高級中學名校試題PAGEPAGE1江蘇省無錫市江陰市四校2023-2024學年高二下學期期中聯考數學試題考生注意：1.客觀題請用2B鉛筆填涂在答題卡上，主觀題用黑色的水筆書寫在答題卷上.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題只有一個正確選項，每題5分，共40分.）1.已知，則=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B2.函數的圖象如圖所示，則下列不等關系中正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設，由圖可得，而，故，故選：C.3.已知在上單調遞增，則的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由在上單調遞增，得在上恒成立，即，恒成立，而在上單調遞增，即，故，故選：A4.在的展開式中，的系數為（）A. B.21 C. D.15【答案】A【解析】含的項是由的6個括號中的5個括號取x，1個括號取常數，所以展開式含的項的系數為：.故選：A.5.將數字“322469”重新排列后得到不同的偶數個數為（）A.240 B.192 C.120 D.72【答案】A【解析】依題意，因這個六位數中有兩個“2”，故不能直接將其與其他數字全排，否則會出現重復.可將這樣的偶數分成三類：第一類，個位排4，在前面五位數位中，只需選三個排上數字3，6，9即可（剩下兩個數位即排2），有種方法；第二類，個位排6，與第一類相同，有種方法；第三類個位排2，則前面五個數位只需將另外5個數字全排即可，有種方法.由分類加法計數原理，不同的偶數個數為.故選：A.6.展開式中的系數為（）A.60 B. C.30 D.【答案】B【解析】，要找到展開式中含有的項，需從中找到含有的項，即，故的系數為.故選：B.7.在一個具有五個行政區域的地圖上（如圖），用5種顏色給這五個行政區著色，若相鄰的區域不能用同一顏色，則不同的著色方法共有（）A.420種 B.360種 C.540種 D.300種【答案】A【解析】選用三種顏色時，必須1,5同色，2，4同色，此時有種；選用四種顏色時，必須1,5同色或2，4同色，此時有種；選用五種顏色時，有種，所以一共有種，故選：A.8.若函數有兩個零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數的定義域為R，由，得，令函數，依題意，直線與函數的圖象有兩個公共點，而，顯然函數在R上單調遞減，當時，，則當時，，當時，，即函數在上遞增，在上遞減，當時，，，而當時，恒成立，于是當且僅當時，直線與函數的圖象有兩個公共點，所以函數有兩個零點，的取值范圍為.故選：A二、多項選擇題（本大題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分或4分，有選錯的得0分.）9.已知的展開式中，各項的二項式系數之和為64，則（

）A. B.第3項的二項式系數最大C.常數項為60 D.所有系數之和為【答案】AC【解析】對于A，由的展開式各項的二項式系數之和為64，得，解得，A正確；對于B，的展開式共7項，則第4項的二項式系數最大，B錯誤；對于C，展開式的常數項為，C正確；對于D，取，得展開式的所有項系數之和為1，D錯誤.故選：AC10.甲、乙、丙、丁四名同學相約去電影院看春節檔熱映的《熱辣滾燙》，《飛馳人生2》，《第二十條》三部電影，每人都要看且限看其中一部.記事件為“恰有兩名同學所看電影相同”，事件為“只有甲同學一人看《飛馳人生2》”，則（

）A.四名同學看電影情況共有種B.“每部電影都有人看”的情況共有72種C.D.“四名同學最終只看了兩部電影”的概率是【答案】ACD【解析】對于A，由題意可知，甲、乙、丙、丁四名同學每人有3種選擇，故四名同學的報名情況共有種，A正確；對于B，現將四名志愿者分為2，1，1三組，共有種情況，再將其分到三個活動中，共有種，由分步乘法計數原理得到種，故“每個項目都有人報名”報名情況共有36種，B錯誤；對于C，由已知有：，，所以，C正確；對于D，“四名同學最終只報了兩個項目”的概率是，D正確.故選：ACD.11.已知函數，則下列選項正確的是（）A.在上單調遞增B.恰有一個極大值C.當時，無實數解D.當時，有三個實數解【答案】BCD【解析】對于A，當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減．當時，，在上單調遞增，A錯誤；對于B，由以上討論知是極大值點，B正確；對于C，當時，，當時，，所以當時，無實數解，C正確；對于D，當時，，由以上討論知當時，．而，作出的大致圖象如圖所示．如圖可知，有三個實數解，所以有三個實數解，D正確．故選：BCD．三、填空題（本大題共3小題，每題5分，共15分.）12.已知，則正整數=____.【答案】4【解析】因為，即，解得，滿足題意.故答案為：413.已知在點處的切線與只有一個公共點，則的值____.【答案】4或0【解析】的導數為，曲線在點處的切線斜率為，則曲線在點處的切線方程為，即，由于切線與曲線只有一個公共點，聯立與，得有且只有一解，則，即，解得或.故答案為：或.14.已知函數有兩個極值點，則的取值范圍為________；若函數有兩個極值點，則的取值范圍是________．【答案】①②【解析】由可得，則是方程的兩個正實數根，令，則，當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，又，時，，時，，故，即的取值范圍為；由可得，則是方程即的兩個實數根，因為是方程的兩個實數根，是方程的兩個實數根，且，所以，則，所以，又，由對勾函數性質可知在上單調遞增，故，即的取值范圍為.故答案為：；.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.某班級周六的課程表要排入歷史、語文、數學、物理、體育、英語、化學共7節課．（1）如果物理和歷史不能排在一起，則有多少種不同的排法？（2）如果第一節不排體育，最后一節不排數學，那么共有多少種不同的排法？（3）如果歷史，語文，數學必須相鄰，體育排在物理后面（不一定相鄰），共有多少種排法？解：（1）先排除物理、歷史外的將其他5科，有種排法；將物理，歷史插入上述的每種排法形成的6個間隙中，有種排法，所以物理，歷史不能排在一起共有種排法.（2）不考慮條件限制，7節課共有種排法，第一節排體育有種排法；最后一節排數學有種排法，而第一節排體育，且最后一節排數學有種排法，所以第一節不排體育，最后一節不排數學，有種排法.（3）數學、語文、歷史視為一個整體，與其它4門課一起排列，有種排法，其中體育排在物理后面的占，數學、語文、歷史的排列有種，所以滿足條件的排法有種.16.已知展開式中，第三項的系數與第四項的系數比為．（1）求的值；（2）求展開式中有理項的系數之和．解：（1）依題意，展開式的通項公式顯然第三項系數為，第四項系數為，因此，解得，所以的值為6.（2）知，當時，對應的項是有理項，當時，展開式中對應的有理項為：.當時，展開式中對應的有理項為.當時，展開式中對應的有理項為.所以展開式中有理項的系數之和為．17.一個不透明的袋子中，放有大小相同的5個球，其中3個黑球，2個白球，不放回的依次取出2個球，求：（1）求第次抽到黑球且第次也抽到黑球概率；（2）已知第次抽到黑球，則第次抽到黑球的概率；（3）判斷事件“第次抽到黑球”與“第次抽到黑球”是否互相獨立．解：（1）設“第1次抽到黑球”，“第2次抽到黑球”，第1次抽到黑球且第2次也抽到黑球的概率為.（2）依題意知，又，則在第1次抽到黑球的條件下第2次抽到黑球的概率為（3）第1次抽到黑球的概率，第2次抽到黑球的概率.所以，由（1）知，所以，則事件“第1次抽到黑球”與“第2次抽到黑球”不相互獨立.18.函數.（1）求的單調區間；（2）求在上最小值.解：（1）由題意可知：的定義域，其導函數，當，則在內恒成立，可知的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當，令，解得；令，解得；則的單調遞增區間為，單調遞減區間為；綜上所述：當，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）因為，由（1）可知：當，在上單調遞增，則在上最小值為；當，在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上最小值為；當時，在上單調遞減，所以在上最小值為.19.已知函數的圖象在處的切線經過點.（1）求的值及函數的單調區間；（2）若關于的不等式在區間上恒成立，求正實數的取值范圍.解：（1）因為，所以，又，則，又函數的圖象在處的切線經過點，所以，解得，所以，函數的定義域為，又，令，則，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以當時恒成立，即恒成立，所以在，上單調遞增.即的單調遞增區間為，，無單調遞減區間.（2）因為不等式在區間上恒成立，因為，則，即在區間上恒成立，所以在區間上恒成立，又，所以，所以在區間上恒成立，即在區間上恒成立，由（1）可知上單調遞增，所以在區間上恒成立，即在區間上恒成立，令，，則，所以在上單調遞減，所以，即區間上恒成立，所以時在區間上恒成立，即對任意關于的不等式在區間上恒成立.江蘇省無錫市江陰市四校2023-2024學年高二下學期期中聯考數學試題考生注意：1.客觀題請用2B鉛筆填涂在答題卡上，主觀題用黑色的水筆書寫在答題卷上.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題只有一個正確選項，每題5分，共40分.）1.已知，則=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B2.函數的圖象如圖所示，則下列不等關系中正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設，由圖可得，而，故，故選：C.3.已知在上單調遞增，則的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由在上單調遞增，得在上恒成立，即，恒成立，而在上單調遞增，即，故，故選：A4.在的展開式中，的系數為（）A. B.21 C. D.15【答案】A【解析】含的項是由的6個括號中的5個括號取x，1個括號取常數，所以展開式含的項的系數為：.故選：A.5.將數字“322469”重新排列后得到不同的偶數個數為（）A.240 B.192 C.120 D.72【答案】A【解析】依題意，因這個六位數中有兩個“2”，故不能直接將其與其他數字全排，否則會出現重復.可將這樣的偶數分成三類：第一類，個位排4，在前面五位數位中，只需選三個排上數字3，6，9即可（剩下兩個數位即排2），有種方法；第二類，個位排6，與第一類相同，有種方法；第三類個位排2，則前面五個數位只需將另外5個數字全排即可，有種方法.由分類加法計數原理，不同的偶數個數為.故選：A.6.展開式中的系數為（）A.60 B. C.30 D.【答案】B【解析】，要找到展開式中含有的項，需從中找到含有的項，即，故的系數為.故選：B.7.在一個具有五個行政區域的地圖上（如圖），用5種顏色給這五個行政區著色，若相鄰的區域不能用同一顏色，則不同的著色方法共有（）A.420種 B.360種 C.540種 D.300種【答案】A【解析】選用三種顏色時，必須1,5同色，2，4同色，此時有種；選用四種顏色時，必須1,5同色或2，4同色，此時有種；選用五種顏色時，有種，所以一共有種，故選：A.8.若函數有兩個零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數的定義域為R，由，得，令函數，依題意，直線與函數的圖象有兩個公共點，而，顯然函數在R上單調遞減，當時，，則當時，，當時，，即函數在上遞增，在上遞減，當時，，，而當時，恒成立，于是當且僅當時，直線與函數的圖象有兩個公共點，所以函數有兩個零點，的取值范圍為.故選：A二、多項選擇題（本大題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分或4分，有選錯的得0分.）9.已知的展開式中，各項的二項式系數之和為64，則（

）A. B.第3項的二項式系數最大C.常數項為60 D.所有系數之和為【答案】AC【解析】對于A，由的展開式各項的二項式系數之和為64，得，解得，A正確；對于B，的展開式共7項，則第4項的二項式系數最大，B錯誤；對于C，展開式的常數項為，C正確；對于D，取，得展開式的所有項系數之和為1，D錯誤.故選：AC10.甲、乙、丙、丁四名同學相約去電影院看春節檔熱映的《熱辣滾燙》，《飛馳人生2》，《第二十條》三部電影，每人都要看且限看其中一部.記事件為“恰有兩名同學所看電影相同”，事件為“只有甲同學一人看《飛馳人生2》”，則（

）A.四名同學看電影情況共有種B.“每部電影都有人看”的情況共有72種C.D.“四名同學最終只看了兩部電影”的概率是【答案】ACD【解析】對于A，由題意可知，甲、乙、丙、丁四名同學每人有3種選擇，故四名同學的報名情況共有種，A正確；對于B，現將四名志愿者分為2，1，1三組，共有種情況，再將其分到三個活動中，共有種，由分步乘法計數原理得到種，故“每個項目都有人報名”報名情況共有36種，B錯誤；對于C，由已知有：，，所以，C正確；對于D，“四名同學最終只報了兩個項目”的概率是，D正確.故選：ACD.11.已知函數，則下列選項正確的是（）A.在上單調遞增B.恰有一個極大值C.當時，無實數解D.當時，有三個實數解【答案】BCD【解析】對于A，當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減．當時，，在上單調遞增，A錯誤；對于B，由以上討論知是極大值點，B正確；對于C，當時，，當時，，所以當時，無實數解，C正確；對于D，當時，，由以上討論知當時，．而，作出的大致圖象如圖所示．如圖可知，有三個實數解，所以有三個實數解，D正確．故選：BCD．三、填空題（本大題共3小題，每題5分，共15分.）12.已知，則正整數=____.【答案】4【解析】因為，即，解得，滿足題意.故答案為：413.已知在點處的切線與只有一個公共點，則的值____.【答案】4或0【解析】的導數為，曲線在點處的切線斜率為，則曲線在點處的切線方程為，即，由于切線與曲線只有一個公共點，聯立與，得有且只有一解，則，即，解得或.故答案為：或.14.已知函數有兩個極值點，則的取值范圍為________；若函數有兩個極值點，則的取值范圍是________．【答案】①②【解析】由可得，則是方程的兩個正實數根，令，則，當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，又，時，，時，，故，即的取值范圍為；由可得，則是方程即的兩個實數根，因為是方程的兩個實數根，是方程的兩個實數根，且，所以，則，所以，又，由對勾函數性質可知在上單調遞增，故，即的取值范圍為.故答案為：；.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.某班級周六的課程表要排入歷史、語文、數學、物理、體育、英語、化學共7節課．（1）如果物理和歷史不能排在一起，則有多少種不同的排法？（2）如果第一節不排體育，最后一節不排數學，那么共有多少種不同的排法？（3）如果歷史，語文，數學必須相鄰，體育排在物理后面（不一定相鄰），共有多少種排法？解：（1）先排除物理、歷史外的將其他5科，有種排法；將物理，歷史插入上述的每種排法形成的6個間隙中，有種排法，所以物理，歷史不能排在一起共有種排法.（2）不考慮條件限制，7節課共有種排法，第一節排體育有種排法；最后一節排數學有種排法，而第一節排體育，且最后一節排數學有種排法，所以第一節不排體育，最后一節不排數學，有種排法.（3）數學、語文、歷史視為一個整體，與其它4門課一起排列，有種排法，其中體育排在物理后面的占，數學、語文、歷史的排列有種，所以滿足條件的排法有種.16.已知展開式中，第三項的系數與第四項的系數比為．（1）求的值；（2）求展開式中有理項的系數之和．解：（1）依題意，展開式的通項公式顯然第三項系數為，第四項系數為，因此，解得，所以的值為6.（2）知，當時，對應的項是有理項，當時，展開式中對應的有理項為：.當時，展開式中對應的有理項為.當時，展開式中對應的有理項為.所以展開式中有理項的系數之和為．17.一個不透明的袋子中，放有大小相同的5個球，其中3個黑球，2個白球，不放回的依次取出2個球，求：（1）求第次抽到黑球且第次也抽