切線放縮和六大超越函數模型單擊此處添加副標題授課教師：李霞一、切線放縮切線，切點（0,1）函數f(x)=ex，g(x)=x+1，求證：f(x)≥g(x)證明：設

，則

令

，解得x=0當x<0時，

，h(x)在（-∞，0）單調遞減，當x>0時，

，h(x)在（0，+∞）單調遞增。∴

(當且僅當x=0時取等號)解:(當且僅當x=0時取等號);

例1、已知,f(x)的最小值為

≥x+1-x+2=3變形：一、切線放縮例2、當x≥0時，恒成立，求實數a的取值范圍？解:

(當且僅當x=0時取等號)≥

x≥≥（先證明再使用）使用ex≥x+1和其變形式x≥ln(x+1)放縮切線，切點（1,0）函數f(x)=x-1，g(x)=lnx，求證：f(x)≥g(x)(當且僅當x=1時取等號)Oyxy=xy=lnxy=ex一、切線放縮lnx<x<ex

(2024·銀川模擬)設函數f(x)=ex-m-lnx.(1)若曲線y=lnx在點(1，0)處的切線與曲線y=ex-m也相切，求m的值；例3

(2024·銀川模擬)設函數f(x)=ex-m-lnx.(1)若曲線y=lnx在點(1，0)處的切線與曲線y=ex-m也相切，求m的值；例3(2)當m≤2時，證明：f(x)>0恒成立.

(2024·銀川模擬)設函數f(x)=ex-m-lnx.(1)若曲線y=lnx在點(1，0)處的切線與曲線y=ex-m也相切，求m的值；例3(2)當m≤2時，證明：f(x)>0恒成立.

因為x0∈(1，2)，所以h(x)min=h(x0)>0，所以ex-2-ln

x>0，故ex-m≥ex-2>ln

x，所以f(x)>0.

(2024·銀川模擬)設函數f(x)=ex-m-lnx.(1)若曲線y=lnx在點(1，0)處的切線與曲線y=ex-m也相切，求m的值；例3(2)當m≤2時，證明：f(x)>0恒成立.

(2024·銀川模擬)設函數f(x)=ex-m-lnx.(1)若曲線y=lnx在點(1，0)處的切線與曲線y=ex-m也相切，求m的值；例3(2)當m≤2時，證明：f(x)>0恒成立.方法二

因為m≤2，所以ex-m≥ex-2，所以f(x)=ex-m-ln

x≥ex-2-ln

x，由(1)知曲線y=ex-2和y=ln

x的公切線方程為y=x-1，設φ(x)=ex-2-x+1，x∈R，則φ'(x)=ex-2-1，當x<2時，φ'(x)<0，當x>2時，φ'(x)>0，所以φ(x)在(-∞，2)上單調遞減，在(2，+∞)上單調遞增，

(2024·銀川模擬)設函數f(x)=ex-m-lnx.(1)若曲線y=lnx在點(1，0)處的切線與曲線y=ex-m也相切，求m的值；例3(2)當m≤2時，證明：f(x)>0恒成立.所以φ(x)≥φ(2)=0，故ex-2≥x-1，當且僅當x=2時等號成立.

(2024·銀川模擬)設函數f(x)=ex-m-lnx.(1)若曲線y=lnx在點(1，0)處的切線與曲線y=ex-m也相切，求m的值；例3(2)當m≤2時，證明：f(x)>0恒成立.所以m(x)在(0，1)上單調遞減，在(1，+∞)上單調遞增，所以m(x)≥m(1)=0，故x-1≥ln

x，當且僅當x=1時等號成立，所以ex-2≥x-1≥ln

x，且兩等號不能同時成立，所以ex-2>ln

x，即ex-2-ln

x>0，即證得f(x)>0.

(2024·銀川模擬)設函數f(x)=ex-m-lnx.(1)若曲線y=lnx在點(1，0)處的切線與曲線y=ex-m也相切，求m的值；例3(2)當m≤2時，證明：f(x)>0恒成立.

一、切線放縮超越函數二、六大超越函數模型換個角度：y=lnxy=x?11yx二、六大超越函數模型

函數性質二、六大超越函數模型函數性質

二、六大超越函數模型函數性質極小值點(1,e)漸近線x=0和y=0。圖像在x<0和0<x<1時遞減，在x>1時遞增無零點，函數在x>0時為正，在x<0時為負。二、六大超越函數模型函數性質

二、六大超越函數模型函數性質極小值點（e，e）