基于冪函數改進模型的體重與舉重成績的關系實證研究目錄7536摘要 I254341緒論 1156621.1研究的背景及意義 1299611.1.1背景 1232061.1.2意義 1109291.2國內外研究現狀 1324111.3研究目的和內容 288781.3.1研究目的 2212981.3.2研究內容 2140472數學模型及評選總冠軍 325172.1數學模型 3158532.1.1線性模型 6260922.1.2冪函數模型1 6326552.1.3冪函數模型2 788162.1.4冪函數改進模型 7154512.2評選總冠軍 1112581總結 1427802參考文獻 1514134附錄 17PAGE13摘要：數學模型是針對參照某種事物系統的特征或數量依存關系，采用數學語言，概括地或近似地表述出的一種數學結構，這種數學結構是借助于數學符號刻劃出來的某種系統的純關系結構。從世界舉重的歷年總冠軍入手，利用數學模型研究舉重冠軍的數據，觀察得到體重與舉重成績之間存在一定的函數關系，建立線性模型、冪函數模型1、冪函數模型2以及冪函數改進模型，研究體重與總成績的關系。接著與實際結果相對比，得出預測總冠軍與實際冠軍的誤差，并給出折合成績下的舉重總冠軍，最后得到冪函數改進模型更適合舉重冠軍的評選。關鍵詞：數學建模；線性函數；冪函數；舉重總冠軍1緒論1.1研究的背景及意義1.1.1背景2018年7月5日，國際舉聯為2020年東京奧運會發布新的舉重級別修改方案，男子有7個級別，分別是：61kg級、67kg級、73kg級、81kg級、96kg級、109kg級、109kg以上級[1]。現在的舉重比賽是由抓舉和挺舉這兩個項目組成，抓舉與挺舉之和最高的即為冠軍。舉重的最高組織機構為國際舉重聯合會于1920年成立，總部設在匈牙利首都布達佩斯。中國的舉重最高組織機構為中國舉重協會，成立于1956年。舉重是按照運動員的體重劃分級別進行比賽的，并且舉重是在很大程度上依靠運動員全身力量來完成的，然而人體的力量與體重有著密切的聯系，只有體重差不多一樣的運動員進行比賽才會維護競賽的公平。當然，影響舉重成績的不僅只有體重這一因素而已，還有其他的因素影響，遺傳、年齡等也會影響[2]。數學模型在現實社會中出現比較多的模型，在醫學、物理、化學等領域都有它的身影。例如王志芳利用數學模型來研究視覺同時對比度分辯率[3]。而利用數學模型(主要是線性模型、冪函數模型1、冪函數模型2以及冪函數改進模型)來討論世界舉重總冠軍的評選問題，尋找運動員體重與力量之間的聯系。根據最新的舉重級別以及最新的舉重世界紀錄通過冪函數模型來研究舉重總冠軍的舉重成績與其體重之間的關系。1.1.2意義線性模型、冪函數模型1、冪函數模型2以及冪函數改進模型都是數學模型中常見的模型。通過模型之間的對比，得出比較合適評選舉重冠軍的模型其研究的理論意義在于用冪函數模型可以運用到世界舉重冠軍的評選中，體現了冪函數模型的實用意義，進一步說明了數學建模理論的重要性；現實意義是為評選舉重冠軍做一個參考，使得評選出來的舉重冠軍更具有說服力。冪函數模型的應用范圍很廣泛，利用冪函數模型來研究舉重冠軍成績與體重之間的聯系，進一步證明冪函數模型應用的廣泛性。1.2國內外研究現狀函數模型是常用的數學模型，在各個領域都有數學模型的出現，而冪函數模型也是數學模型中應用得比較多的模型，比如：馬春英等人利用78場洪水的實測數據，用非線性與常用的雙對數線性回歸方法擬合了洪峰流量與流域面積的函數關系，分析所得冪函數模型的差異，探討了擬合方法的適當性[4]；陳涵等人提出考慮時變性的冪函數模型來描述電網負荷和電壓隨時間變化的情況[5]；張振偉以轎車振動響應量與兩種國際不平度指數關系研究為基礎，提出了路面不平度功率譜密度冪函數模型識別新方案，通過試驗，該識別新方案是正確和有效的[6]；林晨構建了煤粒甲烷擴散系數冪函數模型能夠較好地描述煤粒甲烷整個解吸擴散過程[7]；李德雙利用指數函數模型和冪函數模型分別擬合高含沙洪水沿程調整特性，通過對比得出冪函數模型在黃河下游全河段的高含沙洪水參量擬合中適用性更好[8]；伊小波等人利用“等效參數”構成的冪函數模型模擬實際變形情況，研究證明此方法適用于不同的工程實際應用[9]，劉斌等人用冪函數模型研究恒加壽命試驗的非參數貝葉斯[10]；楊果林等人利用冪函數模型研究鋼絲網筋土界面[11]；田廣軍等人利用冪函數數學模型研究溫度測量中的熱電偶，其擬合度非常之高[12]；都是冪函數模型的應用。用冪函數模型來討論世界舉重總冠軍的評選問題，在此之前，已有許多人應用了冪函數模型去解決各種各樣的實際問題，用冪函數模型來研究舉重總冠軍存在一定的可行性與理論基礎。1.3研究目的和內容1.3.1研究目的從世界舉重冠軍保持的舉重紀錄入手，建立體重和舉重成績之間的數學模型：線性模型、冪函數模型1、冪函數模型2以及冪函數改進模型，通過模型與模型之間的對比，模型得出的世界舉重冠軍與實際的世界舉重冠軍做對比，得出比較適合評選舉重冠軍的模型：冪函數改進模型。1.3.2研究內容(1)從世界舉重的歷年總冠軍入手，建立數學模型；(2)建立線性模型、冪函數模型1、冪函數模型2以及冪函數模型3研究體重與總成績的關系；(3)與模型結果對比，得出的總冠軍與實際冠軍是否有出入；(4)得出結論。2數學模型及評選總冠軍2.1數學模型世界舉重冠軍的舉重成績除了與體重有關之外，運動員的選拔方式、個人的訓練程度以及天賦等因素也會影響其舉重成績。在建立舉重成績的數學模型時，利用舉重比賽的世界紀錄，只保留體重而忽略掉其他因素的影響。因為運動員獲得世界紀錄的成績，他們是世界頂級運動員，通過層層嚴格的選拔以及艱苦的訓練，在比賽場上發揮以及舉重技巧方面已經趨于完善(當然隨著世界的發展，運動員的水平還會提高)，不同級別的成績差別基本上是由運動員體重而決定的。世界紀錄是多年積累得到的，與某次比賽成績(如奧運會、世錦賽等)相比，更能避免其偶然性[13]。影響一個人的力量的因素有很多，而我們知道的數據比較明確的只有比賽的級別以及舉重運動員的實際成績，因而只研究舉重成績與運動員自身體重的關系，忽略其他各個方面因素的影響。舉重比賽世界紀錄(男子截止2021年)如表1所示，從表中可以看出，有11項世界紀錄是由中國的運動員保持著，中國運動員在中小級別的比賽中占有較大的優勢，中小級別的紀錄就有9項是中國遠動員保持的；而在大級別的舉重比賽中，中國運動員也保持著2項紀錄。外國的運動員在大級別舉重比賽中占有較大的優勢，其中8項紀錄都是外國運動員保持著的。從整體上看，中國的運動員保持的舉重紀錄占據總記錄的一半左右，這說明中國的舉重運動員在舉重這一運動項目中占有一定的地位。表1男子舉重比賽世界紀錄(截至2021年)[14]級別項目紀錄紀錄保持者日期61kg級抓舉145kg李發彬(中國)2021.9.19挺舉174kg埃科·尤里·伊拉萬(印度尼西亞)2018.11.3總成績318kg李發彬(中國)2019.9.1967kg級抓舉155kg黃閔豪(中國)2019.7.6挺舉188kg樸正周(朝鮮)2019.9.20總成績339kg諶利軍(中國)2019.4.2173kg級抓舉169kg石智勇(中國)2021.4.20挺舉198kg石智勇(中國)2019.12.10總成績364kg石智勇(中國)2021.7.2881kg級抓舉175kg李大銀(中國)2021.4.21挺舉208kg納薩而(保加利亞)2021.12.12總成績378kg呂小軍(中國)2019.9.2296kg級抓舉187kg萊斯曼·帕雷德斯(哥倫比亞)2021.12.15挺舉231kg田濤(中國)2019.7.7總成績416kg蘇赫拉布?莫拉迪(伊朗)2018.11.7109kg級抓舉200kg楊哲(中國)2021.4.24挺舉241kg魯斯蘭·努魯迪夫(烏茲別克斯坦)2021.4.24總成績435kg西蒙?馬爾季羅相(亞美尼亞)2018.11.9+109kg級抓舉225kg拉沙?塔拉哈澤(格魯吉亞)2021.12.17挺舉267kg拉沙?塔拉哈澤(格魯吉亞)2021.12.17總成績492kg拉沙?塔拉哈澤(格魯吉亞)2021.12.17我們知道在一般情況下體重越大舉得就越重，但是我們無法知道創造紀錄的運動員在比賽當時的實際體重，而在比賽時運動員的體重都會調整到非常接近各級別的上限，所以用各個級別的上限作為運動員的當時的實際體重，但是由于109kg以上級沒有上限也不知道運動員當時的實際體重，所以省略掉這個級別，在其余的6個級別中評選冠軍。由表1的數據，繪制抓舉、挺舉和總成績的散點圖，如圖1-1所示，世界紀錄(總成績)與體重大致呈線性關系，但是隨著等級的升高，運動員的成績的增加的趨勢有所變緩，因而為了更好的觀察世界紀錄與體重的關系，世界紀錄和體重取對數并用散點圖表示，如圖1-2所示。通過圖1-2可以看出，世界紀錄與體重的線性關系有所改進，所以用冪函數(冪次小于1)比線性函數表示世界紀錄的舉重成績與體重的關系更合適。由表1和圖1可以看出，舉重總成績紀錄不一定等于抓舉和挺舉的和，因為紀錄是不同運動員在不同的時間創造的(雖然有抓舉、挺舉以及總成績的紀錄都是同一運動員創造的，比如109kg以上級是同一個運動員在同一時間創造的，但是這個級別已經忽略不計了，因而在建立模型計算時不考慮這個級別)。從圖中可以看出三個紀錄都是隨著體重的增加而增加，所以只利用世界紀錄中的總成績來建立模型，這個方法可以應用于抓舉和挺舉。圖1-1普通坐標圖1-2對數坐標下面通過線性模型、冪函數模型1、冪函數模型2以及冪函數改進模型來研究舉重成績與運動員體重的關系。記舉重總成績為，運動員的體重為，建立與的4個模型。2.1.1線性模型由表1的數據，利用Excel畫出總成績與體重的散點圖，添加趨勢線，接近這些點作一條直線，如圖2-1所示，由此建立線性模型(1)圖2-12.1.2冪函數模型1從運動生理學出發，假設舉重成績與運動員身體肌肉的截面積成正比，與身體的特定尺寸的平方成正比，假設體重與的立方成正比，則有(2)其中，為比例系數，由(2)式可得(3)舉重成績與的數據畫散點圖，如圖2-2所示。由表1的數據通過matlab和最小二乘法編程計算得：，于是(4)圖2.1.3冪函數模型21967年，Carroll利用1964年以前世界范圍內50名各級別頂尖運動員的成績統計分析得到舉重成績與體重之間的關系為(5)由表1的數據通過matlab和最小二乘法編程計算得：，于是(6)2.1.4冪函數改進模型通過Excel的規劃求解，參考Carroll的冪函數模型，我們將其中的三個參數都擬合出來，計算得到舉重成績與體重之間的關系為(7)(1)、(4)、(6)、(7)式表示的曲線如圖3~圖6所示計算結果以及與實際紀錄的相對誤差如表2所示。圖3圖4圖5圖6表四個模型計算結果以及與實際紀錄的相對誤差((實際值-計算值)/計算值)級別總成績線性模型(1)冪函數模型1(4)冪函數模型2(6)冪函數改進模型(7)61318326.3391(-2.56%)310.2193(2.51%)313.7032(1.37%)317.5731(-0.13%)67339340.8177(-0.53%)330.2418(2.65%)336.1864(0.84%)341.0520(0.60%)73364355.2963(2.45%)349.6746(4.10%)356.0046(2.25%)360.2429(-1.04%)81378374.6011(0.91%)374.7764(0.86%)379.4143(-0.37%)381.5903(0.94%)96416410.7976(1.27%)419.7233(-0.89%)416.8416(-0.20%)413.5641(-0.59%)109435442.1679(-1.62%)456.8075(-4.77%)444.5681(-2.15%)435.9785(0.22%)將每個模型6個級別的相對誤差取絕對值平均后為總誤差，用總誤差來判斷三個模型與實際紀錄的擬合度得：線性模型(2)、冪函數模型1(5)、冪函數模型2(7)、冪函數改進模型(8)的總平均誤差分別為1.56％、2.63％、1.20％、0.57％，由此可以看出，冪函數模型1和冪函數模型2的結果與線性模型相比沒有太大的改進，相反冪函數改進模型的結果與線性模型相比有很大的改進。由圖4、圖5可以觀察到，若降低這兩個冪函數的冪次，曲線就會上升得更緩慢一些，提高曲線與數據點的擬合度存在一定的可能。將(3)式的冪次2/3降為3/5，(6)式的冪次1/3將為3/10，用同樣的數據重新擬合參數，計算得(8)(9)(2)、(9)、(10)、(8)式計算結果以及與實際紀錄的相對誤差如表3所示：表3四個模型計算結果以及與實際紀錄的相對誤差((實際值-計算值)/計算值)級別總成績線性模型(1)冪函數模型1(8)冪函數模型2(9)冪函數改進模型(7)61318326.3391(-2.56%)316.9463(0.33%)319.9749(-0.62%)317.5731(-0.13%)67339340.8177(-0.53%)335.2993(1.10%)340.5406(-0.45%)341.0520(0.60%)73364355.2963(2.45%)353.0055(3.11%)358.5577(1.52%)360.2429(-1.04%)81378374.6011(0.91%)375.7325(0.60%)379.7094(-0.45%)381.5903(0.94%)96416410.7976(1.27%)416.0548(-0.01%)413.2596(0.66%)413.5641(-0.59%)109435442.1679(-1.62%)448.9973(-3.12%)437.9187(-0.67%)435.9785(0.22%)模型(8)、(9)總平均誤差依次約為1.39％，0.73％，與原來相比有較大的改進，線性模型(1)、冪函數模型1(8)、冪函數模型2(9)、冪函數改進模型(7)這四個模型的從總平均誤差來看，冪函數改進模型比較優于其他的三個模型。2.2評選總冠軍在線性模型(1)、冪函數模型1(3)、冪函數模型2(5)以及冪函數改進模型(7)的基礎上，建立評選總冠軍的模型，以線性模型(1)為例：6個級別從低到高記作，體重(上限)記為，線性模型(1)各級別的冠軍理論成績為，可變式為在一次比賽中各個級別的冠軍實際成績記為，比值表示第級別冠軍在評選總冠軍的實力，取與這個比值成正比(比例系數)的數量指標為(10)確定(10)式中的系數，任取一個級別如及()為標準，使得時，剛好等于這個級別冠軍的實際成績，將這個關系式代入(10)式得，因而(10)式可變為(11)是將體重折合成級后第級別冠軍的實際成績，稱作折合成績。將比賽中個級別的冠軍折合成績進行排名，位于第一的則為總冠軍。(11)式是在線性模型(1)的基礎上建立的評選總冠軍的模型，可以看到，第級別冠軍的實際成績完全決定式的折合成績(體重上限對于每個級別來說是固定的)，與在線性模型(1)中隨世界紀錄的不斷更新而改變的系數(就像(2)式那樣)無關，因而(11)式更簡單、容易應用的一個模型。在冪函數模型1(3)、冪函數模型2(5)和冪函數改進模型(7)的基礎上，任用級為標準，可以完全類似的推出相應評選總冠軍的模型(12)(13)(14)用模型(11)、(12)、(13)、(14)評選2020年東京奧運會總冠軍，如表4所示，以上級不記錄。表42020年東京奧運會男子舉重比賽各級別總成績冠軍[15]及由模型得到的折合成績及排名級別冠軍總成績折合成績及名次線性模型(11)冪函數模型1(12)冪函數模型2(13)冪函數改進模型(14)61kg級李發彬(中國)313kg359.2881(6)378.1358(2)378.5639(2)376.0880(3)級諶利軍(中國)332kg364.9085(4)376.7717(3)374.6917(3)371.4579(5)73kg級石智勇(中國)364kg383.7772(1)390.1301(1)387.9354(1)385.5677(1)81kg級呂小軍(中國)374kg374.0000(2)374.0000(4)374.0000(4)374.0000(4)96kg級埃爾巴赫(格魯吉亞)402kg366.5794(3)358.9511(5)365.9053(6)370.9234(6)109kg級阿爾巴克(烏茲別克斯坦)430kg364.2938(5)352.7829(6)366.9812(5)376.3629(2)由表可以看出，由冪函數模型1(12)和冪函數模型2(13)評選出來的前四名完全相同，與線性模型(11)的有較大的出入，線性模型(11)與冪函數改進模型(14)評選出來的排名相近，雖然四個模型得出的排名不一，但是四個模型都評選出來的冠軍都是同一個人，即評選出來的總冠軍為級中國運動員石智勇。從表中還可以看出，線性模型的評選出來的第一名和最后一名的折合成績相差約，冪函數模型1評選出來的相差約，冪函數模型2評選出來的相差約，冪函數改進模型評選出來的相差15kg，雖然冪函數改進模型與線性模型相差不是很大，但是還是有改進的。從評選出來第一名與最后一名的折合成績相差數據來看，假設這屆奧運會男子舉重運動員各級別冠軍都是頂尖的，那么冪函數改進模型相比其他三個模型更合理一點。總結數學模型沒有固定的模型，在解決實際問題時，根據實際問題所給條件建立合適的數學模型才是解決問題的關鍵。根據舉重比賽的世界紀錄來研究運動員的成績與其體重的關系，其中有很多不確定因素影響運動員在比賽時的發揮程度，而在分析運動員的舉重成績與其體重的關系時(體重取其比賽級別的上限體重)，忽略了其他各種因素的影響，只研究其成績與體重的關系。在建立數學模型時忽略其他因素的影響，只建立運動員舉重成績與體重(取比賽級別上限體重)的關系，明確研究對象。建立數學模型時，建立兩個及以上的模型會更好(有兩個及以上的模型便于對比)，數學模型是在一步步改進中，在模型與模型之間的對比中，得到更適合這一實際問題的數學模型。建立了四個模型進行分析對比，分別是線性模型、冪函數模型1、冪函數模型2、冪函數改進模型，這四個模型相互之間進行對比，模型的出的結果與實際運動員舉重的成績進行對比，的到的數據都比較接近于實際成績，但是冪函數模型2與冪函數改進模型更接近實際情況。冪函數改進模型與冪函數模型2(9)的總平均誤差相差約0.16％，在這一方面這幾乎接近于一樣，但是冪函數模型2與冪函數改進模型評選出來的第一名與最后一名的差相差大約9kg，一個相差不多，另一個相差較多，這說明冪函數改進模型更適合評選舉重總冠軍。線性模型、冪函數模型1、冪函數模型2以及冪函數改進模型，這四個模型都可以用來評選舉重總冠軍，數學模型沒有對于錯，只有適合與更適合。只是通過模型與模型之間的對比，冪函數改進模型較其他三個模型來說更適合應用于舉重總冠軍的評比。利用冪函數來研究世界舉重冠軍在評選舉重冠軍的是有一個參考的數據，雖然用模型評選出來的冠軍不一定與實際比賽的舉重冠軍是同一個運動員，但是還是有一個大體的估計。冪函數改進模型不一定是最適合評選舉重總冠軍的數學模型，因為還有其他的數學模型有待探究。但是相比線性模型和冪函數模型來說，冪函數改進模型更適合舉重冠軍的評選。

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