期中復(fù)習(xí)(壓軸題50題)

一、解答題

1.已知M,N兩點在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為根=5,n=-4,有一個玩具火車A8按如圖所示放置在數(shù)軸

上，將火車沿數(shù)軸左右水平移動，記火車移動后對應(yīng)的位置為AB,當點出移動到點2時，點A所對

應(yīng)的數(shù)為幾，當點4移動到點8時，點次所對應(yīng)的數(shù)為當玩具火車AB勻速向右移動時，火車從車頭到

車尾完全經(jīng)過點M需要2秒.

N?~|!M

III;II?

nAA'BB'm

(1)玩具火車的長為個單位長度；玩具火車的速度為每秒個單位長度；點4所對應(yīng)的數(shù)

為;

(2)在數(shù)軸上放置與4B大小相同的火車CD,使點C與點M重合，火車CD和48在數(shù)軸上分別從點M和點4同

時出發(fā)向右移動，記火車CD移動后對應(yīng)的位置為火車CD的速度為5個單位長度/秒，求幾秒后兩

火車的4處與C'處相距7個單位長度；

(3)當火車勻速向右移動，同時點P和點Q分別從N,M出發(fā)，分別以每秒1個單位長度和2個單位長

度的速度沿數(shù)軸向左和向右移動，點P、Q間的距離用a表示，點夕、&間的距離用b表示，是否存在有理

數(shù)k使得ka-6的值與它們的運動時間t無關(guān)？若存在，請直接寫出k和這個定值；若不存在，請說明理

由.

【答案】⑴3,1.5，-1；

(2),秒后兩火車的4處與L處相距7個單位長度

(3)存在有理數(shù)使得ka-b的值與它們的運動時間t無關(guān)，且k=0.5,定值為1.5

【分析】本題考查了數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，數(shù)軸上點的平移，數(shù)軸上兩點之間的距離，解方程，整式

計算中的無關(guān)問題，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)初始位置4處表示的數(shù)為當，初始位置B處表示的數(shù)為與，火車力B的長度為

根據(jù)題意得5—xB=l,xA—(—4)=I,xB—xA=I,求出，=3,即可得到答案；

(2)設(shè)4處表示的數(shù)為孫，，C'處表示的數(shù)為%°，，t秒后兩火車的4處與C，處相距7個單位長度，貝卜4=

1.5t-1,%c，=5t+5,根據(jù)題意得%c，一/，=7,求解即可；

(3)設(shè)火車勻速向右移力k秒，貝！］和=21+5,孫=一4一3火車勻速向右移動1.5七個單位長度，則

5-％B=3,得到物=2,繼而得至卜］=2+1.5t根據(jù)已知表示/ca-匕，令t的系數(shù)為0,求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)初始位置/處表示的數(shù)為馬，初始位置B處表示的數(shù)為物，火車48的長度為

根據(jù)題意得5-xB=l,xA-(-4)=I,xB-xA=Z,

5—(—4)=31,

?'?1=3；

.,.小火車的速度為3+2=1.5個單位長度；

,??孫—(一4)=3,

**,——1；

故答案為：3,1.5,-1；

(2)解：設(shè)4處表示的數(shù)為/，,。處表示的數(shù)為女，，t秒后兩火車的4處與C，處相距7個單位長度，

則孫，=1.5t—1,Xcr=5t+5,

根據(jù)題意得久-=7，

???5t+5-(1.5t-l)=7,

解得t=I,

M秒后兩火車的4處與C'處相距7個單位長度；

(3)解：設(shè)火車AB勻速向右移t秒，則々=2t+5,xP=-4-t,火車勻速向右移動1.5t個單位長度,

貝1)5—xB=3,

解得徹=2,

???XBr=2+1.51,

CL=XQ-Xp=(2t+5)—(—4—t)=9+33

b—xBt—孫=2+1.5fc—(—1)=1.5t+3,

kct-b=9fc+3kt—3—1.5t=9fc-3+(3k—1.5)3

???ka-b的值與它們的運動時間無關(guān)，

???3k—1.5=0,

k—0.5,

9fc—3=9x0.5—3=1.5,

故存在有理數(shù)使得加-力的值與它們的運動時間t無關(guān)，且/c=0.5,定值為1.5.

2.已知，數(shù)軸上點/、C對應(yīng)的數(shù)分別為a、c,且滿足|a+7|+(c—1)2。24=(),點8對應(yīng)點的數(shù)為一3.

B

????,1111111111A

-7-6-5-4-3-2-101234567

B

????,1111111111A

-7-6-5-4-3-2-101234567

備用圖

⑴①a=,c=；

②若動點P、Q分另U從A、B同時出發(fā)向右運動，點P的速度為3個單位長度/秒；點Q的速度為1個單位長

度/秒，求經(jīng)過多長時間P、Q兩點的距離為土

(2)在②的條件下，若點Q運動到點C立刻原速返回，到達點B后停止運動，點P運動至點C處又以原速返

回，到達點力后又折返向C運動，當點Q停止運動點P隨之停止運動.求在整個運動過程中，兩點P,Q相

遇的點在數(shù)軸上表示的數(shù).

【答案】⑴①-7,1；②"裝"土

(2)在整個運動過程中，兩點尸，。同時到達的點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是-1,0,-2.

【分析】(1)①由絕對值和偶次方的非負性列方程組求出a、c即可；②設(shè)經(jīng)過t秒兩點的距離為￡根

據(jù)題意列絕對值方程求解即可；

(2)分類討論：點尸未運動到點C時；點尸運動到點C返回時；當點P返回到點A時.分別求出不同

階段的運動時間，進而求出相關(guān)點所表示的數(shù)即可.

【詳解】⑴解：①：|a+7|+解［1)2。24=0,

a+7=0,c—1=0,

/.a=—7,c=1；

②動點P、Q分別從4、B間時出發(fā)向右運動，點P的速度為3個單位長度/秒；點Q的速度為1個單位長度

/秒，

對應(yīng)的數(shù)為-7+33Q對應(yīng)的數(shù)為-3+如

PQ—|-7+3t+3—t\—|-4+2t|,

?'I-4+2t|=￡

■:t=|或t=$

(2)解：點尸未運動到點。時，設(shè)經(jīng)過％秒P,。相遇，

由題意得：3%=%+4,

.*.x=2,

相遇點表示的數(shù)為：—7+3x2=—1,

點P運動到點C返回時，設(shè)經(jīng)過y秒P,。相遇，

由題意得：3y+y+4=2x［l—(-7)］，

'-y=3,

相遇點表示的數(shù)是：—3+3=0,

當點P返回到點A時，用時g秒，此時點。所在位置表示的數(shù)是一%

設(shè)再經(jīng)過z秒相遇，

由題意得：3z+z=—g—(―7),

?5

??Z=一,

3

?.亞+竺=烏＜4+4,

333

???此時點尸、。均未停止運動，

故z=|還是符合題意.

此時表示的數(shù)是：一7+|x3=—2,

答：在整個運動過程中，兩點尸，。同時到達的點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是-1,0,-2.

【點睛】本題綜合考查了絕對值和偶次方的非負性、數(shù)軸上兩點之間的距離，利用方程來解決動點問題

與行程問題，本題難度較大分類討論是解題關(guān)鍵.

3.如圖：數(shù)軸上4B,C三點分別表示的數(shù)為-4、4、7,點P表示的數(shù)為比.

ABC

-5-4-3-2-1012345678

【閱讀材料］在數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離叫做a的絕對值，記為|a|,數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表

示數(shù)6的點的距離記為|a-b\(或-a|),數(shù)軸上數(shù)x表示的點到表示數(shù)a的點與表示數(shù)b的點的距離之

和記為—a|+|x—.

【結(jié)合數(shù)軸，解決問題】

(1)填空：若忱一4|=2,則％=.若+4|=—7|,x=；

(2)若動點P從點4出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向右運動，當經(jīng)過多少秒時，動點P到點B、點C的距

離之和為7；

(3)動點M從點4出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向C點運動，當?shù)竭_C點后立即返回2點，動點N從點C出

發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向4點運動，當經(jīng)過多少秒時，點M、點N之間的距離正好等于點8、點C

的距離

【答案】⑴6或2；1.5；

(2)經(jīng)過2.5或6,5秒時動點P到點B和點C的距離之和為7；

(3)t=8或t=g或t=

【分析】本題主要考查了絕對值與數(shù)軸的綜合應(yīng)用，兩點之間的距離公式，一元一次方程，能夠熟練掌

握絕對值的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)絕對值的意義計算即可；

(2)設(shè)經(jīng)過t秒，點P到點B、點C的距離之和為7,再根據(jù)絕對值的意義分三種情況討論，三種情況分別

是當0工=4時，當4Vt時，當12日時，分別求解即可；

(3)設(shè)經(jīng)過的時間為t,當M到達點C時，t=￡，當M返回到4點時，t=11；

當N到達4點時，t=11,再分兩種情況討論，當OWtW藍時，當蓑WtWll時，分別求解即可.

【詳解】(1)解：—4|=2,

.?.x—4=2或%—4=—2,

解得：x=6或％=2,

v|x+4|=|%-7|,

??.x+4=%—7或％+4=—(%—7),

解得：%=1.5(前一方程無解)，

故答案為：6或2；1.5；

(2)設(shè)經(jīng)過t秒，點P到點8、點C的距離之和為7,點尸對應(yīng)的數(shù)可以表示為-4+23

①當＜4時，點P在點3左側(cè)，

PB=8-23PC=11-2t,

由題意得：8-2t+ll-2t=7,

解得：1=3；

②當4＜t＜甘時，點P在點B和點C中間，此時P8+PC=3,矛盾，故舍去

③當t23時，點P在C的右側(cè).PB=2t-8,PC=2-11,

由題意得：2t-8+2t-11=7,

解得：t—6.5：

綜上所述，經(jīng)過2.5或6.5時動點P到點B和點C的距離之和為7；

(3)設(shè)經(jīng)過的時間為3

當M到達點C時，t=￡,當M返回到4點時，t=11；

當N到達4點時，t=11,

①當OWtW弓時，點M,N表示的數(shù)分別為2t—4,7-t,

點M,N之間的距離為|2t-4—7+t|=|3t-11|

又???點B到點C的距離為3,

|3t-11|=3,

14

解得：t=

②當日WtW11時，點M,N表示的數(shù)分別為18-237-t,

點M,N之間的距離為118—2t—7+t|=111-t|>

又???點B到點C的距離為3,

.-?|11-=3,

解得:t=8或t=14（舍去），

綜上所述，t=8或t=g或y*

4.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

探究制作無蓋紙盒的方案

將邊長為80cm的大正方形

紙板按圖1所示的兩種方法

素裁剪：甲方法裁剪出5個小

材長方形紙板和1個小正方形

1紙板；乙方法剪4個小長方

形和4個小正方形紙板（假

設(shè)裁剪時損耗忽略不計）.

將以上裁剪的紙板制作成

素

橫式無蓋的紙盒，如圖2所

材

示，它由3個小長方形紙板圖2

2

和2個小正方形紙板搭成.

問題解決

任紙盒大小計算該橫式無蓋紙盒的體積.

務(wù)

1

任再次拼搭現(xiàn)有3張大正方形紙板，將它們裁剪、拼搭，則它們

務(wù)最多能搭幾個橫式無蓋紙盒.

2

深入探究現(xiàn)有22張大正方形紙板和a張(a>0)小正方形紙板，

任

將大正方形紙板裁剪，裁剪出的小長方形和小正方形

務(wù)

紙板恰好全部用完，求出a的最小值，并寫出裁剪方

3

案.

【答案】任務(wù)l：24000cm3；任務(wù)2：2張乙方法裁剪，1張甲方法裁剪(或3張都是乙方法裁剪)，最多

可以得到4個盒子；任務(wù)3：a的最小值是11,甲方法裁剪11張，則采用乙方法裁剪11張.

【分析】本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵：

任務(wù)1：先算出小正方形的邊長，再根據(jù)長方體體積公式求解；

任務(wù)2：設(shè)用甲方法裁剪機張紙板，用乙方法裁剪w張紙板，m+n=3w為整數(shù))，由于一個紙盒

需要2個小正方形和3個小長方形，設(shè)能搭成。個紙盒，則得到兩個約束條件｛黑;魯馬魯，再分類

討論即可；

任務(wù)3：設(shè)22張大正方形紙板采用甲方法裁剪x張，則采用乙方法裁剪(22-乃張.則小長方形有：5%+

4(22-%)=(88+x)張，小正方形有：x+4(22-x)+a=(88-3x+a)張，因為小長方形和小正方形

紙板恰好全部用完，所以2(88+x)=3(88—3x+a),即x=8++即可求解.

【詳解】解：任務(wù)1：由題意得小正方形紙板的邊長是804-4=20cm,

所以橫式無蓋紙盒的體積=20x(80-20)x20=24000cm3;

任務(wù)2：設(shè)用甲方法裁剪機張紙板，用乙方法裁剪w張紙板，m+n=3(m、〃為整數(shù))，

?.?一張甲方法裁剪的紙板有1個小正方形和5個小長方形，一張乙方法裁剪的紙板有4個小正方形和4

個小長方形，則小正方形總數(shù)為(M+4m個，小長方形總數(shù)為(5機+4n)個，

V一個紙盒需要2個小正方形和3個小長方形，設(shè)能搭成a個紙盒，則

rm+4n>2a

157n+4n>3a

當m=0,幾=3時，小正方形總數(shù)為0+4x3=12個，小長方形總數(shù)為5x0+4x3=12個，

:12+3=4,12+2=6,

最多能搭成4個紙盒；

當m=l,n=2時，小正方形總數(shù)為1+4x2=9個，小長方形總數(shù)為5x1+4x2=13個，

V9-r-2=13+3=4…1,

.??最多能搭成4個紙盒，

；.2張乙方法裁剪，1張甲方法裁剪(或3張都是乙方法裁剪)，最多可以得到4個盒

子

任務(wù)3：設(shè)22張大正方形紙板采用甲方法裁剪x張，則采用乙方法裁剪(22-比)張.

則小長方形有：5%+4(22—行=(88+久)張，

小正方形有：x+4(22—x)+a=(88—3%+a)張，

因為小長方形和小正方形紙板恰好全部用完，

所以2(88+久)=3(88—3久+a),即尢=8+弟

因為％是整數(shù)，a>0,

所以，a的最小值是11,

此時，甲方法裁剪11張，則采用乙方法裁剪11張.

5.枇杷是福清市一都鎮(zhèn)傳統(tǒng)特產(chǎn)，具有皮薄，汁多，味清甜，吃后沁心潤喉，是老少皆宜的美味佳品.請

閱讀以下材料，完成學(xué)習(xí)任務(wù)：

材料一：某批發(fā)市場計劃準備從福清市一都鎮(zhèn)運輸一批枇杷到甲地出售，為保證枇杷新鮮需用帶冷柜的

貨車運輸或空運.貨車運輸?shù)钠骄俣葹?0千米/時，飛機的平均速度為800千米/時，

方案一：從福清市一都鎮(zhèn)直接用帶冷柜的貨車運輸一批枇杷到甲地；

方案二：從福清市一都鎮(zhèn)先用帶冷柜的貨車運輸?shù)綑C場用時1小時后用飛機空運到甲地；

方案二比方案一少用H小時，且路程少160千米.

材料二：已知有一批枇杷用帶冷柜的貨車每輛運8噸，則剛好運完，若每輛運7噸，則還剩2噸枇杷沒

有裝上車.

材料三：在材料一與材料二的條件下，運這批枇杷從福清市一都鎮(zhèn)到甲地

陸運單價冷柜車空運單價

7000元/噸400元/(小時?輛)10000元/噸

注意：如選方案二空運，則陸運時間段只收冷柜使用費，且在飛行途中不收冷柜使用費.

參考公式：冷柜使用費=冷柜使用單價x使用時間x車輛數(shù)目；總費用=路費+冷柜使用費.

請同學(xué)們根據(jù)材料一、材料二提供的信息完成3個任務(wù)：

(1)請求出從福清市一都鎮(zhèn)直接用帶冷柜的貨車運輸一批枇杷到甲地的時間；

(2)這批枇杷共有噸.

(3)本次從福清市一都鎮(zhèn)直接用帶冷柜的貨車運輸一批枇杷到甲地，冷柜車一次運8噸，應(yīng)選用那種方案

使得總費用較少？

【答案】⑴133、時

(2)16

(3)方案一

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用(行程問題，其他問題)，有理數(shù)四則混合運算的實際應(yīng)

用，有理數(shù)大小比較的實際應(yīng)用等知識點，讀懂題意，根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系正確列出方程和算式是解題

的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“方案二比方案一少用11小時，且路程少160千米”列方程求解即可；

(2)根據(jù)“每輛運8噸，則剛好運完，若每輛運7噸，則還剩2噸枇杷沒有裝上車”列方程求解即可；

(3)先分別求出兩種方案的總費用，再比較大小即可.

【詳解】(1)解：設(shè)從福清市一都鎮(zhèn)直接用帶冷柜的貨車運輸一批枇杷到甲地的時間為t小時，則用飛機

空運到甲地的時間為(t—11—1)小時，

由題意得：

80+160+800(1-11-1)=80t,

解得：t=13,

???從福清市一都鎮(zhèn)直接用帶冷柜的貨車運輸一批枇杷到甲地的時間為13小時；

(2)解：設(shè)這批枇杷共有y噸,

由題意得：

y_y-2

8-7，

解得：y=16,

故答案為：16；

(3)解：方案一：

16x7000+2x13x400

=112000+10400

=122400(元2

方案二：

16X10000+2x1X400

=160000+800

=160800(元)，

???122400<160800,

二應(yīng)選方案一,

答：應(yīng)選用方案一使得總費用較少.

6.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)

探究鐘面上的數(shù)學(xué)

鐘面角是指時鐘的時針與分針所成的角.如圖，N40B即為某時刻的鐘面角，

通常0</-AOB<180°.

素材1

時針和分針在繞點。一直沿著順時針方向旋轉(zhuǎn)，時針每小時轉(zhuǎn)動的角度是

素材230°,分針每小時轉(zhuǎn)動一周，角度為360。，由此可知：時針每分鐘轉(zhuǎn)動0.5。，

分針每分鐘轉(zhuǎn)動6。.

問題解決

由時刻算角鐘面顯示的時間是6點20分，求鐘表的時針和分針所成鐘面

任務(wù)1

度角的度數(shù)；

由角度算時在某一天的下午2點到3點之間，時針與分針恰好在同一直線

任務(wù)2

刻上，且方向相反，求此時對應(yīng)的時刻；

趣算鐘面角大物理學(xué)家愛因斯坦在閑暇時發(fā)現(xiàn)時鐘上的針指向12時，在

這個位置如果把長針和短針對調(diào)一下，它們所指示的位置還是

合理的.但是在有的時候，比如6時，時針和分針就不能對調(diào)，

否則會出現(xiàn)時針指12時，而分針指6,這種情況是不可能的.據(jù)

任務(wù)3

此某校“數(shù)學(xué)興趣小組”操作鐘表盤發(fā)現(xiàn)：在下午2點好分到2

點20分之間某一時刻，如果時針和分針可以對調(diào)，使得新位

置仍能指示某一實際上的時刻.請你幫助該小組求出此時具體

的時刻.

【答案】

任務(wù)1：70°

任務(wù)2：2點43（分

任務(wù)3：2點15挎分

【分析】本題主要考查了鐘面角，一元一次方程的應(yīng)用（幾何問題）等知識點，運用數(shù)形結(jié)合思想是解

題的關(guān)鍵.

任務(wù)1：根據(jù)時針每分鐘轉(zhuǎn)0.5。，一大格之間是30。即可求解；

任務(wù)2：設(shè)此時為2點x分，根據(jù)題意構(gòu)建方程求解即可；

任務(wù)3：設(shè)此時為工點y分，分針從12點走過（60久+y）個刻度，時針的速度為喑，記作z=喏，時針、

60x+y

Z------

_60%，進而根

{y-12

據(jù)0到11的正整數(shù)求解即可.

【詳解】解：任務(wù)1：

???時針每分鐘轉(zhuǎn)動0.5。，

.-.0.5°x20=10°,

又???每一數(shù)字之間的角度為等=30°,

???6點20分，鐘表的時針和分針所成鐘面角的度數(shù)=30°+30°+10°=70°；

任務(wù)2：

設(shè)此時為2點萬分，

則60。+0.5%+180°=6x,

解得：%=*=435，

1111

??.此時為2點43日分;

任務(wù)3：

設(shè)此時為久點y分，分針從12點走過（60x+y）個刻度，時針的速度為等，記作z=喈，

時針、分針對調(diào)以后打點z分，此時丫=竺浮（久、％】取0到11的正整數(shù)），

60x+y

60Xi+y'

（y=^r

當x=2,久1=2時，z=y=詈，此時重合，但不符合題意（舍去）；

當工=2,%=3時，y=15—,z=11—,即此時為2點15空分.

7.如圖，數(shù)軸上有A,B,C三點，點C表示的數(shù)為60,點B在點C的左側(cè)且BC=50,點A,2表示的數(shù)互

為相反數(shù).數(shù)軸上有一動點P從點C出發(fā)，以5個單位/秒的速度向左沿數(shù)軸運動，設(shè)運動時間為t秒（t>0）.

4pg、

060

(i)點a表示的數(shù)是:點B表示的數(shù)是.

(2)當t為何值時，PB=：PA?

(3)若點4點B,點C與點P同時在數(shù)軸上運動，點4和點C分別以2個單位/秒和1個單位/秒的速度向右

運動，點B以4個單位/秒的速度向左運動.請問：是否存在某一時段，使4CP+3BP-34P的值為一個

定值？若存在，請求出這個定值及對應(yīng)的t的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【答案】(DTO；10

1、34?1

(2"=65或15時，PB=^PA

⑶存在，當10WtW50時，其值為定值，此定值為360

【分析】(1)根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離可求出點8表示的數(shù)，然后根據(jù)相反數(shù)的定義即可求出點A表示

的數(shù)；

(2)根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離求出PB=|50—5t|,P71=|70-5t|,然后根據(jù)PB=得出關(guān)于/的

方程，然后解方程即可；

(3)根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離求出CP=63BP=|50-t|,4P=|70—7t|,代入4cp+38P—3ap化

簡得4cp+3BP-3AP=24t+3|50-t|-3|70-7t|.然后分0<t<10,10<t<50,t>50三種情

況討論即可.

【詳解】(1)解：???點C表示的數(shù)為60,點B在點C的左側(cè)且BC=50,

???點8表示的數(shù)是60—50=10,

又點48表示的數(shù)互為相反數(shù)，

???點A表示的數(shù)是一10,

故答案為：-10,10；

(2)解：???點P表示的數(shù)為60-53點4表示數(shù)為-10,點B表示數(shù)為10,

PB=|60-5t-10|=|50-5t|.PA=|60-5t-(-10)1=|70-5t|,

1

V

PB=-2PA,

/.|50-5t|=j|70-5t|,

t=6或?qū)W

答：［=6$或弓5時，PB=^PA.

(3)解：-：A:-10+2t,B:10-4t,C:60+t,P:60-5t,

CP=60+t1(60-5t)=6t,BP=|10-4t-(60-5t)|=|50一=|60-St-(-10+2t)l=

|70-7t|.

4cp+3BP-3AP=24t+3|50-t\-3|70-7t\.

當0Wt<10時，其值為42t-60,

當10WtW50時，其值為360,

當t>50時，其值為6t+60,

???當10WtW50時，其值為定值，此定值為360.

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點之間的距離，相反數(shù)，數(shù)軸上的動點問題，

一元一次方程的應(yīng)用等，弄清并表示線段的長是解題的關(guān)鍵.

8.綜合與實踐

已知數(shù)軸上有A、B、C三點，點A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為“，點2對應(yīng)的數(shù)為b,且。、6滿足|a+50|+

(b—30)2=0,點C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x,且x是方程x=|x+6的解

(1)數(shù)軸上點A、B、C表示的數(shù)分別為、、；

(2)如圖1,若動點P從A點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，動點。從點2出發(fā)，

以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點尸、。同時出發(fā)，當f為何值時，尸、。之間的距

離恰好等于8個單位長度？

(3)如圖2,若動點尸、。兩點同時從A、8出發(fā)，向右勻速運動，同時動點R從點C出發(fā)，向左勻速運

動,己知點尸的速度是點R的速度的6倍，點。的速度是點R的速度2倍少5個單位長度/秒.經(jīng)過5

秒時，P、。、R三點恰好有其中一點為其余兩點的中點.請直接寫出動點R的運動速度.

【答案】(1)—50,30,10

(2)22秒或18秒

(3)動點R的運動速度為fl個單位/秒或10個單位/秒或蓋個單位/秒

【分析】(1)由|a+50|+(b—30)2=0,得a=—50,b=30,解x=|比+6得%=10,即可得到答案；

(2)由題意易得P表示的數(shù)為一50+33。表示的數(shù)為30-3可得|一50+3t—(30—。|=8,即可

解得答案；

(3)設(shè)動點R的運動速度為v個單位/秒，則P的速度是6u個單位/秒，。的速度是(21/-5)個單位/秒，

運動5秒后，尸表示的數(shù)為—50+5x61;=30u—50；。表示的數(shù)為30+5(2u-5)=10u+5,R表示

的數(shù)為10-5v,分三種情況列方程可解得答案.

【詳解】(1)解：V|a+50|+(d-30)2=0,且|a+50|20,(匕-30>20,

；.|a+50|=0,(。-30)2=0,

a=—50,b=30,

表示的數(shù)是-50,8表示的數(shù)是30；

解方程式=|%+6得%=10,

???C表示的數(shù)為10；

故答案為：-50,30,10；

(2)解：由題意得：尸表不的數(shù)為—50+33。表水的數(shù)為30—3

丁尸、。之間的距離恰好等于8個單位長度，

|—50+3t—(30—t')|=8,

即4t-80=8或4t-80=-8,

解得t=22或t=18；

,經(jīng)過22秒或18秒時，P、。之間的距離恰好等于8個單位長度；

(3)解：設(shè)動點R的運動速度為v個單位/秒，則尸的速度是6〃個單位/秒，。的速度是(2u-5)個單位/

秒,則有：

運動5秒后，P表示的數(shù)為一50+5x61;=30〃-50；。表示的數(shù)為30+5(2u-5)=10"+5,R表示

的數(shù)為10-5",

若尸為QR中點,則2(30u-50)=10v+5+10-5v,

解得。=§；

11

若。為PR的中點，則2(1017+5)=30v-50+10-5v,

解得u=10；

若夫為PQ中點，則2(10-5切=30v-50+10v+5,

解得”條

二動點R的運動速度為§個單位/秒或10個單位/秒或拼個單位/秒.

1110

【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用及數(shù)軸上的動點問題，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程及分類

討論思想的應(yīng)用.

9.西湖龍井是中國十大名茶之一，因產(chǎn)于浙江省杭州市西湖龍井村周圍群山而得名.在其三十多個品牌中，

“獅峰龍井”和“梅塢龍井”尤為有名.

茶農(nóng)李明種植了5畝“獅峰龍井”和10畝“梅塢龍井”，其中平均每畝“獅峰龍井”制成的茶葉重量是“梅塢

龍井”的40%,今年共制成兩種茶葉240千克.

兩種茶葉的銷售規(guī)格如下表：

獅峰龍井梅塢龍井

裝盒(克/盒)125250

售價(元/盒)200600

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

(1)求制成的“獅峰龍井”和“梅塢龍井”茶葉各多少千克？

(2)若銷售這兩種茶葉共機盒.銷售額為40000元，求銷售“獅峰龍井”的數(shù)量.(用含機的代數(shù)式表示)

(3)若李明第一次銷售兩個品種茶葉共600盒，第二次銷售時搞促銷活動，對所有剩下的“獅峰龍井”打八

折.兩次銷售完所有的茶葉后，他發(fā)現(xiàn)第二次的銷售額比第一次的銷售額多12800元.求第一次銷售“獅

峰龍井”多少盒？

【答案】(1)“獅峰龍井”40千克，“梅塢龍井”200千克

(2)|m-100

(3)240

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，

對于(1),設(shè)制成“獅峰龍井”茶葉x千克，可表示“梅塢龍井”茶葉(240-嗎千克，根據(jù)茶葉重量得關(guān)系

得出方程，求出解；

對于(2),先設(shè)銷售“獅峰龍井”茶葉y盒，可得“梅塢龍井”茶葉(m-y)盒，根據(jù)銷售額等于40000列出

方程，然后用含機的代數(shù)式表示即可；

對于(3),先求出今年制成“獅峰龍井”和“梅塢龍井”茶葉的盒數(shù)，再設(shè)第一次銷售“獅峰龍井”茶葉〃盒，

則第一次銷售“梅烏龍井”茶葉(600-ri)盒,分別表示出第二次銷售“獅峰龍井”和“梅烏龍井”茶葉的盒數(shù),

根據(jù)兩次銷售額的差等于12800列出方程，求出解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)制成“獅峰龍井”茶葉x千克，則制成“梅塢龍井”茶葉(240-x)千克，根據(jù)題意，得

解得x=40,

/.240-%=240-40=200(千克).

答：制成“獅峰龍井”茶葉40千克，“梅塢龍井”茶葉200千克；

(2)解：設(shè)銷售“獅峰龍井”茶葉y盒，則銷售“梅塢龍井”茶葉(m-y)盒，根據(jù)題意，得

200y+600(m—y)=40000,

解得y=|m-100.

答:銷售“獅峰龍井”茶葉(|機-100)盒；

(3)解:今年制成“獅峰龍井”茶葉40+0.125=320(盒),制成“梅塢龍井”茶葉200+0.25=800(盒).

設(shè)第一次銷售“獅峰龍井”茶葉n盒，則第一次銷售“梅烏龍井”茶葉(600-n)盒,第二次銷售“獅峰龍井”

茶葉(320-幾)盒，“梅烏龍井”茶葉800-(600-幾)=(200+九)盒，根據(jù)題意，得

200X0.8(320-n)+600(200+n)-[200n+600(600-n)]=12800,

解得n=240,

答：第一次銷售“獅峰龍井”240盒.

10.一張長方形的餐桌可以坐6個人，按照下圖的方式擺放餐桌和椅子：

(3)若酒店有242人來就餐，還有更好的拼成一張大桌方式嗎？最少要用多少張餐桌？如果有，畫出此

時拼桌方式的示意圖；如果沒有，請說明理由.

【答案】(l)a=12,b=14,c=2n+4

(2)需78張餐桌拼成一張大餐桌

(3)最少要用60張餐桌，畫圖見解析

【分析】本題主要考查了圖形規(guī)律、一元一次方程的應(yīng)用、代數(shù)式求值等知識點，從題意觀察、發(fā)現(xiàn)

數(shù)據(jù)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

(1)觀察發(fā)現(xiàn)每多一張桌子多2人，第w個圖形中增加了5-1)張桌子，則增加了2(n-1)人，共坐

2(n-1)+6人，然后將對應(yīng)數(shù)據(jù)代入求值即可；

(2)用(1)中的公式計算即可；

(3)如圖，由(1)同理可知，〃張桌子共坐(4n+2)人，當人數(shù)為242時，求出n=60；然后再按(1)

方案求出餐桌數(shù)量，然后比較即可解答.

【詳解】(1)解：觀察發(fā)現(xiàn)每多一張桌子多2人，

第〃個圖形中增加了5-1)張桌子，則增加2(n-l)人,共坐［2(n一1)+6］人，即(2n+4)人,

所以a=2x4+4=12,6=2x5+4=14,c=2n+4.

(2)解：由(1)知：2n+4=160,解得？1=78.

答：需78張餐桌拼成一張大餐桌.

(3)解:如圖：由(1)同理可知，

OOOOOOOO

CCCCCCCC

由(1)同理可知，每多一張桌子多4人，

〃張桌子共增加了5-1)張桌子，則增加了45-1)人，共坐4(72—1)+6人，即〃張桌子共坐(4n+2)

人，

當酒店有242人來就餐，即4n+2=242,解得：n=60,

若用(1)方式，則2n+4=242,

解得：n=119>60.

答：最少要用60張餐桌.

11.一臺儀器由一個4部件和三個B部件構(gòu)成，用lm3鋼材可以做40個4部件或240個B部件.

(1)現(xiàn)要用6m3鋼材制作一批這種儀器，應(yīng)用多少鋼材做4部件，多少鋼材做B部件，才能使這批儀器制

作的盡可能多？這批儀器最多制成多少臺？

(2)有一家公司計劃租賃(1)中制成的這批儀器，按租賃時間(t小時)有兩種付費方式，如下表所示：

付費方

基礎(chǔ)租金超時租金

式

當0<t<10時，每臺儀器收取租金50當t>10時，超時部分這批儀器整體按每小時300元收

方式一

元費

當0<t<15時，每臺儀器收取租金60元當t>15時，超時部分這批儀器整體按每小時200元收

方式二

費

請你替該公司謀劃一下，根據(jù)租賃時間選擇哪種付費方式能比較節(jié)省費用？

【答案】(1)用4立方米做A,2立方米做B,最多制成160臺

(2)若0<tW16小時，選擇方式一；若t=16小時，兩種方式費用相同；若t>16小時，選擇方式

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等

量關(guān)系，列方程求解.

(1)設(shè)用x立方米鋼材制作4部件，則剩余的(6-%)立方米制作B部件，根據(jù)一個4部件和三個B

部件剛好配成套，列方程求解；

(2)需要分0<tW10、10<tW15和t>15這3種情況討論，并且分別求出方式一和方式二的費用，

然后綜合比較，即可求解；

【詳解】(1)解：設(shè)用x立方米鋼材制作4部件，則剩余的(6-無)立方米制作B部件，

...每個月部件需要2立方米，可生產(chǎn)40x個4每個B部件需要三立方米，可生產(chǎn)240(6-久)個

40240

???每臺儀器需要1個月和3個B,因此B的數(shù)量需滿足：

3X(儀器臺數(shù))<240(6-%),

令40x=80(6-x),解得x=4,

此時：4部件數(shù)量：40x4=160個，B部件數(shù)量：240x2=480個，滿足480=3X160,

答：用4立方米做A,2立方米做B,最多制成160臺；

(2)解：設(shè)租賃時間為t小時，總費用比較如下：

①當0<tW10：方式一：160x50=8000元，

方式二：160X60=9600元，

.?.選擇方式一；

②當10<tW15：方式一：8000+300(t-10),

方式二：160x60=9600元；

當t=15時，方式一費用為9500元，低于方式二，

.,?選擇方式一；

③當t>15：方式一：8000+300(t-10),

方式二：9600+200(1-15),

解方程8000+300(1-10)=9600+200(t-15),得臨界點t=16,

當t<16時，方式一更省，當t>16時，方式二更省；

綜上所述：

若0<tW16小時，選擇方式一；若t=16小時，兩種方式費用相同；若t>16小時，選擇方式二.

12.

主題學(xué)校購買比賽用品策略探討

問題情為了舉行羽毛球比賽，學(xué)校需要提前購買20副羽毛球拍和若干個羽毛球(不

境少于60個).

素材1羽毛球拍：150元/副羽毛球：10元/個

商品標

價

素材2方案一：每買一副羽毛球拍贈送3個羽毛球.

購買方

案方案二：羽毛球拍和羽毛球都按標價的九折銷售.

現(xiàn)已知方案一和方案二只能單獨使用，若學(xué)校需要購買羽毛球拍和100個羽毛

任務(wù)1

球，請為學(xué)校推薦購買方案.

任務(wù)2若方案一和方案二費用一致，你知道學(xué)校購進了多少個羽毛球嗎？

現(xiàn)已知方案一和方案二既可以單獨使用，也可以同時使用.若學(xué)校此次需要購

任務(wù)3

進400個羽毛球，請為學(xué)校設(shè)計最省錢的購買方式.

【答案】任務(wù)1：推薦方案一；任務(wù)2：學(xué)校購買300個羽毛球；任務(wù)3：先用方案一購買20副羽毛球

拍，再用方案二購買340個羽毛球

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運算，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次

方程是解題的關(guān)鍵.

任務(wù)1：利用總價=單價x數(shù)量，結(jié)合商店給出的兩種優(yōu)惠方案，可求出選擇各方案所需費用，比較后

即可得出結(jié)論；

任務(wù)2：設(shè)學(xué)校購進了尤個羽毛球，根據(jù)方案一和方案二費用一致，可列出關(guān)于x的一元一次方程，解

之即可得出結(jié)論；

任務(wù)3：利用總價=單價x數(shù)量，求出選擇方案一及方案二所需費用，再求出“先用方案一購買20副羽

毛球拍，再用方案二購買340個羽毛球”所需費用，比較后即可得出結(jié)論.

【詳解】解：任務(wù)1：方案一：20x150+（100—3x20）x10=340。（元）；

方案二：150X0,9X20+10X0,9X100=3600（元），

V3400<3600,

推薦方案一；

任務(wù)2：設(shè)購買了x個羽毛球0260）,

方案一費用：20x150+0-3x20）x10；

方案二費用：150x0.9x20+10x0.9xx,

由題意得：20x150+（%—3x20）x10=150x0.9x20+10x0.9x%,

解得：x=300,

???學(xué)校購買300個羽毛球；

任務(wù)3：選擇方案一所需費用為150x20+10x（400一3x20）=6400（:元）；

選擇方案二所需費用為150x0.9X20+10X0.9X400=6300（元）；

先用方案一購買20副羽毛球拍，獲贈60個羽毛球，再用方案二購買400-60=340（個）羽毛球所需

費用為150X20+10X0,9X340=6060（元）；

V6400>6300>6060,

???最省錢的購買方案為：先用方案一購買20副羽毛球拍，再用方案二購買340個羽毛球.

13.【背景知識】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合.研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)

了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點4、點B表示的數(shù)分別為a”，則4B兩點之間的距離AB=

【問題情境】如圖，已知4B兩點在數(shù)軸上，點4表示的數(shù)為-15,。8=2。4,點M以每秒3個單位長

度的速度從點4向右運動.點N以每秒2個單位長度的速度從點。向右運動（點M、點N同時出發(fā)）.

AOB

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