微專題21全等三角形

考點精講

構建知識體系

一邊邊邊

［概念卜

-邊角邊

邊一［全等三角形H判定卜-角邊角

角--角角邊

周長、面積-i斜邊、直角邊

重要線段-

考點梳理

1.全等三角形的性質（6年9考）

概念能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形

1.全等三角形的對應邊①_______，對應角②________;

性質2.兩個全等三角形的周長③________,面積④_______；

3.全等三角形對應的中線、高線、角平分線、中位線都⑤______

2.全等三角形的判定（8年11考）

（1）方法

SSSSASASAAASHL

（邊邊邊）（邊角邊）（角邊角）（角角邊）（斜邊、直角邊）

公A/\K

△

兩邊和它們的夾兩角和它們的夾兩角和其中一個

三邊分別相等的斜邊和一條直角邊分

角分別相等的兩邊分別相等的兩角的對邊分別相

兩個三角形全等別相等的兩個直角三

個三角形全等個三角形全等等的兩個三角形

（基本事實）角形全等

（基本事實）（基本事實）全等

⑵思路

'找夾角相等9SAS

①已知兩對等邊,找直角玲HL或SAS

、找第三邊相等玲SSS

②已知一對等邊

第1頁共14頁

，邊為角的對邊好找任意一對等角9AAS

（找等角的另一鄰邊相等9SAS

和一對等角彳邊為角（找等邊的另一鄰角相等-ASA

的鄰邊（找等邊的對角相等玲AAS

'找夾邊相等-ASA

③已知兩對等角

、找其中任意一對等角的對邊相等玲AAS

練考點

1.如圖，已知點E,C,R依次在同一條直線上.若3C=8,CE=5則

CF的長為.

2.如圖，兩個三角形全等的是（）

③④

第2題圖

A.③④B.②③

C.①②D.①④

高頻考點

考點全等三角形的性質與判定（6年9考）

模型一平移型

模型分析

模型展示：

模型特點：沿同一直線（/）平移可得兩三角形重合（BE=CF）

解題思路：證明三角形全等的關鍵：（1）加（減）共線部分CE,得BC=EF；

第2頁共14頁

⑵利用平行線性質找對應角相等

例1(人教八上習題改編)如圖，已知點3,C,E,R在同一條直線上，BE=CF,AB//DE,

ZA=ZD,試判斷AC和DR的數量關系和位置關系，并說明理由.

變式1(2024內江)如圖，點A,D,B,E在同一條直線上，AD=BE,AC=DF,BC=EF.

(1)求證：KABgXDEF；

(2)若NA=55°,ZE=45°,求NR的度數.

模型二軸對稱(翻轉)型[2022.18,2021.23,2020.20,2020.22(2)]

模型分析

A

有公共邊令推

DBDC

模型展示

AAD

CD

有公共頂點澎

BCR

所給圖形沿公共邊所在直線或者經過公共頂點的某條直線折疊，兩個三角形能完

模型特點

全重合

證明三角形全等的關鍵：

解題思路(1)找公共角、垂直、對頂角、等腰等條件得對應角相等；

(2)找公共邊、中點、等底角、相等邊、線段的和差等條件得對應邊相等

例2(2024香洲區二模)如圖，已知ABLAC,BD1CD,垂足分別為A,D,ZACB=ZCBD.

求證：AB=CD.

例2題圖

第3頁共14頁

變式2如圖，AB=AC,DB=DC,R是AD延長線上的一點.連接BECF,求證：ZBFA

ZCFA.

變式2題圖

變式3（人教八上習題改編）如圖，點。在A3邊上（不與點A,點3重合），E在AC邊上（不與

點A,點。重合），連接BE,CD,BE與CD相交于點。，AB=AC,ZB=ZC.求證：BO

=co.

變式3題圖

模型三旋轉型[2023.22⑵①，2019,10①]

第4頁共14頁

（2）不共頂點：①由±CR=CE±CJBC=ER②利用平行線性質找

對應角相等

例3（2024珠海模擬）如圖，在AABC和△EDC中，AB=ED,Z1=Z2,NA=NE求證:

BC=DC.

例3題圖

變式4（2024吉林省卷）如圖，在口A3CD中，點。是A3的中點，連接C。并延長，交D4的

延長線于點E,求證：AE=BC.

變式4題圖

模型四一線三垂直型［2023.23（3）,2020.25（3）］

模型分析

基本圖形2已知：ABLBC,

基本圖形1已知：ABLBC,DELCE,

AE±BD,CDLBD,AB=BC

ACLCD,AB=CE

A

模型展示AA

Ld或E

BCERC.E

RCBn

?ZA=ZDCE,NACB=/D；

結論（針對①/A=/DBC,NABE=NC；

②BE=AB+DE；

基本圖形）②DE=AE—CD

③連接AD,△AC。是等腰直角三角形

常用三個垂直作條件進行角度等量代換，即同（等）角的余角相等，相等的角就是對

解題思路

應角，證三角形全等時必須還有一組對應邊相等

例4如圖，在四邊形A3CD中，AB=AD,AB±AD,AC±DC.過點3作BELCA,垂足

為點E若AC=6,則AABC的面積是（）

第5頁共14頁

例4題圖

A.6B.12C.18D.36

變式5（人教八上習題改編）如圖,點。，C,E在直線/上，點A,3在/的同側，ACLBC,

若AD=AC=BC=BE=5,CD=6,求CE的長.

變式5題圖

真題及變式

命題點全等三角形的性質與判定（6年9考）

1.（2022廣東18題8分）如圖，已知NA0C=N50C,點P在。C上，PD±OA,PELOB,垂

足分別為。，E.

求證：△OPD義AOPE.

第1題圖

變式

1.1變圖形一一增加線段

如圖，在△ABC中，ZC=90°,AD平分NC4B,DELA3于點E,點R在AC上，BD=DF.

求證：BE=FC.

變式1.1題圖

1.2變設問一一證角平分線

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如圖，在^POE^AQOD中，ZE=ZD,OP=OQ,PE交QD于點C,CP=CQ,連接。C.

求證：0c平分NDOE.

變式1.2題圖

拓展訓練

2.(2024佛山模擬)如圖，在四邊形A3CD中，ZD=ZBCD=90°.

(1)如圖①，若E為CD的中點，AB=BC+AD,求證：AE平分ND4&

(2)如圖②，若E為A3的中點，AB=2AD,CA=CB,試判斷三角形ABC的形狀，并說明理由.

第2題圖

新考法

3.［真實問題情境］(人教八上習題改編)小明同學沿一段筆直的人行道行走，在由A步行到達3

處的過程中，通過隔離帶的空隙。，剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的社會主義核心價值觀標

語.其具體信息匯集如下，如圖，AB//OH//CD,相鄰兩平行線間的距離相等.AC,5。相交于

點。，3。，。。于點。已知A3=20m.根據上述信息，標語CD的長度為m.

B人行道4

1一"""一行車道

行車道-\°隔離帶H

C\D人行道

|富強民主文明和諧自由平等公正法治愛國敬業誠信友善

第3題圖

4.［條件開放］如圖，已知在等腰△ABC中，AB=AC,分別以AB,AC為邊向外作三角形，使

BD=AE.

(1)添加條件,可以判定△A3。烏△C4E,請說明理由；

(2)在(1)的條件下，若NA3C=65°,ZD=120°,求ND4E的度數.

第7頁共14頁

A

E

D

-------、C

第4題圖

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考點精講

①相等②相等③相等④相等⑤相等

教材改編題練考點

1.3

2.C

高頻考點

例1解：AC=DF,AC//DF,理由如下：

,:BE=CF,

：.BE-CE=CF-CE,即BC=EF,

'：AB//DE,

：.ZB=ZDEF,

在△43。和4DER中，

包4=H￡)

-0B=^\DEF,

、BC=EF

.*.△ABC咨△￡>￡》(AAS),

：.AC=DF,ZACB=ZF,：.AC//DF.

變式1(1)證明：?.?AD=JBE,

：.AD+DB=BE+DB,即AB=DE,

'：AC=DF,BC=EF,

:.AABC2ADEF(SSS)；

(2)解：VAABC^ADEF,NA=55°,

：.ZFDE=ZA=55°,

VZE=45°,

/.ZF=180°—/FDE—/E=80°.

例2證明：'：AB±AC,BDLCD,

：.ZA=ZD=90°,

在△43。與4DCB中，

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包4=H￡)

?回ZCBFDBC,

、BC=CB

.*.△ABC^ADCB(AAS),

：.AB=CD.

變式2證明：'：AB=AC,DB=DC,AD=AD,

.*.△ABD^AACD(SSS),

ZBAF=ZCAF,

X'：AB=AC,AF=AF,

/.AABF^AACF(SAS),

/.ZBFA=ZCFA.

回B=HC

AB=AC,

(回a

ABE2△AOXASA),

：.AD=AE,

'：AB=AC,

：.AB-AD=AC-AE,即3D=CE,

在430。和^COE中，

團BFC

回BODFCOE,

(BD=CE

BOD^ACOE(AAS),

：.BO=CO.

例3證明：=

/.Z1+ZACD=Z2+ZACD,即NACB=NECD

在△ABC和△EDC中，

囿4=HE

回4CB=^\ECD,

｛AB=ED

ABC^AEDC(AAS),

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：.BC=DC.

變式4證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

.,.AD//BC,

：.ZOAE=ZB,ZOCB=ZE,

:點。是A3的中點，：.OA=OB

在△4。石和430C中，

rWAE=0B

-00CB=0E,

。=0B

.*.△AOE2△30C(AAS),

：.AE=BC.

例4C【解析】?.?ABLA。，ACLDC,3ELG4,/.ZACD=ZBEA=ZDAB=90°,/.ZD

+ND4c=90°,ZDAC+ZEAB=9Q°,：.ND=/EAB,'：AD=AB,

11

...△ADC注△BAE(AAS),：.AC=BE=6,ASAABC=^AC-BE=jx6X6=18.

變式5解：如解圖，過點A作AGLCD于點G,過點3作3HLCE于點H,

'：AD=AC,AGLCD,

1

ACG=-2CD=3,

在RtZkACG中，由勾股定理得，AG=JAC2-CG2=^52-32=4,

'：AC±BC,

ZCAG+ZGCA=ZGCA+ZBCH=90°,

：.ZCAG=ZBCH.

在△4。6和4CBH中,

(回G4G=^\BCH

(回4GC=HC”B,

14c=BC

.*.△ACGm△C3H(AAS),

：.CH=AG=4.

,:BC=BE,BHLCE,

：.CE=2CH=8.

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DGC.HE

變式5題解圖

真題及變式

1.證明：?.?即，。4,PELOB,垂足分別為。，E,

：.ZPDO=ZPEO=90°,(3分)

在^OPD和^OPE中，

'回P。。FPEO

■SDOPFEOP,

、0P=0P

OPDm△OPE(AAS).(8分)

一題多解法

ZAOC=ZBOC,

...0C為NA03的平分線，

'：PD±OA,PELOB,

：.PD=PE,(3分)

在RtAOPD和RtAOPE中，

(OP=0P

\PD=PE'

/.RtAOPD^RtAOPE(HL).(8分)

變式1.1證明：,.?AD平分NR4C,DELAB,ZC=90°,

：.DC=DE,ZC=ZDEB=90°,

在RtADCF和RtADEB中，

(DC=DE

[DF=BD，

.*.RtADCF^RtADEB(HL),

：.BE=FC.

變式1.2證明：在△POC和△QOC中，

(OP=0Q

<CP=CQ,

\OC=OC

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POC注△QOC(SSS),

：.ZPCO=ZQCO,

,：ZPCD=ZQCE,

：.ZDCO=ZECO,

'：ZD=ZE,

：.ZDOC=ZEOC,

...OC平分NDOE.

2.(1)證明：如解圖，延長AE交3c的延長線于點H,

lIJ

HCR

第2題解圖

,；E是CD的中點，

：.CE=DE,且/。=NECH=90°,ZAED=ZHEC,

ADEm△HCE(ASA),

：.AD=CH,ZDAE=ZH,

'：AB=BC+AD,BH=BC+CH,

：.AB=BH,