第31頁（共31頁）2025年高考數(shù)學復習難題速遞之拋物線（2025年4月）一．選擇題（共8小題）1．（2025?香坊區(qū)校級二模）已知在平面直角坐標系xOy中，A（﹣3，1），B（﹣3，4），動點P滿足|PA||PB|=12，點Q為拋物線C：y2＝4x上一動點，且點Q在直線x＝﹣3上的投影為R，則A．17 B．17+2 C．217+2 2．（2025?湖北模擬）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點M（x0，4）在拋物線上，點M到點F的距離與到直線y=-p2A．1 B．2 C．3 D．43．（2025?黃梅縣校級模擬）已知拋物線E：y2＝8x的焦點為F，準線為l，與x軸平行的直線與l和E分別交于A，B兩點，且∠AFB＝60°，則|AB|＝（）A．43 B．42 C．12 D4．（2025?臨潼區(qū)二模）古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在對圓錐曲線的研究過程中，還進一步研究了圓錐曲線的光學性質，例如拋物線的光學性質：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．如圖所示，兩條平行于y軸的入射光線l1：x＝﹣4，l2：x＝﹣2分別經(jīng)拋物線C：x2＝4y上的A，B兩點反射后，兩條反射光線l1′，l2'又沿平行于y軸的方向射出，則兩條反射光線l1′，l2′之間的距離為（）A．12 B．1 C．2 D．5．（2025?湖北模擬）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，斜率為k的直線l與C交于兩個不同的點A，B，且F為線段AB的一個三等分點，則k2＝（）A．4 B．8 C．12 D．166．（2025?重慶校級模擬）已知拋物線C：y2＝4x，過點D（4，0）的直線與拋物線C交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則y1A．16 B．32 C．64 D．1287．（2025?天心區(qū)校級模擬）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為F，過C上一點P作C的準線y=-12的垂線，垂足為M，若∠MFPA．23 B．233 C．328．（2025?寧夏二模）已知拋物線C的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，過F且垂直于l的直線與C的準線交于點D．若AF→=3FB→，|DF|=4A．83 B．163 C．8 D二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?江西模擬）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，點F關于原點O的對稱點為E，第一象限內的點A，B在C上，且EA→A．點E的坐標為（﹣2，0） B．|FAC．直線AB的斜率為23D．直線FA，F(xiàn)B關于x軸對稱（多選）10．（2025春?安徽月考）已知O為坐標原點，拋物線E：y2＝4x的焦點為F，拋物線E的準線為l，點P在拋物線E上，直線AB過點M（4，0）且與E交于A，B兩點，則（）A．若點T的坐標為（2，2），則|PT|+|PF|的最小值為3 B．以線段AB為直徑的圓與直線l相離 C．點P到直線x﹣y+2＝0的最小距離為2 D．△AOB可能為鈍角三角形（多選）11．（2025?寶雞校級模擬）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2-y2b2=1(b＞0)的左、右焦點，斜率為15且過點F2的直線交C的右支于A，BA．點F1到C的漸近線的距離為3 B．|AB|＝10 C．C的離心率為2 D．分別以BF1，F(xiàn)1F2為直徑的圓的公共弦長為15（多選）12．（2024秋?大連校級期末）已知拋物線C焦點F在x軸上，準線為l，焦準距為p．拋物線上一條弦AB過焦點F，直線AB的傾斜角為θ，A1，B1分別為A，B在l上的投影，則（）A．以A1B1為直徑的圓一定經(jīng)過點F B．若O為坐標原點，則三角形AOB的面積為p2C．若AF→=λD．過點A，B作拋物線的切線交于點P，則點P在l上三．填空題（共4小題）13．（2025?湖南模擬）已知過拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點F（2，0）的直線與拋物線C交于A，B兩點（A在第一象限），以AB為直徑的圓E與拋物線C的準線相切于點D．若|AD|=3|BD|，O為坐標原點，則△AOB的面積為14．（2025春?南京月考）已知F是拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，且過點M的直線l與E相切于點P，|PF|＝4．則拋物線C的方程為．15．（2025?郴州模擬）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為F，點M（x0，2）在拋物線C上，且|MF|＝3，點P在直線l：y＝﹣2（x≠0）上，過P向拋物線C引兩條切線PQ，PR，切點分別為Q，R，過點A（0，4）引直線QR的垂線，垂足為點H，則直線FH的斜率的取值范圍是．16．（2024秋?寶山區(qū)校級期末）拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，A，B是拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=2π3．設線段AB的中點M在準線l上的投影為N，則|MN|四．解答題（共4小題）17．（2025?昌黎縣校級模擬）過點T（5，﹣1）作拋物線C：x2＝2py（p＞0）的兩條切線，切點分別為A，B．（1）若TA⊥TB，求p；（2）求證：直線AB過定點（與p的取值無關）；（3）記C的焦點為F，求證：∠TFA＝∠TFB．18．（2025?臨汾二模）設拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，過F的直線l與C相交于A，B兩點，O是坐標原點．當l的斜率為2時，|AB|＝5．（1）求拋物線C的方程；（2）若∠AOB＝120°，求直線l的方程．19．（2025?遼寧二模）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，當直線l經(jīng)過點F且|AF|＝6時，|BF|＝3．（1）求C的方程；（2）設O為坐標原點，點A在第一象限，點B在第四象限，且OA→?OB→=-1620．（2025春?南海區(qū)校級月考）設P（x1，y1），Q（x2，y2）是拋物線C：y2＝2px（p＞0）上異于原點O的兩點，且PQ→?PO→=|PQ|（1）若P，Q到x軸的距離的積為4，求拋物線C的準線方程；（2）F是x軸上的點，直線PF與拋物線交于另一點R，直線RQ與x軸相交于T，若TR→=3TQ

2025年高考數(shù)學復習難題速遞之拋物線（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案DBDBBCAB二．多選題（共4小題）題號9101112答案BDABACDABD一．選擇題（共8小題）1．（2025?香坊區(qū)校級二模）已知在平面直角坐標系xOy中，A（﹣3，1），B（﹣3，4），動點P滿足|PA||PB|=12，點Q為拋物線C：y2＝4x上一動點，且點Q在直線x＝﹣3上的投影為R，則A．17 B．17+2 C．217+2 【考點】拋物線的弦及弦長．【專題】對應思想；綜合法；直線與圓；邏輯思維；運算求解．【答案】D【分析】由題意，可得A（﹣3，1），B（﹣3，4）滿足的軌跡方程為圓，再利用距離最小即A，P，Q，F(xiàn)四點共線時，即可求得最小值．【解答】解：設P（x，y），因為A（﹣3，1），B（﹣3，4），動點P滿足|PA所以(x整理得（x+3）2+y2＝4，所以點P的軌跡是以（﹣3，0）為圓心，以2為半徑的圓，因為點Q在直線x＝﹣3上的投影為R，又拋物線上的點到焦點F（1，0）的距離與到準線x＝﹣1的距離相等，所以|QR|＝|FQ|+2，此時|PB|+2|PQ|+2|QR|＝2|PA|+2|PQ|+2（|QF|+2）＝2（|PA|+|PQ|+|FQ|）+4，當且僅當A，P，Q，F(xiàn)四點共線時，|PA|+|PQ|+|FQ|取得最小值，最小值為|AF則|PB故選：D．【點評】本題考查軌跡方程，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．2．（2025?湖北模擬）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點M（x0，4）在拋物線上，點M到點F的距離與到直線y=-p2A．1 B．2 C．3 D．4【考點】拋物線上的點到準線及其平行線的距離．【專題】轉化思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】B【分析】首先求出拋物線的準線方程，根據(jù)拋物線的定義及已知條件得到x0+p2=4+p【解答】解：拋物線y2＝2px（p＞0）的準線為x=-p又點M（x0，4）在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義可知：點M到點F的距離與到直線x=又點M到點F的距離與到直線y=所以x0解得x0＝4，即M（4，4），所以42＝2p×4，解得p＝2．故選：B．【點評】本題考查拋物線方程的應用，屬于中檔題．3．（2025?黃梅縣校級模擬）已知拋物線E：y2＝8x的焦點為F，準線為l，與x軸平行的直線與l和E分別交于A，B兩點，且∠AFB＝60°，則|AB|＝（）A．43 B．42 C．12 D【考點】拋物線的弦及弦長．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】D【分析】由拋物線定義結合∠AFB＝60°得到△ABF為等邊三角形，進而得到∠AFO＝60°，設準線l與x軸交點為P，求出|PF|＝4，再由銳角三角函數(shù)求出|AF|，即可得解．【解答】解：已知拋物線E：y2＝8x的焦點為F，準線為l，則F（2，0），準線為l：x＝﹣2，又與x軸平行的直線與l和E分別交于A，B兩點，且∠AFB＝60°，由拋物線定義可知|BF|＝|AB|，則△ABF為等邊三角形，故|AF|＝|AB|＝|BF|，∠BAF＝60°，所以∠AFO＝60°，設準線l與x軸交點為P，則|PF|＝4，故|AF所以|AB|＝8．故選：D．【點評】本題考查了拋物線的性質與定義，屬中檔題．4．（2025?臨潼區(qū)二模）古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在對圓錐曲線的研究過程中，還進一步研究了圓錐曲線的光學性質，例如拋物線的光學性質：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．如圖所示，兩條平行于y軸的入射光線l1：x＝﹣4，l2：x＝﹣2分別經(jīng)拋物線C：x2＝4y上的A，B兩點反射后，兩條反射光線l1′，l2'又沿平行于y軸的方向射出，則兩條反射光線l1′，l2′之間的距離為（）A．12 B．1 C．2 D．【考點】直線與拋物線的綜合．【專題】對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】B【分析】先設點D，E的坐標，再聯(lián)立拋物線計算求解，最后應用平行線距離計算求解．【解答】解：設點D，E的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），由題意得，A（﹣4，4），B（﹣2，1），F(xiàn)（0，1），所以直線AF：y=聯(lián)立y=-34x+1x2=4y得﹣4x1＝﹣4，解得：x1＝1，y1=1同理直線BF：y＝1，聯(lián)立拋物線方程得x2＝4，得﹣2x2＝﹣4，解得x2＝2，y2＝1，可得E（2，1），所以兩條反射光線l1′：x＝1，l2'：x＝2之間的距離d＝|2﹣1|＝1．故選：B．【點評】本題考查了直線與拋物線的綜合應用，屬于中檔題．5．（2025?湖北模擬）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，斜率為k的直線l與C交于兩個不同的點A，B，且F為線段AB的一個三等分點，則k2＝（）A．4 B．8 C．12 D．16【考點】直線與拋物線的綜合．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】B【分析】設A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得AF→=13AB→，應用向量數(shù)量關系的坐標表示得到x2+2x13=1y2+2y1=0，再令y【解答】解：設A（x1，y1），B（x2，y2），F(xiàn)（1，0），由直線l與C交于兩個不同的點A，B，且F為線段AB的一個三等分點，不妨設AF→=1可得x2+2x13=1，y2令y1＝t，y2＝﹣2t，得x1則t2+t223則k=y2-y故選：B．【點評】本題考查直線與拋物線的綜合，考查數(shù)形結合思想，考查運算求解能力，是中檔題．6．（2025?重慶校級模擬）已知拋物線C：y2＝4x，過點D（4，0）的直線與拋物線C交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則y1A．16 B．32 C．64 D．128【考點】直線與拋物線的綜合．【專題】方程思想；轉化思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；運算求解．【答案】C【分析】設直線AB的方程為x＝my+4，聯(lián)立直線與拋物線方程，再結合韋達定理及不等式性質求解即可．【解答】解：顯然直線AB的斜率不為0，則設直線AB的方程為x＝my+4，聯(lián)立x=my+4y2=4x，消去x得y2﹣4my﹣16＝0，則Δ＝因為直AB與拋物線C交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣16，由(y1+2當且僅當y1＝﹣2y2，即y1=-42則y12+4故選：C．【點評】本題考查了直線與拋物線的綜合，考查了方程思想及轉化思想，屬于中檔題．7．（2025?天心區(qū)校級模擬）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為F，過C上一點P作C的準線y=-12的垂線，垂足為M，若∠MFPA．23 B．233 C．32【考點】拋物線的焦點弦及焦半徑．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】A【分析】利用拋物線的準線確定拋物線方程，結合拋物線定義與特殊三角形計算即可．【解答】解：已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為F，過C上一點P作C的準線y=-1且∠MFP由于C的準線y=所以C：x2＝2y，設準線與縱軸交于E點，根據(jù)拋物線定義可知|PF|＝|PM|，所以∠MFP易知|EF即cosπ所以|PF|=2故選：A．【點評】本題考查了拋物線的性質，重點考查了拋物線的定義，屬中檔題．8．（2025?寧夏二模）已知拋物線C的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，過F且垂直于l的直線與C的準線交于點D．若AF→=3FB→，|DF|=4A．83 B．163 C．8 D【考點】拋物線的焦點弦及焦半徑．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】B【分析】令C：y2＝2px（p＞0），設l：x=ky+p2，若yA＞0＞yB，即k＞0，聯(lián)立拋物線與直線，并應用韋達定理及已知得k=33，進而確定A，【解答】解：已知拋物線C的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，過F且垂直于l的直線與C的準線交于點D，令C：y2＝2px（p＞0），則F(設l：若yA＞0＞yB，即k＞0，聯(lián)立拋物線和直線，可得y2﹣2pky﹣p2＝0，則yA+yB＝2pk，yA而AF→即yA＝﹣3yB，故yA＝3pk，yB＝﹣pk，所以﹣3p2k2＝﹣p2，則k2可得k=故yA=3所以l：則xA=3則DF：聯(lián)立x=可得yD即D(所以|DF可得p＝2，故A(3結合兩點距離公式可得：|AB故選：B．【點評】本題考查了拋物線的性質，重點考查了直線與拋物線的位置關系，屬中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?江西模擬）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，點F關于原點O的對稱點為E，第一象限內的點A，B在C上，且EA→A．點E的坐標為（﹣2，0） B．|FAC．直線AB的斜率為23D．直線FA，F(xiàn)B關于x軸對稱【考點】直線與拋物線的綜合．【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】BD【分析】通過已知條件中的向量關系得出點之間的位置關系，再結合拋物線定義求出點的坐標，最后根據(jù)直線斜率公式判斷直線斜率相關結論．逐個判斷即可．【解答】解：已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，點F關于原點O的對稱點為E，第一象限內的點A，B在C上，且EA→易知點E的坐標為（﹣1，0），故A錯誤；由EA→=12EB→，可得點A為線段EB的中點，點E為C的準線與x軸的交點，所以點A到準線的距離是點設A（x1，y1），B（x2，y2），由點A為EB的中點，可得y2＝2y1，y22=4y12，所以x又x1+1=12(x2+1)，聯(lián)立解得x1=12，xkFA=212-1=-22，kFB=故選：BD．【點評】本題考查直線與拋物線的綜合，屬于中檔題．（多選）10．（2025春?安徽月考）已知O為坐標原點，拋物線E：y2＝4x的焦點為F，拋物線E的準線為l，點P在拋物線E上，直線AB過點M（4，0）且與E交于A，B兩點，則（）A．若點T的坐標為（2，2），則|PT|+|PF|的最小值為3 B．以線段AB為直徑的圓與直線l相離 C．點P到直線x﹣y+2＝0的最小距離為2 D．△AOB可能為鈍角三角形【考點】直線與拋物線的綜合；直線與圓的位置關系．【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】AB【分析】由拋物線的定義可得A正確；設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x＝my+4，聯(lián)立曲線方程，然后用韋達定理求出弦長AB，再利用換元法求出中點到準線的距離可得B正確；由點到直線的距離公式結合二次函數(shù)可得C錯誤；由向量垂直的坐標表示結合韋達定理可得D錯誤．【解答】解：根據(jù)題目：已知O為坐標原點，拋物線E：y2＝4x的焦點為F，拋物線E的準線為l，點P在拋物線E上，直線AB過點M（4，0）且與E交于A，B兩點，對于A，作TH⊥l于H，由拋物線的定義可得|PT|+|PF|＝|PT|+|PH|≥|TH|＝3，當H，P，T三點共線時取等號，故A正確；H對于B，設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x＝my+4，聯(lián)立y2=4xx=my+4，消去x可得y2﹣4my﹣16＝0，Δ＝y(tǒng)1+y2＝4m，y1y2＝﹣16，設線段AB的中點為C，則C（2m2+4，2m），|ABC到準線的距離為d＝2m2+4+1＝2m2+5，則d-設t＝2m2+5，t≥5，則d-所以d＞12|AB|，所以以線段對于C，設P(n2當n＝2時，距離的最小值為22，故C對于D，設A（x1，y1），B（x2，y2），則OA→由B可得x1所以OA→?OB故選：AB．【點評】本題考查直線與拋物線的綜合，屬于中檔題．（多選）11．（2025?寶雞校級模擬）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2-y2b2=1(b＞0)的左、右焦點，斜率為15且過點F2的直線交C的右支于A，BA．點F1到C的漸近線的距離為3 B．|AB|＝10 C．C的離心率為2 D．分別以BF1，F(xiàn)1F2為直徑的圓的公共弦長為15【考點】拋物線的焦點弦及焦半徑；雙曲線的幾何特征．【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】ACD【分析】利用雙曲線的定義以及余弦定理可求得|F1F2|＝4，從而可求得c＝2，即可判斷選項A，C；用余弦定理和雙曲線的定義可求得|AB|判斷選項B；點F1作F1E⊥BF2于點E，易知分別以BF1，F(xiàn)1F2為直徑的圓的公共弦為F1E，勾股定理可求公共弦長，即可求解選項D．【解答】解：作出示意圖如下：根據(jù)題意可知雙曲線中a＝1，對于A，C，連接BF1，由題意得tan∠BF2F1所以sin∠解得cos∠由于|AF1|＝|AB|，所以|BF2|＝|AB|﹣|AF2|＝|AF1|﹣|AF2|＝2a＝2，又|BF1|﹣|BF2|＝2a＝2，故|BF1|＝4，設|F1F2|＝2c（c＞0），則|B即16=(2c)2+4-2×2c所以離心率為ca又點F1到C的漸近線的距離為b=c2-a對于B，設|AF2|＝m（m＞0），則|AF1|＝|AB|＝2+m，所以(2+m)2=16+m所以|AB|＝2+m＝8，所以B錯誤；對于D，因為|BF1|＝|F2F1|＝4，所以△BF1F2為等腰三角形，過點F1作F1E⊥BF2于點E，因為|F2F1|＝|BF1|＝4，所以E為BF2中點，易知分別以BF1，F(xiàn)1F2為直徑的圓的公共弦為F1E，且|F1E|=16-1=15故選：ACD．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，屬中檔題．（多選）12．（2024秋?大連校級期末）已知拋物線C焦點F在x軸上，準線為l，焦準距為p．拋物線上一條弦AB過焦點F，直線AB的傾斜角為θ，A1，B1分別為A，B在l上的投影，則（）A．以A1B1為直徑的圓一定經(jīng)過點F B．若O為坐標原點，則三角形AOB的面積為p2C．若AF→=λD．過點A，B作拋物線的切線交于點P，則點P在l上【考點】直線與拋物線的綜合；拋物線與平面向量．【專題】方程思想；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】ABD【分析】由題意，不妨設拋物線方程為y2＝2px，設過點F的直線AB的方程為x=ty+p2及點A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程組，得出韋達定理．證明A1F→?B1F→=0可判斷A；由韋達定理可求得S△AOB=p22sinθ，即可判斷B；利用|AF|＝p﹣|AF|cosθ，|BF|＝p+|BF|cosθ，計算可判斷C；設過點A【解答】解：由題意，不妨設拋物線方程為y2＝2px，焦點F(p2，0)A（x1，y1），B（x2，y2），則A1(-p因為直線AB與拋物線有兩交點，所以直線AB斜率不為0，且過點F，則設直線AB的方程為x=聯(lián)立x=ty+p2y2=2px，消去x得y2﹣2對于A，B1F→?A1F→=(p，-y2)?(p所以以A1B1為直徑的圓一定經(jīng)過點F，故A正確；對于B，因為|y1-所以S△AOB=對于C，因為|AF|＝p﹣|AF|cosθ，|BF|＝p+|BF|cosθ，解得|BF|=p由AF→=λ當A點在第一象限時，可得λ=1+cosθ對于D，設過點A（x1，y1）的切線方程為y﹣y1＝k（x﹣x1），代入拋物線方程得y-y1所以k≠0Δ所以ky22p-y+p2k=0，所以（所以y-y1=py同理可得過點B（x2，y2）的切線方程為y=p聯(lián)立①②得py2x所以x=y1y22p=-p2，所以過點A，故選：ABD．【點評】本題考查了拋物線的性質及直線與拋物線的綜合，考查了方程思想及轉化思想，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2025?湖南模擬）已知過拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點F（2，0）的直線與拋物線C交于A，B兩點（A在第一象限），以AB為直徑的圓E與拋物線C的準線相切于點D．若|AD|=3|BD|，O為坐標原點，則△AOB的面積為【考點】直線與拋物線的綜合．【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】163【分析】先求得p＝4，由條件推得AD⊥BD，DE∥x軸，由|AD|=3|BD|推出∠AFx=π【解答】解：根據(jù)題目：已知過拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點F（2，0）的直線與拋物線C交于A，B兩點（A在第一象限），以AB為直徑的圓E與拋物線C的準線相切于點D．若|AD依題意p2=2，得p＝4，則拋物線C的方程為y2＝8由題意可知DE與拋物線的準線x＝﹣2垂直，在Rt△ABD中，|AD|=3|BD則直線AB的方程為y=由y=3(x-2)，y2=8x，消去易得Δ＞0，xA+x又原點（0，0）到直線AB：3x故S△故答案為：163【點評】本題考查直線與拋物線的綜合，屬于中檔題．14．（2025春?南京月考）已知F是拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，且過點M的直線l與E相切于點P，|PF|＝4．則拋物線C的方程為y2＝8x．【考點】直線與拋物線的綜合．【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】y2＝8x．【分析】先設直線再聯(lián)立直線和拋物線應用相切得出參數(shù)m＝1，再代入計算應用拋物線定義求焦半徑進而得出p即可．【解答】解：根據(jù)題目：已知F是拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，且過點M的直線l與E相切于點P，|PF|＝4．拋物線C：y2＝2px（p＞0）的準線為x=M是拋物線的準線與x軸的交點(-p2，0)聯(lián)立直線和拋物線得y2=2p(my-p2)，設直線與E所以Δ＝4p2m2﹣4p2＝0，所以m＝1，所以y2﹣2py+p2＝（y﹣p）2＝0，所以y0＝p，則x0所以|PF則拋物線C的方程為y2＝8x．故答案為：y2＝8x．【點評】本題考查直線與拋物線的綜合，屬于中等題．15．（2025?郴州模擬）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為F，點M（x0，2）在拋物線C上，且|MF|＝3，點P在直線l：y＝﹣2（x≠0）上，過P向拋物線C引兩條切線PQ，PR，切點分別為Q，R，過點A（0，4）引直線QR的垂線，垂足為點H，則直線FH的斜率的取值范圍是(-∞，-3]∪[【考點】直線與拋物線的綜合．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】(-∞，-【分析】利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，進而得到直線RQ的方程為mx＝2（y﹣2），進而得到點H的軌跡為以AB為直徑的圓，得到方程⊙H：x2+（y﹣3）2＝1，過點F與圓⊙H相切的直線的斜率為k，結合直線與圓的位置關系，列出方程，即可求解．【解答】解：已知|MF|=2+p2=3∴拋物線C：x2＝4y．設P（m，﹣2），Q（x1，y1），R（x2，y2），不妨設x1＜0，x2＞0，由x2＝4y，得y=14x2∴切線PQ的方程為y∵點P（m，﹣2）在直線PQ上，∴mx1＝2（y1﹣2），同理可得：mx2＝2（y2﹣2），得直線RQ的方程為mx＝2（y﹣2），故直線RQ過定點B（0，2），又∵A（0，4）在直線RQ上的射影為H，可得|AB|＝4且AH⊥BH，∴點H的軌跡為以AB為直徑的圓，其方程為：x2+（y﹣3）2＝1，當FH與圓x2+（y﹣3）2＝1相切時，由拋物線x2＝4y，得F（0，1），設切線方程為y＝kx+1，由|-3+1|k2+(-1)2∴實數(shù)k的范圍為(-∞，-故答案為：(-∞，-【點評】本題考查直線與拋物線位置關系的應用，考查數(shù)形結合思想，考查運算求解能力，是中檔題．16．（2024秋?寶山區(qū)校級期末）拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，A，B是拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=2π3．設線段AB的中點M在準線l上的投影為N，則|MN|【考點】拋物線的弦及弦長．【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】33【分析】根據(jù)余弦定理，拋物線的定義，基本不等式，即可求解．【解答】解：設|AF|＝m，|BF|＝n，又∠AFB則|AB|2＝m2+n2+mn，又根據(jù)拋物線的定義可知|MN|=1∴（|MN||AB當且僅當m＝n時，等號成立，∴|MN||故答案為：33【點評】本題考查拋物線的幾何性質，余弦定理的應用，基本不等式的應用，屬中檔題．四．解答題（共4小題）17．（2025?昌黎縣校級模擬）過點T（5，﹣1）作拋物線C：x2＝2py（p＞0）的兩條切線，切點分別為A，B．（1）若TA⊥TB，求p；（2）求證：直線AB過定點（與p的取值無關）；（3）記C的焦點為F，求證：∠TFA＝∠TFB．【考點】直線與拋物線的綜合．【專題】應用題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】（1）p＝2；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）先求出拋物線的導數(shù)，得到切線斜率，再根據(jù)兩切線垂直其斜率之積為﹣1來求解p；（2）設出切點坐標，求出切線方程，進而得到直線AB的方程，分析其過定點情況；（3）通過向量的數(shù)量積來證明cos∠TFA＝cos∠TFB，從而證明∠TFA＝∠TFB．【解答】解：（1）根據(jù)題目：過點T（5，﹣1）作拋物線C：x2＝2py（p＞0）的兩條切線，切點分別為A，B．設過點T（5，﹣1）的切線為y＝k（x﹣5）﹣1，與x2＝2py聯(lián)立方程組并消去y，得x2﹣2pkx+2p（5k+1）＝0．所以判別式Δ＝（﹣2pk）2﹣4×2p（5k+1）＝0，整理得pk2﹣10k﹣2＝0．因為TA⊥TB，所以k1k2=-2（2）證明：由拋物線C：x2＝2py，有y=12px2，所以又y1=12px1由點T（5，﹣1）在直線TA上，所以-1=5p設B（x2，y2），同理可得x2所以x1，x2是方程x2﹣10x﹣2p＝0的兩個根，得x1+x2＝10，x1x2＝﹣2p．所以直線AB的斜率kAB直線AB的方程為y-12px所以直線AB的方程為5x﹣py+p＝0，過定點（0，1），即直線AB過定點（與p的取值無關）得證．（3）證明：由（2）知，x1因為拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點F(0所以FA→=(x所以FA→又因為|FA所以cos∠同理可得cos∠所以cos∠TFA＝cos∠TFB．即∠TFA＝∠TFB得證．【點評】本題考查直線與拋物線的綜合，屬于中檔題．18．（2025?臨汾二模）設拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，過F的直線l與C相交于A，B兩點，O是坐標原點．當l的斜率為2時，|AB|＝5．（1）求拋物線C的方程；（2）若∠AOB＝120°，求直線l的方程．【考點】直線與拋物線的綜合．【專題】應用題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】（1）y2＝4x；（2）41111x【分析】（1）設l的方程為y=2(x-（2）法一，斜率不存在時，不符合題意，當斜率存在時，設l的方程為y＝k（x﹣1），兩點A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線方程聯(lián)立可得x1+x【解答】解：（1）當l斜率為2時，設l的方程為y=2(聯(lián)立y=2(x-p2)y2=2px，消y得4xx1|AB|=x1+故拋物線C的方程為y2＝4x．（2）解法一：當l垂直x軸時，直線方程為x＝1，可得A，B兩點坐標分別為（1，2），（1，﹣1），所以|AO|=|BO|=1+4=5由余弦定理可得cos∠設l的方程為y＝k（x﹣1），兩點A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立y=k(x-1)y2=4x，消y得k2x2﹣2（kΔ＞0顯然成立，并有x1OA→|OA=(由∠AOB＝120°得，cos∠AOB=從而l方程為y=411即l的方程為41111x【點評】本題考查直線與拋物線的綜合，屬于中檔題．19．（2025?遼寧二模）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，當直線l經(jīng)過點F且|AF|＝6時，|BF|＝3．（1）求C的方程；（2）設O為坐標原點，點A在第一象限，點B在第四象限，且OA→?OB→=-16【考點】直線與拋物線的綜合．【專題】應用題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】（1）y2＝8x；(2)82【分析】（1）利用拋物線焦點弦的性質列式求得p，得解；（2）設直線l：x＝my+t與拋物線方程聯(lián)立得根與系數(shù)關系，由OA→?OB→=x1x2+y1y2=-16，結合x1=y128，【解答】解：（1）由題，易知直線l的斜率存在，設l：y=k(x-p2)(k≠0)，A（x1，y聯(lián)立y=k(x-則x1+x2=k2p+2p∴1|AF|+1|BF|=x1+x∴16+13=2p，解得p＝4，所以拋物線C（2）設直線l：x＝my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＜0，由OA→又x1=y128，x2=y2整理得y2﹣8my﹣8t＝0，則y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8t，所以﹣32＝﹣8t，即t＝4，且Δ＝64m2+32×4＞0，故直線l：x＝my+4恒過定點H（4，0），又F（2，0），所以|FH|＝2，∴SΔABF當且僅當m＝0時，等號成立，所以△ABF面積的最小值為82【點評】本題考查直線與拋物線的綜合，屬于中檔題．20．（2025春?南海區(qū)校級月考）設P（x1，y1），Q（x2，y2）是拋物線C：y2＝2px（p＞0）上異于原點O的兩點，且PQ→?PO→=|PQ|（1）若P，Q到x軸的距離的積為4，求拋物線C的準線方程；（2）F是x軸上的點，直線PF與拋物線交于另一點R，直線RQ與x軸相交于T，若TR→=3TQ【考點】直線與拋物線的綜合．【專題】應用題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解．【答案】（1）x=（2）3．【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標表示可得x1x2+y1y2＝0，再結合拋物線方程求出p即可．（2）聯(lián)立直線PQ、PR與拋物線的方程，結合已知求出E，F(xiàn)的橫坐標關系即可得解．【解答】解：（1）根據(jù)題目：設P（x1，y1），Q（x2，y2）是拋物線C：y2＝2px（p＞0）上異于原點O的兩點，且PQ→?PO→=|PQ|由PQ→?PO整理得x1x2+y1y2＝0，又y12=2而y1y2≠0，因此y1y2=-4p2，由P，Q到x軸的距離的積為4，得|y1||y2|＝所以拋物線C的準線方程為：x=（2）設T（t，0），R（x3，y3），E（e，0），F(xiàn)（f，0），由TR→=3TQ→，得y3＝設直線PQ方程為：x＝my+e，由x=my+ey2=2px消去x得y2﹣2mpy﹣2pe＝0，則設直線PR的方程為：x＝ny+f，同理得y1y3＝﹣2pf，則3y1y2＝﹣2pf，所以f＝3e，|OF【點評】本題考查直線與拋物線的綜合，屬于中檔題．

考點卡片1．直線與圓的位置關系【知識點的認識】直線與圓的位置關系【解題方法點撥】判斷直線與圓的位置關系的方法直線Ax+By+C＝0與圓（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置關系的判斷方法：（1）幾何方法：利用圓心到直線的d和半徑r的關系判斷．圓心到直線的距離d=①相交：d＜r②相切：d＝r③相離：d＞r（2）代數(shù)方法：聯(lián)立直線與圓