1第6章《計數原理》人教A版2019選擇性必修第三冊6.2.4組合數

從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號表示.如：從a，b，c三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合個數是：如：已知4個元素a、b、c、d，寫出每次取出兩個元素的所有組合個數是：概念講解組合數：注意：是一個數，應該把它與“組合”區別開來．

1.寫出從a，b，c，d四個元素中任取三個元素的所有組合。abc，abd，acd，bcdbcddcbacd練一練:組合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb你發現了什么?如何計算：根據分步計數原理，得到：因此：

一般地，求從個不同元素中取出個元素的排列數，可以分為以下2步：

第1步，先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數．第2步，求每一個組合中個元素的全排列數

．

這里，且，這個公式叫做組合數公式．

例6：計算：（1）；（2）；（3）；（4）解：追問：分別觀察例6中（1）與（2），（3）與（4）的結果，你有什么發現和猜想？證明：證明：

從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號表示.課堂小結：組合數：解：

請看課本P25：練習1

請看課本P25：練習2例7：在100件產品中，有98件合格品，2件次品.從這100件產品中任意抽出3件.（1）有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？

分析：（1）所求的不同抽法的種數，就是從100件產品中取出3件的組合數；（2）分兩步，第一步從2件次品中抽出1件次品，第二步從98件合格品中抽出2件合格品，由乘法原理可得；（3）可從反面考慮，其反面是抽出的3件全是合格品，求出方法數后，由第（1）題的結論減去這個結果即可得．

有限制條件的組合問題：例7：在100件產品中，有98件合格品，2件次品.從這100件產品中任意抽出3件.（1）有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？

3.有政治、歷史、地理、物理、化學、生物這6門學科的學業水平考試成績，現要從中選3門成績．（1）共有多少種不同的選法？（2）如果物理和化學恰有1門被選，那么共有多少種不同的選法？（3）如果物理和化學至少有1門被選，那么共有多少種不同的選法．

請看課本P26：練習3

請看課本P26：習題6.23.壹圓、伍圓、拾圓、貳拾圓的人民幣各1張，一共可以組成多少種幣值?解：由于四張人民幣的面值都不相同，組成的面值與順序無關，所以可以分為四類面值，分別由1張、2張、3張、4張人民幣組成，共有不同的面值

請看課本P26：習題6.24.填空：（1）有三張參觀券，要在5人中確定3人去參觀，不同方法的種數是

；（2）要從5件不同的禮物中選出3件分別送3位同學，不同方法的種數是

；（3）5名工人各自在3天中選擇1天休息，不同方法的種數是

；（4）集合A有m個元素，集合B有n個元素，從兩個集合中各取1個元素，不同方法的種數是

.mn

請看課本P26：習題6.25.一名同學有4本不同的數學書，5本不同的物理書，3本不同的化學書，現要將這些書放在一個單層的書架上．（1）如果要選其中的6本書放在書架上，那么有多少種不同的放法？（2）如果要將全部的書放在書架上，且不使同類的書分開，那么有多少種不同的放法？

請看課本P26：習題6.26.（1）空間有8個點，其中任何4個點不共面，過每3個點作一個平面，一共可以作多少個平面?（2）空間有10個點，其中任何4點不共面，以每4個點為頂點作一個四面體，一共可以作多少個四面體?解：（1）由“三個不共線的點確定一個平面”，所確定的平面與點的順序無關，所以共可確定的平面數是

請看課本P26：習題6.27.在一次考試的選做題部分，要求在第1題的4個小題中選做3個小題，在第2題的3個小題中選做2個小題，在第3題的2個小題中選做1個小題，有多少種不同的選法?

請看課本P26：習題6.2

請看課本P26：習題6.29.學校要安排一場文藝晚會的11個節目的演出順序，除第1個節目和最后1個節目已確定外，4個音樂節目要求排在第2，5，7，10的位置，3個舞蹈節目要求排在第3，6，9的位置，2個曲藝節目要求排在第4，8的位置，共有多少種不同的排法?

請看課本P26：習題6.210.班上每個小組有12名同學，現要從每個小組選4名同學組成一支代表隊，與其他小組進行辯論賽．（1）每個小組的代表隊有多少種選法？（2）如果還要從選出的同學中指定1名作替補，那么每個小組的代表隊有多少種選法？

請看課本P27：習題6.2

請看課本P27：習題6.210.班上每個小組有12名同學，現要從每個小組選4名同學組成一支代表隊，與其他小組進行辯論賽．（3）如果每支代表隊還要分別指定第一、二、三、四辯手，那么每個小組的代表隊有多少種選法？11.一個數陣有m行n列，第一行中的n個數互不相同，其余行都由這n個數以不同的順序組成．如果任意兩行的順序都不相同，那么m可以取多大的值？

請看課本P27：習題6.212.（1）從0，2，4，6中任取3個數字，從1，3，5中任取2個數字，一共可以組成多少個沒有重復數字的五位數？（2）由數字0，1，2，3，4，5，6可以組成多少個沒有重復數字，并且比5000000大的正整數．

請看課本P27：習題6.213.從5名男生和4名女生中選出4人去參加一項創新大賽.（1）如果4人中男生和女生各選2人，有多少種選法?（2）如果男生中的甲與女生中的乙必須在內，有多少種選法?（3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要1人在內，有多少種選法?

請看課本P27：習題6.2

請看課本P27：習題6.213.從5名男生和4名女生中選出4人去參加一項創新大賽.（3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要1人在內，有多少種選法?

請看課本P27：習題6.213.從5名男生和4名女生中選出4人去參加一項創新大賽.（4）如果4人中必須既有男生又有女生，有多少種選法?14.一個宿舍的6名同學被邀請參加一個晚會．（1）如果必須有人去，去幾個人自行決定，有多少種不同的去法？（2）如果其中甲和乙兩位同學要么都去，要么都不去，有多少種去法？

請看課本P27：習題6.215.從含有3件次品的100件產品中，任意抽取5件進行檢驗．（1）抽出的產品都是合格品的抽法有多少種？（2）抽出的產品中恰好有2件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的產品中至少有2件是次品的抽法有多少種？（4）抽出的產品中至多有2件是次品的抽法有多少種？

請看課本P27：習題6.2

請看課本P27：習題6.217.現有五種不同的顏色要對如圖形中的四個部分進行著色，要求有公共邊的兩塊不能用同一種顏色，共有幾種不同的著色方法?解：可以按照I，II，III，IV的順序分別著色：分別有5，4，3，3種方法，所以著色種數有5×4×3×3＝180（種）.

請看課本P27：習題6.218.移動互聯網給人們的溝通交流帶來了方便．某種移動社交軟件平臺，既可供用戶彼此添加“好友”單獨交流，又可供多個用戶建立一個“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”關系）共同交流．如果某人在平臺上發了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到．現有一個10人的“群”，其中1人在平臺上發了一條信息，“群”里有3人說看到了，那么這個“群”里與發信息這人是“好友”關系的情況可能有多少種？解：群里有3人看到了，說明發信息這人在群里的“好友”有3～9人，

請看課本P27：習題6.219.甲、乙、丙、丁和戊5名學生進行勞動技術比賽，決出第1名到第5名的名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍”；對乙說“你當然不會是最差的”.從以上回答分析，5人的名次排列有多少種不同情況?

請看課本P28：習題6.22.從六名同學中選出四名參加一個座談會，要求小張、小王兩名同學中至多有一個人參加，則不同選法的種數為(

)A.9B.14C.12D.15

題型1：有限制條件的組合問題1.在1，2，3，4，5這五個數字組成的沒有重復數字的三位數中，各數位之和為偶數的共有(

)A.36個 B.24個C.18個 D.6個A

學以致用：A3.(1)6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有多少種方法？

1.平均分組：典例分析：(2)6本不同的書，分為三份，每份兩本，有多少種方法？分組與分配問題的解法：(1)分組問題屬于組合問題，常見的分組問題有三種：①完全均勻分組，每組的元素個數均相等；②部分均勻分組，應注意不要重復，有n組均勻，最后必須除以n！；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復現象．(2)分配問題屬于排列問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配．(3）6本不同的書，分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本，有多少種方法？(4)6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本，有多少種不同的方法？典例分析：

2.不平均分組：（5）6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種不同的方法？所以一共有90＋360＋90＝540(種)方法.典例分析：

3.分配問題：

從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號表示.

課堂小結：1.組合數2.組合數公式的應用.“分組”與“分配”問題的解法(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：①完全均勻分組②部分均勻分組③完全非均勻分組.(2)分配問題屬于“排列”問題.課堂小結：4.將4個編號為1，2，3，4的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子中．(1)有多少種放法？(2)每盒至多一球，有多少種放法？