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高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江西省景德鎮(zhèn)市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知為實(shí)數(shù),若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則復(fù)數(shù)的虛部為()A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù),所以,解得,當(dāng)時(shí),,不符合題意,舍去;所以,即,所以復(fù)數(shù)的虛部為4.故選:C.2.已知向量,,則的坐標(biāo)為()A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選:B.3.已知是第三象限角,且,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槭堑谌笙藿牵遥裕?故選:B.4.月牙泉,古稱沙井,俗名藥泉,自漢朝起即為“敦煌八景”之一,得名“月泉曉澈”,因其形酷似一彎新月而得名,如圖所示,月牙泉邊緣都是圓弧,兩段圓弧可以看成是的外接圓和以為直徑的圓的一部分,若,南北距離的長(zhǎng)大約m,則該月牙泉的面積約為()(參考數(shù)據(jù):)A.572m2 B.1448m2 C.m2 D.2028m2【答案】D【解析】設(shè)的外接圓的半徑為,則,得,因?yàn)樵卵纼?nèi)弧所對(duì)的圓心角為,所以內(nèi)弧的弧長(zhǎng),所以弓形的面積為,以為直徑的半圓的面積為,所以該月牙泉的面積為.故選:D.5.如圖,在平行四邊形中,對(duì)角線與交于點(diǎn),且,則()A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危瑢?duì)角線與交于點(diǎn),且,所以,所以.故選:C.6.已知為鈍角,為銳角,且,,則的值為()A B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)闉殁g角,為銳角,且,,所以,,則,又為鈍角,為銳角,所以為銳角,所以.故選:A.7.棣莫弗公式(其中i為虛數(shù)單位)是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667-1754)發(fā)現(xiàn)的,根據(jù)棣莫弗公式可知,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】,在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限.故選:B.8.已知,,,,則的值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得,所以,因?yàn)椋裕裕郑裕遥裕遥驗(yàn)椋裕郑裕裕郑裕驗(yàn)椋裕裕?故選:A.二、多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)是的共軛復(fù)數(shù),則()A. B.C. D.【答案】BD【解析】因?yàn)樗裕蔄錯(cuò)誤,D正確;,故B正確;,故C錯(cuò)誤.故選:BD.10.已知,則下列說(shuō)法正確的有()A. B.與可以作為一組基底向量C. D.在方向上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】BC【解析】對(duì)于A,,即與不垂直,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因不共線,故與可以作為一組基底向量,故B正確;對(duì)于C,,故C正確;對(duì)于D,在方向上的投影向量為,故D錯(cuò)誤.故選:BC.11.已知,均為銳角,,則下列說(shuō)法正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.的最小值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng),若,由得,,即,又為銳角,所以,故A正確;對(duì)于B選項(xiàng),若,則,由得,,所以,故B錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),由,得,令,則,兩邊平方得:,由判別式法可得,解得,即,又為銳角,所以的最小值為,當(dāng)時(shí),取最小值,故D正確;對(duì)于C選項(xiàng),由D選項(xiàng)可知,,而,所以,故C正確.故選:ACD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12已知,,若與共線,則_________.【答案】2【解析】因?yàn)榕c共線,所以,即,所以,所以.故答案為:2.13.已知,,則____________.【答案】【解析】因?yàn)椋瑒t,顯然,可得,整理得,解得或,又因?yàn)椋瑒t,可得,所以.故答案為:.14.在中,,,,為邊上兩點(diǎn),且,則的最小值為______.【答案】【解析】如圖所示,以的中點(diǎn)為原點(diǎn),為軸,射線為非負(fù)軸建立平面直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè),不妨假設(shè)D在E的左側(cè),則由知,,據(jù)此有:,,則,因?yàn)椋裕裕裕裕睿瑒t,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),等號(hào)成立,故的的最小值為.故答案為:.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù),為虛數(shù)單位.(1)求;(2)若復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根,求實(shí)數(shù),的值.解:(1)因?yàn)椋裕?(2)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根,所以也是方程的一個(gè)根,所以由韋達(dá)定理可得,.16.已知向量.(1)若,求實(shí)數(shù)的值以及在方向上的投影數(shù)量;(2)若對(duì)有恒成立,求實(shí)數(shù)取值范圍.解:(1)因,則,解得;則,于是,在方向上投影數(shù)量為.(2)依題意,在R上恒成立,因,故有,解得或,即實(shí)數(shù)取值范圍為:.17.函數(shù),函數(shù)的最小正周期為.(1)求函數(shù)的遞增區(qū)間,對(duì)稱軸以及對(duì)稱中心;(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,再將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)在區(qū)間上的值域.解:(1),因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為,所以,即,所以,令,解得,所以的遞增區(qū)間為,令,解得,所以的對(duì)稱軸為,令,解得,所以的對(duì)稱中心為.(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,則,再將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,得到函數(shù)的圖象,則,因?yàn)椋裕裕裕春瘮?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?18.請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的橫線上,并解答.①;②;③,在中,內(nèi)角,,的對(duì)邊分別是,,,若
.(1)求角;(2)若,求周長(zhǎng)的取值范圍.解:(1)選擇①,,由正弦定理,,即,由余弦定理,,因,故.選擇②,,因,則得,,整理得,,因,,故得,因,故.選擇③,由可得,,由正弦定理,,因,,故得,,因,故.(2)由正弦定理,,可得,于是的周長(zhǎng)為:,因,,則,故,即周長(zhǎng)的取值范圍為.19.在中,已知.(1)求;(2)設(shè),點(diǎn)為外接圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(ⅰ)求的取值范圍;(ⅱ)若,且,求的周長(zhǎng).解:(1)因?yàn)椋裕忠驗(yàn)樵谥校裕郑?(2)如圖所示,以AB中點(diǎn)D為原點(diǎn),AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則圓心在y軸上,不妨設(shè),則,由正弦定理可得,外接圓半徑,由,得,解得,所以,所以外接圓方程為,(ⅰ)設(shè),則,所以,又因?yàn)辄c(diǎn)在外接圓上,所以,即,所以,又,所以,所以.(ⅰⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)C在外接圓上,所以設(shè),則,所以,所以,又因?yàn)椋裕裕矗?jīng)檢驗(yàn)符合題意,所以為等邊三角形,所以的周長(zhǎng)為.江西省景德鎮(zhèn)市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知為實(shí)數(shù),若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則復(fù)數(shù)的虛部為()A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù),所以,解得,當(dāng)時(shí),,不符合題意,舍去;所以,即,所以復(fù)數(shù)的虛部為4.故選:C.2.已知向量,,則的坐標(biāo)為()A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選:B.3.已知是第三象限角,且,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槭堑谌笙藿牵遥裕?故選:B.4.月牙泉,古稱沙井,俗名藥泉,自漢朝起即為“敦煌八景”之一,得名“月泉曉澈”,因其形酷似一彎新月而得名,如圖所示,月牙泉邊緣都是圓弧,兩段圓弧可以看成是的外接圓和以為直徑的圓的一部分,若,南北距離的長(zhǎng)大約m,則該月牙泉的面積約為()(參考數(shù)據(jù):)A.572m2 B.1448m2 C.m2 D.2028m2【答案】D【解析】設(shè)的外接圓的半徑為,則,得,因?yàn)樵卵纼?nèi)弧所對(duì)的圓心角為,所以內(nèi)弧的弧長(zhǎng),所以弓形的面積為,以為直徑的半圓的面積為,所以該月牙泉的面積為.故選:D.5.如圖,在平行四邊形中,對(duì)角線與交于點(diǎn),且,則()A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危瑢?duì)角線與交于點(diǎn),且,所以,所以.故選:C.6.已知為鈍角,為銳角,且,,則的值為()A B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)闉殁g角,為銳角,且,,所以,,則,又為鈍角,為銳角,所以為銳角,所以.故選:A.7.棣莫弗公式(其中i為虛數(shù)單位)是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667-1754)發(fā)現(xiàn)的,根據(jù)棣莫弗公式可知,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】,在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限.故選:B.8.已知,,,,則的值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得,所以,因?yàn)椋裕裕郑裕遥裕遥驗(yàn)椋裕郑裕裕郑裕驗(yàn)椋裕裕?故選:A.二、多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)是的共軛復(fù)數(shù),則()A. B.C. D.【答案】BD【解析】因?yàn)樗裕蔄錯(cuò)誤,D正確;,故B正確;,故C錯(cuò)誤.故選:BD.10.已知,則下列說(shuō)法正確的有()A. B.與可以作為一組基底向量C. D.在方向上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】BC【解析】對(duì)于A,,即與不垂直,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因不共線,故與可以作為一組基底向量,故B正確;對(duì)于C,,故C正確;對(duì)于D,在方向上的投影向量為,故D錯(cuò)誤.故選:BC.11.已知,均為銳角,,則下列說(shuō)法正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.的最小值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng),若,由得,,即,又為銳角,所以,故A正確;對(duì)于B選項(xiàng),若,則,由得,,所以,故B錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),由,得,令,則,兩邊平方得:,由判別式法可得,解得,即,又為銳角,所以的最小值為,當(dāng)時(shí),取最小值,故D正確;對(duì)于C選項(xiàng),由D選項(xiàng)可知,,而,所以,故C正確.故選:ACD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12已知,,若與共線,則_________.【答案】2【解析】因?yàn)榕c共線,所以,即,所以,所以.故答案為:2.13.已知,,則____________.【答案】【解析】因?yàn)椋瑒t,顯然,可得,整理得,解得或,又因?yàn)椋瑒t,可得,所以.故答案為:.14.在中,,,,為邊上兩點(diǎn),且,則的最小值為______.【答案】【解析】如圖所示,以的中點(diǎn)為原點(diǎn),為軸,射線為非負(fù)軸建立平面直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè),不妨假設(shè)D在E的左側(cè),則由知,,據(jù)此有:,,則,因?yàn)椋裕裕裕裕睿瑒t,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),等號(hào)成立,故的的最小值為.故答案為:.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù),為虛數(shù)單位.(1)求;(2)若復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根,求實(shí)數(shù),的值.解:(1)因?yàn)椋裕?(2)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根,所以也是方程的一個(gè)根,所以由韋達(dá)定理可得,.16.已知向量.(1)若,求實(shí)數(shù)的值以及在方向上的投影數(shù)量;(2)若對(duì)有恒成立,求實(shí)數(shù)取值范圍.解:(1)因,則,解得;則,于是,在方向上投影數(shù)量為.(2)依題意,在R上恒成立,因,故有,解得或,即實(shí)數(shù)取值范圍為:.17.函數(shù),函數(shù)的最小正周期為.(1)求函數(shù)的遞增區(qū)間,對(duì)稱軸以及對(duì)稱中心;(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,再將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)在區(qū)間上的值域.解:(1),因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為,所以,即,所以,令,解得,所以的遞增區(qū)間為,令,解得,所以的對(duì)稱軸為,令,解得,所以的對(duì)稱中心為.(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,則,再將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,得到函數(shù)的圖象,則,因?yàn)椋裕裕裕春瘮?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?18.請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的橫線上,并解答.①;②;③,在中,內(nèi)角,,的對(duì)邊分別是,,,若
.(1)求角;(2)若,求周長(zhǎng)的取值范圍.解:(1)選擇①,,由正弦定理,,即,由余弦定理,,因,故.選擇②,,因,則得,,整理得,,因,,故得,因,故.選擇③,由可得,,由正弦定理,,因,,故得,,因,故.(2)由正弦定理,,可得,于是的周長(zhǎng)為
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