2025年九年級中考數學三輪沖刺訓練一次函數的動態幾何問題

一、選擇題

1.如圖，O。是以原點為圓心，魚為半徑的圓，點尸是直線y=-x+6上的一點，過點尸

作O。的一條切線尸。，。為切點，則切線長尸。的最小值為()

A.3B.4C.6-V2D.3企一1

2.如圖，直線y=—看+6分別與x軸、y軸交于點A、B,點C在線段OA上，線段沿

8C翻折，點。落在A8邊上的點。處.以下結論：

①AB=10；②直線BC的解析式為y=-2x+6；

…_2412

③點D(―,―)；

④若線段2C上存在一點P,使得以點P、0、C、。為頂點的四邊形為菱形，則點尸的

9

橫坐標是g,以上所有結論中正確的個數是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.如圖，已知直線MN：>=冬什2交無軸負半軸于點A,交y軸于點8,點C是x軸上的

一點，且OC=2,則的度數為()

A.45°或135°B.30°或150°C.60°或120°D.75°或165

第3題圖

第1題圖第2題圖

4.如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的O。與無軸的正半軸交于點A,點3是。。

上一動點，點C為弦AB的中點，直線y=%-3與X軸、y軸分別交于點。、E,則點C

到直線DE的最小距離為()

343

A.1B.—C.—D.—

554

5.如圖，直線人與無軸、y軸分別交于A(-2,0),B(0,6),直線/2經過點B且與x軸

負半軸交于點C,ZABC=45°.若線段上存在一點P,使AAB尸是以A為直角頂點

的等腰直角三角形，則尸點坐標為()

A.(8,2)B.(-6,2)C.(-8,2)D.(6,-2)

6.已知A點坐標為A(V2,0)點3在直線y=-x上運動，當線段A8最短時，8點坐標

()

A.(0,0)B.(/,一孝)

C.（1,-1）D.（—于，）

22

7.八個邊長為1的正方形如圖擺放在平面直角坐標系中，經過尸點的一條直線/將這八個

正方形分成面積相等的兩部分，則該直線/的解析式為（）

A.尸需式+^B.y=+*c.尸機+^D?

第4題圖第5題圖第7題圖

168

8.已知直線h：y=kx+b與直線hy=-習:+機都經過C（—寧直線/1交y軸于點8

（0,4）,交工軸于點A,直線/2交y軸于點。,尸為y軸上任意一點，連接陰、PC,有

乂下涌法.

y-kx+bfx=-fX

①方程組1的解為《以；

y=+mo

zV-5

②△BCD為直角三角形；

③%ABD=6；

④當B4+PC的值最小時，點尸的坐標為（0,1）.

其中正確的說法是（）

A.①②③B,①②④C.①③④D.①②③④

9.已知平面上四點A（0,0）,B（10,0）,C（12,6）,D(2,6),直線>=g-3加+6將

四邊形ABC。分成面積相等的兩部分，則根的值為（)

11

A.-B.-1C.2D.-

3

4

10.在△ABC中，點。是△ABC的內心，連接。3、OC,過點。作E/〃BC分別

交AB、AC于點E、F,已知BC=a（。是常數），設△ABC的周長為》AAEFE/O\1

的周長為X,在下列圖象中，大致表7云y與x之間的函數關系的是（）

,B-----------

K]-EL

A.0\XB.O十"Yc.cfF.oi'

二、解答題

11.如圖1,直線y=-裊+8分別交無軸，y軸于點A,B,C為射線08上一點，把

沿直線AC翻折得到△ACD

(1)求點A,B的坐標.

(2)當點D在的內部時，連結0D并延長交48于點P.若AC=0P,求點P的

坐標.

(3)如圖2,點M為的中點，當與坐標軸平行時，請直接寫出0C的長.

12.如圖，已知直線/1：y=-3x+6與x軸交于點A,與y軸交于點8,以線段AB為直角邊

在第一象限內作等腰Rt^ABC,ZABC=9Q°,直線/2經過A,C兩點.

(1)則A點的坐標為,B點的坐標為;

(2)求直線/2的函數表達式；

(3)點P是線段AC上的一點(不與A、C重合)，試探究△BPC能否成為以2尸為直角

邊的等腰直角三角形？若能，請直接寫出點尸的坐標，若不能，請說明理由.

備用圖

13.如圖，函數y=-x+2的圖象與無軸，y軸分別相交于點。，C,直線經過點A(-2,

0)和點2(0,6),直線A3,相交于點M.

(1)求點M的坐標；

(2)點N在直線上，使得SABMN=2SAAMC,求N點的坐標；

(3)在直線C。上是否存在點P,使得8,M,尸三點構成的三角形與△AMC全等，若

存在求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

14.如圖，四邊形0ABe是平行四邊形，其中點A的坐標是(10,0),點。的坐標是(0,

0),點C的坐標是(4,6).

(1)請求出點B的坐標；

(2)已知點。是線段上一個動點，若三角形04。是等腰三角形，請求出所有符合

要求的點。的坐標；

(3)已知直線：y=fcc+b恰好將回。48c分成面積相等的兩部分，請求出左與b之間滿足

的關系式.

15.如圖，直線A：y=x+2與無軸交于點A,直線/2：y=kx+b(k、b為常數,且左#0)與

x軸交于點8(4,0),直線八與及交于點C)2,目).

(1)求點C的坐標及直線/2的函數表達式；

(2)若點。是線段BC上一個動點，點。的橫坐標是機，△ADB的面積是S,請求出S

與根之間的函數關系式；

(3)在y軸上是否存在點P,使得P2+PC的值最小？若存在，求出點尸的坐標及這個

最小值；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題

題號123456718910

答案BDDCCBABBC

1.【解答】解：在直線F-x+6上，

.,.設尸坐標為(m,6-機)，

連接OQ,OP,由P。為圓。的切線，得到PQ±OQ,

在Rt^O尸。中，根據勾股定理得：。尸=尸。2+。。2,

P(^—rrT+(6-m)2-2=2,后-12〃z+34=2(m-3)2+16,

則當機=3時，切線長PQ的最小值為4.

故選：B.

2.【解答］解：:,直線y=-*x+6分別與x、y軸交于點A、B,

.?.點A(8,0),點8(0,6),

：.OA=S,0B=6,

：.AB=VOB2+OA2=464+36=10,故①正確；

:線段OB沿BC翻折，點。落在AB邊上的點。處,

：.OB=BD=6,OC=CD,ZBOC=ZBDC=90°,

：.AD=AB-BD=4,

'SAC^^AEr+CD2,

：.(8-OC)2=16+OC2,

/.OC=3,

...點C(3,0),

設直線BC解析式為：y=kx+6,

：.Q=3k+6,

:?k=-2,

?,?直線3c解析式為：y=-2x+6,故②正確；

如圖，過點。作。AC于H,

9：CD=OC=3,

???CA=5,

911

：S^ACD=^ACXDH=^CDXADf

：.DH=爭=12

I?,123

當ty=m時，==--x+6,

354

._24

,?工一號'

2412

???點￡)(—,—),故③正確；

???線段8C上存在一點P,使得以點P、0、。、。為頂點的四邊形為菱形，且OC=CQ,

：.PD//OC,PD=OC=3,

12

???點P縱坐標為w，

2412

，??點D(―,—),

-912

，??點P(g,W),

9

???點尸橫坐標為g,故④正確，

故選：D.

3.【解答】解：：直線MN：y=*x+2交x軸負半軸于點A,交y軸于點B,

令y=0,貝！J0=爭+2,解得x=-2V3,

AA(-2V3,0),

令I=0,則y=2,

：.B(0,2),

：.AB=J(2圾2+22=%

：.AB=2OBf

VZAOB=90°,

ZMAO=30°,

ZABO=60°,ZMBO=120°.

?:B(0,2),OC=2,

：.OB=OC,

：.ZCBO=45°,

如圖，分兩種情況考慮：

①當點。在x軸正半軸上時，

ZCiBO=45°,

AZMBCi=120°-45°=75°；

②當點。在x軸負半軸上時，

ZMBC2=nO°+45°=165°.

故選：D.

4.【解答】解：連接OC,如圖，

???點。為弦A3的中點，

??.OC±AB.

：.ZACO=90°,

???點C在以。4為直徑的圓上(點0、A除外)，

以。4為直徑作。尸，過尸點作直線后于交。尸于M、N,

2

當％=0時，y=卒-3=-3,貝!]E(0,-3),

3

當y=0時，-x-3=0,

4

解得尤=4,則。(4,0),

：.OD=4,

：.DE=432+42=5,

：O。的半徑為2,

.1.A(2,0),

：.P(1,0),

OP=1,

：.PD=OD-0P=3,

■:NPDH=NEDO,ZPHD=ZEOD=90°,

J.ADPH^ADEO,

:?PH：OE=DP：DE,

即PH：3=3：5,

解得PH=I，

；?MH=PH+T=W，NH=PH-1=1.

4

點C到直線DE的最小距離為g.

故選：C.

5.【解答］解：過A作AP_LAB交3c于P,過P作PM_LAC,如圖:

VA(-2,0),B(0,6),

：.BO=6,AO=2,

:△AB尸是以A為直角頂點的等腰直角三危形,

C.AP^AB,ZPAB=90°,

；./BAO=90°-ZPAM^ZMPA,

VZPMA=90°^ZBOA,

：.AABO^/\PAM(AAS),

：.AM^BO^6,MP=AO=2,

；.OM=8,

：.P（-8,2）.

故選：C.

6.【解答】解：根據題意畫出相應的圖形，如圖所示：

當時，AB最短，此時過B作軸，交x軸于點D,

由直線尸-x為第二、四象限的角平分線，得到4102=45。，

VA（V2,0）,即。4=/，ZABO=90°,

.?.△AOB為等腰直角三角形，

OD=AD,即BD為RtAAOB斜邊上的中線,

：.BD=孝，

又,ZBDO^90°,

...△02。為等腰直角三角形，

：.OD=BD=^f,

：8在第四象限，

.?.8的坐標為（f,—孝），

故選：B.

7.【解答】解：直線/和八個正方形的最上面交點為P,過尸作PBLOB于2,過尸作

PC_LOC于C,

?.?正方形的邊長為1,

：?0B=3,

??,經過P點的一條直線,將這八個正方形分成面積相等的兩部分,

???三角形ABP面積是8+2+1=5,

1

2

：.AB=2.5,

：.0A=3-2.5=0.5,

由此可知直線/經過(0,0.5),(4,3)

設直線方程為＞=丘+6,則

解得｛I

直線/解析式為y=|x+

故選：A.

8.【解答】解：①二?直線/i：y=fcv+Z?與直線/2：y=—]+機都經過。(―-),

y=kx+b'6

x=~5

???方程組?的解為?

y=-b+m8

3=百

故①正確，符合題意;

②把2(0,4),C1)代入直線/1：y=kx+b,可得I-〃，解得產=彳

55(5=一耳化+匕3=4

，直線Zi：y=2x+4,

1

又?.?直線fo：y=一尹+加，

???直線/1與直線/2互相垂直，即NBCD=90°,

???△BCD為直角三角形，

故②正確，符合題意；

③把C(―-)代入直線/2：y=—^x+m,可得m=l,

>=一習+1中，令x=0,則y=l,

：.D(0,1),

：.BD=4-1=3,

在直線/i：y=2x+4中，令y=0,貝！Jx=-2,

.,.A(-2,0),

：.AO=2,

1

:?SAABD=2x3X2=3,

故③錯誤，不符合題意；

④點A關于y軸對稱的點為A(2,0),

由點CA'的坐標得，直線CA'的表達式為：k一梟1,

令X=0,貝!Jy=l,

???當B4+尸C的值最小時，點尸的坐標為(0,1),

故④正確，符合題意；

故選：B.

9.【解答］解：如圖，VA(0,0),B(10,0),C(12,6),D(2,6),

：.AB=10-0=10,CD=12-2=10,

又點C、D的縱坐標相同，

：.AB//CD^AB=CDf

???四邊形ABCD是平行四邊形，

7124-2=6,6+2=3,

???對角線交點尸的坐標是(6,3),

???直線y=jwc-3m+6將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分,

「?直線y=mx-3m+6經過點P,

6m-3m+6=3,

解得m=-1.

故選：B.

10?【解答】解：如圖，

???點。是△ABC的內心,

???N1=N2,

又,：EF//BC,

???N3=N2,

???N1=N3,

：?EO=EB,

同理可得尸0=尸。，

9：x=AE+E0+F0+AF,

y—AE+BE+AF+FC+BC,

.'?y=x+a,(x>a)f

即y是x的一次函數，

所以C選項正確.

故選：C.

二、解答題

11.【解答］解：對于y=-q%+8,當x=0時，y=8,

當y=0時，-qx+8=0,

解得：x=5,

...點A的坐標(5,0),點B的坐標為(0,8)；

(2)過點P作PELy軸于點E,如圖1所示：

.?.NAOC=/OEP=90°,

設點C的坐標為(0,a),

OC—a,

??,點。在AABO的內部，點B的坐標為（0,8）,

.".0<4/<8,

由翻折的性質得：AC是線段。。的垂直平分線，

：.AC±OD,

：.ZAOD+ZOAC=90°,

又,.?NR9P+NAOZ）=90°,

：.ZOAC=ZEOP.

在和△良）尸中，

Z-OEP=/-AOC=90°

（EOP=Z.OAC,

AC=OP

：./\OAC^/\EOP（AAS）,

OC=EP=a,

...點尸的橫坐標為“，

?.?點P在直線y=—耳汽+8上，

???點尸的坐標為（a,—|。+8）,

OP—］小+（—5d+8尸，

..,點A的坐標（5,0）,

.'.AC=Va2+52=Va2+25,

VAC=OP,

?\Jq2+（―+8）2=Va2+25,

整理得：（一|。+8）2=25,

一5a+8=±5,

由一3。+8=5,解得：ci=

由—3a+8=—5,解得：。=舞>8,不合題意，舍去；

當。=時，一卷。+8=5,

???點尸的坐標為卷，5）；

（3）當與坐標軸平行時，有以下兩種情況，

（i）當MD平行x軸時，又有兩種情況：

①當點C在線段OB上時，設“。交y軸于點T,過點A作AK±MD于點K,

如圖2所示：

設OC=〃，

??,點A的坐標（5,0）,點3的坐標為（0,8）,點M為A5的中點，

：.0A=5,05=8,點M的坐標為(2.5,4),

VZAKT=ZKT0=ZAOT=90°,

???四邊形O4KT為矩形，

???0T=AK=4,TK=0A=5,

：.TC=0T-0C=4-a,

由翻折的性質得：DA=OA=5,DC=0C=a,

在RtAADK中，由勾股定理得：DK=>JAD2-AK2=V52-42=3,

：.DT=TK-DK=5-3=2,

在中，TC=4-a,

由勾股定理得：DC2=TC2^-D12,

/.a2=(4-〃)2+22,

解得：4=2.5,

此時0c的長為2.5；

②當點。在03的延長線上時，設交y軸于點T,過點A作AKLMO于

點K,如圖3所示：

設0C=m

同①得：0T=AK=4,TK=0A=5,DA=0A=5fDC=OC=a,

：.TC=0C-OT=a-4,

在RtAAZ)^中，由勾股定理得：DK=y/AD2-AK2=V52-42=3,

???TD=TK+DK=5+3=8,

在RtZkTCD中，由勾股定理得：DC2=TC2+TD2,

a2=(q-4)2+82,

解得：tz—10,

此時OC的長為10；

(ii)當軸時，此時只有一種情況，即點。在線段OB上，

過點。作。尸，y軸于點P,過點A作AQLOP,交尸。的延長線于點。，如

圖4所示：

設0C=〃，

同①得：OP=AQ,PQ=OA=5,DA=OA=5fDC=0C=a,

??,點M是A5的中點，MZ)〃y軸，

1

：.DP=DQ=方尸。=2.5,

在中，由勾股定理得：AQ=y/AD2-DQ2=.-2.5?=孚,

tAo

???。尸=AQ=號,

：.PC=OP-OC=^--a,

在Rt△尸CO中，由勾股定理得：DC1=DP2+PC1,

.*.a2=2.52+-。尸，

解得：a=3

5V3

此時OC的長為十

綜上所述：OC的長為2.5或10或手.

12.【解答】解：(1)在A：y=-3x+6中，

令x=0,則y=6,所以點5坐標為(0,6)；

令y=0,則x=2,所以點A坐標為(2,0).

所以點A、B坐標分別是(2,0)和(0,6)；

故答案為:(2,0)；(0,6)；

(2)如圖，過點C向y軸作垂線，E為垂足.

由條件可知AB=BC.

VZCBE+ZABO=180°-90°=90°,ZABO+ZBAO^90°,

:./CBE=NBAO.

在△C8E和△BAO中，NCBE=NBAO,NBEC=/AOB,BC=AB.

.?.△CBE當ABAO(A4S).

EC=BO=yB=6，BE=OA=XA=2.

.\OE=6+2=8.

故點C坐標為(6,8).

設/2函數表達式為y=fcc+b,把A、C兩點坐標代入得：

[0=2k+b

18=6/c+b

:?直線12的函數表達式為y=2x-4；

(3)設點尸的坐標為(m,2m-4),假設以5尸為直角邊的△3PC是等腰直角三角形,

如圖.過點。作％軸的垂線，垂足為。，過尸作x軸的平行線交y軸于點交8于

點N,

在尸和△尸?(中,

NBMP=(PNC

乙MPB=Z.NCP,

PC=PB

尸也△PNC(AA5),

:?BM=PN,MP=CN,

'：BM=6-(2m-4)=10-2m,

PN=6-m,MP=m,CN=8-(2m-4)=12-2m.

:?由尸Af=CN,m=12-2m,m=4,

此時BM=PN=2,相適合題意.

此時尸(4,4).

13.【解答】解：(1)設直線A5解析式為把A(-2,0),B(0,6)代入得:

(—2k+h=0

U=6，

?,?直線AB解析式為y=3x+6,

解得｛;二丁，

：.M(-1,3)；

(2)如圖：

在y=-x+2中，令％=0得y=2,令y=0得x=2,

：.C(0,2),D(2,0),

：.AD=2-(-2)=4,5c=6-2=4,

111

??S/\AMC=S/\AMD-S^ACD=X4X3-X4X2=2,Sz\5CM=2x4XI-1|=2,

SZ\BMN=2S“MC=4,

當N在AB左側時，SABCN=SABCM+SABMN=2+4=6,

1

x4*(-XN)=6,

2

解得曬=-3,

在y=-x+2中，令x=-3得y=5,

:?N(-3,5)；

當N在AB右側時，SABCN=SABMN-SABCM=4-2=2,

1

X4?XN'=2,

2

解得曬*=1,

在y=-x+2中，令％=1得y=1,

:.N(1,1)；

綜上所述，N的坐標為(-3,5)或(1,1)；

(3)直線CD上存在點P,使得5,M,尸三點構成的三角形與△AMC全等，理由如下:

VA(-2,0),B(0,6),M(-1,3),

：.AM=V10,BM=V10,

：.AM=BM,

VB,M,尸三點構成的三角形與△AMC全等，NAMC=NB