高考仿真卷（二）

（時間：120分鐘分值：150分）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.設集合“=｛》|2工>1｝,集合心3%2々｝,則MUN等于（）

A.[0,2）B.（-8,2）

C.[0,+°°）D.（-2,+8）

2.已知復數Z滿足z2=-l,貝U|z2+2z|等于（）

A.lB.V3C.3D.V5

3.等軸雙曲線經過點（3,-1）,則其焦點到漸近線的距離為（）

A.2V2B.2C.4D.V2

4.已知0<￡<a<5，sin（a/）=],tana-tan夕=2,貝I]sinasin,等于（）

A.-B.—C.-D.-

2255

5.設函數式x）=x+專的圖象與x軸相交于點P,則該曲線在點尸處的切線方程為

（）

A.y=-xB.y=-x-l

C.y=0D.y=x-1

6.某班聯歡會原定5個節目，已排成節目單，開演前又增加了2個新節目，現將這

2個新節目插入節目單中，要求新節目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么

不同的插法種數為（）

A.12B.18C.20D.60

7.已知數列｛期｝的前〃項和為S”，且滿足。尸1,。“+產[即+1，”為奇數，則&00等于

12-為偶數,

（）

A.3X251-156B.3X251-103

C.3X250-156D.3X250-103

8.對任意兩個非零的平面向量a和b,定義：a?b=-^—,黑.若平面向量a,

\a\z+\b\z\b\z

6滿足⑷＞依＞0,且a十6和a%都在集合榭ncz,OCn"｝中,則a型+a*6等于

()

A.lB.-C.1或乙D.1或9

244

二、選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)

9.在一次射擊比賽中，甲、乙兩名選手的射擊環數如表，則下列說法正確的是()

甲乙

87909691869086928795

A.甲選手射擊環數的極差大于乙選手射擊環數的極差

B.甲選手射擊環數的平均數等于乙選手射擊環數的平均數

C.甲選手射擊環數的方差大于乙選手射擊環數的方差

D.甲選手射擊環數的第75百分位數大于乙選手射擊環數的第75百分位數

10.(2024?無錫模擬)已知函數人x)及其導函數八x)的定義域均為R.記g(x)=f(x),若f

(2久+1)為偶函數，g(|—￡)為奇函數，貝1()

A/㈢=。

B.g(-2)=g⑶

D.A0)=/(5)

11.如圖1,半圓。的直徑為4,點3,C三等分半圓弧，P,。分別為03,OC的

中點，將此半圓以04為母線卷成如圖2所示的圓錐，。為5c的中點，則在圖2

中，下列結論正確的有()

A.陪

B.AD，平面OBC

C.PQ〃平面ABC

D.三棱錐P-ABC與三棱錐Q-ABC公共部分的體積為*

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.兩個連續隨機變量X,￥滿足X+2F=3,且X~N（3,『），若P（X+1W0）=0」4,貝！J

尸（y+2>o）=.

13.已知直線/：y=x-3與拋物線C：y?=4x交于P,Q兩點，0為坐標原點，則底

OPQ=-

14.某冷飲店為了吸引顧客，特推出一款蛋仔冰淇淋，其底座造型如圖所示，外部為

半球型蛋殼，內有三個大小相同的球型蛋仔，蛋仔兩兩相切，且都與蛋殼相切，三

個蛋仔的頂端正好與半球型蛋殼的上沿處于同一水平面，如果球型蛋仔的半徑為

V3,則這個半球型蛋殼的容積為.

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（13分）△A3C的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足上哼=岑.

cos/cosB

⑴求證：A+239（6分）

（2）求吟好的最小值.（7分）

16.（15分）某批零件一級品的比例為80%,其余均為二級品.每次使用一級品零件時

肯定不會發生故障，而在每次使用二級品零件時發生故障的概率為0.1.某項任務需

要使用該零件n次（若使用期間出現故障則換一件使用）.

（1）某零件在連續使用3次沒有發生故障的條件下，求該零件為一級品的概率；（6分）

（2）當n=2時，求發生故障次數X的分布列及期望.（9分）

17.（15分）如圖，P為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AC為底面直徑，△A3D

為底面圓。的內接正三角形，且邊長為28，點E在母線PC上，且

AE=2?CE=2.

（2）若點M為線段PO上的動點，當直線DM與平面ABE所成角的正弦值最大時,

求平面MBD與平面ABD的夾角的大小.（10分）

18.（17分）已知橢圓C的右焦點為尸（1,0）,其四個頂點的連線圍成的四邊形面積為

4V3,菱形A3DE內接于橢圓C.

（1）求橢圓C的標準方程；（3分）

⑵①坐標原點。在邊A3上的投影為點尸，求點尸的軌跡方程；（6分）

②求菱形A3DE面積的取值范圍.（8分）

19.（17分）已知函數y=/0）及其導函數產八㈤的定義域均為D設xoWD，曲線y=/3）在

點（Xo，/（xo））處的切線交無軸于點（羽，0）.當時，設曲線產/（X）在點（X.，兀沅））處

的切線交x軸于點（元+1,0）.依此類推，稱得到的數列｛羽｝為函數y=/（x）關于X。的“N

數列”.

⑴若於）=lnx,｛x.｝是函數發於）關于沏=：的"N數列”，求xi的值；（3分）

⑵若40=爐_4,｛/｝是函數y=/（x）關于新=3的“N數列"，記??=log3^，證明：

｛以｝是等比數列，并求出其公比；（5分）

⑶若五工尸^金，則對任意給定的非零實數。，是否存在x（#0,使得函數y=/Q）關于

沏的“N數列”｛招｝為周期數列？若存在，求出所有滿足條件的回；若不存在，請

說明理由.（9分）

答案精析

1.D［因為2*21=2°,所以,所以止{x|x20},

因為f<4,所以-24V2,

所以N={R-2<x<2},

所以MUN=(-2,+8).］

2.D［令z=a+Ai(a，〃金R),

貝！］z2=?2+2tz/?i-Z?2=-1,

所以『丁『T

解得所以z=±i,

Sk|?+2z|=|-l±2i|=V5.］

3.A［因為該雙曲線為等軸雙曲線，

22

不妨設該雙曲線的方程為2-彳=1(。>0),

azaz

因為等軸雙曲線經過點(3,-1),

所以總號=1,解得力,

則<?=02+02=16,

所以該雙曲線的一個焦點為F(4,0),

易知該雙曲線的一條漸近線方程為產x,

則點F(4,0)到直線y=x的距離仁整=271]

4.C［因為0<￡<a<，

所以0<a/<，

因為sin(a/)=，

所以cos(ct-/?)=71-sin2(a-^?)=|,

rrnM〃_sinasin0_sinacos0—sin/?cosa_sin(a-0)

尸cosacos0cosacospcosacosp

所以COS6XCOSP=^,

因為cos(a/)二cosacos￡+sinasm4二|+sinasin4二|,

貝(Jsinasin^=|.］

5.C［令x+^—=0,即x(x+2)+l=0,即(x+l)2=0,解得,

x+2

故尸(-1,0),/(x)=l-^,貝！J*l)=17Tz^=。,

則其切線方程為止段1）=/號1）（》+1）,即產o.］

6.C［根據題意，可分為兩類：

①當2個新節目插在5個節目中間的四個空隙中的一個時，

有最A；=4x2=8（種）方法；

②當2個新節目插在5個節目中間的四個空隙中的兩個時，有/=4x3=12（種）方法，由

分類加法計數原理得，共有8+12=20（種）不同的插法」

7.A［因為ai=l,

（an+l,n?為奇數，

（2即,九為偶數，

所以〃2什2=〃24+1+1=2。2計1,〃2k+1=2。2諄2〃2hl+2,,且〃2=2,

所以〃2左+2+。2左+1=2(。2左+42hl)+3,

記乩二。2〃+。2〃-1,,則bn+i=2bn+3,所以兒+1+3=2(乩+3),

所以｛兒+3｝是以d+3=0+勿+3=6為首項，2為公比的等比數列，

所以勿+3=6x2"」,勿=6x2”i-3,

O124951

記u"｝的前〃項和為Tn.則SIOO=T5O=(6X2+6X2+6X2+-+6X2)-3X5O=3X2-156.1

8.D［因為｛引幾CZ,。<riW4卜｛1,1｝,

設向量a和辦的夾角為0,因為⑷>向>0,所以|肝+出『>2同網,

zHC||Qrab_\a\\b\cosO\a\\b\cos0_cosO

1寸土⑦"一|a|2+|b『-m|2+|b|2<2|a||b|一，

又柒”兀］,所以等,&Pa?b<l,

又a十〃在集合｛mnGZ,0<n<4｝中,

所以a@b=^~,,即cos(9>i,

4Z4Z

又因為a*%導喘絲髀。s-os*,

所以a*Z>=：或1,

所以a十Z>+a*b=l或I」

9.ABC［甲選手射擊環數從小到大排列為86,87,90,91,96,則甲選手射擊環數的

極差等于96-86=10,

平均數等于*(86+87+90+91+96)=90,

方差等于工x［(86-90)2+(87-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(96-90)2］=12.4,

第75百分位數等于91.

乙選手射擊環數從小到大排列為86,87,90,92,95,則乙選手射擊環數的極差等于

95-86=9,

平均數等于*(86+87+90+92+95)=90,

方差等于如［(86-90)2+(87-90)2+(90-90)2+(92-90)2+(95-90)2］=10.8,

第75百分位數等于92.

綜上可知，A,B,C正確，D錯誤.]

10.CD四為久為偶函數,

所以/(-2%+^=f(2x+|),

令-2x+：乙則2x=|-f,

所以火力力(5-/),

即期)=/(5-x),

所以人x)的圖象關于直線二”對稱,

所以八0)寸5),所以D正確；

由#x)=/(5-x),

得八x)=/(5-x),

所以g(x)=-g(5-x),

所以g(x)+g(5-x)=O,

所以g(x)的圖象關于點《，0)對稱，

因為g(|—久)為奇函數，

所以g(|+久)=吆(|一久),

所以g(x)的圖象關于點(|,0)對稱，

所以g(x)的一個周期為2x(1-|)=2,

因為g(x)的圖象關于點，0)對稱，

所以g(|+%)+g(|一久)=。,

令％=。，則g(|)=0,

所以g削g?+2)=0,

所以g(3=o,所以C正確；

因為g(x)的周期為2,

所以g(-2)=g(0),

因為g(x)的圖象關于(I，0)對稱，

所以g(3)=-g(0),所以g(-2)=g(3)不一定成立，所以B錯誤；

由々(I+久)=吆(1一%)，且g(x)周期為2,

可得大|+久)W(|-x)=fQ"%),

所以/(—i+%)=/(1—久)+C(C為常數)，

所以/(—3寸?+C，此式不一定為零，所以A錯誤.]

11.ACD[對于A,在圖2中，設圓錐的底面圓半徑為r,

則271r=京4兀,解得r=l,

因為在圖1中，點A為半圓弧的端點，點3,C三等分半圓弧，

所以在圖2中，點A,B,C為圓錐的底面圓周的三等分點，

所以△ABC為等邊三角形,

所以篇二2『2,所以8aB

又因為點尸，Q分別是OB,0c的中點，

所以尸。爭C4,故A正確；

對于B,連接。。，AC,A3,因為aABC是邊長為舊的等邊三角形，△OBC為等腰三

角形，

而4。=2,所以皿2+。。24?/4幺。2,這表明4D與°。不垂直，故B錯誤；

對于c,因為點P,。分別是OB,0c的中點，所以PQ//BC,

因為仁平面ABC,BCu平面ABC,

所以〃平面ABC,故C正確；

對于D,連接AP,AQ,3Q,CP,設8Q,CP交于點E,連接0E并延長0E,則由對

稱性可知0E必定交3c于點D,則三棱錐P-A8C與三棱錐Q-ABC的公共部分即為三

棱錐E-ABC,

因為點P,。分別是OB,0C的中點,

所以￡為△0BC的重心，

所以DE=^OD,

由上易知，圓錐的軸截面為邊長為2的正三角形，所以圓錐的高為8,

所以V三棱錐E-ABC=1V三棱錐O-ABC=1X$<GxV3XV3XyjxV3=^,

所以三棱推P-A3c與三棱錐Q-A3c公共部分的體積為:，故D正確.]

4

12.0.86

解析因為X+2F=3,

所以X+1=4-2Y,

因為P(X+lW0)=0.14,

所以P(4-2yW0)=0.14,

即Pg2)=0.14,

-1Q

又Y=--X+-,

22,

所以E⑺=颯㈤+|=0,D（Y）=^D（X）^,

所以y~N（o,匕2）,

所以p（y+2>o）=p（F>-2）=I-P（-2）=i-p（r^2）=1-0.14=0.86.

13.12

解析由直線y=x-3與拋物線V=4x,聯立方程組消元得（x-3）2=4x,

即^-10%+9=0,

設交點P（X1,yi）,e（x2,y2）,

則有Xl+X2=10,X[X2=9,

由弦長公式可得|尸。|=11+12.卜竹2]=7^/102—4x9=8魚,

再由點到直線的距離公式得點。到直線/的距離d=*當,

V22

即△OPQ中,邊PQ上的高為學，

所以5AOP2=|X8V2X^^=12.

14.y（16V7+24V3）

解析取半球的球心為0,三個小球的球心分別為01,Q,。3,

則有OIO2=O2O3=OIO3=2V3,取△O1QO3的重心H,則0H=V3,

在△O1O2O3中易求得0iH=|x2gxsing=2,

則0017OH2+。擔2=VI4碼V7,

則半球的半徑R=g+V7,

半球型蛋殼的容積V=ix^7t(V3+V7)3=y(3V3+9V7+21V3+7仞號(16V7+24V3).

15.⑴證明由1加4=更￡可得A^-,且sinAcosB+cosAsinB=cosB,

cosylcosB2

所以sin(A+B)=cosB=sin^-B),

因為A,B為三角形的內角,可得A+3=1-3,BPA+2B=^，得證.

⑵解由⑴知A=1-2B,且C=n-A-B=^B,

a2+b2_sin2A+sin2B_cos22B+sin2B_(2cos2B-l')2+l-cos2B2

所以-5^4V2-5,

c2sin2CCOS2BCOS2BCOS2B

當且僅當cos?必爭寸，等號成立，

所以守的最小值為4口.

16.解⑴記事件4="從這批產品中任取一件為一級品”，則P（A）=0.8,P（A）=0.2,

記事件&="使用零件〃次，沒有發生故障”，則P（B?|A）=1,尸⑸問）=0.9".

3

則P(B3)=P(B3|A)P(A)+P(B3W-P(^)=1X0.8+0.9X0.2=0.8+0.1458=0.9458,

P(4B3)=P(B3⑷PQ4).1X0.8_4000

所以（出）

PA3=P(B3)--P(%)-'0.9458-4729

⑵依題意X的可能取值為0,1,2.

所以尸(X=0)=尸(%⑶尸(A)+P(&|不尸(7)=1x0.8+0.92x0.2=0.962,

尸（X=l）=尸（才尻）［P（A）+P（彳81）］+尸（皿氏尻））

=尸(壇⑷尸⑷[尸⑷+尸(81⑷7(4)]+尸((8山1)⑷尸⑷

=0.1x0.2(0.8+0.9x0.2)+0.9x0.1x0.2=0.0376,

P(X=2)=[P(彳尻)]2=(0.2x0.1)2=0.0004,

所以X的分布列為

X012

P0.9620.03760.0004

所以E(X)=0x0.962+1x0.0376+2x0.0004=0.0384.

17.(1)證明如圖，設AC交BD于點口，連接EF,由圓錐的性質可知底面ABD,

因為ACu平面ABD,所以PO1.AC,

又因為△43。是底面圓的內接正三角形，由AD=2V3,AC為直徑,

則,可彳導4歹=3,

而得=AC,解得AC=4,

sin60°

又AE=2V3,CE=2,

^JTI^AC2=AE2+CE2,

即NAEC=90°,AEA.PC,

又因為些=竺=里,

yACAE2

所以,

?Jj^ZAFE=ZAEC=90°,

即EF±AC,所以EF//PO,

又POC平面BDE,Eft平面BDE,

所以尸0〃平面BDE.

⑵解因為PO〃EF,尸。_L平面A3D,所以平面A3。，

又EFu平面BED,

所以平面BED_L平面ABD,

由于AF=3,貝O4FC=1,即歹為0C的中點，

知PO=2EF=2<3,以點尸為坐標原點,FA,FB,PE所在直線分別為無軸、y軸、z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(3,0,0),B(0,V3,0),￡)(0,-V3,0),E(0,0,V3),P(1,0,2V3),0(1,0,

0),

所以而=(-3,V3,0),AE=(-3,0,V3),DO=(1,V3,0),OP=(0,0,2V3),

設平面ABE的法向量為n=(x,y,z),

則(力B-n=-3x+V3y=0,

(AE-n=—3%+V3z=0,

令x=l,則n=(l,V3,V3),

設而為訶(0<4<1),可得兩=前+而=(1,V3,2V3/1),

設直線DM與平面A8E所成的角為3,

|n-DM|_|6A+4|_|3A+2|

則singeos{n,DM)|=-

\n\\DM\V7XV12A2+4V7XV3A2+1

9A2+12A+4_1

即2(3+黯，

sin0=7(3A2+1)-7

冬12X+1

vy—3久2+i.xe[0,1]z

當且僅當w時，等號成立,

所以當時，產若有最大值4,

即當丹時，sin。的最大值為1,此時點M(1,0,V3),所以MO=V3,

易知NMPO即為平面MBD與平面ABD的夾角，

又FO=\,所以NMFO=60。，

故當直線DW與平面A3E所成角的正弦值最大時，平面M3。與平面ABD的夾角為

60°.

22

18.解⑴根據題意設橢圓C的標準方程為巳+*=1,

由已矢口得,1X26ZX2Z?=4A/3,即ab=2W，由c=］可得,(i2-Z?2=l,

聯立解得,a=2，氏返,

22

故橢圓C的標準方程為亍+*=1.

4J

⑵如圖，

當直線A3的斜率存在時，設其方程為y=kx+m,

(y=kx+m,

由％2y2，

—4I—3=L

由題意4=64勵2_4(3+4F)(4"-12)=48(4^--+3)>0,

設A(xi,yi),3(x2,yi),

,i8km4m2-12

則m修+檢=-訴，制檢=有了,

于是，yiy2=(kxi+m)(kx2+m)=l^xix2+km(xi+x2)+rn2

22

_fc(4m-12)/_8^LVm2

-3+4H+的I3+4司+“

_4/C2nl2-12/一8k2yH2+37n2+4k27n2

—3+4/c2

_3m2-12k2

3+4fc2

①,**四邊形ABDE為菱形，

：.OAA.OB,

AOA-OB=0,

22

47n2-123m-12k八

即為必+州”二------F--0

3+4423+4fc2

,7毋=12(3+1),

即產

依題意，OPA.AB,故點。到直線AB：立-y+m=0的距離d=\OP\=-^=,

Vl+/cz

兩邊平方并將(*)代入可得，

12(1+M)

|Op|2=J^_=7*

111+k2l+kz7'

設點尸(x,y),則得f+y2(，

即點P的軌跡方程為爐+V專

當直線A3斜率不存在時，四邊形A3DE為正方形，

此時求得尸(土欄，。)，

也適合爐+9考，

綜上可得點P的軌跡方程為“丁考.

②:|AB|二J(1++12)2—4rL

4(4m2—12)

=」(1+H)

3+4k2

=J(l+/c2)16(12k2-3m2+9)

(3+4k2)2

_4、&乂/(1+N)(4H-TH2+3)

-4V3X1-和衍一

???AAOB的面積S寺|A3|X公蔡『C；+9),

令Z=3+4產,貝卜23,標=與斗弋入上式整理得，

*(1+1)寧+9]=二叵醇L絲畢413+4二I-3—)2+竺

7Jt27\4t2774t277t2t7\\t6/12

、>3,A0<-^-,

?，t3'

當U6時，5max=V3,

當Z=3時，Smin=y,

/--^S^V3.

7

由對稱性可知菱形ABDE面積等于AA08面積的4倍,

則此時菱形A3OE面積的取值范圍為《，4時.

當直線A3的斜率不存在時,不妨設其方程為x=B>0),

??,四邊形A3DE是菱形，

故它是正方形，則其面積為5=4r,

將點A"/)代入f=1解得，

4D/

故此時菱形ABDE的面積5=4』=手e[y，4g].

綜上，菱形ABDE面積的取值范圍為樣，4時.

19.解⑴由/U)=lnx,

得八坦,

因為沏=：,則於o)=-l,八xo)=e,

所以曲線y=?x)在點(xo,八沏))處的切線方程為y-(-l)=e(x-,

令y=0,則彳=|,

所以Xi=-.

e

(2)由於)=f-4,得/(x)=2x,

于是曲線月⑴在點(%,處的切線方程為y-(x^-4)=2xn(x-Xn),

令y=0，則

琉+412

由題意得至(J斯+1=10g3的1+1+2=10g3晝氐—=210g3^^|=2〃〃，

xn+l~z-2X-Z

2xnn

所以a?+i=2a?,

又因為6tl=10g311^|=210g3^^|=210g3|^|=210g35,

所以數列｛斯｝是以210g35為首項,2為公比的等比數列.

（3）存在，理由如下：

由於）造，

2

得八%尸a-x

(a+x2)2'

a-Xn

所以曲線產燈）在點⑶,，兀疝處的切線方程為廣事二…2、5（尤-x，，），

ci+xn（a+%九）

令尸0,則羽+尸產含

假設存在無。使得yw在（xo,兀2）處的切線經過坐標原點,

則。-韋二三嚏