四邊形

專題講練1四邊形(一)一平行四邊形性質與判定

考點一平行四邊形的判定

【典例1】(2024武漢)如圖,在平行四邊形ABCD中，點E,F分別在邊BC,AD上,AF=CE.

(1)求證:△ABE^ACDF;

(2)連接EF,請添加一個與線段相關的條件，使四邊形ABEF是平行四邊形.(不需要說明理由)

考點二菱形的判定

變式.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E,F分別在BC,AD上,AC與EF相交于點O,且AO=CO.

⑴求證:△AOF^ACOE;

(2)連接AE,CF,請添加一個條件，使四邊形AECF為菱形.(不需要說明理由)

考點三矩形的判定

【典例2】如圖,E,F是平行四邊形ABCD的對角線AC上兩點,AF=CE.

(1)求證:4ADF^ACBE;

(2)連接BF,DE和BD,請添加一個條件：使得四邊形BEDF為矩形.

變式.如圖,AB〃DE,AB=DE,點C,F在AD上，且AC=FD,連接EC.BF.

(1)求證:4ABF^ADEC;F

(2)連接EF,BC,請添加一個條件，使四邊形BCEF是矩形.(不需要說明理由)

專題講練2四邊形（二）一四邊形與勾股定理＜45。角問題〉

考點一利用45。角構全等，結合勾股定理計算

【典例1】（2023.麗水）如圖,在梯形ABCD中,AD〃B%/C=獰。,△ABE為等腰直角三角形,AB=AE,點E在CD

上,AD=1,求CE的長.

C

變式.（2022?七一）如圖在RtAABC中,/ABC=9（T,/DAC=2/ACB,/DCF=45o,DF_LAC交AC于點E,BF=2,AC

=13,則AB=

考點二結合半角模型、勾股列方程計算

【典例2】（2024.外校）如圖，在四邊形ABCD中,NBAD=9（r,/BCD=45o,NADB=乙CDB=60。,4c=3Vx則△

ABD的周長=.

變式.如圖，在直角梯形ACME中，4ACM=LEMC=90。,4C=CM=6?B為CM的中點，Z.EAB=45。,EF

||CM交AB于點F,則EF的長為（）

A.4B.5C.—D.5.5

3

E

M

專題講練3四邊形（三）——趙爽弦圖（1）

考點一弦圖與乘法公式、勾股定理

【典例1】（2023揚州）我國漢代數學家趙爽證明勾股定理時創制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，

它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成（如圖所示）,直角三角形的直角邊長為a、b,斜邊長為c.

（1）若b-a=4,c=20,則每個直角三角形的面積為;

/

/勾a

⑵若大正方形的面積為10，小正方形的面積為2,求（a+b）2的值./寒、

變式1.如圖，有4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，若大正方形的面積是17，小正方

形的面積是5,直角三角形較長直角邊為b,較短直角邊為a,則ab的值是（）公、

變式2.大約公元222年我國漢代數學家趙爽為《周髀算經》一書作序時介紹了“勾股圓方圖”，變稱“趙爽弦圖”，

如圖，四個全等的直角三角形拼成大正方形ABCD,中空的部分是小正方形EFGH,連接EG,點O是EG的中點，

記正方形ABCD的面積為Si,正方形EFGH的面積為S2，若BG+CG=V5GO,,則高的值是_____._____

考點二拼成趙爽弦圖

【典例2］已知有5個邊長為1的正方形，排列如圖所示，請把它分割后拼成一個大正方形.

變式1.若有10個邊長為1的正方形，排列如圖所示，把它分割后拼成一個大正方形.

變式2.（2024.洪山）如圖，有5塊正方形連在一起的鋼板余料，要求分割成若干小塊后能拼接成與原圖形面積相

等的正方形，試給出兩種分割方法.

丑丑

專題講練4四邊形（四）一趙爽弦圖（2）

考點一結合弦圖作垂線構手拉手全等

【典例】如圖，四個全等的直角三角形拼成內外兩個正方形，若AE=3BE,直線EG交AD于點M,交BC于

點N,求翳的值.

變式1.（2024.西安）如圖，正方形ABCD由四個全等的直角三角形拼接而成，連接HF交DE于點M若黑=1

AE2

求翳的值

A

考點二弦圖與相似，三角函數

變式2.（2024研口模擬）如圖，在正方形ABCD中,E,F分別在AB,BC邊（含端點）上運動，滿足AE=2BF,,正方形E

FGH的邊HG所在直線交AD于I,交BC于J,記四邊形AEHI的面積為S3的面積為S2ZBEF為a,用含

a的三角函數的式子表示餐的值是.

專題講練5四邊形（五）——趙爽弦圖（3）

考點一趙爽弦圖與相似

【典例】（2024.江漢模擬）如圖，在RtAABC中,/ACB=90。,以其三邊為邊向外作正方形，連接CF,過點G作GM

，CF于點M過點B作BJLGM于點J,過點A作AKLBJ于點K,交CF于點L得正方形JKLM.若AB=<SKL,CH

=2或，則CE的長是____________

考點二越爽弦圖與方程組

變式1.（2024.江岸模擬）在認識了勾股定理的趙爽弦圖后，一位同學嘗試將5個全等的小正方形嵌入長方形AB

CD內部，其中點M,N,P,Q分別在長方形的邊AB,BC,CD和AD上，若AB=7,BC=8,則小正方形的邊長為—

變式2.（2024.湖北模擬）如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，

設直角三角形較長直角邊為a,較短直角邊長為b,若（（a-6）2=4,大正方形的面積為20,現用一個半徑為r的圓

形紙片將陰影部分完全覆蓋，貝IIr的最小值是（）

.3c5

A.-yJ5B.-c

22->盛有

專題講練6四邊形（六）一趙爽弦圖（4）

考點一三角函數+勾股定理+趙爽弦圖

【典例1】（2023?杭州）第二十四屆國際數學家大會會徽的設計基礎是1700多年前中國古代數學家趙爽的“弦圖”.

如圖，在由四個全等的直角三角形(△DAE,AABF,ABCG,ACDH)和中間一個小正方形EFGH拼成的大正方形

ABCD中,NABF>NBAF,連接BE.設/BAF=a,NBEF=[3,若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為l:n,tana=t

an?。,則n=()

A.5B.4C.3D.2

變式.(2023?樂山)我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直

角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.如果大正方形面積為25，小正方形面積為1,則sin9=()

1

A.|B.|C.4D.

5

考點二三角函數+全等+相似

【典例2]如圖，用4個全等的直角三角形拼成內外兩個正方形，直線EG交AB于點M,交CD于點N,BM=

3AM,則tanG的值為.

AD

BC

變式如圖，用8個全等的RtAABC(AOBC)分別拼成如圖1和圖2中的兩個正方形，中間的兩個小正方形的

面積分別記為Si和S2,且$2=3Si?則tanA的值為.

圖1圖2

專題講練7四邊形（七）——最值問題

考點一取中點求最值

【典例1】（2021.武漢四調）如圖，已知正方形ABCD邊長為1,P為正方形ABCD的邊BC上一動點,AE、AD

關于AP對稱，連接CE,點G為EC的中點，若P點從B點運動至C點，則G點運動的路徑長為.

變式如圖正方形ABCD,點E在直線BC上，連接AE,DE求差的最小值.

考點二拼接求和求最值

【典例2］如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E是邊AB上一點，過C作CFXDE交AD于F,連接CE,則

CE+CF的最小值為.

變式.（2021中考改）如圖,/ACB=90>AC=BC=l點D在AB上點E在AC上,BD=AE,求CD+BE最小值.

考點三“將軍飲馬”圖求最值

【典例3］如圖.菱形ABCD中,AD=4,NA=6（r,E為AD的中點,F為AB上一動點,將線段EF繞點E逆時針旋

轉60。得EG,連接BG,CG,則BG+CG最小值為（）

A.3V3B.2V7C.4V3D.2+2V3

AFB

變式.（2022.山東）如圖,正方形ABCD的邊長為3,點E,F分別是BC,CD邊上的動點，并且滿足BE=CF,則AE+AF

的最小值為（）

A.6B.3V2C.3V5D.3+3V2

專題講練8四邊形（八）一菱形〈角度計算）

考點一從正方形到菱形

【典例】（2023?武漢澗題提出:如圖1,E是菱形ABCD邊BC上一點,△AEF是等腰三角形,AE=EF,NAEF=NA

BC=a（a>90°）,AF交CD于點G,探究NGCF與a的數量關系.

問題探究：

⑴先將問題特殊化，如圖2,當a=90。時，直接寫出/GCF的大小；

⑵再探究一般情形，如圖1,求/GCF與a的數量關系.

考點二從菱形到等腰三角形

變式.（2022?福建）已知△ABC=△DEC,AB=AC,AB>BC.

⑴如圖1,CB平分乙4CO,求證：四邊形ABDC是菱形；

(2)如圖2,將⑴中的ACDE繞點C逆時針旋轉(旋轉角小于NB4C),BC,DE的延長線相交于點F,用等式表示.

N4CE與MFC之間的數量關系，并證明；

⑶如圖3,將(1)中的ACDE繞點C順時針旋轉(旋轉角小于乙4BC),若NBAD=乙BCD,求乙的度數.

四邊形

專題講練1四邊形(一)——平行四邊形性質與判定

【典例1】⑴證明：；四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB=CD,BC=AD,/B=ND,

又；AF=CE,；.DF=BE,

/.AABE^ACDF(SAS);

(2)添加與線段有關的條件:AB〃EF(或AF=BE).

變式.(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

AD〃BC,；.ZFAO=ZECO.

又VOA=OC,ZAOF=ZCOE,

△AOF^ACOE(ASA);

(2)EF±AC或AF=AE或AC平分NFAE等(答案不唯一).

【典例2】⑴證明：：在平行四邊形ABCD中,AD〃BC,AD=BC,；.ZDAF=ZBCE,

又AF=CE,△ADFgACBE(SAS).

(2)BD=EF

變式.(1)證明:：AB〃DE,；.ZA=ZD,

,/AC=DF,AC-CF=DF-CF,

即AF=DC,

AB=DE,

在^ABF與^DEC中，｛"=ZD,

AF=DC,

.,.△ABF^ADEC(SAS);

(2)添力口/FBC=90。,四邊形BCEF是矩形.

專題講練2四邊形(二)一四邊形與勾股定理＜45。角問題〉

【典例1］解作于N,M,延長ME交BC于點F,

AABN"EAM,BN=AM,AN=EM,設DM=a,

BN=a+1,a+1=a+EFnEF=1,.*.CE=V2.

變式.5

解作CG±BC交AD的延長線于G,作AM_LCG交CG于M,則CM=MG,易證△DCF絲△DCG(AAS),；.CG=C

F=2AB,設.AB=x,x2+(2%+2)2=13?/=5(負值舍),AB=5.

【典例2】6

解：過點C向△ABD三邊所在直線作垂線交直線AB,AD,BD垂足分別為點E,F,M易知CE=CM=CF,由全等

知BE=BM,DM=DF,

/.AABD周長=2AE=6.

變式.B

解:過點A作ANLAE交直線MC于點N,過點A作AGLEM交直線ME于點G,連接BE,

△ACN^△AGE,CN=EG,AE=AN,

.,.△AEB^AANB,

BE=BN=BC+EG,

設EG=x,BE=3+x,

(3+x)2=32+(6-x)2,

.?.x=2,；.EF=BE=5.

專題講練3四邊形(三)一趙爽弦圖(1)

【典例1】解：⑴由題意得(a2+b2=202b-a-4,--.^ab-96;

⑵由題意得

2ab=8,(a+b~)2=18.

變式I-B

解：a2+b2=17,(b—ci)2=5,ab=6.

變式2.7-

4

解：設OG=魚,CG=x,

???%+2+%=V5xy/2,

2%+2=V10,

BC2=/+(%+2)2

=%2+%2+4%+4

=2(x2+2%)+4=7,

,,——.

S24

【典例2】略變式1.略變式2.略

專題講練4四邊形(四)一趙爽弦圖(2)

【典例】解:過點C作CHLCG,交MN延長線于點H,連接BH,

.,.△CBH^ACDG,

；.BH_LCH,BH〃CG,

BN_BH_BE_1

CN-CG~CG-3’

變式1.解：延長DE交CB的延長線于點N,

△ADE^ABNE,

設AH=1,AE=2,

3_2

BN-1,

3

???BN=-

2，f

又?.?△DHMs/^NFM,

HM_2_4

"MF-3.5-7'

變式2.4cos2a—1

解:延長AD,EH交于點P,

:四邊形ABCD,EFGH是正方形，

.,.△AEP^ABFE,

ppAF

■：AE=2BF,：.-=-=2,

即EP=2EF,

/.EH=HP=EF=FG,

.?.△IPH義△JFG(ASA),

???cosa=4PAP=EPcosa,

設EF=a,EP=2a,

/.AP=2acosa,

VAAEP^AHIP,

.S“EP_(AP\2

"SAHIP_1初，

.S1+S2_(2acosa、2

"S2~\a7'

S-t+S2.7S-1.7y

???------=4cosa,???—=4cosa—1.

S2S2

專題講練5四邊形(五)——趙爽弦圖(3)

【典例】V10+V2

解:設CF交AB于點P,過C作CNLAB于點N,設正方形JKLM邊長為m,

AAFL^AFGM(AAS),Z.AL=FM,

設AL=FM=x^UFL=FM+ML=x+m,

在RtAAFL中，AL2+FL2=AF2,

x2+(x+m)2=(V5m)2,

解得x=m或x=-2m（舍去）,

；.AL=FM=m,FL=2m,

；.AP=BP,即P為AB中點

■.■^CB=^,.：CP=AP=BP=^,

'.,△CPN^AFPA,

CN=m,PN=-2m,

.■.AN=AP+PN=^m,

??.tan^BAC=—CNm_2_2

AN叵與i-V5+1-AC'

XC=V5+1,C￡=V10+V2.

故答案為：V10+V2.

變式1.V5

解：將每個小正方形按照如圖所示分成四個全等的直角三角形和一個正方形,

設每個直角三角形的較大的直角邊為x,較小的直角邊為y,

./3z+y=7,

VAB=7,BC=8,"\^+2y=&.

解得c：l

...小正方形的邊長為：V22+I2=Vs.

故答案為：V5

變式2.B

22

區r.a+b=20,.,c

解：｛r,?1a=4,b=2,

a—b=2,

；.D為AC中點，故圓心。在AC,AB垂直平分線交點，取AB的中點M作OMLAB交BD于點O,連接CO,

VAOBM^AABD,

.OB_BA

''BM~BD'

BM-BA2V5xV55

OB=----------=-------------=-

BD42

5

???T

2

專題講練6四邊形(六)一趙爽弦圖(4)

【典例1]C

解：設EF=1,BF=x,tana=,tanfi=x,-^——x2x2+x=l,n=(x+l)2+x2=2x2+2x+1=3.

-vJ-11v4-1

變式.A

解：設直角三角形短直角邊為X,長直角邊為x+l,x2+(x+1)2=52,%=3或x=-4(舍)，sine=

【典例2】1

解:過點A作AKLAE交直線MN于點K,

AK〃BG,AMAK^>△MBG,

AK_1

,?=1■

BG3

又AAED^ACGB之ABFA,

???AK=AE二BF,BG=AF,

?land=—

??BF=3.

變式.亨

解:設AC=l,BC=x,

22

則Sj=（1-X'）,S2=1+x,

1+%2=3（1-久）2,X=2盧或X=巴盧（舍），

tanA=

2

專題講練7四邊形（七）一最值問題

【典例1臣

4

解:連接AC,取AC中點O,連接OG廁0G==九點G運動路徑是以拱]半徑，圓心角為90。的弧長，路徑

長為-x2TTx-=

424

變式.解作DH_LDE交AB于H,取DH的中點O,連接AO,EO,易證△DCE之△DAH,，DE=DH=2OA=2OD；

ZODE=90°,.\OE=V2DE,VOA+OEAE,.---DE+—DE>AE,：.—>—空的最小值為—.

22AE2AE2

【典例2】V5

解:延長DA到點H,使AH=DA,連接EH易證△CDF0ZkDAE且△HAE,；.CF=DE=EH,則