2025年春九年級數(shù)學中考復習《圖形的性質》常考熱點填空題專題提升訓練（附答案）

1.如圖，△ABC中，乙B=90°,ZX=24°,E,尸分另!］是邊AB,AC上的點，連接EF,將△AEF

沿著￡尸折疊，得到AAEF,當4F所在直線與AB垂直時，N2EF的度數(shù)是.

2.如圖，在平行四邊形4BCD中，對角線AC,BD交于點。，過點。作。E1.4C交AD于點E,

連接EC.若ACDE的周長為7,則回28CD的周長為.

3.如圖，正方形4BCD的邊長為1,點尸在邊40上，S.PE1AC,PF1BD,垂足分別為￡、

F,則PE+PF的值為.

4.如圖，在△ABC中，/.ABC=90°,AB=BC,點4的坐標為（一7,3）,點B的坐標為（一2,0）,

5.如圖，在四邊形4BCD中，延長BA、FE,交于點M,延長CD,與FM交于點N,若NBMF+

^CNF=90°,AB=5,CD=12,E.F分別是4。、BC的中點，則EF=.

DC

F

B

6.如圖，△ABC中，4。是中線，AE平分NBAC,CFLAE^F,AB=10,AC=4,則。尸的

長為______

7.如圖，四邊形48CD為菱形,N28C=70°,延長BC到E,在NDCE內作射線CM,使得NECM=

15°,過點D作DF1CM,垂足為F,若DF=VIU,則對角線BD的長為

8.如圖，在扇形40B中，。4=2,N20B=90。，點C為4B的三等分點，D為OA.上一動點,

連接DC,DB.當DC+DB的值最小時，圖中陰影部分的面積為(結果保留兀)

9.如圖，在矩形4BCD中，4B=2BC,點M是。9邊的中點，點E,尸分別是邊AB,BC邊

上的點，且4F_LME于點G,若BE=4,BF=2,則ME=.

10.如圖，在平面直角坐標系中，點4(3,0),P是y軸正半軸上的一個動點，AABP是等腰直

角三角形,NB4P=90°,C是點P正上方一點，連接BC,若NBCP=45°,則PC的長為.

11.如圖，平行四邊形。ABC的頂點4在％軸的正半軸上，點D(3,2)在對角線。B上，反比例函

數(shù)y=￡(k>0,x>0)的圖象經(jīng)過C,D兩點?已知平行四邊形O4BC的面積是18,則點B的坐

標為.

12.如圖，矩形4BCD中，AB=4,AD=2,點￡是4D延長線上一點，連接BE交AC于點?若

/-ACB=2^AEF,則線段DE的長為.

13.如圖，AB是。。的直徑；弦CD交AB于點F,BF=2OF,弦4E1CD于點G,連接CE,CE||

AB.若CG=4,則FG=,AB=

14.如圖，把矩形4BCD沿EF對折，使點8與點。重合，折痕EF交BD于G,P為DG上一個

動點，若FC=2,DC=4,則PF+PC的最小值為.

15.如圖，已知△ABC,AC=BC=6,ZC=90°.。是AB的中點，。。與AC,8C分別相

切于點。與點E.點尸是。。與4B的一個交點，連DF并延長交CB的延長線于點G.則

Z.CDG=,CG=.

16.如圖，在正方形4BCD中，4B=8百，點E為邊4D上一點，連接BE,點G在BE上,

以GE為邊作等邊△￡■七,點尸落在CD上，M為GF中點，連接CM,則CM的最小值為

17.在矩形中，=5,BC=3,將矩形28CD繞點/順時針旋轉得到矩形49

點8的對應點B,落在直線CD上，連接DD',則。。'的長度為.

18.如圖，矩形ABCD中，。。為XABC的內切圓，過點。作AB的平行線，分別

交AD,BC于點E,F,交AC于點G,交。。于點H.

(1)若點。為EF的黃金分割點，則tanzCXB的值為

(2)若EG=2GH=4,則矩形ABCD的面積為.

19.如圖，在RtAAOB中，ZXOB=90°,BO=2AO=5,在B。或B。的延長線上取點P,連

接2P,再作△PAG,其中2P=4G,^PAG=2ABAO,取PG中點H,連接。"，則下列結論

正確的是—

①sin^APG=②4PHO=APAO,③BP=V5OH,④連接BG,則BG的最小值為8.

20.如圖，在△ABC中，2LABC=90°,BA=BC,把△ABC繞點/逆時針旋轉得到△4DE,

點。與點8對應，點。恰好落在4C上，過E作EF||4B交BC的延長線于點尸，連接BD并延

長交EF于點G,連接CE交BG于點〃.下列結論:①BD=DG；②CH=EH；③BD=V2DH；

@DG=y[2EG.其中正確的有(填正確的序號).

參考答案

1.解:"E,F分別是逅IB,4C上的點*

團當4F所在直線與4B垂直時，有以下兩種情況：

①如圖：延長4F交4B于點X,

設2EF=a,

由三角形的外角性質得：/-EFA'=AAEF+4FHE=a+90°,

由折疊的性質得：乙EFA=Z.EFA'=cr+90°,

在A4EF中，ZX+Z.AEF+/.EFA=180°,

?，?24°+a+a+90°=180°,

解得：a=33。，

???Z.AEF=a=33°；

②如圖,

CF

'A'

在△ABC中，Z.B=90°,乙4=24°,則NC=66°；

將AAEF沿若EF折疊，得到則有N&FE=乙4//

A'FLAB,NB=90°

A'FWBC,

AAA'FA=NC=66°,

又；/LA'FE=UFE,且NA'FA=^A'FE+Z-AFE=66°,

???^A'FE=AAFE=33°；

在A2EF中，ZX=24°,ZXFF=33°,

???^AEF=180°-24°-33°=123°,

故答案為：33。或123。

2.解：團在平行四邊形4BCD中，對角線AC,BD交于點。,

回。2=OC,AD=BC,AB=CD

又EIOE1AC,

回OE為AC邊的垂直平分線,

EEC=EA,

E1ACDE的周長=DC+DE+EC=DC+DE+EA=DC+DA7,

回目ABC。的周長=2（DC+。/）=2X7=14,

故答案為：14.

3.解：如圖，對角線2C與交于點。,

AD

BC

回正方形4BCD邊長為1,

^\AD=CD—1,AC1BD,

團乙。/0=45°；

SAC2=AD2+CD2=l2+I2=2,貝IMC=V2,

0PE1AC,PF1BD,

^Z.PEC=/.PFB=90°；

又EL4C1BD,

國四邊形EPOF是矩形，

HPF=OE,

又EIND4。=^APE=45°,

EL4￡=PE,

^AE+OE=OA=-AC=-xV2=—,

222

EPE+PF=—.

2

故答案為：乎.

4.解：如圖，過Z作4。1%軸于0,過C作CE，》軸于E,

則=乙CEB=90°,

???Z-ABC=90°,

??.Z.ABD=Z-BCE,

又???AB=BC,

/.△ABD三△BCE（AAS）,

AD=BE,BD=CE,

又???點/的坐標為（一7,3）,點B的坐標為（一2,0）,

??.BE=3=AD,BD=CE=5,

OE=3—2=1,

.??點C的坐標為(1,5),

故答案為：(1,5).

5.解：連接BD,取BD的中點連接EH,HF,

B

回￡、尸分另IJ是4。、BC的中點，

151

0EHIIAB,EH=^AB=|,HF||CD,HF=^CD=6,

^HEF=A.BMF,乙HFE=CCNF,

0ZFMF+乙CNF=90°,

^HEF+乙HFE=90°,

^EHF=90°,

0EF=VEH2+HF2=J住J+62=

故答案為葭.

6.解：如圖，延長CF,交/B于點G,

A

財E平分乙MC,

團乙C/F=4GAF,

0CF1AE,

^AFC=AAFG=90°,

在△AFC和△AFG中，

2AFC=^AFG=90°

AF=AF,

、^CAF=2LGAF

0AAFC=A^FG(ASA),

^AG=AC=4,CF=GF,

胤48=10,

回BG=AB—AG=6,

又固4。是AABC的中線，CF=GF,

回DF是△BCG的中位線，

1

^\DF=-BG=3,

2

故答案為：3.

7.解：如圖，連接/C交于“，

回四邊形ABCD為菱形，/.ABC=70°,

1

⑦BH=DH,AC1BD,CB=CD,Z.CBD=-^ABC=35°.AB||CD,

2

⑦乙DHC=90°,乙CDB=乙CBD=35°,DCE=AABC=70°,

團乙ECM=15°,

國KDCF=55°,

0Z)F1CM,

MFD=90°

國乙CDF=35°=乙CDB,

在△CD"和△CDF中，

ZCHD=(CFD

乙CDH=乙CDF

CD=CD

0ACDH=△CPF(AAS),

即H=DF=V10,

國BD=2A/T0,

故答案為團2m.

8.解：如圖，過點B作關于4。的對稱點尸，連接CF交/。于點。，此時，DC+BD=DC+DF=

CF,值最小，如圖：

設BD與。C交于點E,

回點C為三等分點，乙408=90。，

1

^AOC=-Z.AOB=30°,

3

團乙BOC=LAOB-^AOC=60°,

回。C=OF=OA=2,

i

團乙OFC=乙OCF=-Z.BOC=30°,

2

WB=OF,OA1BF,

回OF=DB,

^DBF=乙CFO=30°,

^BDO=180°-^AOB-乙DBF=60°

回DF=DB,OF=OB,

國乙FDB=2（BDO=120°,

^\Z-CDB=60°,

國kCED=180°-乙FCD一2CDB=180°—30°-60°=90°,

在Rt^DOF中，Z.CFO=30°,則OF=2。0,

WF2=OD2+OF2,

回4。。2=亦+%

解得：OD=W（負值已舍去），

回乙AOC=（FCO=30°,

團CO=OD=—,

3

在RtACDE中，DE=|CD=y,

ME=7CD2—DE2=J律?—（勺=1,

05ADC￡=|PE-CE=jx^xl=^,

在RtABE。中，NEB。=30°,

1

回。E=-OB=1,

2

回BE=y/OB2-OE2=V22-l2=V3,

回SNOB=|0E-BE=|xlxV3=^,

_90°XTTX22_

,扇形20B=-就-=n,

_30°XTTX22_1

5扇形40c=360。=3n，

13s陰=S扇形AOB—S4EOB-$扇形A。。+SADCE

V31V3

=71-------—71+—

236

_27T-V3

—3'

故答案為：等昌

9.解：團四邊形4BCD為矩形，

團乙0=Z-DAB—Z-B—90°,AB=CD,AD=BC,

團點M是CD邊的中點，

1

回DM=-CD.

2

如圖，作MH1AB于，

團乙。=Z-DAB=Z.AHM=90°,

團四邊形D4HM為矩形，MH=AD=BC,

11

胤4”=DM=-CD=-AB

22f

^AH=BH,

國4F1ME,

^GAB+乙AEG=90°,

^EMH+乙MEH=90°,

0ZEMH=/-GAE,

國乙MHE=乙ABF=90°,

舐ABFMHE,

^MHHE

0—=—，

ABBF

胤48=2BC,

回”E=1,

胤4”=BE=BE+HE=5,

匿48=10,

[3MH=AD=5,

回ME=7MH2+HE2=V26,

故答案為：V26.

10.解：如圖，過點B作BM1%于點M,BNly軸于點N,

v△4BP是等腰直角三角形,

/.AP=AB,/-BAP=90°,

???4PAO+Z.BAM=90°,

???Z-OPA+Z-PAO=90°,

???乙OPA=/-BAM,

/.△ABM三△PA。，

??.PO=AM,OA=BM

??Y(2,0),

???OA—2,

??.BM=2,

???乙BNO=乙BMO=乙MON=90°,

???四邊形ONBM是矩形,

ON=BM=2,

???Z.BCN=45°,

???乙CBN=90°-45°=45°,

???CN=BN,

??.PC=CN-PN=BN-（P。-ON）=OM-PO+BM=OA+AM-AM-^rBM=2+2=

4,

故答案為：4.

11.解：團反比例函數(shù)、=5（攵＞。,第＞。）的圖象經(jīng)過點。（3,2）,

回/c=3x2=6,

回反比例函數(shù)的解析式為y=;,

EIOB經(jīng)過原點O,

團設直線。8的解析式為y=mx（m。0）,

團。B經(jīng)過點。（3,2）,

團2=3m,

2

[Em=一，

3

回直線OB的解析式為y=|x,

國反比例函數(shù)y=《經(jīng)過點C,

回設C（a,g）,且a＞0,

自四邊形04BC是平行四邊形，

WC\\OA,S|30ABe=2s△OBC，

團點2的縱坐標為?

EIOB的解析式為y=-x,

回％=一:

96'

a*a.

9

團BC=—cif

a

16/9\

回S^OBC=2XaX\a~a）,

國平行四邊形OABC的面積是18,

團S平行四邊形0/BC=2sAOBC=2X2XaX)=18,

解得：a=|或a=—|（舍去），

回點5的坐標是（6,4）,

故答案為：（6,4）.

12.解：如圖，連接

回四邊形/BCD是矩形，

團ZDIIBC,^BAD=90°,

^\Z-ADB=乙ACB,

^\Z-ACB=2/-AEFf

^\Z-ADB=24AEF,

^\Z-ADB=Z-AEF+乙DBE,

團N/EF=乙DBE,

^DE=DB,

^BAD=90°,AB=4fAD=2,

0DB=y/AB2+AD2=V42+22=2倔

EIDE=2A/5,

故答案為：2曲.

13.解：如圖所示，連接BE,4C,

D

回AB是直徑，

回乙ZEB=90°,

囿4E1CD,

團44Go=90°=乙AEB,

回GF||BE,

0AAGF—△ABE,

^AGAFGF

團—=—=—，

AEABBE

MF=2OF,

設。F=%,貝1傷尸=2%,

回。A=OB=OF+FB=3%,

^AB=6x,AF=4%,

回CEIIAB

△AGFEGC,

團GF=2CG=2x4=8,

回BF||CE,CF||BE,

團四邊形BFCE是平行四邊形，

團BE=CF=CG+GF=4+8=12,

胤4B||CE,

^\Z-BAE=Z.AEC,

^\Z-ADC=Z-AEC,

^\Z-BAE=Z.ADC,

回BE=AC=12,

在RtAACG中，AG2=AC2-CG2=122-42=128,

在RtAMG中，AG2=AF2-GF2=(4x)2-82,

回(4x)2—82=128,

解得，x=2-\/3(負值舍去)，

EL4B=6x=12V3；

故答案為：①8；②12V3.

14.解：如圖，

連接CE交于點P,

由折疊知，點￡與點/關于BD對稱，

回PE=PF,

EIPF+PC=PE+PC=CE,即止匕時PF+PC的值最小.

團矩形ABCD中，F(xiàn)C=2,DC=4,

SAB=CD=4,^ADC=zX=乙ABC=4BCD=90°,

0ZCDF+乙EDF=90°.

由折疊知，A'D=AB=CD=4,NA=LA=90°,^A'DF=Z.ABC=90°,

^A'DE+/.EDF=90°,

S^A'DE=乙CDF,

0AA'DE=△CDF(ASA),

^A'E=CF=2,

SDE=V42+22=2V5,

fflCF=J(2而『+42=6,即PF+PC的最小值為6.

故答案為：6.

15.解：如圖，連接OD.

c

??,OD=OF,

1

???乙ODF=Z.OFD=-Z.DOA=22.5°,

2

??.Z.CDG=(CDO-乙ODF=90°-22.5°=67.5°,

Z-C=Z-ADO—90°

??.OD||CB,

ADO~〉ACB,

AD_AO_DO

"~AC~~AB~~BC

???。是/B的中點，

.AD_AO_DO_1

"AC-AB~BC-2f

1

???OD=-BC=3,

2

-AC=BC=6,ZC=90°,

AB=6V2,則。8=3a,

???OD||CG,

??.Z.ODF=Z.G,

???OD=OF,貝lUODF=乙OFD,

??.Z.BFG=Z.OFD=Z.G,

：.BF=BG=OB-OF=3A/2-3,

???CG=BC+BG=6+3V2-3=3夜+3,

故答案為：67.5°,3V2+3.

16.解：13正方形4BCD,

回CD=AB=8V3,乙EDF=90°,

如圖，以DF為邊構造等邊三角形△DFH,連接GH,DM,過C作CN_LDM于N,

0AEFG^AOF”是等邊三角形，

回EF=GF=GE,DF=FH=DH,乙HDF=乙DFH=(EFG=60°,

^DFE=乙HFG=60°-乙HFM,

0ADFE三AHFG(SAS),

^EDF=Z.GHF=90°,

團欣為GF中點，

團MH=MF,

WF=DH,DM=DM,

0ADMH三△DMF(SSS),

i

SZ.HDM=乙FDM=-2/.HDF=30°,

El當點E在4。上運動時，點初在ON上運動，當CM_LDN時，CM最小,

0ZCD/V=4FDM=30°,

13cM最小值=號CD=1x8V3=4V3,

故答案為：4>/3.

17.解：延長EM,過點。，作"E交于點E,

團矩形4BCD繞點A順時針旋轉得到矩形D'EIDA,AB=5,BC=3,

^DAB'+/.DB/A=90°,4DAB'+/.EAD'=90°,/.ADB'=/.AED'=90°,AD=AD'=3,

AB'=5,

0ZDBM=AEAD',DB'=>/52-32=4,

0AADB'D'EA,

^ADAB'DB'

回的=莉=左

解得：ED'=l，AE=^,

27

WE=2

皿=腎7尋=酒

如圖所示，連接8B，，DD',

團矩形4BCD繞點/順時針旋轉得到矩形AB'LD,AB=5,BC=3,

SAD=AD'=3,AB=AB'=5,^BAB'+^DAB'=90°,^DAD'+乙DAB，=90°,

WD=V52-32=4,^BAB'=^DAD',

MB'=5-4=1,

0BB,=V32+l2=V10,

啜=弟=L

^ABAB'

回訪=標'

[?]△ABB'~AADD’,

「BB'AB5

團--7=----=一,

DD'AD3

WD'=-VTo,

故答案為：|VTU或

18.解：（1）如圖，設AB、AC分別與O。相切于點M、N,連接。M,

則。M_L4B,AN=AM,

回四邊形ABC。是矩形，

^\Z-EAB=/.ABF=90°,

^\EF\\AB,

^AEF=90°,

回四邊形ABFE是矩形，

^AB=EF,Z.EFB=90°,

即。FIBC,

團BC與。。相切，

回點F為切點，

MN=CF,BF=BM,

團。MLAB,

團乙。MB=Z-OMA=90°,

團40MB=乙MBF=Z-BFO=90°,乙EAM=乙AEO=乙AMO=90°,

團四邊形。MBF是正方形，四邊形/EOM是矩形,

^BF=BM=OF,AM=E。，

若0為EF的黃金分割點，不妨設EO=1,貝!MN=AM=EO=1,BF=BM=OF=

通-1

2

財=等

設CF=x,則CN=x,BC=等+x,

團AC=1+%,

^AB2+BC2=AC2,

22

回（等）+（等+久）=（1+%）2，

解得X=等，

麗=^+學=V5+1,

or,遙+1

團atn4cZB=—

AB4+1

2

故答案為：2；

(2)0EG=2GH=4,

SIGH=2,

連接。N,則NOHG=AEG=90°,

由(1)可得，四邊形4E0M是矩形，

^AE=OM,

回。N=AE,

又EINOGN=乙4GE,

0AOGN三△AGE(AAS),

EIOG=AG,

設O。的半徑為r,貝UAG=OG=r+2,AE=r,

^\AE2+EG2=AG2,

042+r2=(r+2)2,

解得丁=3,

^\AB=EF=4+2+3x2=12,AM=E。=4+2+3=9,

MN=AM=9,

設CF=CN=m,則ZC=9+TH,BC=m+3,

BAB2+BC2=AC2,

團122+(m+3)2=(9+m)2,

解得m=6,

^BC=6+3=9,

0矩形ABCD的面積為48-BC=12X9=108,

故答案為：108.

19.解：如下圖所示：連接Z”，

AP=AG,點”為PG中點,

???由等腰三角形三線合一性質可知，AH1GP,且平分NPAG,

1

???4PAH=乙GAH=-Z-PAG

2

???/.PAG=2(BAO,

???乙PAH=NBA。，

???乙AOB=Z-PHA=90°,

??.Z.ABO+匕BAO=90°,^APH+APAH=90°,

???4APH=乙ABO,

在RtZMB。中，AAOB=90°,BO=2AO=5,

ab=+52=|V5,

5

.An—.ACCZO7V5,1

???smZ-APG=smZ-ABO=—==一豐一,

4B*52

故①錯誤；

如下圖所示，及442。與口144”「的斜邊是4「,

???點4P,0,“四點共圓，

:.乙PHO=Z.PAO,

故②正確；

如下圖所示，

由①可知NPA"=NBA。，

AOAH=/_BAP,

由②可知NPH。=/.PAO,

在△2PE和△HOE中，/.AEP=/.HEO,

：.LAPH=^AOH,

在RtAABO和RtMPH中，Z.PAH=Z.BAO,AAOB=^AHP=90°,

???Z.ABP=乙APH,

???乙ABP=，

??.△ABP~XAOH,

BPAB

OHAO

由①可知AB=|逐，AO=1，

BP=遮OH,

故③正確；

.?.。4是的BQ垂直平分線，

AB=AQ,

Z-BAQ=2Z.BA0,/-ABO=Z.AQO,

???"AG=2(BAO,

??.△BAP=△QAG(SAS),

???Z-ABO=Z-AQGf

???Z-BAP=Z-QAGf

???AP=AG,

???Z-PAG=Z-BAQ,Z-APB=乙AGQ,

???/-OQG=2/.AQ0=2乙ABO,

即點G在NOQG的邊QG上運動，

當BG1QG時，BG最小，如圖所示：

BQ=10,

作AU1BG于U,

???^AGU+AUAG=90°,

???乙AGU+^AGQ=90°,乙APB+^PAO=90°,

??.AAGU=乙PAO,

???/-AUG=/-AOP=90°,AG=APf

.*.△AUG三△POA(AAS),

???UG=OA=~,AU=PO,

2

設AU=PO=x,BU=y,

在RtAABU中，AU2+MU2=AB2,BP%2+y2=(j)2+520,

在RtAGBQ中，BG2+QG2=BQ2,BP(5+x)2+(|+y)2=102@,

x=]