1.5全稱量詞與存在量詞

思考：下列語句是命題嗎？比較1與3,2與4，它們之間有什么關系？1、x>3；2、2x+1是整數；

新課引入3、對所有的x∈R，x>3；

4、對任意一個x∈Z，2x+1是整數；

全稱量詞與全稱量詞命題含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.

短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示.

新課講授常見的全稱量詞還有“一切”“每一個”“任給”等.通常，將含有變量x的語句用p(x),q(x),r(x),…表示，變量x的取值范圍用M表示.

那么，全稱量詞命題“對M中任意一個x，p(x)成立”可用符號簡記為

新課講授池中試水例1判斷下列全稱量詞命題的真假：（1）所有的素數都是奇數；（2）?x∈R，|x|+1≥1；（3）對任意一個無理數x，x2也是無理數.

思考：下列語句是命題嗎？比較1與3,2與4，它們之間有什么關系？1、2x+1=3;2、x能被2和3整除；

新課講授3、存在一個x∈R，使2x+1=3；

4、至少有一個x∈Z，x能被2和3整除；

存在量詞與存在量詞命題含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.

短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示.

新課講授常見的存在量詞還有“有些”“有一個”“對某些”“有的”等.

新課講授通常，存在量詞命題

“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符號簡記為池中試水例2判斷下列存在量詞命題的真假：（1）有一個實數x，使x2+2x+3=0；（2）平面內存在兩條相交直線垂直于同一條直線；（3）有些平行四邊形是菱形.1.5.2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定新課講授探究：寫出下列命題的否定：(1)所有的矩形都是平行四邊形；(2)每一個素數都是奇數；(3)?x∈R，x+|x|≥0.它們與原命題在形式上有什么變化？從命題形式看，這三個全稱量詞命題的否定都變成了存在量詞命題.新課講授對于含有一個量詞的全稱量詞命題的否定，有下面的結論：也就是說，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.新課講授全稱量詞命題：它的否定：江河搏水探究：寫出下列命題的否定：(1)存在一個實數的絕對值是正數；(2)有些平行四邊形是菱形；(3)?x∈R，x2-2x+3=0.它們與原命題在形式上有什么變化？從命題形式看，這三個存在量詞命題的否定都變成了全稱量詞命題.新課講授對于含有一個量詞的存在量詞命題的否定，有下面的結論：也就是說，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.新課講授存在量詞命題：它的否定：江河博水江河博水4.(1)已知?x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求實數m的取值范圍___；(2)已知?x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求實數m的取值范圍_____；解析(1)對于全稱量詞命題“?x∈M，m≥x”的問題，實質就是不等式恒成立問題，通常轉化為求x的最大值，即m≥xmax(2)對于存在量詞命題“?x∈M，m≥x”的問題，實質就是不等式能成立問題，通常轉化為求x的最小值，即m≥xmin.

江河博水5.若命題“?x∈R，x2－4x＋a≠0”為假命題，則實數a的取值范圍是________.解析

∵命題?x∈R，x2－4x＋a≠0為假命題，∴?x∈R，x2－4x＋a＝0是真命題，∴方程x2－4x＋a＝0有實數根，則Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.