二次函數與實際問題…利潤問題

專題講練1二次函數的應用(一)—利潤問題(1)

【典例】某商場購進一批商品，商品的進價為每件40元，售價為每件60元時，每天可賣出100件；如果每件

商品的價格每上漲1元，那么每天少賣2件，設每件商品漲價x元，每天獲利y元.

⑴漲價后，每件盈利元，每天可銷售___________件；

(2)每件商品的售價定為多少元時，每天獲利2250元？

(3)當售價定為多少元時，每天獲利最大?并求出最大利潤.

考點二結合圖象解一元二次不等式

探究1：若⑶中添加條件“若為了吸引客戶做促銷活動，規定售價最高不能超過70元"那么當售價定為多少元

時，每天獲利最大？

探究2：要使每天的利潤不低于2400元，求售價的取值范圍.

考點二結合對稱軸分類討論

探究3：若設商品的售價為x元，每天獲利y元.若售價不超過a元，求y的最大值.

考點三結合對稱軸利用增減性，結合區間最值求參數范圍

探究4：由于勞動成本提高，該商品的進價提高了m元/件，且物價部門規定該商品售價不得超過65元/件，若

每天獲得的最大利潤是1800元，求m的值.

探究5：若每天銷量不低于20a,最大利潤為2400元，求a的值.

專題講練2二次函數的應用(二)一利潤問題(2)〈單月利潤與總利潤＞

考點一理解單月利潤與總利潤

【典例】某品牌商品進價為20元/kg,設第x天的銷售單價y元/kg對應的銷量為mkg,市場調查反映y與x

滿足一次函數關系，且當x=30時,y=29;當x=40時,y=24.其中m=2x+80.第x天的銷售價格上漲a元((KaWlO)發現第3

天到第13天的利潤最大為2704元，求a的值.

變式1.某公司向市場投入一款電子產品，前期研發投入為10萬元，總利潤y(萬元)與月份x之間的函數關系式

為y=-/+20x-10(總利潤=月銷售累積利潤-前期投入).

⑴投入市場后多長時間內總利潤y是隨月份x增加而增長的？

(2)求最快要幾個月總利潤能達到81萬？

(3)當月銷售利潤不超過3萬時應考慮推出替代產品，問該公司何時推出替代產品最好？

考點二理解“第”與“最”在函數中的實際意義

變式2.水果店以一定的價格購進某種水果若干千克，通過銷售統計發現：商品從開始銷售至銷售的第x天的總

銷量y(千克)與x的關系為二次函數，銷售情況記錄如下表:

X123

y3976111

⑴求y與x的函數關系式；

(2)這批水果多少天才能銷售完；

(3)水果店為了充實庫存,在銷售第6天后決定每天又購進20千克該品種水果，試問再過多少天庫存量為216

千克？

專題講練3二次函數的應用(三)一利潤問題(3)〈非頂點處求最值〉

考點一非頂點處求最值注意增減性

【典例】(2024.煙臺)每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”.康寧公

司新研發了一批便攜式輪椅計劃在該月銷售.根據市場調查，每輛輪椅盈利200元時，每天可售出60輛；單價每降

低10元，每天可多售出4輛.公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元.設每輛輪椅

降價x元，每天的銷售利潤為y元.

(1)求y與x的函數關系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大?最大利潤為多少元？

(2)全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅?

考點二非頂點處求最值注意對稱性

變式.（2024?濱州）春節期間，全國各影院上映多部影片，某影院每天運營成本為2000元，該影院每天售出的電

影票數量y（單位：張）與售價x（單位：元/張）之間滿足一次函數關系（30SXW80,且x是整數），部分數據如下表所示：

電影票售價x（元/張）4050

售出的電影票數量y（張）164124

⑴請求出y與x之間的函數關系式；

（2）設該影院每天的利潤（利潤=票房收入-運營成本）為①（單位：元），求①與x之間的函數關系式；

⑶該影院將電影票售價x定為多少時，每天獲利最大?最大利潤是多少？

專題講練4二次函數的應用(四)一利潤問題(4)(結合圖象解不等式〉

考點?分段函數注意將最值進行比較求最值

【典例】武漢市某公司積極響應政府“創新發展”的號召，研發了一種新產品,已知研發、生產這種產品的成本為

30元/件，且年銷售量y(萬元)關于售價x(元/件)的函數解析式為

y={140—2x(40<x<60)80—x(60<x<70).

(1)若公司銷售該產品獲得的年利潤為V(D(萬元)，請直接寫出年利潤W(萬元)關于售價x(元/件)的函數解析式；

⑵當該產品的售價x(元/件)定為多少時，公司銷售該產品獲得的年利潤最大?最大年利潤是多少？

(3)若公司銷售該產品的年利潤不少于750萬元，試確定該產品的售價x(元/件)的取值范圍.

考點二注意對稱軸與增減性

變式.某網店銷售一種兒童玩具，每件進價20元，規定單件銷售利潤不低于10元，且不高于18元.試銷售期間

發現，當銷售單價定為35元時，每天可售出250件，銷售單價每上漲1元，每天銷售量減少10件，該網店決定提

價銷售.設每天銷售量為y件，銷售單價為x元.

⑴請直接寫出y與x之間的函數關系式和自變量x的取值范圍；

(2)當銷售單價是多少元時，網店每天獲利不少于3840元？

(3)網店決定每銷售1件玩具，就捐贈a元(0<aW6)給希望工程，每天扣除捐贈后可獲得最大利潤為3300元，求

a的值.

專題講練5二次函數的應用（五）——利潤問題（5）〈區間最值）

考點一結合對稱軸對自變量區間討論求最值

【典例】（2021.武漢）在“鄉村振興”行動中，某村辦企業以A,B兩種農作物為原料開發了一種有機產品，A原

料的單價是B原料單價的1.5倍，若用900元收購A原料會比用900元收購B原料少100kg.生產該產品每盒需要

A原料2kg和B原料4kg,每盒還需其他成本9元.市場調查發現：該產品每盒的售價是60元時，每天可以銷售50

0盒；每漲價1元，每天少銷售10盒.

⑴求每盒產品的成本（成本=原料費十其他成本）；

（2）設每盒產品的售價是x元（x是整數），每天的利潤是3元，求3關于x的函數解析式（不需要寫出自變量的取

值范圍）；

（3）若每盒產品的售價不超過a元（a是大于60的常數，且是整數）,直接寫出每天的最大利潤.

考點二注意參數范圍與對稱軸大小

變式.某工廠生產一種合金薄板（其厚度忽略不計）,這些薄板的形狀均為邊長為xcm的正方形（x>10）,每張薄

板的成本價與正方形的面積成正比例，每張薄板的出廠價y（單位：元）由基礎價和浮動價兩部分組成，其中基礎價

與薄板的大小無關，是固定不變的，浮動價與薄板的邊長成正比例.在銷售過程中得到了表格中的數據.

薄板的邊長x（cm）2030

出廠價y（元/張）5070

⑴求一張薄板的出廠價y與邊長x之間的函數關系式；

⑵已知出廠一張邊長為40cm的薄板，獲得的利潤為26元（利潤=出廠價-成本價）.

①求一張薄板的利潤與邊長之間滿足的函數關系式；

②若每張薄板的邊長不超過acm（a是不大于50的常數）,求每張薄板的最大利潤.

專題講練6二次函數的應用（六）一利潤問題（6）〈和差函數〉

考點一注意兩個函數x的含義不同轉換變量

【典例】國家推行“節能減排，低碳經濟”政策后，低排量的汽車越來越暢銷，某汽車經銷商購進A,B兩種型

號的低排量汽車，其中A型汽車的進貨單價比B型汽車的進貨單價多2萬元；花50萬元購進A型汽車的數量與

花40萬元購進B型汽車的數量相同.

（1）求A,B兩種型號汽車的進貨單價；

⑵銷售過程中發現：A型汽車的每周銷售量yA（臺）與售價xA（萬元/臺）滿足函數關系為=-之+18;B型汽車

的每周銷售量yB（臺）與售價xB（萬元/臺）滿足函數關系yB=-xB+14.若A型汽車的售價比B型汽車的售價高1萬元/

臺，設每周銷售這兩種車的總利潤為W萬元.

①當A型汽車的利潤不低于B型汽車的利潤時，求B型汽車的最低售價？

②求當B型號的汽車售價為多少時，每周銷售這兩種汽車的總利潤最大?最大利潤是多少萬元？

考點二注意前面鋪墊作用

變式.某公司以6萬元/噸的價格收購20噸某種農產品后，分成A,B兩類(A類直接銷售，B類深加工后再銷

售),并全部售出.

A類農產品的銷售價格y(單位：萬元/噸)與銷售數量x(單位：噸)之間的函數關系是y=-x+16.

B類農產品深加工總費用s(單位：萬元)與加工數量t(單位：噸)之間的函數關系是s=10+t,銷售價格為10萬元/

噸.

(1)設其中A類農產品有x噸，用含x的代數式表示下列各量.

①B類農產品有噸；

②A類農產品所獲得總利潤為萬元；

③B類農產品所獲得總利潤為萬元.

(2)若B類農產品的總利潤比A類農產品的總利潤多10萬元，則A類農產品有多少噸？

(3)直接寫出兩類農產品利潤和的最大值.

二次函數與實際問題

第一節利潤問題

專題講練1二次函數的應用(一)—利潤問題(1)

【典例】解:⑴(20+x)(100-2x)件;

(2)y=(20+x)(l00-2x)=-2(x-l5)2+2450,

-2(%-15￥+2450=2250,久1=5,x2=25,故售價定為65元或85元；

(3)當x=15時，ymax=2450.

???當售價定為75元時，最大利潤為2450元.

探究1

解：y=—2(%-15)2+2450,,又60+xW70,；.xW10,.,.當x=10時，ymax=2400,此時售價定為70元.

探究2

2

解：當y=2400時，-2(x-15)+2450=2400,與=10,%2=20,...售價的取值范圍為大于等于70元小于等于

80元.

探究3

解：由題知y=~2x2+300%-8800,

對稱軸%=^=75,當a>75時，ymax=2450;

2

當60<a<75時，ymax=-2a+300a-8800.

探究4

解：y=(20+x—m)(100—2x')=—2x2+(2m+60)x+(2000-100m),對稱軸x=~+15>5,又x<5,.".y隨x

增大而增大，

故x=5時，ymax=l800,(25-m)(100-10)=1800,m=5.

探究5

2

B：100-2x>20a)X<50-10a,X.y=—2(久-15)+2450,.?.對稱軸x=15,

①當50-10a>15時，最大值為2450,不符合題意，舍去；

②當50-10a<15時，即x=50-10a,y最大值=2400,角解得a=3或4,\,a>3.5,.'.a=4.

專題講練2二次函數的應用(二)——利潤問題⑵〈單月利潤與總利潤>

【典例】解：由題易得y與X的函數解析式為y=-jx+44,設利潤為W元，則

IV=(-|x+44+a-20)(2x+80)=-x2+(8+2a)x+80a+1920,.?.對稱軸x=a+4,，/0<a<10,/.4<a+4<14,@^

a+4<13即a<9時,x=a+4,

2

Wmax=-(a+4)+(8+2a)(a+4)+8a+1920=2704,a=8(負值已舍去);②當a+4>13即9<a<10時％=13

,W=2704,a=需(舍去);綜上,a=8.

maxlUo

變式1.解:(⑴y=-x2+2Ox-10=-(x-10)2+90,a=-l<0，所以前10個月總利潤y是隨月份x增加而增

長的；

⑵當y=81時，-x2+20x-10=81,解得％=7加=13,所以最快要7個月；

(3)根據題意得((-/+20x_io)_[_(x-l)2+20(x-l)-10長3,解得:xN9,所以第9個月推出替代產品最好.

變式2.解：⑴設y與x的函數關系式為y=ax2+bx+c,與x的函數關系式為y=-x2+40x；

’39=a+6+ca=-1

22

(2)由⑴得<76=4a+26+c,.??<Q4o,/.yy=~x+40%=-(x-20)+400,當x=20時,y最大=400,，20天才能銷

lll=9a+36+clc=0

售完；

?

(3)400-(一％2+40%)+20(%-6)=216,.??%!=16,x2=4(舍),16-6=10,??再過10天庫存量為216千克.

專題講練3二次函數的應用(三)一利潤問題(3)〈非頂點處求最值,

【典例】解：⑴yn(200-幻(60+4X.)

=-0.4/+2Ox+12000

=一0.4(久2-50%+625)+12250

=—0.40—25)2+12250,

V200-x>180,.,.x<20,

:.x=20,y最大值=12240;

(2)12160=-0.4(%-25)2+12250,

久1=40(舍)送2=10,

60+X4=64(輛).

這天售出了64輛輪椅.

變式解:⑴設y與x函數關系式為y=kx+b,

AOk+b=164,.k=-4,

[50fc+b=124:"=324,

y=-4x+324(30<x<80,Hx是整數)；

(2)w=xy-2000=-4x2+324%—2000;

(3)w=-4(%——+4561,

???x為整數,??.x=40或41,

wmax=4560.

專題講練4二次函數的應用(四)

利潤問題（4）（結合圖象解不等式,

-2x2+200%-4200(40<%<60)

【典例】解：（l）w={

-%2+110%-240(60<x<70)

(2)?40<x<60時，w=-2x2+200x-4200=

—2(%—50)2,|_8oo,x=50時，wmax=800;

②60WXW70時，w=-x2+UOx-2400=

—(x-55尸,|_525,x=60時，wmax=600;

當該產品的售價定為50元/件時，銷售該產品獲得的年利潤最大，最大利潤為800萬元.

2

(3)①當40<x<60時，令6=750,則-2x+200x-4200=750,解得.5=45,x2=55,.?.當45<x<55時,wN750;

②當60<x<70時,w最大值600,不可能取750,綜上所述：要使公司銷售該產品的年利潤不少于750萬元，則售

價的取值范圍是45<x<55.

變式.解:⑴y=600-10x(30<x<38);

(2)(600-10x)(x-20)>384036<x<44,V30<x<38,36<x<38,

當銷售單價滿足36<x<38時,網店每天獲利不少于3840元；

(3)設利潤為W元，貝U

W=(600-10x)(x-20-a)=-10x2+800x+10ax-12000-600a,對稱軸x=40+|a>40,xW38,W隨x增大而增大,；.x=38時,

W=3300,(600-380)(18-a)=3300,a=3.

專題講練5二次函數的應用(五)

—利潤問題(5)〈區間最值〉

【典例】解：⑴設B原料單價為m元，則A原料單價為1.5m元，依題意，得出一翟=100解得m=3,

m1.5m

經檢驗，m=3是原方程的根,每盒產品的成本為45x2+4x3+9=30(元)；

(2)co=(x-3O)[5OO-lO(x-6O)]=-lOx2+14OOx-33OOO;

(3)當a>70時