2025年中考數學考前沖刺：三角形、四邊形綜合強化練習題

題型1相似模型

【例1】如圖，把兩個含30。角的兩個直角三角板按如圖所示拼接在一起，點N是AB邊的

中點，連接DN交于點"，則”的值為（）

CB

【例2】如圖，在AABC中，點、D、E分別在邊BC、AC上，ZABE=ZC,DE//AB,

如果AB=6,AC=9,那么S^DE:S&CDE的值是.

【例3】如圖，AD//BC,AC與SD交于點O,過點。作EF//AD,分別交AB,CD于

點E,F,則下列結論錯誤的是（）

AAEDF111nADEF

A.——=——---1---=--___?___=___D__=___

BECFADBCOEADBCOF,EFBC

第1頁共44頁

【例4】已知，如圖，P為AABC中線4）上一點，加，延長BP、CP分別交AC、

AB于點E、F,EF交AD于點、Q.

(1)PQ=EQ；

(2)FP:PC=EC:AE；

(3)FQ:BD=PQ:PD-,

(4)SRFPQ''S^DCP=S"EF-^APBC?

上述結論中，正確的有—.

【例5】如圖，AABC中邊3c=10,高AD=8,正方形EFNM的四個頂點分別為AABC三

邊上的點（點E,尸為3c上的點，點N為AC上的點，點M為上的點），則正方形EFNM

的邊長為—.

BEDFC

第2頁共44頁

【例6】如圖，已知在AABC中，3c=20,高AD=16,內接矩形￡FGH的頂點E、廠在3c

邊上，G、〃分別在AC、AB上，則內接矩形EFG//的最大面積為.

【例7】如圖，AABC中，E是3c中點，的）是44C的平分線，EF//AD交AC于b.若

AB=n,AC=15,則FC的長為.

題型2半角模型

【例8】已知，如圖1,四邊形MCD是正方形，E、尸分別在邊3C、CD上，且NE4F=45。，

我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法.

（1）在圖1中，連接EF,為了證明結論“歷=尸”，小明將AAD尸繞點A順時針

旋轉90。后解答了這個問題，請按小明的思路寫出證明過程；

（2）如圖2,當4AF的兩邊分別與CB、0c的延長線交于點E、F,連接EF,試探究

線段EF、BE、DF之間的數量關系，并證明.

第3頁共44頁

【例9】當幾何圖形中，兩個共頂點的角存在角度是公共大角一半的關系，我們稱之為“半

角模型”.

(1)如圖1,在正方形ABCD中，E、尸分別是?IB、邊上的點，且NEDF=45。，探

究圖中線段EF,AE,FC之間的數量關系.

(2)如圖2,如果四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=ZBCD=90°,N￡AF=45。，且3c=7,

DC=13,CF=5,求BE的長.

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，AB=AD,NABC與NADC互補，點E、尸分別在射線

CB、OC上，且NEAF=L/BAD.當3c=4,DC=1,CF=1時，ACEF的周長等于?

2

(4)如圖4,邊長為6的正方形ABCD中，AAMN的頂點M、N分別在3C、CD邊上，

第4頁共44頁

且.MN=BM+DN,連接BD分別交40、AN于點E,F,若。尸=2&,求）的長.

BFCM

圖1圖2圖3圖4

題型3四邊形綜合

【例10】在四邊形ABCD中，AD//BC,ZABC=90°,AB=BC,E為AB上一點,AE=AD,

且跳'//CD,AF_LCE的延長線于P.連接DE交對角線AC于H.下列結論：①

AACD=ACE；②AC垂直平分即；③CE=2BF；④CE平分NACB.其中結論正確的

是—.（填序號）

【例11］如圖，在矩形ABCD中，AD=y/2AB,的平分線交于點E,DH±AE

于點"，連接3”并延長交CD于點P,連接DE交防于點O,下列結論：①AE=AD；

?ZAED=ZCED；③BH=HF；?BC-CF=HE,其中正確的有.（把正確結論的

序號都填上）

第5頁共44頁

【例12】在直角梯形ABCD中，AD//BC,ZABC=90°,AB=BC,E為他邊上一點,

ZBCE=15°,B.AE=AD,連接DE■交對角線AC于"，連接3H,下列結論：

^^BCA/6+A/2③曳=2；=-

①AACD三AAGE;②一=-———

CD4BES.FHCCH

其中結論正確的是.

【例13］如圖，已知正方形ABCD,延長的至點E使連接CE、DE,DE與BC

交于點N,取CE的中點尸，連接BF,AF,AF交BC于點M,交DE于點O,則下列

結論：

①DN=EN;?OA=OE:③CN:MN:BM=3:1:2；@tanZCED=1;⑤S四邊形BEFM=2S^CMF-

其中正確的是—.（只填序號）

【例14］如圖，平面直角坐標系中。是原點，，Q4BC的頂點A,C的坐標分別是(8,0),(3,4),

第6頁共44頁

點D,E把線段08三等分，延長CD、CE分別交。4、然于點尸，G,連接FG.則下

列結論:

①尸是OA的中點；②Aai）與ABEG相似；③四邊形DEGF的面積是型；@OD=—

33

其中正確的結論是—（填寫所有正確結論的序號）.

【例15］如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E是邊CD上一點，連接將AADE沿直

線翻折，得到AAFE,延長所交CB于G,連接AG,對角線BD分別與AE、AG交

于尸、Q,連接尸G、PC,下列結論：?DE+BG=GE；?BQ1+PD2=PQ2；?PC=PG；

④若3G=2,則。E=3,其中，正確的有（填序號）.

2

【例16］如圖，在正方形ABCD中，E、尸是射線皮）上一動點，且NE4F=45。，射線AE、

AF分別交BC、CD延長線于G、H,連接EC；在下列結論中①AE=CE;②AAEF=AGHC;

③BG=GH+DH；④EF2=BE1+DF1；⑤若AB=3DH,貝UCD=2CG；⑥

其中一定正確的是.（把正確的序號寫在橫線上）

SMGH-.S&BCD=GH-.AB.

第7頁共44頁

【例17］如圖，在正方形ABCD中，對角線AC,80相交于點O,點E在ZX7邊上，且

CE=2DE,連接yIE交33于點G,過點。作DFJLM,連接O歹并延長，交DC于點、P,

過點。作OQJLOP分別交孤、AD于點、N、H,交54的延長線于點Q,現給出下列結論：

①NAFO=45。；②DP2=NHOH；?ZQ=ZOAD；?OG=DG.其中正確的結論有

（填入正確的序號）.

【例18］如圖，在正方形ABCD中，點E是的中點，點O是AC的中點，AC與BE交

于點尸，AG±BE,CH±BE,垂足分別為G,H,連接由，OG,CG.下列結論：

①CH—AG=HG;?AG=HG;?BH=y/2OG；?AF:OF.OC=2:1:3-,⑤5sA；

⑥OG-AC=BH-CD.其中結論正確的序號是.

第8頁共44頁

2025年中考數學考前沖刺：三角形、四邊形綜合強化練習題?教師版

1.如圖，把兩個含30。角的兩個直角三角板按如圖所示拼接在一起，點N是四邊的中點,

連接DN交3C于點則型的值為（）

CB

【解答】解：連接5,如圖,

設AC=2a,

ZABC=30°,ZACB=90°,

:.AB=4a9BC=2y[3a,

點N是AB邊的中點，

:.CN=AN=BN=-AB=2a.

2

NZ陽C=30。，ZCDB=90°,

CD=—BC=,

2

:.BD=y/BC2-CD2=3a.

NC=NB,

第9頁共44頁

:.ZNCB=ZABC=340,

ZBCO=60。，

...ZNCD=ZNCB+/BCD=90°,

ZNCD+ZBDC=90。+90。=180。，

:.NC//BD,

:./SMCN^AMBD,

.CM_CN_la_2

MB~BD~3a~

CM_2

..---—―,

CB5

故選：B.

2.如圖，在AABC中，點。、E分別在邊BC、AC上，ZABE=Z.C,DE//AB,如果4B=6,

4

AC=9,那么之誠：SASE的值是_《_?

【解答】解：ZABE=NC,ZA=ZA,

?.AABESMCB,

ABAC

'~AE~^B'

6_9

二---=一,

AE6

\AE=4.

\EC=AC-AE=5.

DE//AB,

第10頁共44頁

AEBD

EC~DC

BD_4

~DC~5

BD_4

…S/^BDE?S^CDE

BC-5.

故答案為：I,

3.如圖，AD!IBC,AC與BD交于點O,過點。作所//AD,分別交AB,CD于點E,

F,則下列結論錯誤的是（）

A空=吧BJ-+J_=J_CJ-+J_=J_D處=空

BECFADBCOEADBCOFEFBC

【解答】解：ADIIBC,EF!/AD,

:.AD!IBCI!EF,

AEDF

故A選項正確，不符合題意;

~BE~~FC

AD!IBCI/EF,

:.△CFCaNCDA,AAOE^AACB,

aw①,臣=色②

ADACBCAC

公e汨FOOECOOAAC

①+②得+——=——+——=——=1,

ADBCACACAC

FOOE

---------1--------=1,

ADBC

AD//BC,

DOAO

第11頁共44頁

EOAOFODO

BC-AC'BC~BD

EO_FO

:.EO=FO,

1111

故5,。選項正確，不符合題意;

AB1BC~~OE~~OF

OE=OF,

,\OE=OF=-EF,

2

EF//AD,

.FO_CF

而一而‘

AD--CD

ADCD

~EF~2CF

EFIIBC,

OFDF

~BC~~DC

15

—EF

.2_DF

BC~~DC

EFIDF

~BC~DC"

CD2DF

--------0----------，

2CFDC

.故。選項錯誤，符合題意.

EFBC

故選：D.

4.已知，如圖，P為AABC中線AD上一點，AP:PD=2A,延長3P、CP分別交AC、AB

第12頁共44頁

于點E、F,EF交AD于點、Q.

(1)PQ=EQ；

(2)FP\PC=EC:AE-,

(3)FQ:BD=PQ:PD；

上述結論中，正確的有(3)(4)

【解答】解：延長PD到使DM=PD,連接BA/、CM,

AD是中線，

BD=CD,

/.四邊形BPCM是平行四邊形，

.-.BP//MC,CP//BM,

即PE7/MC,PF/IBM,

:.AE:AC=AP:AM,AF:AB=AP:AM,

:.AF:AB=AE:AC,

:.EF//BC；

:.\AFQ^\ABD,AAEQsAACQ,

/.FQ:BD=EQ:CD,

:.FQ=EQ,而尸。與E。不一定相等，故＜錯誤;

第13頁共44頁

"EFs"BC,AAEF^AACe,

:.PF.PC=EF,BC,EF.BC=AE:AC,

:.PF'.PC=AE:AC,故(2)錯誤;

APFQ^APCD,

:.FQ:CD=PQ:PD,

:.FQ:BD=PQ:PD；故(3)正確;

EFIIBC,

.C.C_（PF、2s.S「一）2

??"江PQ.UADCP—、pc，'U"EF,°APBC—、p]'

,?S空PQ:S"CP=SPEF-SkpBc?故(4)正確.

故答案為：(3)(4).

5.如圖，AABC中邊6C=10,高AD=8,正方形E7WM的四個頂點分別為AABC三邊上

的點(點石，尸為灰:上的點,點N為AC上的點，點M為上的點)，則正方形E7WM

的邊長為—

—9—

第14頁共44頁

A

【解答】解：設正方形的邊長為x,設他與交于點G,如圖,

四邊形ABCD為正方形，

MN=NE=x,MN//BC,

MELBC,GD工BC,

ME=GD=x，

AG=AD-GD=8-x.

MN//BC,

:.AAMN^AABC,

MNAG

BC-AD'

x_8-x

..——------,

108

解得：x=—.

9

正方形EFNM的邊長為".

故答案為：黃

第15頁共44頁

6.如圖，已知在AABC中，BC=20,高AO=16,內接矩形EFGH的頂點石、尸在3C邊

上，G、H分別在AC、AB上，則內接矩形EFGH的最大面積為80

【解答】解：四邊形￡FG”為矩形，

：.HE=GF,HG//EF,

AD±BC,

;.PD=HE=FG,

設PD=HE=FG=x,則AP=AD—PE>=16—

HG//EF,

.-.AAHG^AABC,

HG_AP

正一罰'

,HG16-x

16'

:.GH=20--x.

4

?.矩形EFGH的面積=

二x(20-1-x)

x2+20x

4

=-|(X-8)2+80.

第16頁共44頁

.?.當x=8時，內接矩形EFG//的最大面積為80.

故答案為：80.

7.如圖，AABC中，E是8C中點，是N朋C的平分線，EF//AT(交AC于F.若AB=11,

AC=15,則FC的長為13.

【解答】解：過點3作RW//AD交C4的延長線于點M,如圖所示,

BM//AD,A￡＞是NBAC的平分線，

ZM=Z.CAD=ZBAD=ZABM,

:.AM=AB.

E是BC中點，BM//AD,

:.EF為\CBM的中位線，

"C=gcM=；(G4+AM)=：x(15+11)=13.

故答案為：13.

8.已知，如圖1,四邊形ABCD是正方形，E、F分別在邊3C、CD上，且NE4F=45。，

我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法.

(1)在圖1中，連接EF,為了證明結論“所=砥+。廠”，小明將A4D/繞點A順時針

旋轉90。后解答了這個問題，請按小明的思路寫出證明過程；

第17頁共44頁

(2)如圖2,當NE4尸的兩邊分別與C3、。。的延長線交于點石、F,連接￡F,試探究

線段￡F、BE、DF之間的數量關系，并證明.

【解答】(1)證明:

由旋轉可得尸,AF=AG,ZBAG=ZDAF,

四邊形ABCD為正方形，

.\ZBAD=90°,

-ZEAF=45°,

ZBAE-^-ZDAF=45°,

ZBAG+ZBAE=45°=ZEAF,

在AAGE和AAFE中

AG=AF

<ZGAE=ZEAF

AE=AE

:.AAGE=AAFE(SAS),

:.GE=EF,

GE=GB+BE=BE+DF,

：,EF=BE+DF；

(2)解：EF=DF-BE,

證明如下:

第18頁共44頁

如圖，把AABE繞點4逆時針旋轉90。到AD,交CE＞于點G,

同（1）可證得AAEF三AAG尸,

;.EF=GF,且。G=BE,

:.EF=DF-DG=DF-BE.

9.已知，如圖1,四邊形ABCE＞是正方形，E、F分別在邊3C、CD上，5.ZEAF=45°,

我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法.

（1）在圖1中，連接EF,為了證明結論"E尸=3E+。尸”，小明將A4r歸繞點A順時針

旋轉90。后解答了這個問題，請按小明的思路寫出證明過程；

（2）如圖2,當NE4F的兩邊分別與CB、DC的延長線交于點E、F,連接￡F,試探究

線段跖、BE、DF之間的數量關系，并證明.

【解答】（1）證明:

由旋轉可得GB=。廠,AF=AG,ZBAG=ZDAF,

四邊形ABCD為正方形,

第19頁共44頁

:.ZBAD=90°,

ZE4F=45°,

:.ZBAE+ZDAF=^5°,

.\ZBAG+ZBAE=450=ZEAF,

在AAGE和AAFE中

AG=AF

<ZGAE=ZEAF

AE=AE

:.AAGE=AAFE(SAS),

:.GE=EF,

GE=GB+BE=BE+DF,

:.EF=BE+DF；

(2)解：EF=DF-BE,

證明如下：

如圖，把AAB石繞點A逆時針旋轉90。到AO,交CD于點G,

同(1)可證得AAEF二AAGF,

/.EF=GF,SLDG=BE,

第20頁共44頁

EF=DF-DG=DF-BE.

10.在四邊形ABCD中，AD//BC,ZABC=90°,AB=BC,石為AB上一點，AE=AD,

且叱//CD,AF_LCE1的延長線于尸.連接DE交對角線AC于H.下列結論：①

/^ACD=ACE；②AC垂直平分￡?；③CE=2BF；④CE1平分ZACB.其中結論正確的是

①②③④.（填序號）

【解答】解：①，AD//BC,ZABC=90°,

:.ZBAD=9O°.

AB=CB,

ABAC=45°,

ZZMC=45°.

在AAEC和AADC中，

AE=AD

</CAE=ZCAD,

AC=AC

.\AAEC=AAZ>C(SAS).故①正確;

②AAEC=AADC,

DC=CE.

又'AD^AE,

AC是DE的垂直平分線.

即AC垂直平分ED.故②正確;

③取CE的中點G,連接3G,

第21頁共44頁

ZABC=90°,GE=GC,

BG=CG=-CE

2

:.ZGCB=ZGBC.

ZFGB=Z.GCB+Z.GBC,

.\ZFGB=2ZGCB.

BF//CD,

,\ZBFG=ZDCF.

ZBFG=ZDCF=ZFGB,

:.ZBFG=ZFGB.

BF=GB.

:.BF=-CE,

2

即CE=26尸，故③正確.

④CE=2BF=2BG,

:.BF=BG,

ZBFG=ZBGF=2ZGCB,

FB//CD,

:.ZBFG=ZDCE,

/BCG=-ZBFG=-ZDCE=ZACE,

22

7.CE平分NACB；故④正確；

.?.結論正確的是：①②③④.

故答案為：①②③④.

第22頁共44頁

11.如圖，在矩形ABCD中，AD=y[2AB,的平分線交3c于點E,于點

H,連接并延長交CD于點尸，連接DE交放于點O,下列結論：①AE=AD；②

ZAED=Z.CED-,③BH=HF;?BC-CF=HE,其中正確的有①②③.（把正確結

論的序號都填上）

【解答】解：四邊形MCD是矩形,

:.AB=CD,AB!/CD,ZBAD=ZBCD=ZADC=90°,

T^AB=CD=a,則AO=&a,

AE平分ZS4D,

.\ZBAE=45°,

是等腰直角三角形，

AB=BE=Q,

/.AE=\f2AB,

.\AE=AD,故①正確；

DHLAE,ZDAE=45°,AD=?,

.?.A4HD是等腰直角三角形，

第23頁共44頁

DH=AH=a9

DH=DC,

DH工AE,DC.LCE,

:.DE平分ZAEC,

.\ZAED=ZCED,故②正確；

③.AH=AB=a,

.\ZABH=ZAHB,

AB//CD,

:.ZABF+ZDFB=\^°,

又ZAHB+ZBHE=180。,

:.ZBHE=ZHFD,

AAHD是等腰直角三角形，

:.AH=DH=a,ZADH=45°,

/.ZHDF=90°-45°=45°,

43石是等腰直角三角形，

/.ZB￡H=45°,

:.ZBEH=ZHDF,

在AfiEH和AHD尸中，

Z.BEH=ZHDF

<ZBHE=ZHFD,

BE=DH=a

ABEH=AHDF(AAS),

:.BH=HF,故③正確；

第24頁共44頁

ABEH=AHDF,

HE=DF>HE=AE—AH=—a,

CF=a-(41a—d)=1a—~Jla,

.1.AB-CF=a-(2a-=A/2C?-a,

:.AB-CF=HE,故④錯誤；

綜上所述，正確的是①②③.

故答案為：①②③.

12.在直角梯形ABCO中，AD//BC,ZABC=90°,AB=BC,E為回邊上一點,

ZBCE=15°,且=連接DE■交對角線AC于"，連接下列結論：

VAH

①AA83CE；—=2;④

②”魯~CH

BE°AEHC

其中結論正確的是①②④

【解答】解：①。ZABC=9Q°,AB=BC,

:.ZBAC=ZACB=45°,

又-ZE4￡>=90°,

:.ZBAC=ZDAC,

5LAD=AE,AC=AC,

:.AACD=AACE(SAS)；故①正確；

第25頁共44頁

②同理NAED=45。，

ZBEC=900-ZBCE=90°-15°=75°,

ZDEC=180°-45°-75°=60°,

ACD=^ACE,

:.CD=CE,

「.ACDE1為等邊三角形，設EH=DH=a,則CD=￡C=2a,AH=a,HC=

AC=a+?a，

Be^^(1+百)"

述+夜,故②正確,

CD-2a

③由②可知，AE=y/2a,

:.BE=AB-AE=—(l+^a-y/2a=(—-—)a，

222

.'.—^2,故③錯誤，

BE

2

④由②③可知5ABEC=^BEBC=^a;

SAEHC=^EH-HC=~-cr,

12

.SREBC_2_2^,

S&EHCG23

—Cl

2

第26頁共44頁

AHa_s/3

AH

°AEBC故④正確;

S/^EHC~CH

故答案為：①②④.

13.如圖，已知正方形ABCD,延長延至點E使3E=AB,連接CE、DE,DE與BC交

于點N,取CE的中點尸，連接所，AF,AF交BC于點M,交DE于點,O,則下列結

論：

①DN=E7V；②3=0石；③aV:MZV:BM=3:l:2；④tanNC￡1O=；；⑤S四邊形M尸M=2SACMF.

其中正確的是①③④⑤.（只填序號）

【解答】解：四邊形ABCD為正方形，AB=BE,

：.AB=CD=BE,AB//CD,

:.ANCD^ANBE,

DNCDCN.

-NE~BE~NB~'

:.CN=BN,DN=EN,故①正確;

如圖，連接4V,

第27頁共44頁

DN=NE,ZDAE=90°,

:.AN=NE,

AO>AN,NE>OE,

:.AO>OE,故②錯誤；

NCBE=90°,BC=BE,尸是CE的中點，

iJ?

:.ZDCE=45°,BF=-CE=—BE,FB=FE,BFLEC,

22

/.ZBCE=900+45°=135°,NFBE=45。,

.\ZABF=135°,

:.ZABF=ZECD,

DC_BF

~CE~~2~^B，

:.SABFs巫CD,

,\ZCED=ZFBG,

如圖，作FG_LA￡于G,則2G=3G=GE,

..-F-G=_一1,

AG3

FG1

tan^.FAG-——f

AG3

tanZCED=-,故④正確；

3

第28頁共44頁

tanZFAG=-

3

..-BM—_—1,

AB3

BM_1

=

-SgBM5S2CM9

廠是CE的中點,

-SgBC=SgBE

,,,，四邊形MEM=2S^cMF，故⑤正確;

BM_1

:.^.BM=2x,MC=Ax,

：.BC=6x,

：.CN=BN=3x,

:.MN=x,

:.CN:MN:BM=3:\:2,故③正確;

故答案為：①③④⑤.

14.如圖，平面直角坐標系中。是原點，，Q4BC的頂點A,。的坐標分別是(8,0),(3,4),

點、D,石把線段06三等分，延長CO、CE分別交。4、于點尸，G,連接FG.則下

列結論：

①尸是04的中點；②AOED與ABEG相似；③四邊形。EG尸的面積是理；④OD=逑

33

第29頁共44頁

其中正確的結論是①③（填寫所有正確結論的序號）.

【解答】解：①四邊形owe是平行四邊形,

/.BC//OA,BC=OA,

.,.ACDBs^FDO,

BC_BD

而一而‘

D、石為OB的三等分點，

?,.-B-D-—_—2—’,

OD1

OF

:.BC=2OF,

:.OA=2OF,

方是。4的中點；

所以①結論正確；

②如圖2,延長3C交y軸于"，

由。(3,4)知：OH=4,CH=3,

:.OC=5,

：.AB=OC=5,

A(8,0),

「.04=8,

第30頁共44頁

:.OA^AB,

:.ZAOB^ZEBG,

AOfDsABEG不成立,

BC//OA,且BC與CG相交,

ZAOB=ZCBE豐ZBEG,

:.AOFD^AEBG不成立,

同理可知G為AB的中點，即BG=2,

2

由勾股定理得：08=萩+晝=屈7,

...叫吁與>|，

ZBGE>ZBEG>Z.CBE,

:.ZBGE>ZAOB,

所以②結論不正確；

③由①知：方為。4的中點,

由②知：G是的中點，

.?.FG是AQ鉆的中位線，

:.FG=-OB,FG//OB,

2

OB=3DE,

3

:.FG=-DE,

2

FG3

二.---=一，

DE2

過C作CQ_LAB于Q,

第31頁共44頁

S0ABe=OAOH=ABCQ,

/.4x8=5CQ，

S.OCF=-OF.OH=-x4x4=8,

AOCF22

11532

S.CGB=-BG.CQ=-X-X-=8,

^AAFG=-x4x2=4,

.?SACFG=SOABC—尸c—&C8G—3兇卬=8x4—8—8—4=12，

DE11FG,

:.ACDESACFG,

.S〉CDE_(DE)2__4

.=一~FG~9

.S四邊形DEGF=5

S^CFG9

S四邊形OEGF_5

~~n~~~9

一S四邊形OEGF=

所以③結論正確;

④在RtAOHB中，由勾股定理得：OB1=BH2+OH2,

.?.C5=j42+(3+8>=麗，

所以④結論不正確;

故本題結論正確的有：①③;

第32頁共44頁

故答案為：①③.

15.如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E是邊CD上一點，連接鉆，將AAZ四沿直線隹

翻折，得到AAFE,延長EF交CB于G,連接AG,對角線BD分別與AE、AG交于P、Q,

連接PG、PC,下列結論：?DE+BG=GE；@BQ2+PD2=PQ2；③PC=PG；④若BG=2,

則。E=3,其中，正確的有①②③（填序號）.

2----------------

【解答】解：四邊形ABCD是正方形,

.\AB=AD=CD=BC=4,ZBAD=ZADC=ZABC=ZBCD=90°,ZADB=ZCDB=45°,

將AAZJE沿直線翻折，得到AAFE,

第33頁共44頁

:.AD=AF,ZADE=ZAFE=90°,DE=EF,ZDAE=ZFAE,

:.AB=AF,ZABG=ZAFG=90°,

又AG=AG,

RtAABG=RtAAFG(HL),

:.BG=FG,ZBAG=Z.GAF,

:.GE=GF+EF=BG+DE,故①正確；

ZBAG+Z.GAF+ZDAE+ZFAE=9(r,

.?.NG4石=45。，

.?.NBAG+NDAE=45。,

如圖，將AAD尸繞點A順時針旋轉90。，得到AABH,連接HQ,

:.AH=AP,DP=BH,ZADP=ZABH=45°,ZDAP=ZBAH，

ZQAH=ZBAH+ZBAQ=ZDAP-^-ZBAQ=45°,ZHBQ=9Q0,

ZHAQ=ZPAQ=45°f

又AQ=AQ,

:.APAQ=AHAQ(SAS),

:'PQ=HQ,

HQ1=HB2+BQ2,

.?.BQ2+PD2=PQ2；故②正確；

ZPAQ=45°=ZGBQf

.?.點A,點5,點G,點尸四點共圓，

ZBAP+ZBGP=180。，

ZBGP+ZPGC=1^,

第34頁共44頁

PG=PC；故③正確;

BG=2,則GC=2,

GE2^EC'+GC2,

(2+￡>￡)2=(4-￡>E)2+4,

:.DE=-,故④錯誤;

3

故答案為：①②③.

16.如圖，在正方形ABCD中，E、尸是射線上一動點，且NE4F=45。，射線AF

分別交8C、CD延長線于G、H,連接EC；在下列結論中①AE=CE；②AAEF^AGHC；

③BG=GH+DH；④EF2BE2+DF2；⑤若AB=3DH,貝UCD=2CG；⑥

S.GH:S&BCD=GH-.AB.其中一定正確的是①③④⑥.（把正確的序號寫在橫線上）

【解答】解：四邊形ABCD是正方形,

:.AB=BC,ZABD=ZCBD=45°,

又?BE=BE,

:.△ABE^ACBE(SAS),

第35頁共44頁

:.AE=EC,故①正確;

/4EF不一定為90。,

「.NAEF不一定與NHCG相等,

即AA￡F與ASC不一定全等，故②錯誤;

如圖1,在5c上截取=連接4V,

AB=AD,ZABN=ZADH=90°,BN=DH,

:.AABN=AADH(SAS),

:.AN=AH,ZBAN=ZDAHf

/BAD=ZNAH=90。，

ZE4F=45°,

,\ZEAF=ZNAG=45°,

又AN=AH，AG=AG,

/.AANG=AAHG(SAS),

:.NG=HG,

:.BG=BN+NG=GH+DH,故③正確；

如圖2,將AADF繞點A順時針旋轉90。，得到AABM,連接￡70,

第36頁共44頁

..AADF=AABM,NE47V=90。，

:.AF=AM,ZABM=ZADF,DF=BM,

ZABD=ZADB=45°f

ZADF=135°=ZABM,

:.ZMBE=90°,

ZEAF=45°,

/.ZEAF=NEW=45。，

又.AE=AE,AF=AM,

:.\AEF=\AEM{SAS),

:.EF=EM,

在RtABEM中，EM2=BE1+BM2,

:.EF2=BE2+DF2,故④正確；

AB=3DH,

:.^DH=a,則A8=3a=5C=CD,

:.CH=4a,

如圖1,在3C上截取=連接4V,

第37頁共44頁

H

BNCG

圖1

由③可得：HG=NG,

設CG=x,則3G=3a+x,

;.NG=2a+x=HG,

CH2+CG1=HG2,

(4f/)2+f=(2a+x)2,

/.%=3Q，

:.CD=CG,故⑤錯誤；

如圖1,^ANG=MHG

SZ.W.rJ"f.=SZ.W.VNCr=2-xNGxAB=2-xHGxAB,

SABCD=/BCXCD=—xABxAB,

S^GH:SgCD=GH-.AB,故⑥正確；

故答案為：①③④⑥.

17.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC,8D相交于點。，點E在ZX7邊上，且CE=2DE,

連接AE交83于點G,過點。作DQLAE,連接O尸并延長，交DC于點P,過點。作

OQLOP分別交AE、AD于點N、H,交加的延長線于點Q,現給出下列結論：①

ZAFO=45°；?DP~=NHOH③NQ=NOAD；@OG=DG.其中正確的結論有?

②④(填入正確的序號).

第38頁共44頁

Q

【解答】解：?四邊形ABCD是正方形，

:.AO=DO=CO=BO,ACLBD,

ZAOD=ZNOF=90o.

ZAON=ZDOF,

ZOAD+ZADO=900=ZOAFZDAFZADO,

DFLAE,

ZDAF+ZADF=90。=ZDAF+ZADO+ZODF,

NOAF=NODF,

/.AANO=ADFO(ASA),

:.ON=OF,

.?.NATO=45。，故①正確；

如圖，過點。作OK_LA￡1于K,

CE=2DE,

第39頁共44頁

AD=3DE,

.而“鉆=三=竺1

ADAF3

:.AF=3DF,

AANO=ADFO,

:.AN=DF,

.\NF=2DF,

ON=OF,ZNOF=90。,

.\OK=KN=KF=-FN,

2

:.DF=OK,

又AOGK=ZDGF,ZO