比（①的一半.

【點睛】本題目考查了正多邊形與圓的關系，相似三角形的判定與性質，垂徑定

理，等腰三角形的判定與性質，解決問題的關鍵是能夠從圖中找到相應的相似三

角線及相關的比例線段.

10.（1）273

⑵24囪

【分析】（1）過點。作尸于點“，連結。A、OF,則可得OA=O尸，ZAOF=60°,

在RtAAOH根據垂徑定理和勾股定理即可求出的的長；

（2）由。1=0尸，ZCHF=60°,可得△04斤是等邊三角形，先求出△OA尸的面積，即

可得正六邊形ABCDEF的面積.

本題考查的是正多邊形與圓、垂徑定理，掌握正六邊形的性質、垂徑定理是解題

的關鍵.

【詳解】（1）

如圖，過點。作產于點”，連結。A、OF,

貝1）。4=0尸，ZAOF=60°,

:.ZAOH=30°,

在RtAAOH中，

.OA=4,

：.AH=-OA=2,

2

2

:.OH=ylo^-AH=萩4=2A/3，

故圓心。到轉的距離為26.

(2)OA=OF,ZOAF=60°,

.?.△OA/是等邊三角形，

.-.AF=OA=4,

，S?=；x4x2右=4石，

/.正六邊形ABCDEF的面積為6SAOF=2473.

11.(1)26cm(2)S=24A/3CHI2

【分析】(1)連接OC、OD,作OHLCD于H,根據圓的周長公式求出半徑,

根據余弦的定義計算即可；

(2)根據正六邊形的性質、三角形的面積公式計算.

【詳解】(1)連接OC、OD,作OH_LCD于H,

,.?。0的周長等于8%cm,

半徑0C=4cm,

???六邊形ABCDE是正六邊形，

ZCOD=60°,

ZCOH=30°,

圓心O到CD的距離=4xcos3()o=20

/.圓心0到AF的距離為26cm；

(2)正六邊形ABCDEF的面積=gx4x2有x6=24Gcm2.

【點睛】本題考查的是正多邊形與圓、垂徑定理，掌握正六邊形的性質、垂徑定

理是解題的關鍵.

12.(1)108°

(2)是正三角形，理由見解析

(3)〃=15

【分析】(1)根據正五邊形的性質以及圓的性質可得AB=BC=CD=DE=AE,則4"

(優弧所對圓心角)=3x720=216。，然后根據圓周角定理即可得出結論；

(2)根據所作圖形以及圓周角定理即可得出結論；

(3)運用圓周角定理并結合(1)(2)中結論得出400=144。-120。=24。，即可得出

結論.

【詳解】(1)解：二?正五邊形MCDE.

??AB=BC=CD=DE=AE,

360。

/.ZAOB=ZBOC=/COD=ZDOE=ZEOA==72°,

AEC=3AE,

，ZAOC(優弧所對圓心角)=3x72。=216°,

/.ZABC=-ZAOC=-x216°=108°-

22'

(2)解：AMN是正三角形，理由如下:

連接ON,PN,

由作圖知：FN=FO,

"：ON=OF,

：.ON=OF=FN,

J△OFN是正三角形，

NOFN=64。，

ZAMN=ZOFN=6Q09

同理Z/LW=60。，

ZMAN=60°9W^ZAMN=ZANM=ZMAN,

???AW是正三角形；

(3)???M是正三角形，

:?ZAON=2ZAMN=120°.

?AD=2AE,

：./A。。=2x72。=144。，

?DN=AD—AN,

ZNOD=144°-nO°=24°9

???〃=警=15

24

【點睛】本題考查了圓周角定理，正多邊形的性質，讀懂題意，明確題目中的作

圖方式，熟練運用圓周角定理是解本題的關鍵.

2

13.⑴尹

(2)77+1.

【分析】(1)如圖，設？C。。。，結合題意可得：？以即為，結合正三角形的性質

求解。=60?,再利用弧長公式進行計算即可；

(2)解：如圖，取。8的中點N,連接NM,NC,MC,過N作NKLBC于K,過

。作OE,3c于￡，證明"在以N為圓心，半徑為1的圓N上運動，可得當C,N,

〃三點共線時，CM最大，從而可得答案.

【詳解】(1)解：如圖，設？COQ*結合題意可得：？24,

ABC為等邊三角形，

\1BOC非￡=120?,

3

\2BOQ120?

而尸，。，。三點共線，

\1BOQ180?2a,

\120?a=180?2a,

解得：。=60。,

運動的總長度為：筆

(2)解：如圖，取的中點N,連接NMNC,MC,過N作NKLBC于K,過

0作OE_L3C于E,

M為必的中點，

\NM=-OP=l,

2

在以N為圓心，半徑為1的圓N上運動,

，當C,N,M三點共線時，CM最大,

Q?BOC120?,OBOC,

\?OBC30?,

\NK=-BN=-,BK=—,

222

同理可得：BE=y/3,則BC=2點

\CM=CN+NM=41+1,

.?.CM的最大值為：幣+1.

【點睛】本題考查的是弧長的計算，弧與圓心角的關系，圓的基本性質，正多邊

形的性質，勾股定理的應用，熟練的構造輔助圓，再求解線段的最大值是解本題

的關鍵.

14.(1)373

(2)見解析

(3)9兀-18

【分析】(1)過點。作于點H,連接05,根據垂徑定理可得

而六邊形458跖是正六邊形，所以乙8。"=30。,根據三角函數”=6xcos3(r=35

(2)連接04、0B、4尸、BE,易證NA5b=N0/，得AB〃0F,可得0F1FG,

從而可證尸G是。。的切線；

(3)因為六邊形A5C。及1是正六邊形，點〃是BC中點，所以/50。=/5