2025年九年級中考數學二輪復習專題之整體思想訓練

1.【教材呈現】以下是湘教版七年級上冊數學教材126頁的部分內容.

例1已知a+b=5,求(a+b)2-4(a+b)的值.

分析：將a+b看作一個整體，則問題就可迎刃而解了.

解：(a+b)2-4(a+b)=52-4X5=5.

“整體思想”是中學數學解題中的一種重要的思想方法，它在數與式、方程與不等式等

方面都有廣泛的應用.

【解決問題】(1)已知(x-y)2=5,求2(x-y)2-5(x-y)~+(x-y)?的值；

(2)已知『-26=4,求3/-66-21的值；

(3)當x=l時，代數式mj?+nx+l的值是2025,當x=-1時，求代數式-m/+加+1的

值.

2.【閱讀理解】

在求代數式的值時，有些題目可以用整體求值的方法，化難為易.

,,3才」3x+2y+z=4①

例E|：已知＜求2x+y+z的值.

解：②-①得：4x+2y+2z=6③

1

③x2得：2x+y+z—3,

所以2尤+y+z的值為3.

【類比遷移】

⑴已知/黑*MM，求力+42的值；

【實際應用】

(2)某班級班委準備把本學期賣廢品的錢給同學們買期中獎品，根據商店的價格，若購

買3本筆記本、2支簽字筆、1支記號筆需要28元；若購買7本筆記本、5支簽字筆、3

支記號筆需要66元；本班共45位同學，則購買45本筆記本、45支簽字筆、45支記號

筆需要多少錢？

3.已知/+冗-2=0,求代數式(%：］+1)+壯？1的值.

4.已知24=3/-x+2y-4盯，B=2J^-3x-y+xy,

(1)化簡2A-33

(2)當x+y=5，孫=-1,求2A-35的值；

(3)若2A-33的值與y的取值無關，求2A-35的值.

5.閱讀下列材料：已知〃2+〃-3=0,求〃2(〃+4)的值.

解：=

/.a2(〃+4)=(3-。)(。+4)=3〃+12-/-4〃=一/一〃+12,

Va2+a=3,-(〃2+。)+12=-3+12=9.*.?2(〃+4)=9.

根據上述材料的做法，完成下列各小題：

(1)已知。2-4-10=0,求2(〃+4)(4-5)的值；

(2)已知W-x-l=0,求/-2%+1的值；

(3)已知?+4x-1=0,求代數值2?+8/-4/-8x+l的值.

6.數學中，運用整體思想方法在求代數式的值中非常重要，例如：已知，/+2〃=1,則代

數式2〃2+4〃+4=2(〃2+2。)+4=2義1+4=6.請你根據以上材料解答以下問題：

(1)若%2-3%=4,則1+2(x2-3x)=；

(2)若代數式X2+X+2的值為10,求代數式-3x2.3尤+5的值.

(3)當x=2時，a^+bx+l的值為9,當x=-2時，求代數式-a^+bx+S的值.

【拓展探索】

(4)把一個大正方形和四個相同的小正方形按圖①、②兩種方式擺放，已知。+6=24,

a-b=8,請觀察圖形，求圖②中的陰影部分面積.

7.［閱讀感悟］

一些關于方程組的問題，若求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的式子的

值，如以下問題：已知實數x,y滿足3x-y=5①，2x+3y=7②，求尤-4y和7x+5y的值.本

題的常規思路是將①②兩式聯立組成方程組，解得尤，y的值再代入欲求值的式子得到答

案，常規思路運算量比較大.其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題

還可以通過適當變形整體求得式子的值，如由①-②可得尤-4y=-2,由①+②X2可得

7x+5y=19.這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”.

［解決問題］

(1)已知二元一次方程組產及/=：貝ijx-產，x+y=

(2)某班開展安全教育知識競賽需購買獎品，買5支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需

32元，買9支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買20支鉛筆、20塊橡皮、

20本日記本共需多少元？

(3)對于實數x,y,定義新運算：其中a,b,c是常數，等式右邊是

通常的加法和乘法運算.已知1X4=16,:！※5=21,求1X1的值.

8.先化簡,再求值：(比一奇)其中X滿足/+X-2024=0.

9.特殊值法，又叫特值法，是數學中通過設題中某個未知量為特殊值，從而通過簡單的運

算，得出最終答案的一種方法.例如：

已知：〃414+43/+〃2^2+〃11+〃0=6%,貝!J:

(1)取冗=0時，直接可以得到40=0;

(2)取X=1時，可以得到。4+。3+〃2+。1+〃0=6;

(3)取X=-1時，可以得到04-〃3+〃2-41+40=-6.

(4)把(2),(3)的結論相加,就可以得到2〃4+2〃2+2〃0=0,結合(1)〃o=O的結論，

從而得出〃4+〃2=0.

請類比上例，解決下面的問題：

已知46(X-1)6+〃5(X-1)'+44(X-1)4+?3(X-1)3+?2(X-1)2+^1(X-1)+〃0=

4x,

求(1)40的值；

(2)46+〃5+44+〃3+〃2+〃1+〃0的值；

(3)。6+。4+。2的值.

10.我們知道：4x+2x-x=(4+2-1)x=5x,類似地，若我們把(〃+b)看成一個整體，則

有4(〃+。)+2(〃+。)-(〃+。)=(4+2-1)(〃+。)=5(。+。).這種解決問題的方法

滲透了數學中的“整體思想”.“整體思想”是中學數學解題中的一種重要的思想方法，

其應用極為廣泛.請運用“整體思想”解答下面的問題：

(1)把(。-。)看成一個整體，合并3(〃-/?)2-7(〃-/?)2+2(a-b)2；

(2)已知：/+2y=6,求代數式-3/-6y+21的值;

(3)己知a-26=3,2b-c--6,c-d—10,求(ci—ic)+Qb-d)-(2b-c)的值.

11.對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，就可以得到一個數學等式.

(1)模擬練習：如圖，寫出一個我們熟悉的數學公式；

(2)解決問題：如果。+6=5,ab=3,求/+貶的值；

(3)類比探究：如果一個長方形的長和寬分別為(8-x)和(x-2),且(8-x)2+(x

-2)2=20,求這個長方形的面積.

2%+y=6a—1

{x+2y=—5

(1)若x、y滿足方程x-y=-4,求”的值；

(2)若-2Vx+yWl,求〃的取值范圍.

13.利用完全平方公式(a±6)2=/±2"+廿，可以解決很多的數學問題.

例如：若a+b=3,ab=l,求/十戶的值.

解：因為a+b=3,ab—1,

所以(a+6)2=9,

所以a2+b2+2ab=9.

所以cr+b2+2Xl=9.

得a2+b2=~l.

根據上面的解題愿路與方法，解決下列問題：

(1)若x-y=6,x2+y2=40,求孫的值；

(2)如圖，點C是線段上的一點，分別以AC,BC為直角邊向外作等腰直角三角形，

其中AC=C￡>,BC=CE,ZACD^ZBCE^90°,若AB=6,SAACD+SABCE=12,求4

ACE的面積.

14.【閱讀理解】在學習第3章《代數式》過程中，我們曾把5(x-2y)-3(2y-x)+8(2祖+3”+1)

-4C2wt+4")中的ax-2y"看成一個字母a,把“2m+3n”看成另一個字母b,將這個代數

式簡化為5a-3(-a)+8(b+1)-4(b+n).在數學中,我們把這種方法稱為整體代換法，

常常用這樣的方法把復雜的問題轉化為簡單問題.

【靈活運用】應用整體代換法解答下列問題：

(1)已知t=—5，求代數式-的值;

(2)已知x=V，求代數式3(3f+2x)+4(-3?-2x+l)-(3?+2x)的值；

(3)計算:2022X(1—i-???—)-2023X(l+i+i+i+,??+)

乙D什乙U乙_L乙D1乙U乙乙

ill11232021

+2023X(1+.+可+4+…+2023)-2022X???-2Q22,

15.對于有理數％,y,定義新運算：x°°y=ax+by,x?y=ax-by,其中Q,Z?是常數.已知

31=1,302=8.

(1)求“，/?的值；

(2)若關于x,y的方程組1的解也滿足方程x+y=5,求機的值；

(3)若關于無，y的方程組的解為求關于x,y的方程組

[3^1(%+y)84瓦(久-y)=5cl的解

l3a2(x+y)04b2(x-y)=5c2嶺

16.小明在解方程向二^-7^二點=2時采用了下面的方法：由

(V24—x—V8—x)(V24—x+V8—x)=(V24—x)2-(—8—x)2=(24-尤)-

(8-x)=16,

又有〃24—X—V8—x—2,可得424—x+、8—x=8,將這兩式相加可得'一

(V8^x=3

將V24—x=5兩邊平方可解得了=-1,經檢驗x=-1是原方程的解.

請你學習小明的方法，解下面的方程：

(1)方程"2+46+7x2+10=18的解是；

(2)解方程A/4%2+6%—5+V4x2—2x—5=4x.

參考答案

1.【解答】解：(1)因為2(x-y)2-5(x-y)2+(x-y)2=(2-5+1)(x-y)2=-

2(x-y)2,(x-y)2=5,

所以原式=-2X5=-10.

(2)因為3〃2-6人-21=3(a2-2b)-21,a2-2Z?=4,

所以原式=3X4-21=-9.

(3)當x=l時，mx2+nx+1=m+n+1,

所以m+〃+1—2025,

所以m+n=2024.

當x=-1時，-mW+Mx+ln-m-n+l=-(m+n)+1=-2024+1=-2023.

2.【解答】解：⑴1+2：+3：=100；

(5x+6y+7z=26(2)

①+②得：6x+8y+10z=36③，

i

③得：3x+4y+5z=18,

；.3x+4y+5z的值為18；

(2)設購買1本筆記本需要。元，1支簽字筆需要6元，1支記號筆需要c元,

由題意得：卜+2)+。=28%

②-①義2得：a+b+c=10③，

③X45得：45a+45b+45c=450,

答：購買45本筆記本、45支簽字筆、45支記號筆需要450元錢.

3?【解答】解：(占+D+言

_1+%—1.2

-x—1'(x+l)(x—1)

_X(%+1)(%-1)

-X-1*2

_x(x+l)

=-2-

x2+x

=~2~f

-2=0,

.\X2+X=2,

原式==1.

2

4.【解答】解：(1)VA=3x-x+2y-4xyf8=2^-3x-y+xy,

：.2A-35

=2(3/-x+2y-4孫)-3(2--3x-y+孫)

=6/-2x+4y-8xy-6x^+9x+3y-3xy

=7x+7y-llxy；

(2)當孫=-1時，

2A-33=7%+7y-llxy

=7(x+y)-llxy

=7x1-llX(-1)

=6+11

=17；

(3)，：2A-3B=7x+7y-llxy

=7x+(7-llx)y,

???若2A-35的值與y的取值無關，則7-11%=0,

,_7

??X-77TT,

，2A-3B

7

-7xYj-+0

49

=IT

5.【解答】解：(1)'：a2-a-10=0

??a.-〃=10,

：.2(〃+4)(。一5)

=2(。2-4-20)

=2X(10-20)

=-20,

：?2(q+4)(。-5)的值為-20；

(2)Vx2-x-1=0

??/-1,1,

.'.x3-2x+l

=x(x2-2)+1

=x(x+1-2)+1

=J?-x+1

=1+1

=2,

Ax3-2x+l的值為2；

(3)VX2+4X-1=0,

.'.X2+4X=1,X2=1-4x,

.\2X4+8X3-4x2-8x+l

=2?(/+4x-2)-8x+l

=2(1-4x)(1-2)-8x+l

=-2+8x-8x+l

=-1,

代數值2d+8x3_4苫2,8工+1的值為-i.

6.【解答】解：(1)3x=4,

/.1+2(x2-3x)=l+2X4=l+8=9；

故答案為：9；

(2)VX2+X+2=10,

；.X2+X=8,

/.-3x2-3x+5

=-3(/+龍)+5

=-3X8+5

=-24+5

=-19,

二代數式-3/-3尤+5的值為-19；

(3),?當x=2時，辦^歷十7的值為9,

.??4。+2。+7=9,

4tz+2Z?=2,

???當x=-2時，-a^+bx+S=-4a-2/?+8=-(4〃+2b)+8=-2+8=6；

(4)設大正方形邊長為％,四個相同的小正方形邊長為y,則〃=x+2y,b=x-2yf

Va+b=24fa-b=S,

(x+2y)+(x-2y)=24,(x+2y)-(x-2y)=8,

解得x=12,y=2,

Ax*2*-47=122-4X22=144-16=128,

???圖②中的陰影部分面積為128.

7.【解答】解：⑴f3x+y=4?,

1%+3y=12②

①-②得：2x-2y=-8,

.*.x-y=-4,

①+②得：4x+4y=16,

.??x+y=4,

故答案為：-4,4；

(2)設1支鉛筆x元，1塊橡皮y元，1本日記本z元，

由題意得：+3y+2Z=32%

(9%+5y+3z=58②

①義2-②得：x+y+z=6,

.??20x+20y+20z=20(x+y+z)=20X6=120,

即購買20支鉛筆、20塊橡皮、20本日記本共需120元；

(3);x※尸ax+by+c,

1派4="+4。+。=16①,1X5=〃+5/?+c=21②,

②-①得：b=5,

，〃+c=16-4b=-4,

a+b+c=l,

8.【解答】解：(x-冷)+高魯

7

_%(%+!■)—3%(%+1)

-x+1x—2

_X2—2X(X+1)2

―x+1x—2

2

_x(x—2)(x+1)

-x+1x—2

=x(x+1)

=x2+x,

??"滿足f+x-2024=0,

.*.X2+X=2024,

???原式=2024.

9.【解答】解：(1)當％=1時，〃o=4Xl=4；

(2)當X=2時，可得Q6+〃5+3+〃3+〃2+Ql+〃0=4X2=8;

(3)當X=0時，可得46-〃5+〃4-〃3+〃2-〃1+〃0=0①，

由(2)得得a6+。5+。4+〃3+〃2+al+40=4X2=8②；

①+②得：2。6+2。4+2〃2+2〃0—8,

.*.2(〃6+。4+。2)=8-2X4=0,

46+。4+。2=0.

10.【解答】解：(1)3(a-z?)2-7(a-b)2+2(a-b)2=-2(a-6)2

(2)-3x2-6y+21=-3(/+2y)+21,

當/+2y=6時，原式=-3X6+21=3；

(3),:a-2b=3,2b-c=-6,c-d=10,

?'?a-c=3+(-6)=-3,2b-d=-6+10=4,

(6i—+(Z?-d)-(2/?-c)

1

—a-2Z?+Q2b-c)+c-d

=-3+1x(-6)+10

=10.

11.【解答】角軍：(1)(a+Z?)2=。2+2。/?+》2；

(2),.?〃+。=5,

(〃+/?)2=25,

a2+b2+2ab=25,

ab=3,

tz2+fe2=19；

(3),?(8-x)+(x-2)=6,

：.[(8-x)+(x-2)f=36,

???(8-x)2+(x-2)2+2(8-x)(x-2)=36,

(8-x)2+(x-2)2=20,

(8-x)(x-2)=8,

???長方形的面積是8.

12.【解答】解：⑴f2%+y=6a-l?>

1%+2y=-5②

①-②得：x-y=6a+4,

Vx-y=-4,

6ti+4=-4,

4

解得：a=一,

⑵(2x+y=6a-l@^

1%+2y=-5②

①+②得：3x+3y=6〃-6,

「?x+y=2a-2,

-2Vx+yWL

-2<2〃-2W1,

3

二?OVoW21

13.【解答】解：(1),：x-y=6,/+『=40,

(x-y)2=36,

x2-2孫+/=36,

又?.?/+>2=40,

.,.40-2xy=36,

解得：xy=2；

即孫的值是2；

(2)設AC=m，BC=n,

由題意可得：AC+BC=AB,

m+n=6,

又??,以AC,為直角邊向外作等腰直角三角形，其中NACZ)=N5CE=90°,

.\AC=CD=m,BC=CE=n,

?112

??S^ACD+S/\BCE=2fti2+2^=12,

m2+n2=24,

2mn=(m+n)2-(m2+n2),

2.=62-24=12,

??mn--6,

S/^ACE—^AC'EC—^mn—3,

即△ACE的面積為3.

14.【解答】解：(1)令P-Ll=a,

則2(戶-/-1)-(?-r-1)+3(?-r-1)

=2a~q+3〃

=4i,

當f=—4時，

a=(-1)2-(--1=-:,

1

則原式=4x(—4)=-1;

(2)令3/+2尤='

貝I」3(3X2+2X)+4(-3X2-2尤+1)-(3：+2x)

=3(3/+2x)-4(3/+2無)+4-(3x2+2x)

=3b-4Z?+4-b

=-2Z?+4,

111171

當x=~b=3x(—@)2+2x(―可)=@一可=-W，

則原式=+4=學

17Q7070ill1

(3)把1—5——-----2n21看成一*個字母根，把1+5+可+Z+卜2n2?看成一個

乙D什乙U乙_L乙。NiU乙乙

字母小

_