2025年中考數學第二次模擬考試（江蘇無錫卷）

全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分,共30分.在每個小題給出的四個選項中只有一項符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.在實數百，g，0,-1中，最小的數是（）

A.-1B.0C.-D.V3

3

【答案】A

【分析】根據負數小于0小于正數，以及實數的比大小的方法，進行判斷即可.

【詳解】解：由題意知-1<0<：<有，

最小的數為-1,

故選：A.

【點睛】本題考查了實數比大小.解題的關鍵在于熟練掌握實數比大小的方法.

2.如圖是一個幾何體的三視圖（圖中尺寸單位：c%）,則這個幾何體的側面積為（）

A.487IC7W2B.2471C7M2C.12Tlem2D.9ncm?

【答案】B

【分析】先判斷這個幾何體為圓錐，同時得到圓錐的母線長為8,底面圓的直徑為6,然后利用扇形的面積

公式計算這個圓錐的側面積.

【詳解】解：由三視圖得這個幾何體為圓錐，圓錐的母線長為8,底面圓的直徑為6,

所以這個幾何體的側面積=y*兀x6><8=24兀（cm2）.

故選：B.

【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇

形的半徑等于圓錐的母線長.也考查了三視圖.

3.下列運算正確的是（）

-/\4

A.x3-x4=x1B.（X，）=無，C.%6x3=x2D.x2+x=x3

【答案】A

【分析】本題考查同底數暴的乘法、同底數塞的除法、暴的乘方、合并同類項，熟練掌握運算法則是解題

的關鍵.根據運算法則進行計算即可.

【詳解】解：故選項A正確；

（無3『=儲2,故選項B錯誤；

x6^x3=x3,故選項C錯誤；

/+X不是同類項，無法計算，故選項D錯誤;

故選A.

4.為了落實“雙減”政策，進一步豐富文體活動，學校準備購進一批籃球和足球，已知每個籃球的價格比每

個足球的價格多20元，用1500元購進籃球的數量比用800元購進足球的數量多5個，如果設每個足球的

價格為x元，那么可列方程為（）

1500800「1500800,8001500=

A.----------------=5B.----------------=5C.-----------------=5

x+20xx-20xxx+20

【答案】A

【分析】設每個足球的價格為x元，則籃球的價格為（x+20）元，根據“用1500元購進籃球的數量比用800元

購進足球的數量多5個”列方程即可.

【詳解】解：設每個足球的價格為x元，則籃球的價格為（x+20）元,

1500800「

由題意可得:-5,

%+20x

故選：A.

【點睛】本題考查分式方程的應用，正確理解題意是關鍵.

5.如圖是甲、乙兩名射擊運動員10次射擊成績的折線統計圖，記甲10次成績的方差為乙10次成績

的方差為求，根據折線圖判斷下列結論中正確的是（）

成績/環

D.無法判斷

【答案】A

【分析】利用折線統計圖判斷甲、乙成績的波動性的大小，從而可判斷誰的成績更穩定.

【詳解】解：由折線統計圖得，乙運動員的10次射擊成績的波動性較小，甲運動員的10次射擊成績的波

動性較大，所以乙的成績更穩定，

所以S甲2>s/.

故選：A.

【點睛】本題考查了折線統計圖：折線圖是用一個單位表示一定的數量，根據數量的多少描出各點，然后

把各點用線段依次連接起來.以折線的上升或下降來表示統計數量增減變化.折線圖不但可以表示出數量

的多少，而且能夠清楚地表示出數量的增減變化情況.也考查了方差的意義.

6.如圖，將一張直角三角形紙片8EC的斜邊放在矩形N8CD的8c邊上，恰好完全重合，BE、CE分別交

ND于點尸、G,BC=6,AF：FG：GD=3：2：1,則N8的長為（）

A.1B.V2C.73D.2

【答案】C

【分析】由四邊形/BCD是矩形，得至Ij/2=CD,AD=BC=6,乙4=zD=90。，根據余角的性質得到乙48尸

=3GC,推出△AEBsADCG,根據相似三角形的性質得到N*=NRDG=3,于是得到結論.

【詳解】解：?,?四邊形ABCD是矩形，

???AB=CD,AD=BC=6,zA=zD=90°,

???NE=90°,

.-.ZEFG+ZEGF=9O°,

.-.zAFB+zDGC=90°,

vzAFB+zABF=90°,

.-.ZABF=ZDGC,

.-.AAFB^ADCG,

AF_AB

,CDDG?

vAF：FG：GD=3：2：1,

???AF=3,DG=1,

??.AB2=AF?DG=3,

???AB=百.

故選C.

【點睛】本題主要考查的是相似三角形的判定和性質、矩形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是

解題的關鍵.

fx>m+3

7.關于％的不等式組,G4I的整數解僅有5個，則機的取值范圍是（）

[5x-2<4x+l

A.-6<m<-5B.-5<m<-4C.-6<m<-5D.-5<m<-4

【答案】C

【分析】本題考查了一元一次不等式組的整數解問題，熟練掌握解不等式組的方法是解題的關鍵.先解不

等式組，再根據僅有5個整數解，得出關于加的不等式，求解即可.

【詳解】解：5x—2<4x+l

解得：x<3,

[x>m+3

???關于x的不等式組?的整數解僅有5個，

[5x-2<4x+l

-3（加+3<—2,

解得：-6<m<-5,

故選：C.

8.如圖，在扇形CM2中，已知N/O5=90。，0A=42,過凝的中點C作C。1CM,CE.LOB,垂足分別

為。、E,則圖中陰影部分的面積為（）

H

aE

71]_

A.71-\C.7l~~D.-

222

【答案】B

【分析】連接OC,易證△CDO三△CEO,進一步可得出四邊形CDOE為正方形，再根據正方形的性質求

出邊長即可求得正方形的面積，根據扇形面積公式得出扇形AOB的面積，最后根據陰影部分的面積等于扇

形AOB的面積剪去正方形CDOE的面積就可得出答案.

【詳解】連接OC

??,點、C為凝的中點

ZAOC=ZBOC

在△CDO和△CEO中

ZAOC=ZBOC

ZCDO=ZCEO=90°

CO=CO

.△CDO=ACEO（AAS）

:.OD=OE,CD=CE

又-/ZCDO=/CEO=/DOE=90°

???四邊形CDOE為正方形

?.?OC=OA=j2

:.OD=OE=1

?..8正方形。。￡=1乂1=1

由扇形面積公式得S.._907x（二）

71

扇形406360~2

$陰影=S扇形/QB-S正方形CQOE=W_1

故選B.

B

rf

【點睛】本題考查了扇形面積的計算、正方形的判定及性質，熟練掌握扇形面積公式是解題的關鍵.

9.如圖，ON的直徑2。=6,。為半圓2c的中點，尸點從。出發，沿O-4-C的路徑移動，移動到C點

TT

停止，。點從8出發，沿。/下半圓的路徑移動，移動到C點停止，。的速度是P速度的'倍，PQ的長度

變化的函數圖像為（）

77

【分析】設點尸的運動速度為1,則點。的運動速度為運用特殊值，幾何排除法求解即可.

TT

【詳解】解：設點尸的運動速度為1,則點。的運動速度為

如圖，當X=1時，則/P=4D-1=2,陽的長為

連接40,作。于點￡,作交。4的延長線于點E,則四邊形/尸QE是矩形，

:.AE=QF,AF=QE.

D

1802

:.ZBAQ=30°,

13373

???AF=QE=~^Q=5，AE=QF=

37

：.PF=2+-=~,

22

-PQ==Ji?e4.36,故C,D不符合題意;

如圖，當％=4時，則4P=4—/。=1,50的長為2%,

連接4。，作。于點￡,作QFLM,交。Z的延長線于點R則四邊形/尸。片是矩形,

AE=QF,AF=QE.

D

PE

BC

/BAQ?兀x3_4x萬

180―'I,

??.ZBAQ=nO0,

ZFAQ=120°-90°=30°f

AF//EQ,

：.ZAQE=ZFAQ=30°f

133G

：,AE=-AQ=~,EQ=

“*一14

而A選項中，x=4時，y=2,且當3Vx<6時，圖象為一條線段，而當3Vx<6時，V隨x不是均勻變化,

故A不符合題意，B符合題意；

故選:B.

【點睛】本題考查了動點問題的函數圖象，弧長公式，解直角三角形，特殊值法的運用是解答本題的關鍵.

10.如圖，一次函數y=2x與反比例函數y=?(k>0)的圖象交于A,B兩點，點P在以C(-2,0)為圓

X

3

心，1為半徑的OC上，Q是AP的中點，己知OQ長的最大值為5，則k的值為()

【分析】如圖，連接BP,由反比例函數的對稱性質以及三角形中位線定理可得OQ=/BP,再根據OQ的

最大值從而可確定出BP長的最大值，由題意可知當BP過圓心C時，BP最長，過B作BDlx軸于D,繼

k

而根據正比例函數的性質以及勾股定理可求得點B坐標，再根據點B在反比例函數y=—(k>0)的圖象上,

利用待定系數法即可求出k的值.

【詳解】如圖，連接BP,

由對稱性得：OA=OB,

???Q是AP的中點，

.-.OQ=yBP,

3

???OQ長的最大值為1，

???BP長的最大值為=x2=3,

2

如圖，當BP過圓心C時，BP最長，過B作BDlx軸于D,

???CP=1,

.-.BC=2,

vB在直線y=2x上，

設B(t,2t),則CD=t-(-2)=t+2,BD=-2t,

在Rt^BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2,

.?.22=(t+2)2+(-2t)2,

4

t=0(舍)或t=-y,

心)，

55

k

???點B在反比例函數y=—(k>0)的圖象上，

x

,4,8、32

???k=——x(--)=-,

5525

故選C.

【點睛】本題考查的是代數與幾何綜合題，涉及了反比例函數圖象上點的坐標特征，中位線定理，圓的基

本性質等，綜合性較強，有一定的難度，正確添加輔助線，確定出BP過點C時OQ有最大值是解題的關鍵.

第n卷

二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分）

11.36的平方根是.

【答案】±6

【詳解】因為（±6『=36,

則36的平方根為±6,

故答案為±6

12.因式分解：x2y+2xy+y=.

【答案】y（x+l）2

【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可.

【詳解】解：x2y+2xy+y-y(x2+2x+V)-y(x+1)2,

故答案為：Mx+以.

【點睛】題目主要考查因式分解的方法，熟練掌握提公因式法及公式法是解題關鍵.

13.如圖，每一個小方格的邊長都相等，點/、B、C三點都在格點上，則tan/A4c的值為,

【分析】根據已知圖形去添加合適得輔助線，從而得出NCE%=90。，再求解即可.

【詳解】解：連接CH,由圖可知：

^C2=72+l2=50,^/f2=32+32=18,CH=42+42=32,

^&AC2=AH2+CH2,

NCHA=90°,

設小方格的邊長為a,貝!147=7(3a)2+(3a)2=36a,CH=7(4a)2+(4a)2=4及。,

4缶4

tanZBAC=—

AH372?-3

4

故答案為：—■

【點睛】本題考查了解直角三角形和勾股定理，構造輔助線使得NC/"=90。再結合解直角三角形相關知識

是解此題的關鍵.

14.如圖，48是OO的直徑，點C、。在OO上，若N/OC=108。，則NCD3的度數是

c

【分析】本題主要考查了同弧（等弧）所對的圓周角是圓心角的一半，能分析出/CD5和/2OC是同弧所

對的圓周角與圓心角是解題的關鍵.

先求出NCD5所對的圓心角度數，再根據同弧（等弧）所對的圓周角是圓心角的一半即可得出結果.

【詳解】解：：N/OC=108。，

ZBOC=180。-乙4OC=72°,

ZCDB=1ZBOC=36°.

2

故答案為：36.

15.如圖，8。是等邊△48C的邊/C上的高，以點。為圓心，08長為半徑作弧交8c的延長于點E,則

ZDEC=.

【答案】30。/30度

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵.根據等

邊三角形得到ZABC=60°，根據三線合一得到NDBC的度數即可得到答案.

【詳解】解：在等邊△4BC中，445c=60。，

3。是等邊△4BC的邊/C上的高，

:.BD平分NABC,

ZDBC=-ZABC=30°,

2

■：BD=ED,

ZDEC=NCBD=30°,

故答案為：30°.

16.如圖，點A是反比例函數y=：(x>0)的圖象上一點，過點A作NC_Lx軸，垂足為點C,延長4c至點

B,使5C=2ZC,點。是y軸上任意一點，連接40,BD,若△48。的面積是9,貝此的值是.

【答案】6

【分析】本題主要考查了兩點之間距離公式、三角形的面積公式、解一元一次方程，理解反比例函數圖象

上的點都滿足反比例函數的解析式是解題的關鍵.

設點A的坐標為'即可表示出OC和4C的長，再由8c=2/C可得出的長，最后由三角形的面

積公式列方程即可得出結果.

【詳解】解：設點A的坐標為則。C=加，AC=-,

\mJm

???BC=2AC,

SMBD=—AB,OC,

13k八

即nn一x—xm=9,

2m

解得k=6.

故答案為：6.

17.如圖，已知點/(3,0),點5在歹軸正半軸上，將線段繞點4順時針旋轉120。到線段4C,若點。的

坐標為(7,〃)，則力=.

【答案】冬8

3

【分析】在x軸上取點。和點使得4403=//EC=120。，過點。作Wlx于點尸，在RtZMSE廠中,

解直角三角形可得跖=@〃，CE=^h,再證明AC4￡之A/8D（AAS）,則/。=以=述〃，

333

AE=BD,求得。。=3-拽〃，在RMB。。中，^BD=6-—h,AE=BD=6-—h,得至

333

3+6-迪力+且/?=7,解方程即可求得答案.

33

【詳解】解：在x軸上取點。和點E,使得/4D8=//EC=120。，過點C作CFlx于點R

在RtACEF中,NCEF=1800-ZAEC=60°,CF=h,

.…CF'ECF2^3,

,,EF----------——h,CE-----------------h,

tan6003sin6003

???ZBAC=120°,

/./BAD+/CAE=ABAD+ZABD=120°,

???/CAE=/ABD,

???AB=CA,

.?.△C4陛△ZAD(AAS),

AD=CE=^-h,AE=BD,

3

???點43,0),

OA=3,

OD^OA-AD=3-拽/z,

3

在RM58中，ZBDO=180°-ZADB=60°,

、

ODOD=23-^26^/z=6-逑〃

：.BD=

cosABDOcos60033

?*-AE=BD=6-------h,

3

,/OA+AE+EF=OF,

■-3+6-^-h+—h=7,

33

解得〃=矩，

3

故答案為：迪

3

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質、解直角三角形、旋轉的性質等知識，構造三角形全等是解

題的關鍵.

18.如圖，正三角形Z3C的邊長為2,。是邊2c的中點，連接4。，點￡在線段AD上，連接8E,以點8

為旋轉中心順時針旋轉60。得叱，連接E尸.點E從/到。，點廠經過的路徑長為.

【答案】V3

【分析】由正三角形MC的邊長為2,。是邊2C的中點，可得4B=BC,ZABC=60°,BD=；BC=1,

ZADB=90°,由勾股定理得，AD=^AB2-BD2=73.如圖，連接。尸，由旋轉的性質可知，BE=BF,

NEBF=60。,證明尸(SAS),則CF=/￡,可知點E從/到。，點尸經過的路徑長為4D的長,

然后作答即可.

【詳解】解：???正三角形"3C的邊長為2,。是邊8c的中點，

AB=BC,AABC=60°,BD=-BC=1,ZADB=90°,

2

由勾股定理得，AD=yjAB2-BD2=V3>

如圖，連接CF,

A

由旋轉的性質可知，BE=BF,NEB尸=60。，

NABC-NEBC=ZEBF-NEBC,即AABE=ZCBF,

AB=BC,ZABE=NCBF,BE=BF,

；"BE知CBF（SAS）,

CF=AE,

.??點E從/到。，點尸經過的路徑長為4D的長，即行，

故答案為：V3.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識.確定

點F的運動軌跡是解題的關鍵.

三、解答題（本大題共10個小題，共96分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

19.（本題8分）計算

(2)2cos450+sin30°-cos600+tan45°.

【答案】(1)上Y+3

⑵友+1

【分析】本題主要考查了分式的混合運算、含特殊角的三角函數的混合運算等知識點，靈活運用相關運算

法則成為解題的關鍵.

（1）根據分式的混合運算法則計算即可；

（2）先根據特殊角的三角函數值化簡，然后再進行計算即可.

【詳解】（1）解：

\XJX

_(x+3)(x-3)x

-9X

x2x-3

_x+3

x

(2)解：2cos450+sin30°-cos600+tan45°

oV211,

222

=V2+---+1

22

=V2+1-

-4(x+3)>4

20.(本題8分)解不等式組x-l<￡,并在數軸上標出該不等式組的解集.

,"V"6

【答案】-2<x<6:見解析

【分析】本題考查了解不等式組，先分別求出各不等式的解，即可得；掌握解不等式組的方法是解題的關

鍵.

‘4(%+3)>4①

【詳解】解：②

解不等式①，得x>-2,

解不等式②，得xW6,

.??此不等式組的解集為：-2<x<6,

解集在數軸上的表式：ijlilllllllw

-3-2-101234567"

21.(本題10分)如圖，在口48CD中，AELBD,CFYBD,17、G分別為5c的中點，連接

EH,EG、FH、FG,求證：四邊形EGFH為平行四邊形.

上/yD

nGc

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識點，靈活運用全等三

角形的判定與性質成為解題的關鍵.

由平行四邊形的性質可得AD=BC.AB=CD,AD//BC,AB//CD,再結合已知條件運用直角三角形斜邊上

的一半可得=HD=BG.再證明9(AAS)可得5石尸，進而證明

△GBEQAHD”山可得〃F=GF,最后根據兩組對邊的四邊形是平行四邊形即可證明結論.

【詳解】證明：?.口4BCD,

??.AD=BC,AB=CD,AD//BC.AB//CD,

-AELBD,CFLBD,H、G分別為ZD、BC的中點，

HD=HE=3AD,BG=HG=3BC,即HE=FG,HD=BG,

vAE1BD,CF1BD,

??.ZAED=ZCFG,

vAB//CD,

；"ABE=/CDF,

/\ABE^^CDF(AAS),

BE=DF,

VAD//BC,

/.ZGBE=/HDF,

HD=BG,

AGBE知HDF區A0,

：.HF=GF,

■:HE=FG,

???四邊形EGFH為平行四邊形.

22.(本題10分)某市今年初中物理、化學實驗技能學業水平考查，采用學生抽簽方式決定各自的考查內

容.規定：每位考生必須在4個物理實驗考查內容(用4B、C、。表示)和4個化學實驗考查內容(用

￡、尸、G、”表示)中各抽取一個進行實驗技能考查.小剛在看不到簽的情況下，從中各隨機抽取一個.

(1)小剛抽到物理實驗/的概率是一

(2)求小剛抽到物理實驗3和化學實驗廠的概率.(請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程)

【答案】⑴)

【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果求出"，再從中選出符

合事件/或3的結果數目m,然后根據概率公式計算事件/或事件3的概率；

（1）直接利用概率公式計算；

（2）畫樹狀圖展示所有16種等可能的結果，再找出抽到8和尸的結果數，然后根據概率公式計算；

【詳解】（1）小剛抽到物理實驗/的概率是:，

故答案為：

（2）畫樹狀圖為：

EFGHEFGHEFGHEFGH

共有16種等可能的結果，其中抽到3和尸的結果數為1,

所以小剛抽到物理實驗8和化學實驗尸的概率=」.

23.（本題10分）為推進節能環保工作的開展，某市相關管理部門要為市區的一個主干道更換一批智能

太陽能充電路燈.經調研，市場上有甲型、乙型兩種符合要求的路燈組件在售，已知甲型路燈組件比乙型

路燈組件的單價少0.2萬元，用12萬元購買甲型路燈組件與用16萬元購買乙型路燈組件的個數相等.

（1）求甲型、乙型路燈組件的單價各是多少？

（2）該市決定購買甲型、乙型路燈組件共300個，且花費不超過200萬元，則至少購買甲型路燈組件多少

個？

【答案】（1）甲0.6萬元/個，乙0.8萬元/個；

（2）200個

【分析】（1）設甲型路燈組件的單價是x萬元，則乙型路燈組件的單價是（x+0.2）萬元，

根據用12萬元購買甲型路燈組件與用16萬元購買乙型路燈組件的個數相等，列出關于x的分式方程，解

之經檢驗后可得出x的值，進而即可得出答案；

（2）設購買y個甲型路燈組件，則購買（300-力個乙型路燈組件，根據花費不超過200萬元，列出關于y

的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結論.

【詳解】（1）解：設甲型路燈組件的單價是X萬元，則乙型路燈組件的單價是（X+0.2）萬元,

根據題意得：上=—%，

xx+0.2

解得：x=0.6,

經檢驗，X=0.6是所列方程的解，且符合題意，

."+0.2=0.6+0.2=0.8（萬元），

答：甲型路燈組件的單價是0.6萬元，則乙型路燈組件的單價是0.8萬元；

（2）設購買y個甲型路燈組件，則購買（300-力個乙型路燈組件，

根據題意得：0.6y+0.8（300-y）V200,

解得：了2200,

，y的最小值為200,

答：至少購買甲型路燈組件200個.

【點睛】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正

確列出分式方程；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式.

24.（本題10分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數了=履+6與反比例函數y=的圖象交/（-1,加）,

X

3（”,-2）兩點，一次函數了=h+6的圖象與y軸交于點C.

（1）求一次函數解析式；

（2）根據函數的圖象，直接寫出不等式依+6W-9的解集；

（3）點尸是x軸上一點，A8C『的面積等于“OB面積的2倍，求點尸坐標.

［答案］⑴N=_2x+4

⑵-1WxWO或x23

⑶尸(16,0)或㈠6,0)

【分析】本題考查了待定系數法求函數的解析式，根據函數的解析式求點的坐標，根據三角形的面積求點

的坐標，注意數形結合思想的應用.

(1)利用待定系數法求出A,8的坐標即可解決問題.

(2)觀察圖象寫出一次函數的圖象不在反比例函數的圖象下方的自變量的取值范圍即可解決問題.

(3)根據S^OB=S^AOC+5盤0c,求出△/OB的面積，設P{m,0),構建方程即可解決問題.

【詳解】(1)解：；反比例函數＞的圖象經過點/(-1，加)，B(n,-2),

X

-lxw=-6,—2n=—6,

解得m=6,〃=3,

5(3,—2),

-k+b=6

把A、8的坐標代入歹=履+6得

3左+b=—2'

k=-2

解得

b=4

???一次函數的解析式為＞=-2%+4.

(2)解：觀察圖象，不等式履+6W-9的解集為：TWxWO或x23.

X

(3)解：連接CM,OB,由題意。(0,4),

S&AOB=S^AOC+S^BOC=^-x4xl+—x4x3=8,

設尸(私0),

由題意/刈。=8x2,

解得機=±16,

”(16,0)或(-16,0).

25.(本題10分)【問題情境】如圖1,以點/為頂點，以射線N8為一邊，作45。角.作法：在射線N8上

任取一點C,過點C作CD，/5,以點C為圓心，C4為半徑作弧，交CO于點￡,作射線4E,則

ZCAE=45°,尺規作圖可通過構造特殊圖形，利用其邊、角的性質完成作圖.

【探究思考】如圖2,以點/為頂點，以射線42為一邊，請利用無刻度的直尺和圓規作30。角（保留作圖

痕跡，不寫作法）

ApL

【遷移應用】如圖3,請用無刻度的直尺和圓規，在線段上作點尸，使—=退（保留作圖痕跡，不寫

【分析】本題考查尺規作圖一復雜作圖；

（1）在射線上取點￡,以工E為直徑作圓O,然后以E為圓心，EO長為半徑作弧交圓。于點尸，作射線

AF,則/胡尸即為所作；

（2）過點/作線段48的垂線并在43的上方截取=/尸，過點2作線段48的垂線并在48的下方截

取BN=EF,連接MN交AB于點、P,則點尸即為所作.

26.（本題10分）1是一種兒童可折疊滑板車，該滑板車完全展開后示意圖如圖2所示，由車架N2-CE-跖

和兩個大小相同的車輪組成車輪半徑為8cm,已知=58cm,CD=30cm,DE=12cm,EF=68cm,

4

cosZACD=-,當/,E,尸在同一水平高度上時，NCE尸=135。.

(1)求NC的長；

(2)為方便存放，將車架前部分繞著點。旋轉至48〃￡尸，按如圖3所示方式放入收納箱，試問該滑板車折

疊后能否放進長。=100cm的收納箱(收納箱的寬度和高度足夠大)，請說明理由(參考數據：V2?1.4).

【答案】(l)30cm

(2)該滑板車折疊后能放進長a=100cm的收納箱，理由見解析

【分析】(1)根據題意作輔助線構造直角三角形，再根據cos//CD=(,設C8=4x,NC=5x,再由勾股

定理得/"=3x,可得A4DE是等腰直角三角形，再利用線段之間的關系即可求解；

(2)過點/作交其延長線于點/，過點。作斯交其延長線于點N,并延長ND,交AB

于點P,先證明四邊形/必叱是矩形，再由解直角三角形求PC、NE的長度，再根據題意求出折疊后的總

長度進行比較即可.

過點工作

4CH

■：cosZACD==,可設C〃=4x,/C=5x,

5AC

由勾股定理得4H—3x,

???/CEb=135。，

.?.Z^D=180°-135°=45°,

???根/用是等腰直角三角形，

:.AH=HE,

vCD=30,DE=\2,

:.CE=CD+DE=42,

:.HE=CE-CH=42-4x=3x,

解得x=6,

AC=30cm；

過點Z作/ML石尸交其延長線于點M,過點。作。N,既交其延長線于點N,并延長初，交48于點

P,

?/AB〃EF,

ZM=ZPNM=ZNPA=90°

???四邊形4MNP是矩形，

AP=MN,

4

?「CD=30,DE=12,cos^ACD=-,/DEN=45。,4c=30,

PC=CD?cosZACD=24,EN=EDcosADEN=672,

.?.河=/尸=/。一。尸=30-24=6,

:.ME=MN+NE=6+6垃，

EF=68,

二滑板車折疊后總長度為8x2+6+672+68-98.4<100，

所以，該滑板車折疊后能放進長。=100cm的收納箱.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用及翻折變換，熟練掌握知識點并能夠準確理解題意是解題的關鍵.

27.(本題10分)如圖，在平面直角坐標系xQv中，已知直線y=-gx-2與x軸交于點/,與y軸交于點

B,過/、8兩點的拋物線>="2+樂+。與X軸交于另一點c(l,o).

⑴求拋物線的表達式：

3

(2)點。是x軸上一點，以。為圓心，5為半徑的圓與直線相切，求圓心尸的坐標；

(3)點M為直線N8下方拋物線上一點，點N為y軸上一點，當△肱43的面積最大時，求MN+；ON的最小

值.

1Q

【答案】⑴

⑵小4一孚,o1,小+孚o]

(3)|+^3

【分析】(1)由待定系數法即可求解;

23

(2)由sinNO48=1_里_2,得到N尸即可求解;

^5~^4P~~AP2

(3)過點“作軸交48于點〃，作直線0G使/80G=30。，^OGIMG,作￡G，x軸交x軸于

131

點、E,過點“作〃尸，EG交于點尸，設點+,x-2),則點H(x,-,x-2),然后表示出△M18的

面積=-(x+2『+4,然后求出當x=-2時，△肱43的面積最大，得到M(-2,-3),然后推出

MN+-ON=MN+GN>MG

2

當點N,G三點共線時，MN+goN有最小值，即MG的長度，設。￡=人表示出G,一"卜

=_2)=f+2,GF=-V3f-(-3)=3-V3?,然后禾［|用tanNGMF=空=三且求出公正工，

MFt+24

GF=3-&=3+2/,MG=2GF=-+43,即可求解.

42

【詳解】(1)直線＞=-gx-2與x軸交于點A,與了軸交于點B,

當x=0時，y=-2,

.?.8(0,-2),

當y=o時，BP0=-1x-2

解得x--4

,-.A(-4,0)

?過/、B兩點的拋物線了=江+8+。與x軸交于另一點C(l,0)

???設>=+4)(%-1)=a(x2+3x-4),

將8(0,-2)代入得，-4。=-2,

解得：。=；，

1Q

則拋物線的表達式為：y=jx2+jx-2；

(2)?.?力(—4,0),5(0,-2)

/八，nOB2

tanNOAB=---=一

OA42

設圓P和直線48切于點N,

則點P的坐標為：一4一6一,0或2-4+6一,0

(3)如圖所示，過點加作軸交4B于點〃，作直線OG使/8OG=30。，作。GLMG,作￡G，x

軸交X軸于點E,過點加r作兒爐LEG交于點尸,

則AMAB的面積=—xM/xO/

2

則當x=-2時，△M4B的面積最大，此時，點河(-2,-3)；

???Z8OG=30。，GNLy

—=sinZNOG=sin30°=-

ON2

：.GN=-ON

2

MN+-ON=MN+GN>MG

2

???當點MN,G三點共線時，MN+[ON有最小值，即MG的長度

2

???/BOG=30°,EG//ON

NOGE=NBOG=30。

,/EG_Lx

??.OG=2OE

?,?設OE=t,則OG=2t,

??EG=yIOG2-OE2=同

：.G,,-

———

MF=t—(2)=t+2fGF=—yj3t—(3)=3y/^t

-MFLEG

ZGMF+ZMGF=90°

VOGIMG

???/OGE+/MGF=90。

；"GMF=/OGE=30。

???tanZGMF=—=

MFt+2

.+QAO3-^3/nnV33-6t

??tan30°=---------，即——=--------

，+23t+2

解得公正工

4

??.GF=3—8=3+2右

4

：.MG=2GF=-+y/3.

2

；.MN+g0N的最小值