第37頁（共37頁）2025年高考數學復習難題速遞之數列（2025年4月）一．選擇題（共8小題）1．（2025春?沙坪壩區校級月考）正項數列{an}的前n項和為Sn，首項a1＝1，已知函數f(x)=xA．120 B．125 C．57 D．2472．（2025?重慶校級模擬）已知函數f(x)=x2-x2．若數列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝f（an+1），aA．23 B．12 C．20 D．453．（2025?臨潼區二模）函數f(x)=x-1x(x≠0)的圖象猶如兩條飄逸的綢帶而被稱為飄帶函數，也是兩條優美的雙曲線．在數列{cn}中，c1＝1，1cn=f（n）（n∈N，n≥2），記數列{cn}的前n項積為Tn，數列{Tn}A．[53，2) B．(1，53]4．（2025春?鼓樓區校級月考）已知數列{bn}滿足b1＝2，bn﹣bn﹣1＝2n（n≥2），設數列{1bn}的前n項和為TnA．910 B．1011 C．1112 5．（2025?道里區校級二模）已知函數f(x)=32sinxcosx-12sin2x+14，記方程f(x)=16在x∈[π6，19π8A．29π3 B．32π3 C．346．（2025?平谷區一模）在等比數列{an}中，a1+a2＝﹣16，a2+a3=163，記Tn＝a1a2…an（n＝1，A．無最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項 C．有最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項7．（2025春?上海校級月考）已知等差數列{an}的首項為正數，其前n項和Sn滿足S5＝S13，則當Sn取到最大值時，n＝（）A．9 B．9或10 C．10 D．10或118．（2025?開福區校級模擬）在數列{an}中，a1＝4，an+1=5an+2×5n，n∈NA．anB．TnC．anD．8Tn＝10an﹣3二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?昌黎縣校級模擬）某同學拋擲一枚質地均勻的骰子，規定：若擲得數字不大于4，則加1分；若擲得數字大于4，則加2分．每次投擲互不影響，記某同學一共得n分的概率為pn，則（）A．p2B．p3C．3pD．p（多選）10．（2025?臨汾二模）已知數列{an}滿足：a1＝3，3nan＝（n+1）an+1，則下列說法正確的是（）A．a3＝9 B．{an}是單調遞增數列 C．若Tn為數列{an(n+1)3n}D．若對任意n∈N*，都有（﹣1）nλan≤an+1，則﹣3≤λ≤1（多選）11．（2025春?廣東月考）已知數列{an}滿足an+2+an≥2an+1，數列{bn}滿足bn=ean，Tn為數列{bn}A．b8B．bn+k+1?bn﹣k﹣1＜bn+k?bn﹣k，1≤k＜n C．若T100＝1，則b50b51≤1 D．若a1＝1，a2025＝2025，則a8的最大值為12（多選）12．（2025?信陽模擬）對于給定數列{cn}，如果存在常數p，q使得cn+1＝pcn+q對于任意n∈N*都成立，我們稱數列{cn}是“H數列”．下列說法正確的有（）A．若an＝2n+1，n∈N*，則數列{an}是“H數列” B．若bn=3?2n-1，n∈N*，則數列{bC．若數列{an}是“H數列”，則數列{an+an+1}不是“H數列” D．若數列{an}滿足a1＝2，an+an+1=3t?2n(n∈N+)，t三．填空題（共4小題）13．（2025?浦東新區模擬）已知數列{an}，a1＝1，an∈{1，﹣1}，（n≥2），并且前n項的和Sn滿足：①存在小于1013的正整數t，使得S2t+1＝﹣1；②對任意的正整數k和m，都有|S2m﹣S2k﹣1|≤1．則滿足以上條件的數列{Sn}（1≤n≤2025）共有個．14．（2025春?安徽月考）已知各項均不為零的數列{an}，其前n項和是Sn，且Sn＝anan+1（n＝1，2，…）．若{an}為遞增數列，a1＝a，則a的取值范圍是．15．（2025春?禪城區校級月考）已知數列{an}滿足a1＝0，an+1=an+1，n為奇數an+2，n為偶數，則a5＝；數列{（﹣1）n﹣1an16．（2025春?雙流區月考）在數列{an}中，a1＝1且anan+1＝n，當n≥20時，1a2+1a3+?+1a四．解答題（共4小題）17．（2025?江西模擬）設{xn}和{yn}是整數數列，若對于任意n≥3，都有（xn﹣xn﹣1）（xn﹣xn﹣2）+（yn﹣yn﹣1）．（yn﹣yn﹣2）＝0，我們就稱數列{xn}和{yn}為一組耦合數列．（1）若數列{xn}和{yn}為一組耦合數列，且?n∈N*，都有xn＝yn，且x1＝x2＝1，求數列{xn}的通項公式；（2）若數列{xn}和{yn}為一組耦合數列，證明：(x（3）若數列{xn}和{yn}為一組耦合數列，探究是否存在實數c，使得對于某個m∈N*，從x1，x2，?，xm中任取一個數，這個數是c的概率大于49%，并說明理由．18．（2025春?沙坪壩區校級月考）記Sn是公差大于0的等差數列{an}的前n項和，a1＝1，且a3，a5+1，a13﹣1成等比數列．（1）求an和Sn．（2）若bnSn=12，證明：數列{bn}的前n19．（2025春?南海區校級月考）數列{an}、{bn}滿足：a2＝1，an+1=an+2(n∈N*)，3（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；（2）求數列{an?bn}的前n項和Tn．20．（2025?潮陽區校級模擬）記數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝3，Sn+1＝Sn+an+2．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）求數列{2an4+1

2025年高考數學復習難題速遞之數列（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案ADABCCAD二．多選題（共4小題）題號9101112答案ACDABCACAB一．選擇題（共8小題）1．（2025春?沙坪壩區校級月考）正項數列{an}的前n項和為Sn，首項a1＝1，已知函數f(x)=xA．120 B．125 C．57 D．247【考點】數列與函數的綜合．【專題】轉化思想；轉化法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】A【分析】利用給定條件分析得到x2+an+1x+(an+12)2=0有且僅有一個根，再利用判別式得到【解答】解：因為f(所以f(x)=x[x2因為函數f(則方程x2得到Δ=即an而{an}是正項數列，得到an則an+1+1＝2an+2＝2（an+1），又a1+1＝1+1＝2≠0，得到an令bn＝an+1，a1＝1，且b1＝a1+1＝2，得到{bn}是首項為2，公比為2的等比數列，則bn=2×2n-故Sn得到S6故選：A．【點評】本題考查等比數列與函數零點的應用，屬于中檔題．2．（2025?重慶校級模擬）已知函數f(x)=x2-x2．若數列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝f（an+1），aA．23 B．12 C．20 D．45【考點】數列與函數的綜合；數列的函數特性．【專題】計算題；整體思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解；新定義類．【答案】D【分析】先得到a1=a22-a22及遞推公式(a【解答】解；根據題目已知：函數f(x)=x2-x2．若數列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝f（an由題意可知：Sn當n＝1時，a1當n≥2時，Sn兩式相減可得：an=a所以an+1＝﹣an，或an當a2，?，a20是公差為12的等差數列，且a21＝﹣a20時，a2最小，a1此時a2＝a21＝﹣a20＝﹣a2﹣9，解得a2=-9當a3＝﹣a2且a3，?，a21是公差為12的等差數列時，a2最大，a1此時a21＝a3+9＝﹣a2+9＝a2，解得a2=92，此時a綜上所述：a1的最大值為452故選：D．【點評】本題考查數列與函數的綜合，屬于中等題．3．（2025?臨潼區二模）函數f(x)=x-1x(x≠0)的圖象猶如兩條飄逸的綢帶而被稱為飄帶函數，也是兩條優美的雙曲線．在數列{cn}中，c1＝1，1cn=f（n）（n∈N，n≥2），記數列{cn}的前n項積為Tn，數列{Tn}A．[53，2) B．(1，53]【考點】數列與函數的綜合；數列的求和．【專題】轉化思想；轉化法；點列、遞歸數列與數學歸納法；運算求解．【答案】A【分析】根據題意可得cn=n(n+1)(n【解答】解：∵1cn=f(n)=Tn=n∴Sn∵Tn＞0，∴{Sn}為遞增數列，∵S2∴當n≥2時，53故選：A．【點評】本題考查裂項相消法的應用，屬于中檔題．4．（2025春?鼓樓區校級月考）已知數列{bn}滿足b1＝2，bn﹣bn﹣1＝2n（n≥2），設數列{1bn}的前n項和為TnA．910 B．1011 C．1112 【考點】裂項相消法；數列遞推式．【專題】轉化思想；綜合法；點列、遞歸數列與數學歸納法；運算求解．【答案】B【分析】根據bn﹣bn﹣1＝2n（n≥2），且b1＝2，利用累加法求得bn=n2+【解答】解：因為bn﹣bn﹣1＝2n（n≥2），且b1＝2，所以當n≥2時，bn因為b1＝2，也滿足bn所以bn因為1b所以T10故選：B．【點評】本題考查累加法以及裂項相消法的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．5．（2025?道里區校級二模）已知函數f(x)=32sinxcosx-12sin2x+14，記方程f(x)=16在x∈[π6，19π8A．29π3 B．32π3 C．34【考點】數列與三角函數的綜合．【專題】轉化思想；數形結合法；三角函數的圖象與性質；運算求解．【答案】C【分析】由題意得到sin(2x+π6)=13，設θ=2【解答】解：因為函數f(所以f(又方程f(即sin(2因為x∈[π設θ=2x+π6可得方程sinθ=13在θ∈[π2其中θ1+θ2＝3π，θ2+θ3＝5π，θ3+θ4＝7π，θ4+θ5＝9π，即2x1+π6+2x解得x1+x2=4π所以x1+2x2+2x3+2x4+x5=4故選：C．【點評】本題考查三角函數圖象性質的綜合應用，屬于中檔題．6．（2025?平谷區一模）在等比數列{an}中，a1+a2＝﹣16，a2+a3=163，記Tn＝a1a2…an（n＝1，A．無最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項 C．有最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【考點】等比數列的性質；數列的單調性．【專題】轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】C【分析】根據等比數列的通項公式求出an=(-1)n?8?32-n，進而結合等差數列的求和公式可得Tn=(-1)n(n+1)2×【解答】解：等比數列{an}中，a1+a2＝﹣16，a2+a3=163，Tn＝a1a2…an設等比數列{an}的公比為q（q≠0），由a1則a1+a1q=-16a1則an則T=(-1)設bn=8∴bn則n≤2時，bn+1bn＞1，即b當n≥3時，bn+1bn＜1，即b則b1＜b2＜b3＞b4＞b5＞?，則b3為最大項，此時T3為正數項，且在正數項中最大；再比較b2和b4，其中一個為第二大的項，由于T4＞0，T2＜0，∴T2為最小項．綜上，數列{Tn}有最大項和最小值，T3為最大項，T2為最小項．故選：C．【點評】本題考查等比數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．7．（2025春?上海校級月考）已知等差數列{an}的首項為正數，其前n項和Sn滿足S5＝S13，則當Sn取到最大值時，n＝（）A．9 B．9或10 C．10 D．10或11【考點】由等差數列的前n項和求解數列．【專題】整體思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】A【分析】先推出a9+a10＝0，再利用Sn﹣Sn﹣1＝an的正負性得到答案．【解答】解：等差數列{an}的首項為正數，S5＝S13，由于a1＞0，S5＝S13，故0＝S13﹣S5＝a6+a7+...+a13＝4（a9+a10），即0＝a9+a10＝2a1+17d＞17d，得d＜0．這表明當n≤9時，有an當n≥10時，有an所以對2≤n≤9有Sn﹣Sn﹣1＝an＞0，對n≥10有Sn﹣Sn﹣1＝an＜0，這就意味著Sn在n＝9時最大．故選：A．【點評】本題主要考查了等差數列性質及求和公式的應用，屬于中檔題．8．（2025?開福區校級模擬）在數列{an}中，a1＝4，an+1=5an+2×5n，n∈A．anB．TnC．anD．8Tn＝10an﹣3【考點】數列遞推式．【專題】轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】D【分析】利用遞推關系式構造出等差數列，可求出數列{an}的通項公式，再利用錯位相減法求和，根據所求可對各選項做出判斷．【解答】解：由在數列{an}中，a1＝4，an+1=5an+2×5n，n∈等式兩邊同時除以5n+1，可得an設bn=a所以，數列{bn}是首項為45，公差為2由等差數列的通項公式可得bn=45+對于C，an+1a所以，Tn則5T兩式相減可得-4Tn所以Tn=(1對于D，8Tn=(4則8Tn≠10an﹣3．故D錯誤．故選：D．【點評】本題考查數列的遞推式和等差數列、等比數列的通項公式與求和公式，以及數列的錯位相減法求和，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?昌黎縣校級模擬）某同學拋擲一枚質地均勻的骰子，規定：若擲得數字不大于4，則加1分；若擲得數字大于4，則加2分．每次投擲互不影響，記某同學一共得n分的概率為pn，則（）A．p2B．p3C．3pD．p【考點】數列的應用；n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率．【專題】計算題；整體思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解；新定義類．【答案】ACD【分析】由獨立事件乘法公式及互斥事件加法公式可判斷AB，由題意得到pn+2=【解答】解：根據題目：規定：若擲得數字不大于4，則加1分；若擲得數字大于4，則加2分．每次投擲互不影響，記某同學一共得n分的概率為pn，擲得數字不大于4的概率為23，大于4的概率為13，所以p2p3=(因為pn+2=23pn+1+13pn，所以3p由3pn+2＝2pn+1+pn，得3（pn+2﹣pn+1）＝﹣（pn+1﹣pn），所以pn+1-所以pn所以p2m＞34所以D正確．故選：ACD．【點評】本題考查數列的應用，屬于中檔題．（多選）10．（2025?臨汾二模）已知數列{an}滿足：a1＝3，3nan＝（n+1）an+1，則下列說法正確的是（）A．a3＝9 B．{an}是單調遞增數列 C．若Tn為數列{an(n+1)3n}D．若對任意n∈N*，都有（﹣1）nλan≤an+1，則﹣3≤λ≤1【考點】數列遞推式；數列求和的其他方法．【專題】轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】ABC【分析】根據累乘法可得an=3nn，即可判斷A，根據an+1an＞1【解答】解：由數列{an}滿足：a1＝3，3nan＝（n+1）an+1，可得an+1an=3nn+1上面各式相乘可得ana1=3上式對n＝1也成立，故a3=3由于an+1an=3nn+1=1+2n-1nan故Tn=(1-1由（﹣1）nλan≤an+1可定(-當n為偶數時，則λ≤3(1-1n+1當n為奇數時，則-λ≤3(1-1n故對任意n∈N*，都有（﹣1）nλan≤an+1，則-32≤故選：ABC．【點評】本題考查數列的遞推式和數列的單調性、數列的裂項相消求和，以及不等式恒成立問題，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．（多選）11．（2025春?廣東月考）已知數列{an}滿足an+2+an≥2an+1，數列{bn}滿足bn=ean，Tn為數列{bn}A．b8B．bn+k+1?bn﹣k﹣1＜bn+k?bn﹣k，1≤k＜n C．若T100＝1，則b50b51≤1 D．若a1＝1，a2025＝2025，則a8的最大值為12【考點】數列遞推式．【專題】轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】AC【分析】先根據條件得到bn+2bn+1≥bn+1bn≥bnbn-1≥bn-1bn-2≥?≥b2b1，A選項，方法1：利用累乘法得到b8b4≥b5b1；方法2：先得到b8b1≥b4b5，故b8b4≥b5b1；B選項，得到bn-k【解答】解：數列{an}滿足an+2+an≥2an+1，數列{bn}滿足bn=ean，Tn為數列{bn}可得bn＞0，得bn因為an+2+an≥2an+1，所以an+2﹣an+1≥an+1﹣an，所以ean+2依次類推，得到bn對于選項A：b8b7≥b5b對于選項B：由于bn+1b整理得bn+k+1?bn﹣k﹣1≥bn+k?bn﹣k，1≤k＜n，故選項B錯誤．對于選項C：由于bn+k+1?bn﹣k﹣1≥bn+k?bn﹣k，1≤k＜n，則b50?b51≤b49?b52≤b48?b53≤?≤b1?b100，則(b50?b51)50≤b1對于選項D：由2an+1≤an+an+2，則an+2﹣an+1≥an+1﹣an，a2025﹣a2024≥a9﹣a8，a2024﹣a2023≥a9﹣a8，a2023﹣a2022≥a9﹣a8，…，a9﹣a8≥a9﹣a8，將以上式子累加得：a2025﹣a8≥2017（a9﹣a8），①另外，a9﹣a8≥a8﹣a7，a9﹣a8≥a7﹣a6，…，a9﹣a8≥a2﹣a1，將以上式子累加得：7（a9﹣a8）≥a8﹣a1，②結合①②式得：a2025-a82017≥顯然an＝n符合題意，此時a8＝8，綜上所述，a8的最大值為8，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查數列的遞推式和不等式的性質、數列的累加法，考查轉化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．（多選）12．（2025?信陽模擬）對于給定數列{cn}，如果存在常數p，q使得cn+1＝pcn+q對于任意n∈N*都成立，我們稱數列{cn}是“H數列”．下列說法正確的有（）A．若an＝2n+1，n∈N*，則數列{an}是“H數列” B．若bn=3?2n-1，n∈N*，則數列{bC．若數列{an}是“H數列”，則數列{an+an+1}不是“H數列” D．若數列{an}滿足a1＝2，an+an+1=3t?2n(n∈N+)，t【考點】數列遞推式．【專題】轉化思想；綜合法；點列、遞歸數列與數學歸納法；邏輯思維；新定義類．【答案】AB【分析】對于AB，根據給定的數列，利用“H數列”的定義直接計算判斷即可；對于C，利用“H數列”的定義推理論證可判斷；對于D，根據給定的遞推關系，利用并項求和法及等比數列的前n項和公式求解即可判斷．【解答】解：對于A，因為an＝2n+1，所以an+1＝2（n+1）+1＝2n+3＝2n+1+2＝an+2，n∈N*，由“H數列”的定義知，數列{an}是“H數列”，故A正確；對于B，因為bn=3?2所以bn+1＝2bn，n∈N*，由“H數列”的定義知，數列{bn}是“H數列”，故B正確；對于C，因為數列{an}是“H數列”，所以存在實常數p，q使得an+1＝pan+q對于任意n∈N*都成立，顯然an+2＝pan+1+q對于任意n∈N*都成立，所以an+2+an+1＝p（an+1+an）+2q對于任意n∈N*都成立，由“H數列”的定義知，數列數列{an+an+1}也是“H數列”，對應的實常數分別為p，2q，故C不正確；對于D，因為an所以a1+a2=3所以數列{an}前2024項的和為S2024＝（a1+a2）+（a3+a4）+?+（a2023+a2024）=3t?2故選：AB．【點評】本題考查數列新定義的應用，涉及并項求和法及等比數列的前n項和公式的應用，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2025?浦東新區模擬）已知數列{an}，a1＝1，an∈{1，﹣1}，（n≥2），并且前n項的和Sn滿足：①存在小于1013的正整數t，使得S2t+1＝﹣1；②對任意的正整數k和m，都有|S2m﹣S2k﹣1|≤1．則滿足以上條件的數列{Sn}（1≤n≤2025）共有21012﹣1個．【考點】數列遞推式．【專題】轉化思想；轉化法；點列、遞歸數列與數學歸納法；邏輯思維；運算求解．【答案】21012﹣1．【分析】根據Sn的奇偶性結合S2t+1＝﹣1，S1＝1分析可知S2m＝0，進而可得a2＝﹣1，a2k+1【解答】解：因為a1＝1，an∈{1，﹣1}，（n≥2），可知Sn的奇偶性與n的奇偶性一致，對于①，存在小于1013的正整數t，使得S2t+1＝﹣1，對于②，對任意的正整數k和m，都有|S2m﹣S2k﹣1|≤1，可知|S2m﹣S2k﹣1|為奇數，即|S2m﹣S2k﹣1|＝1，令k＝t+1，則|S2m﹣S2t+1|＝|S2m+1|＝1，可得S2m＝0或S2m＝﹣2；令k＝1，則|S2m﹣S1|＝|S2m﹣1|＝1，可得S2m＝0或S2m＝2，綜上所述：對任意的正整數m，S2m＝0且a1＝1，可得a2＝﹣1，a2即a1，a2確定，a2k+1，a2k+2不相等，有2種可能，此時S2n＝0，S2n﹣1＝±1，條件②滿足，對于數列{Sn}（1≤n≤2025）可知：（a3，a4），（a5，a6），?，（a2023，a2024），a2025均有2種可能，則滿足條件的數列共有22024-22又因為存在小于1013的正整數t，使得S2t+1＝﹣1，可知對任意k∈N*，k≤1012，a2k+1＝1不成立，即a3＝a5＝?＝a2025＝1這種情況不符合題意，綜上所述：符合題意的數列共有21012﹣1個．故答案為：21012﹣1．【點評】本題考查數列遞推公式的應用，屬于難題．14．（2025春?安徽月考）已知各項均不為零的數列{an}，其前n項和是Sn，且Sn＝anan+1（n＝1，2，…）．若{an}為遞增數列，a1＝a，則a的取值范圍是（0，1）．【考點】數列遞推式；數列的單調性．【專題】轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】（0，1）．【分析】當n＝1時，求得a2＝1；當n≥2時，由Sn＝anan+1可得Sn﹣1＝anan﹣1，作差推導出數列{an}的奇數項和偶數項分別成以1為公差的等差數列，根據數列的單調性得出a1＜a2＜a3，即可解得實數a的取值范圍．【解答】解：由各項均不為零的數列{an}，其前n項和是Sn，且Sn＝anan+1（n＝1，2，…）．若{an}為遞增數列，a1＝a，可知對任意的n∈N*，an≠0，且a≠0，當n＝1時，則有S1＝a1＝a1a2，解得a2＝1，當n≥2且n∈N*時，由Sn＝anan+1可得Sn﹣1＝anan﹣1，這兩個等式作差可得an＝an（an+1﹣an﹣1），可得an+1﹣an﹣1＝1，所以，數列{an}的奇數項和偶數項分別成以1為公差的等差數列，且a3＝a1+1＝a+1，因為數列{an}為遞增數列，只需a1＜a2＜a3即可，即a＜1a+1＞1，解得因此，實數a的取值范圍是（0，1）．故答案為：（0，1）．【點評】本題考查數列的遞推式和等差數列的定義，以及數列的單調性，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．15．（2025春?禪城區校級月考）已知數列{an}滿足a1＝0，an+1=an+1，n為奇數an+2，n為偶數，則a5＝6；數列{（﹣1）n﹣1an}【考點】數列求和的其他方法；數列遞推式．【專題】轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】6；2n．【分析】由數列的遞推式計算a2，a3，a4，a5；由數列的并項求和，計算可得所求和．【解答】解：由a1＝0，an+1=a可得a2＝a1+1＝1，a3＝a2+2＝3，a4＝a3+1＝4，a5＝a4+2＝6；數列{（﹣1）n﹣1an}的前2n+1項和為a1﹣a2+a3﹣a4+...+a2n﹣1﹣a2n+a2n+1＝0+2+2+...+2＝2n．故答案為：6；2n．【點評】本題考查數列的遞推式和數列的并項求和，考查轉化思想和運算能力，屬于基礎題．16．（2025春?雙流區月考）在數列{an}中，a1＝1且anan+1＝n，當n≥20時，1a2+1a3+?+1a【考點】數列遞推式．【專題】轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】（﹣∞，1]．【分析】由數列的遞推式可得1an=an+1-a【解答】解：因為anan+1＝n，a1＝1，所以a2＝1，當n≥2時，an﹣1an＝n﹣1，所以anan+1﹣an﹣1an＝1，所以1a所以1a2+1a3+1a4+...+1an=a3﹣a1+a4﹣a2+a5﹣a3+...+an+1﹣an﹣1＝an+an+1﹣因為1a2+1a3+1a4+...當n≥20時，1a所以2λ≤2，解得λ≤1．所以實數λ的取值范圍為（﹣∞，1]．故答案為：（﹣∞，1]．【點評】本題考查數列的遞推式和數列的裂項相消求和，考查轉化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）17．（2025?江西模擬）設{xn}和{yn}是整數數列，若對于任意n≥3，都有（xn﹣xn﹣1）（xn﹣xn﹣2）+（yn﹣yn﹣1）．（yn﹣yn﹣2）＝0，我們就稱數列{xn}和{yn}為一組耦合數列．（1）若數列{xn}和{yn}為一組耦合數列，且?n∈N*，都有xn＝yn，且x1＝x2＝1，求數列{xn}的通項公式；（2）若數列{xn}和{yn}為一組耦合數列，證明：(x（3）若數列{xn}和{yn}為一組耦合數列，探究是否存在實數c，使得對于某個m∈N*，從x1，x2，?，xm中任取一個數，這個數是c的概率大于49%，并說明理由．【考點】數列的應用．【專題】應用題；整體思想；綜合法；點列、遞歸數列與數學歸納法；運算求解；新定義類．【答案】（1）xn＝1；（2）證明見解析；（3）存在，理由見解析．【分析】（1）利用給定條件化簡得到xn＝xn﹣1或xn＝xn﹣2，再結合x1＝x2＝1求解通項公式即可．（2）利用給定定義對(x（3）利用給定定義得到x1到x10001t中至少有10001t-t2+1=5000t【解答】解：（1）根據題目定義：設{xn}和{yn}是整數數列，若對于任意n≥3，都有（xn﹣xn﹣1）（xn﹣xn﹣2）+（yn﹣yn﹣1）．（yn﹣yn﹣2）＝0，我們就稱數列{xn}和{yn}為一組耦合數列．因為?n∈N*，xn＝yn，所以（xn﹣xn﹣1）（xn﹣xn﹣2）+（yn﹣yn﹣1）（yn﹣yn﹣2）＝2（xn﹣xn﹣1）（xn﹣xn﹣2）＝0，即xn＝xn﹣1或xn＝xn﹣2.又x1＝x2＝1，且?n∈N*，故xn＝1，即{xn}的通項公式為xn＝1．（2）證明：因為（xn﹣xn﹣1）（xn﹣xn﹣2）+（yn﹣yn﹣1）（yn﹣yn﹣2）＝0，所以((x(y（3）由（2）知{(又{xn}和{yn}是整數數列，則?a∈N，使得對于某個t∈N*，?n＞t，有(x此時(x-[(xn+1-xn)2+(yn+1-yn)取此t∈N*，則xt＝xt+2＝xt+4＝?＝xt+10000t＝x10001t．令c＝xt，則x1到x10001t中至少有10001t-t2+1=5000t即從x1，x2，?，x10001t中任取一個數，這個數是c的概率為5000t+110001t＞500010001＞從x1，x2，?，xm中任取一個數，這個數是c的概率大于49%．【點評】本題考查數列的應用，屬于中檔題．18．（2025春?沙坪壩區校級月考）記Sn是公差大于0的等差數列{an}的前n項和，a1＝1，且a3，a5+1，a13﹣1成等比數列．（1）求an和Sn．（2）若bnSn=12，證明：數列{bn}的前n【考點】數列的求和；等差數列與等比數列的綜合．【專題】轉化思想；綜合法；點列、遞歸數列與數學歸納法；運算求解．【答案】（1）an＝n；Sn（2）證明見解析．【分析】（1）首先設出公差，利用等比中項的性質建立方程，解出公差，進而求出an，再利用公式法求和得到Sn即可．（2）利用給定條件得到bn，進而結合裂項相消法得到Tn，最后利用n＞0證明Tn＜1即可．【解答】解：（1）設等差數列{an}的公差為d，則d＞0，因為a3，a5+1，a13﹣1成等比數列，所以（1+4d+1）2＝（1+2d）×（1+12d﹣1），解得d＝1或d=所以an＝1+n﹣1＝n，Sn（2）證明：由上問得Sn=n所以bn×n得到Tn因為n＞0，所以1n+1＞0，得到1-1【點評】本題考查數列的綜合應用，屬中檔題．19．（2025春?南海區校級月考）數列{an}、{bn}滿足：a2＝1，an+1=an+2(n∈N*)，3（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；（2）求數列{an?bn}的前n項和Tn．【考點】數列遞推式；數列的求和．【專題】轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；運算求解．【答案】（1）an＝2n﹣3，bn（2）-12【分析】（1）由題干條件可知{an}是等差數列，由公式法可寫出其通項公式，由bn＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）可寫出{bn}的通項公式，注意驗證b1是否滿足；（2）由（1）得數列{an?bn}的通項公式，利用錯位相減法即可求出其前n項和．【解答】解：（1）數列{an}、{bn}滿足：a2＝1，an+1=其中Sn是數列{bn}的前n項和，可得an+1﹣an＝2，則{an}是公差為2的等差數列，所以an＝a2+（n﹣2）d＝1+2（n﹣2）＝2n﹣3；對于3S當n＝1時，3S1＝b1+2＝3b1，解得b1＝1；所以n≥2時，可得3Sn﹣1＝bn﹣1+2，作差得3（Sn﹣Sn﹣1）＝bn﹣bn﹣1，化簡得bn所以{bn}是首項為1，公比為-1所以bn又b1也滿足上式，所以bn（2）因為an所以Tn＝﹣1+（-12）1+3×（-12）2+...+（2n﹣3）×（-12-12Tn＝﹣1?（-12）+（-12）2+3×（-12）3+...+（2n①﹣②得，32Tn＝﹣1+2[（-12）1+（-12）2+...+（-12）n﹣1]﹣（2=-整理得：Tn【點評】本題考查等差數列和等比數列的通項公式、求和公式，以及數列的錯位相減法求和，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．20．（2025?潮陽區校級模擬）記數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝3，Sn+1＝Sn+an+2．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）求數列{2an4+1【考點】數列求和的其他方法；數列遞推式．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；點列、遞歸數列與數學歸納法；運算求解．【答案】（Ⅰ）an＝2n+1；（Ⅱ）23【分析】（Ⅰ）利用退一相減法可證數列{an}為等差數列，進而可通項公式；（Ⅱ）利用分組求和及裂項相消法可得Tn．【解答】解：（Ⅰ）由Sn+1＝Sn+an+2，可得an+1＝Sn+1﹣Sn＝an+2，即an+1﹣an＝2，又a1＝3，所以數列{an}是以3為首項，2為公差的等差數列，所以an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（Ⅱ）由等差數列的求和公式可得Sn則2a所以Tn=12=1=2【點評】本題主要考查數列遞推式，數列的求和，考查運算求解能力，屬于中檔題．

考點卡片1．數列的函數特性【知識點的認識】1、等差數列的通項公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n項和公式Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S2、等比數列的通項公式：an＝a1qn﹣1；前n項和公式Sn=a1(1-qn3、用函數的觀點理解等差數列、等比數列（1）對于等差數列，an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），當d≠0時，an是n的一次函數，對應的點（n，an）是位于直線上的若干個點．當d＞0時，函數是增函數，對應的數列是遞增數列；同理，d＝0時，函數是常數函數，對應的數列是常數列；d＜0時，函數是減函數，對應的數列是遞減函數．若等差數列的前n項和為Sn，則Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．當p＝0時，{an}為常數列；當p≠0時，可用二次函數的方法解決等差數列問題．（2）對于等比數列：an＝a1qn﹣1．可用指數函數的性質來理解．當a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1時，等比數列是遞增數列；當a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1時，等比數列{an}是遞減數列．當q＝1時，是一個常數列．當q＜0時，無法判斷數列的單調性，它是一個擺動數列．【解題方法點撥】典例1：數列{an}滿足an＝n2+kn+2，若不等式an≥a4恒成立，則實數k的取值范圍是（）A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）解：an＝n2+kn+2=(n∵不等式an≥a4恒成立，∴3.5≤-解得﹣9≤k≤﹣7，故選：B．典例2：設等差數列{an}滿足a1＝1，an＞0（n∈N*），其前n項和為Sn，若數列{Sn}也為等差數列，則SA．310B．212C．180D．121解：∵等差數列{an}滿足a1＝1，an＞0（n∈N*），設公差為d，則an＝1+（n﹣1）d，其前n項和為Sn=n∴SnS1=1，S2∵數列{Sn}∴2S∴22+d=解得d＝2．∴Sn+10＝（n+10）2，an2=（2n﹣1∴Sn由于{(1∴Sn+10an2故選：D．2．數列的單調性【知識點的認識】數列的單調性是指數列是遞增還是遞減的性質．由于數列{an}中的每一項an與它的序號n是一一對應的，所以數列{an}是從正整數集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到實數集R的函數，其自變量是序號n，對應的函數值是數列的第n項an，記為an＝f（n）．也就是說，當自變量從1開始，按照從小到大的順序依次取值時，對應的一系列函數值f（1），f（2），…，f（n），…就是數列{an}．【解題方法點撥】﹣定義判斷：根據數列的定義或通項公式判斷其單調性．﹣遞推關系：利用數列的遞推關系分析其單調性．﹣數列差：分析數列相鄰兩項的差an+1﹣an的符號判斷單調性．【命題方向】常見題型包括利用定義、遞推關系、數列差判斷數列的單調性，結合具體數列進行分析．下列通項公式中，對應數列是遞增數列的是（）A．an＝1﹣nB.aC．an＝2n2﹣5n+1D.a解：根據題意，依次分析選項：對于A，an＝1﹣n，有an+1﹣an＝1﹣（n+1）﹣1+n＝﹣1，是遞減數列，不符合題意，對于B，an=14n，有an+1﹣an對于C，an＝2n2﹣5n+1，有an+1﹣an＝2（n+1）2﹣5（n+1）+1﹣2n2+5n﹣1＝4n﹣3，由于n≥1，則an+1﹣an＝4n﹣3＞0，是遞增數列，符合題意，對于D，an=n+3，n≤2，2n-1，故選：C．3．由等差數列的前n項和求解數列【知識點的認識】等差數列是常見數列的一種，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解題方法點撥】﹣設未知數：假設通項公式，利用前n項和公式求解參數．﹣遞推關系：利用等差數列的遞推關系和前n項和公式推導出通項公式．﹣綜合應用：將前n項和公式與通項公式結合，解決復雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等差數列的前n項和公式反向推導通項公式，求解數列的具體項．在等差數列{an}中，記Sn為數列{an}的前n項和，已知：a2+a5＝﹣10，S5＝﹣30．求數列{an}的通項公式．解：設等差數列{an}的公差為d，∵a2+a5＝﹣10，S5＝﹣30，∴2a1+5故an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣12，故數列{an}的通項公式為：an＝2n﹣12．4．等比數列的性質【知識點的認識】等比數列（又名幾何數列），是一種特殊數列．如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時，an為常數列．等比數列和等差數列一樣，也有一些通項公式：①第n項的通項公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項，q為公比，我們發現這個通項公式其實就是指數函數上孤立的點．②求和公式，Sn=a1(1-qn)1-q，表示的是前面n項的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數，那么有am?a等比數列的性質（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項數相同）是等比數列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數列．（4）單調性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1?{an}是遞增數列；a1＞00＜q＜1或?a1【解題方法點撥】例：2，x，y，z，18成等比數列，則y＝．解：由2，x，y，z，18成等比數列，設其公比為q，則18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案為：6．本題的解法主要是運用了等比數列第n項的通項公式，這也是一個常用的方法，即知道某兩項的值然后求出公比，繼而可以以已知項為首項，求出其余的項．關鍵是對公式的掌握，方法就是待定系數法．5．數列的應用【知識點的認識】1、數列與函數的綜合2、等差數列與等比數列的綜合3、數列的實際應用數列與銀行利率、產品利潤、人口增長等實際問題的結合．6．數列的求和【知識點的認識】就是求出這個數列所有項的和，一般來說要求的數列為等差數列、等比數列、等差等比數列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數列前n項和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比數列前n項和公式：③幾個常用數列的求和公式：（2）錯位相減法：適用于求數列{an×bn}的前n項和，其中{an}{bn}分別是等差數列和等比數列．（3）裂項相消法：適用于求數列{1anan+1}的前n項和，其中{an}為各項不為0（4）倒序相加法：推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點撥】典例1：已知等差數列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1an2-1（n∈N*），求數列{bn}分析：形如{1等差×11×3=1=50解：（Ⅰ）設等差數列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴a1+2d=72a1+10d=26∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn=3n+n(n（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn=1∴Tn=1即數列{bn}的前n項和Tn=n點評：該題的第二問用的關鍵方法就是裂項求和法，這也是數列求和當中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個等差數列相乘并作為分母的一般就可以用裂項求和．【命題方向】數列求和基本上是必考點，大家要學會上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．7．裂項相消法【知識點的認識】就是求出這個數列所有項的和，一般來說要求的數列為等差數列、等比數列、等差等比數列等等：（1）裂項相消法：適用于求數列{1anan+1}的前n項和，其中{an}為各項不為0【解題方法點撥】裂項相消法是一種用于求解數列和的技巧，通過將數列項裂解成兩個或多個部分進行相消來簡化計算．【命題方向】常見題型包括利用裂項相消法計算等差或等比數列的前n項和，結合具體數列進行分析．求和：12解：因為k(所以原式=(1故答案為：1-18．數列求和的其他方法【知識點的認識】就是求出這個數列所有項的和，一般來說要求的數列為等差數列、等比數列、等差等比數列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數列前n項和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比數列前n項和公式：③幾個常用數列的求和公式：（2）錯位相減法：適用于求數列{an×bn}的前n項和，其中{an}{bn}分別是等差數列和等比數列．（3）裂項相消法：適用于求數列{1anan+1}的前n項和，其中{an}為各項不為0（4）倒序相加法：推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點撥】除了常用的方法外，還有其他數列求和的技巧，如變換法、分組法等．﹣變換法：通過對數列進行變換，使其成為已知形式的數列．﹣分組法：將數列項分組，利用分組結果求和．﹣應用：適用于處理復雜的數列和問題，特別是涉及多個數列項的求和．【命題方向】常見題型包括利用其他方法計算數列的前n項和，結合具體數列進行分析．已知數列{an}，Sn為{an}的前n項和，其中a1＝﹣1010，an+1=an+3，n為奇數解：因為an+1=a∴a1＝﹣1010，a2＝a1+3＝﹣1007，a3＝a2﹣1＝﹣1008，a4＝a3+3＝﹣1005，a5＝a4﹣1＝﹣1006，a6＝a5+3＝﹣1003，a7＝a6﹣1＝﹣1004，……，∴a2+a3＝﹣2015，a4+a5＝﹣2011，a6+a7＝﹣2007，……，令bn＝a2n+a2n+1，則數列{bn}是以﹣2015為首項，4為公差的等差數列，設數列{bn}的前n項和為Tn，則T1010＝1010×（﹣2015）+1010×10092又∵T1010＝a2+a3+a4+a5+……+a2020+a2021，∴S2021＝T1010+a1＝3030﹣1010＝2020．9．數列遞推式【知識點的認識】1、遞推公式定義：如果已知數列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an﹣1（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式．2、數列前n項和Sn與通項an的關系式：an=s在數列{an}中，前n項和Sn與通項公式an的關系，是本講內容一個重點，要認真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當n＝1時，a1＝S1）；若a1適合由an的表達式，則an不必表達成分段形式，可化統一為一個式子．（2）一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉化為只含an或Sn的關系式，然后再求解．【解題方法點撥】數列的通項的求法：（1）公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an=sn-sn-1;;n≥2（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=f（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an=（6）已知遞推關系求an，有時也可以用構造法（構造等差、等比數列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數）的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為k的等比數列后，再求an．②形如an=a（7）求通項公式，也可以由數列的前幾項進行歸納猜想，再利用數學歸納法進行證明．10．數列與函數的綜合【知識點的認識】數列的函數特性：等差數列和等比數列的通項公式及前n項和公式中共涉及五個量a1，an，q，n，Sn，知三求二，體現了方程的思想的應用．解答數列與函數的綜合問題要善于綜合運用函數方程思想、化歸轉化思想等數學思想以及特例分析法，一般遞推法，數列求和及求通項等方法來分析、解決問題．【解題方法點撥】1．在解決有關數列的具體應用問題時：（1）要讀懂題意，理解實際背景，領悟其數學實質，舍棄與解題無關的非本質性東西；（2）準確地歸納其中的數量關系，建立數學模型；（3）根據所建立的數學模型的知識系統，解出數學模型的結果；（4）最后再回到實際問題中去，從而得到答案．2．在求數列的相關和時，要注意以下幾個方面的問題：（1）直接用公式求和時，注意公式的應用范圍和公式的推導過程．（2）注意觀察數列的特點和規律，在分析數列通項的基礎上，或分解為基本數列求和，或轉化為基本數列求和．（3）求一般數列的前n項和時，無一般方法可循，要注意掌握某些特殊數列的前n項和的求法，觸類旁通．3．在用觀察法歸納數列的通項公式（尤其是在處理客觀題目時）時，要注意適當地根據具體問題多計算相應的數列的前幾項，否則會因為所計算的數列的項數過少，而歸納出錯誤的通項公式，從而得到錯誤的結論．【命題方向】典例：已知f（x）＝logax（a＞0，a≠1），設數列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an）…是首項為4