立體幾何小題

CCC

【解密高考】總結常考點及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關策略（含押題型）

【題型一】表面積與體積的計算

【題型二】最短路徑問題

【題型三】立體幾何新定義

【題型四】截面問題

【題型五】交線與軌跡問題

【題型六】“球”的切接問題

【誤區點撥】點撥常見的易錯點

易錯點：動點導致的體積，角度變化

解空高考

考情分析:立體幾何小題幾乎年年考。

通常考點有，多面體，旋轉體表面積、體積的考察；與內切球，外切球的方式考察；截面問題，軌跡問題,

動點問題形式考察

備考策略:

1.鍛煉自己的空間想象能力

2.熟悉各種解題模型

3.會對多面體的各個截面討論

題型特訓提分--------------------------------------

【題型一】表面積與體積的計算

【例1】已知圓錐的母線長為6,其外接球表面積為等，則該圓錐的表面積為（）

A.12TIB.16兀C.18兀D.27兀

【答案】B

【分析】由圓錐及其外接球的軸截面可得關系（〃-尺）2+產=發，再結合戶+序=6?和R=2叵即可計算.

4

【詳解】圓錐及其外接球的軸截面如圖，

該其外接球的半徑為R,則外接球表面積為"=4兀叱，則氏=述，

24

即|&。|=|。0=苧，

設圓錐的高為|40=/7,圓錐的底面圓半徑為|。#=乙則—+/=62,

由（/7-R）2+/=R2,解得/2=竺=40/=2,

R

則此圓錐的表面積為7ir2+Ttrl=16TI.

【例2】如圖，已知圓臺形水杯（不計厚度）的杯口直徑為6,杯底的直徑為4,高為心水杯中盛有部分

水當杯底水平放置時，杯中水的高度為上將半徑■的小球放入杯中，小球被完全浸沒，zK恰好填滿水

81918191

【答案】D

【分析】根據小球的體積和原來水中的體積之和為整個圓臺的體積，結合圓臺體積的計算公式，列出方程,

即可求得結果.

【詳解】圓臺水杯上底面圓半徑為R=3,下底面半徑為弓=2,

當杯底水平放置時，液面半徑為2，

為方便理解，畫出圓臺的軸截面圖如下所示:

R

因為此時杯中水的高度為3,故&為1=學]

g（7T，j+;K2+（無片XTrR。=g（4兀+9k+J36k2）/7=￡Tl/7,

整個水杯盛滿水時的體積為:1

未放置小球前水的體積為:

24

又小球體積為3兀*[*]=二^兀；

3⑴6

故旦也+經-電業即旦由經兀，解得力=馴.

246324691

故選：D.

【例3】如圖所示，在正方形鐵皮上剪下一個扇形和一個直徑為4的圓，使之恰好圍成一個圓錐，則圓錐的

A.2上B.而C.V15D.2V15

【答案】D

【分析】由扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長得5氏=2兀/，求得衣=8,進而由兒二病二3可求得圓錐

的高.

【詳解】由圖知，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，圓錐底面圓的半徑為r=2,

TT

設扇形半徑為R，則有：尺=2"，解得兄=8,因此圓錐的母線長為刀=8,

所以圓錐的高&=一/=。64.4=2屈.

故選：D

【變式1】若圓錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形，則它的體積為（）

8白

A.-----71B.8兀C.12兀D.8岳

3

【答案】A

【分析】由條件確定圓錐的底面半徑和高，在利用圓錐的體積公式求結論.

【詳解】因為圓錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形，

所以圓錐的底面半徑r=2,高h==26,

所以圓錐的體積V==兀、4*2/=述兀.

333

故選：A.

【變式2］（多選）已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和4,母線長為5,則該圓臺的（）

A.高為4B.母線與底面所成角為60。

C.側面積為257tD.體積為28兀

【答案】ACD

【分析】根據給定條件，結合圓臺軸截面等腰梯形、側面積及體積公式逐項求解判斷.

【詳解】依題意，圓臺軸截面等腰梯形的上、下底邊長分別有=2,2弓=8,腰長/=5,

對于A,圓臺的高等于圓臺軸截面等腰梯形的高耳=取=y=4,A正確；

對于B,母線與底面所成角等于圓臺軸截面等腰梯形的底角。，cos0=^-2L=|^1,B錯誤;

對于C,圓臺的側面積5=兀&+4）/=25兀，C正確；

對于D,圓臺的體積V=g兀a?+q弓+］）/z=g兀（1+Ix4+I6）x4=28n,D正確.

故選：ACD

【題型二】最短路徑問題

【例1】如圖圓柱的底面周長是10cm,圓柱的高為12cm,BC為圓柱上底面的直徑，一只螞蟻如果沿著圓

柱的側面從下底面點A處爬到上底面點B處，那么它爬行的最短路程為（）

A.10cmB.11cmC.13cmD.12cm

【答案】c

【分析】把圓柱沿母線AC剪開后展開，點3展開后的對應點為9，利用兩點之間線段最短可判斷螞蟻爬行

的最短路徑為A9,利用勾股定理計算出48,即可.

【詳解】

把圓柱沿母線AC剪開后展開，點8展開后的對應點為笈，

則螞蟻爬行的最短路徑為A8',

如圖，由題意可知AC=12,CB'=5,

在RtAACB',AB'=752+122=13>

所以它爬行的最短路程為13cm,

故選：C

【例2】圓錐頂點A,底面半徑為1,母線43=4,AB的中點為一只螞蟻從底面圓周上的點B繞圓錐側

面一周到達M的最短路線中，其中下坡路的長是（）

A.0B.垣C.逑D.-J5

55

【答案】B

【分析】將圓錐側面沿母線A3剪開并展開成扇形，最短路線即為扇形中的線段過A作四的垂線，

垂足為N,求出的長即可.

【詳解】將圓錐側面沿母線A3剪開并展開成扇形，

27r7T

則該扇形半徑AB=4,弧長為2兀><1=2兀，圓心角NBAM=：-=不，

42

最短路線即為扇形中的線段,BM=JAB。+AM。=2小,

過A作的垂線，垂足為N,當螞蟻從8點爬行到點N過程中，它與點A的距離越來越小，

于是為上坡路段，當螞蟻從點N爬行到點M的過程中，它與點A的距離越來越大，

于是M0為下坡路段，下坡路段長===

265

故選：B

TT

【變式1】如圖，在正四棱錐2-鉆8中，PA=2,NBPA=—,一小蟲從頂點A出發，沿該棱錐的側面

12

爬一圈回到點4則小蟲走過的最短路線的長為

【答案】2

【分析】畫出正四棱錐P-ABCD的側面展開圖，得至UA,M,N,E共線時，小蟲走過的路線最短，最長

最短距離.

【詳解】畫出正四棱錐的側面展開圖，如圖所示.

當A,M,N,E共線時，小蟲走過的路線最短，最短為A4'的長.

因為Bl=2,ZBPA=—’71,所以ZAPA=4x’71±=’712,

12123

則ARV是邊長為2的等邊三角形，則〃V=2,即小蟲走過的最短路線的長為2.

故答案為：2.

【變式2】已知圓臺上下底面的圓心分別為。，。0，母線AB=3（點8位于上底面），且滿足AO2=2BO-

圓儀的周長為2兀，一只螞蟻從點A出發沿著圓臺的側面爬行一周到A3的中點C,則螞蟻爬行的最短路程

為（）

A.B.3/C.3幣D.正

22

【答案】A

【分析】首先求出底面圓。2的半徑R，與上底面的半徑「，將圓臺的側面沿著母線剪開，展成平面圖形，

延長A3、4瓦交于點0,連接AC,設NB。耳=a,利用弧長公式及4?=3求出a與。4,再在△A0C中

利用余弦定理求出AC即可.

【詳解】因為圓。2的周長為2兀，則底面圓。2的半徑R=AQ=1,

=BO1=;,

將圓臺的側面沿著母線A3剪開，展成平面圖形，延長A3、A片交于點0,連接AC,如圖,

弧53]的長為兀，設N_B05]=a,則二義。4=2兀，axOB=Ti,

TT39

則04=203,又鉆=3,即04-03=3,所以0A=6,則"=一，OC=3+-=-,

322

在△A0C中由余弦定理AC=+OC--2OAOCcosa

912x6x2」*

,62+

1222

所以螞蟻爬行的最短路程為半.

故選：A

【題型三】立體幾何新定義

【例11從幾何體的某一頂點開始，沿著棱不間斷、不重復地畫完所有棱的畫法稱為"一筆畫”.下列幾何體

可以“一筆畫"的是（）

【答案】C

【分析】根據一筆畫的要求，先找到都是偶點的圖形，一定可以一筆畫，再驗證奇點的圖形是否符合一筆

畫的條件.

【詳解】從一頂點出發的邊數為雙數的頂點叫偶點，凡是偶點組成的圖形一定可以一筆畫，所以c選項正

確；

從一頂點出發的邊數為單數的頂點叫奇點，凡是奇點組成的圖形，必須滿足只有兩個奇點，其余點為偶點

才可以一筆畫，

而ABD選項圖形中，每個點都是奇點，所以不能一筆畫.

故選：C

【例2】如果拉伸兩個端頭，下列繩子會打結的是？.

【答案】1,2

【分析】通過想象每根繩子在拉伸兩個端頭時的變化過程，來確定哪些繩子會形成結，直接判斷即可.

【詳解】繩子工的判斷：當拉伸繩子1的兩個端頭時，由于繩子自身的纏繞方式，在拉伸過程中會形成一

個結，可以想象將兩個端頭慢慢拉開，繩子中間的纏繞部分會收緊形成結；

繩子2的判斷：同樣，對于繩子2,其纏繞方式使得在拉伸兩個端頭時，中間部分會因為繩子的交叉纏繞而

形成一個結；

繩子3的判斷：繩子3在拉伸兩個端頭時，繩子可以順利地被拉直，不會出現打結的情況，因為其纏繞方

式并沒有形成閉環式的交叉；

繩子4的判斷：繩子4拉伸時也能順利拉直，不會形成結，其交叉部分在拉伸過程中會自然解開；

根據對每根繩子拉伸過程的想象和判斷，會打結的繩子是1,2,

故答案為：1,2.

創新題主要是在原概念、原公式、原定理、原法則、原運算等的基礎上，給出新概念、新公式、新定理、

新法則、新運算等，然后此基礎上去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對

新定義的透徹理解.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新題"不一定是"難題”,

掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.

【變式1】給定兩個不共線的空間向量。與分，定義叉乘運算規定：①0x6為同時與a力垂直的向

量；②a,6,axb三個向量構成右手系（如圖1）；③|"6|=同卜卜皿氏6〉.如圖2,在長方體中

一44G2中，A8=AZ）=2,AA=4,則下列說法中錯誤的是（）

圖1圖2

A.ABxAD=A4j

B.ABxAD=ADxAB

C.（AB+A￡））x朋=ABxAAl+ADxAAi

D?KABCD-A用GP=（^^xAD）?CG

【答案】B

【分析】根據新定義空間向量的叉乘運算依次判斷選項AB；根據新定義計算等號左右兩邊可判斷C；計算

長方體的體積結合新定義以及數量積的定義可判斷D.

【詳解】對于A,例同時與A民AD垂直，

lUimuumiiUiDi||Uuui|/Uimuuw\IUUHI

ABxAD=ABAD\sin（AB,AD}=2x2xsin90°=4=招,

且AB,AZ）,A4,構成右手系，即ABxAZ）二朋成立，A正確；

對于B,ABxAD=AAl,ADxAB=-AAl,則ABxwADxAB,B錯誤；

zuunuumxtoriionumii

對于C,（AB+ADIXA4=ACxAAJ=2V2x4xsin90°=872,

ACxA4,與05共線，且方向相同，

|ABx44tl=2x4xsin90=8,ABxA4,與.共線，且方向相同，

^￡）x7141=2x4x8^90=8,ADx懼與.共線，且方向相同，

貝|]刖*胡+46司=8"4人44,+46441與￡）8共線，且方向相同，

因止匕（AB+AO）xA4]=48x441+AT>x44],C正確；

2

對于D,^ABco-ABCDt=2x2x4=16,（ABxAD〉C￡=AA}-CCt=4=16,

因此匕BCD-MG=（A3xAD）CG，D正確.

故選：B

【變式2】在一張紙上寫著一個詞，把紙對半折下，使能夠看到詞的下半部分.從紙的另一面你能看到什么？

描述一下.

12

CAHNPyKA

un1111'111"K

34

rMpH6AVbl

1VI1flUFlVUIR

【答案】答案見解析

【分析】想象各張紙的上半部分折過去然后旋轉過來，即從另一面看過來的圖象即可.

【詳解】由題意各紙張從另一面看的圖形為：

1為

nnvu

2為v2i?a

3為D口yi」

4為

1*1flV0

【變式3】在《線性代數》中定義：對于一組向量％,%,見存在一組不全為。的實數勺，h,…除使

得：用4+&4+.+M%=0成立，那么則稱%,%,%線性相關，只有當左=履=左=0時，才能使

￡%+&%++尢,%=。成立，那么就稱為,%，。“線性無關.若｛%,%,2｝為一組不共面的空間向量，

則以下向量組線性無關的是（）

A.%+%，%+%+。3，a3B.%,%+%,a2~a3

C.%,%+a?，%—a?D.%+a）,cc^—a?,%

【答案】D

【分析】根據向量組線性相關，無關的定義列出等式，解方程組即可判斷.

【詳解】因為｛4,4,4｝為一組不共面的空間向量，則內不能用電，線性表示，

即只有當勺=攵2=攵3=。時，匕％+左2%+占。3=6

對于A：設%（%+%）+左2（。1+。2+%）+%%=0，

整理得：（勺+左2）%+（匕+左2）。2+（e+&）。3=。，

所以有+k2=。,七十%3=。，取勺=%=1,攵2=—1,

所以%+%,%+%+%，電線性相關，故A錯誤；

對于B：設勺%+左2（。2+%）+匕（。2-。3）二°，

整理得：（k[+&+%）&+（&-匕）%=0，

所以有匕+左2+與=。/2-43=。，取用=一2,左2=左3=1'

所以a2,a2+a3,%-%線性相關，故B錯誤；

對于C：設勺/+&（%+4）+%（1-%）=。，

整理得：（勺+&+匕）。1+（左2—%）。2=。，

所以有匕+左2+/=。/2-攵3=。，取勺=一2,攵2=%=1，

所以的,%+%,%線性相關，故C錯誤；

對于D：設發（%+%）+&（%-%）+&%=0，

整理得：（/+左2）。1+（勺_左2）。2+&。3=0，

所以有4+左2=。，左一左2=。，左3=。，解得用=k2=k3=0,

所以%+%,%-%，%線性無關，故D正確.

故選：D

【題型四】截面問題

【例1】如下圖所示，在正方體ABCD-ABIGR中，如果點E是A4的中點，那么過點2、B、E的截面圖

形為（

C.正方形D,菱形

【答案】D

【分析】根據題意作出截面圖形，然后利用正方體的性質求解即可.

[詳解】分別取BBi,CG的中點G,尸，連接AG,BF,D、F,GF,

如圖QEB廠即為過點2、B、E截正方體所得的截面圖形,

由題意可知：4E//G8且4E=GB,所以四邊形AEBG為平行四邊形,

所以AG//E8,又因為G尸〃4G且Gf=B1G,4。//4G且AR=B[C],

所以AA〃G尸且A2=GB,所以四邊形為平行四邊形，所以RF//AG,

所以DF//EB,同理ER//BF,所以四邊形2E3F為平行四邊形，

又因為EB=BF,所以平行四邊形REB尸為菱形，

【例2】已知一正方體木塊ABCD-ABC2的棱長為4,點E在棱AA上，且AE=3.現過2瓦用三點作一

截面將該木塊分開，則該截面的面積為（）

A.4726B.5V17C.2726D.2m

2

【答案】A

【分析】如圖，在CG上取一點尸，使得c/=1,連接耳尸,。尸，則四邊形。班/為平行四邊形，即平行

四邊形。班/為所求的截面，利用余弦定理和同角的三角函數關系和三角形的面積公式求出S,og,即可求

解.

【詳解】

DiG

如圖，在CG上取一點f，使得CP=1,B.F,DF,AF,ECVEF,AQ,

因為AE//CZ旦AE=C￡,所以四邊形AECXF為平行四邊形，

所以所與AG相交于。且。為AG的中點，

又。在上，所以E尸與耳。相交于0,且。平分￡F,B.D,

所以四點￡?,瓦綜尸四點共面且四邊形DEBXF為平行四邊形,

所以過D,E,4三點的截面是平行四邊形。匹/，

22后,/亦+府=

DE=\lAE+AD=5,BtE="尸+(BG'=DB[=4A/3,

B]E2+DE?—B[D?_17+25-48___3

..cosNDEB1

2B】EDE~2x5x67—5717

4A/26

..sinNDEB】=Jl-cos?NDEB1

5A/17

故截面面積為S=2S=2x-DExB.EsinZDEB.=5xVF7x生”=4而.

215V17

故選：A.

【變式1】如圖，正方體ABC。-A4GQ的棱長為4,BtP=2PC,RQ=3QG，過2,P,。三點的平面

截該正方體，則所截得的截面面積為（)

1573C.15厲D.3721

【答案】D

CRCP1

【分析】延長3尸交eq于點穴,貝（1----,推出B,H,Q，R四點共面，再計算S梯形BH2R即可得

人」B、BB、P2

出答案.

CRCP1

【詳解】延長交CG于點R,貝!J----=----=一,

人」B[BB[P2

即R為CC1的中點，

連接。R,取A片中點連接則8"http://QR,

所以B,H,Q,R四點共面，故梯形QR8H即為截面圖形,

BH=BR=2QR=275,QH=y/V7,

RH=依同+BR=才+4C：+CIR2=2A/6,

記3"邊上的高為〃，BN=x

貝ljRB2-BN2=QH2-{BH-QR-BN)2=h1=>(2右『_1=(a-(2石一#-x『=力解得

4,2國

*飛yr

所以曲3=+BH）拉=$3乖義工=3?.

故選：D.

【變式2】如圖，正方體A2CD-ABC?的棱長為2,點E,廠分別是42,8C的中點，過點2,E,尸的

平面截該正方體所得的截面多邊形記為。，則。的周長為（

A.4夜+46B.4肉后C.V2+2V13D.4舊+0

【答案】C

【分析】作出輔助線，得到五邊形。/以舊即為截面O,根據三角形全等或相似得到各邊長度，求出截面

周長.

【詳解】延長D4,DC,與直線所相交于M,。，

連接QM，2Q與4AGC分別交于點,連接尸耳班

則五邊形QPEFH即為截面。，

正方體的棱長為2,點及尸分別是的中點,

所以砂=—xj2?+22=五,

2

由RtBEF=R3CQF三RtAAEM得,

AM=CQ=BE=BF=1,EF=ME=FQ=^,

4

所以p,H分別為靠近AC的三等分點，故AP=G"=§，

所以由勾股定理得D,P=D[H=22+=J4+—=戶=,

所以。的周長為D/+PE+E尸+打/+么/7=冬叵*2+巫又2+0=2如+忘.

33

【變式3】如圖，正方體ABC。-44^口的棱長為1,尸為3C的中點，Q為線段CG上的動點，過點A、P、

Q的平面截該正方體所得的截面記為S,給出下列四個結論：

①當0<CQ<g時，S為四邊形；

②當CQ=；時，S為等腰梯形；

③當CQ=1時，S的面積為亞；

2

31

④當。。=7時，s與。12的交點r滿足GR=§.以上結論正確的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】做截面的常用兩種方法：作平行線和作延長線.對于本題，過點A作PQ的平行線即可得到截面.

【詳解】①當0<CQ<g時，如圖(1),S是四邊形，故①正確;

DiCi

圖⑴

②當時，如圖是等腰梯形，

CQ=g(2),S故②正確；

DiCi

圖⑵

③當CQ=1時，如圖(3),此時截面為菱形兩條對角線的長分別為四，石

所以S=,x0x百=】但，③正確.

22

S

圖⑶

3使RN=g,連接⑷V交42于S,連接QN交C12于尺，連接SR,

④當CQF寸，如下圖，延長皿至N,

12

則4V//PQ,由NRDrQRC】,可得C]R:RR=qQ:D]N=1:2,所以。毋=:,即=],故④正確;

N

DiRG

aQ

--HC

TP

圖⑷

故選：D

【題型五】交線與軌跡問題

【例1】如圖，三棱柱A8C-A4cl中，AB=4,AC=3,BC=5,懼=6,。為CC1中點，E為8耳上一

點，BB[=3BE,ZACD=120°,M為側面MGC上一點，且//平面,則點M的軌跡的長度為

C.及D.1

【答案】B

【分析】在CD上取點M，使得MD=2，MC=1,在AC上取點也，使得％A=2，MC=1,則BM//OE、

加|加2//4。，根據線面、面面平行的判定定理可證明平面//平面相圮，則點M的軌跡為線段〃1加2，

結合余弦定理計算即可求解.

【詳解】由題意知，BE=2,CD=3,在C。上取點Mj,使得MQ=2,M0=1,

則MXDUBE豆M、D=BE,所以四邊形BEDMt為平行四邊形,

故BMJIDE,又平面ADE,DEu平面ADE,

所以BM〃平面

在AC上取點外,使得％A=2,%C=1,

有畿=淺=1所以（MM-CDA,則必加2〃47）,

LVL,iyivl2/1乙

又叫平面ADE,4）u平面ADE,

所以M{M2II平面ADE,又BMJ=Mi，BM「MXM2u平面BMXM2,

所以平面BM%//平面ADE，則點M的軌跡為線段MjM”

在,CMjM?中，CM,=CM2=l,ZMtCM2=120°,由余弦定理，

22

得M,M2=^M,B+M2B-2MXB-M2Bcos120°=6,

【例2】在三棱錐A-3CD中，底面BCD是等邊三角形，側面ABZ）是等腰直角三角形，AB=AD=?，P

是平面BCD內一點，且AP=1,若AC=#，則點P的軌跡長度為（）

A.匝B.-C.3生D.-

3333

【答案】C

【分析】取的中點。，連接AO,CO,作AN，CO交CO的延長線于點N,利用線面垂直的判定得到AN1

平面BCD,進而得出AN,NP,再結合余弦定理和同角三角函數的基本關系可得點P的軌跡是以N為圓心,

正為半徑的圓，最后結合圓的周長計算公式即可求解.

3

【詳解】如圖，取30的中點。，連接AO,CO,易得AOLBACOLB。,

又AOCO=O,AO,COu平面AOC,所以3。工平面AOC,

又AB=AD=也,所以如=2,AO=1,C0=6,

在△AOC中，AC=4^，由余弦定理得cosNAOC=-^^t=-走，

2xlxV33

作4VJ_C。交CO的延長線于點N,則AN_LBD,

又BD1CO=O,即,COu平面BCD,所以4V7,平面BCD,

又NPu平面BCD,所以4VJ_NP,

所以sin/AOC=必，所以A7V=A0-sin/A0N=9,

33

在Rt^AAP中，AP=1,則NP=J”?-W=昱，

3

所以點P的軌跡是以N為圓心，也為半徑的圓，

3

則點尸的軌跡長度為宜況，

3

A

故選：C,

【變式1】在棱長為I的正方體ABC。-中，點0為側面84GC內一動點（含邊界），若D\Q瀉,

則點。的軌跡長度為.

TT1

【答案】兀

【分析】根據題設描述確定Q的軌跡，即可求其長度.

【詳解】由題意，。在面B4GC的軌跡是以G為圓心，半徑為3的四分之一圓弧，

11TT

所以軌跡長度為1"廠“

故答案為：—

4

【變式2］已知正方體ABC。-AB］CQ］棱長為3,點M在正方體內部運動（包括表面），且HAf//平面ARC,

則動點M的軌跡所形成區域的面積為.

【答案】唯/薛

22

【分析】利用截面8AG〃平面AC2,判斷出動點M的軌跡在△AGB三角形及其內部，即求VABG的面

積即可得到結果.

【詳解】因為平面BAC//平面ACD,,

所以點Af是該正方體表面及其內部的一動點，且〃平面AD,C,

所以點M的軌跡是三角形及其內部，

2

所以VA5G的面積為SABC=-（3A/2）.sin-=^.

外￡?52\/32

故答案為：竽

【題型六】“球”的切接問題

【例1］己知球。與正三棱柱ABC-A4G的各個面均相切，記平面ABG截球。所得截面的面積為耳，球。

的表面積為$2,則3=（）

39101113

A.—B.—C.D.

1313117468

【答案】A

【分析】因為球與正三棱柱各面均相切，所以正三棱柱高是球直徑，底面正三角形內切圓半徑是球半徑，

由此確定正三棱柱底面邊長.求球心到平面距離時，找到相關點連線，利用正三棱柱上下底面中心與高的關

系得到耳，再在直角三角形中求cosNCEG，進而得出球心到平面距離.根據勾股定理求截面圓半徑，再

用圓面積公式得截面圓面積.用球表面積公式求球表面積，最后算兩者面積比值.

【詳解】如圖，設球。的半徑為R:球。與正三棱柱ABC-4與￡的各個面均相切

???正三棱柱ABC-A4a的高為2R,底面邊長為2辰.

設正三棱柱A5C-A與G上，下底面的中心分別是是48的中點，連接EG交。。2于廠，

則。到平面ABC,的距離d=|。叫sin/OP￡

=|OP|cosNCEC]^|OF|=

所得截面圓半徑r=依-1=,虺

故選：A.

出

or-

'c

【例2】已知菱形ABC。的邊長為26,NEW=6。，以8。為折痕把△ABD折起，使點A到達點4的位置,

且平面A3D，平面BCD若點A,民C。都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.16兀B.20兀C.24JID.28兀

【答案】B

【分析】先把平面平面3CD,轉化為HELCE,再利用等邊三角形的性質，確定△3CD和

的外接圓的圓心。，。2的位置，從而得到四邊形。。￡3為正方形，進一步得到。&=1，再求出△3CD的外

接圓半徑,在包含球半徑R的Rt^BOa中求解即可.

【詳解】如圖所示，取5。的中點E,連接4E,CE,

由題意可知43。和△BCD均為全等的等邊三角形，

所以A'ELBZXCELBD,且AE=CE=2若xsin60。=3,

因為平面ABD_1_平面BCD,平面平面38=31）,

所以A'E_L平面BCD,因為CEu平面3C。，所以A'E_LCE.

設。為球心，0］為△BCD的外心，。2為的外心，

則平面BCD,。。2,平面A3D,且?E=O2E=gcE=gAE=l,

所以四邊形。。也。2為正方形，即。。=1.

2

又因為△38的外接圓半徑8。=CQ=§CE=2,

所以在RtABO。］中，BO2=OOC+BO^,即代=1+2?=5,

所以球的表面積為S=4成°=20TI.

故選：B.

【變式1】已知A,B,C,D是半徑為15的球的球面上四點，AB1AC,BC=24,則三棱錐A-3co體

積的最大值為（）

A.384B.1152C.38473D.11525/3

【答案】B

【分析1利用直角三角形的斜邊就是其外接圓的直徑，再利用過球心垂直于截面的直線必過截面圓的圓心，

就可以構成勾股定理求距離，從而可求得最大體積.

【詳解】因為ABSAC,3c=24,所以BC為VABC的外接圓的直徑，即半徑廠=/===12,

22

由過球心垂直于截面的直線必過截面圓的圓心可知，

球心到平面ABC的距離d=JR2f2=^52-122=9，

2222

D擊454n工口c1…An1AC+AB1BC124一”

又口一角\ABC面租SABC=—AC,ABW-----------=------=-x=144,

ABC2222222

當且僅當AC=AB=12A/2時取等號，

而點。到平面ABC的距離的最大值為d+H=9+15=24,

所以三棱錐A-BCD體積的最大值為$144x24=1152.

故選:B.

誤區點撥

易錯點：動點問題導致的體積，角度，距離的變化

解題技巧：1.對各個題型進行總結。

2.在掌握題型的基礎上鍛煉自己的空間想象能力。

例1.（多選）如圖，在棱長為2的正方體耳GQ中，M是棱8c的中點，N是棱。2上的動點（含

端點），則下列說法中正確的是（）

A.三棱錐的體積為定值

B.若N是棱。2的中點，則過A、M、N的平面截正方體ABCD-ABCiR所得的截面圖形的周長為逃

2

C.若N是棱。2的中點，則點R到平面的距離為勺旦

21

D.若CN與平面所成的角為凡則sin。e與與

【答案】ACD

【分析】對于A選項，-AMN~^N-AA^M，由題。2〃面所以不論N在棱。2上如何運動，錐體的底

和高都不會發生變化；對于B選項，作出過A、M、N的平面截正方體所得截面，再求出相關線段的長即可；

對于C選項，運用等體積法計算即可；對于D選項，以A為坐標原點，建立坐標系，用向量法求出設面

的法向量，代入線面角公式即可求范圍.

【詳解】對于A選項，〃一AMN=%一肥”，因為。2//的，可得〃面A4,M,

所以不論N在棱上如何運動，錐體的底和高都不會發生變化，

即匕,-AMN為定值，故A選項正確；

對于B選項，四邊形AMHN為過A、M、N的平面截正方體所得截面，

因為平面平面4BCG，且面AAD?1平面4WHN=4V,

面B^BCCic面AMHN=MH,

有MHHAN,又因為V、N為中點，所以H為四等分點，

貝1JC.RN=\AM\+\AH\+\HN\+\AN\=y/5+^-+^-+^[5,故B選項錯誤；

對于C,當N是棱。2的中點時，AM=\lAB2+BM2=V22+12=y/5>AN=\/Ab2+DN2=>/22+l2=75-

MN=^MDr+DN-=7（22+l2）+l2=瓜.

人小…m八，AM2+AN2-MN25+5-62,I~27歷

由余弦定理cosAMAN=-；—=——『一尸==，則nsinZMAN=.1-（-）2=—.

2-AM-AN2xV5xV55\55

所以S=-xAMxANxsinZMAN=-xy/5xy/5x—^—.

小AMN2252

1112

%-A.N=§xSXCD=-x—x2x1x2=—,又％_AD]NVD「AMN?

設點。到平面曲的距離為"根據丫…=#"人即上浮x，=|，解得仁當，所以選項

C正確.

對于D選項，以A為坐標原點，建立坐標系如圖,

則4（0,0,0）,4（2,0,2）,C（2,2,0）,設N（0,2,X）,Xe[0,2],所以陰=（2,0,2）,AC=（2,2,0）,CN=（-2,0㈤,

2x+2y=0

設面世C的法向量為〃=(x,y,z),則令尤=1,解得”=所以

2x+2z=0

s*邛傷詈邛后"當"二°時‘沖”?’當人。時,

當且僅當a=2時等號成立，因此北字豐，故D選項正確;

故選：ACD.

變式1.（多選）在長方體中，己知43=4,4。="的=°,點P是線段與C上的動點.則

下列說法正確對的是（）

A.a-b-c,則AP_L8￡>|

B.若a=b=c,則點尸到平面AG。的距離是走4

3

TTTT

C.若a>b>c,則直線AP與直線AA所成角的范圍是

D.若a>b>c,分別經過43,A2AA且平分三棱錐4-48。體積的截面面積依次為，，邑,邑，則

Sl>S2>S3.

【答案】ABD

【分析】由。=6=c,即ABCD-A與G2為正方體，根據正方體的結構特征及線面垂直的判定及性質判斷

A；通過證明4c〃面AC。，得到點p到平面AG。的距離，即為3。到面AG。的距離d,再求出s到面

MC的距離為心結合d=-2右判斷B；注意直線A尸與直線AA所成角，即為直線AP與直線AD所成

2222

角，利用P與耳重合時AD_LAP判斷C；根據長方體的性質有Si=/a汨+Yc2,S2=ylab+bc,

與702cl+6%2,結合a>6>c即可判斷D.

【詳解】若a=6=c,即ABCD-ABCQ］為正方體，

由又。R，面ABCD,ACu面ABC。，則。R_LAC,

又BDDR=￡>都在面8￡）2內，故47_1_面8。2，BRu面BDR,

所以ACL8。，同理可證又ACcA耳=A都在面相。內，

所以3A_L面陰C,而APu面陰C,貝lj4P_L32，A對；

由正方體的結構特征易知，CD4f與為平行四邊形，則

4￡）u面AG￡>,4c（Z面AC。，則用C//面ACQ,而尸e4C,

所以點尸到平面AG。的距離，即為與c到面AG。的距離d,

若3到面陰c的距離為〃，則La.La2=L〃.L24.Yl,可得h=吃,

32322V3

所以<7=BD1—2h-a,B對；

AB

由42//A。，則直線AP與直線AA所成角，即為直線AP與直線A