2024-2025學年山東省淄博實驗學校高三（上）期末數學試卷中

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若復數次=（1一譏-1+7，）,Z2=Vs-i>則㈤一㈤=（）

A.4B.6C.8D.96

2.已知集合4={Q,g)|/+g2=]},B={(x,y)\y=x+\/2},則集合4ng中元素的個數為()

A.0B.1C.2D.3

412萬7T

3.若sin(a+/3)=cos(a—/?)=—,且5<a+/3<7r,O<Q—0<5，則sin2a=()

513zn

人33「33-63-63

A.——B.——C.——D.——

65656565

4.已知QCR,若集合M={1,Q},N={—1,0」},則“MUN”是“Q=0”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3立+97T）\+1（3>0）的最小正周期為八，則/（2）在區間07,T-上的最大值為（）

（3

A-jB.1CID.2

6.已知a,b為實數，則使得“a〉6〉0”成立的一個必要不充分條件為()

A.->yB.ln(a+1)>ln(6+1)

ab

C.a3>b3>0D."a—1>C一1

7.若V/eR，3sina;-acosx+2a6,則。的取值范圍為（）

A.(―CK),4—vV]B.(—oo,4+V7]C.[4—A/7,+oo)D.[4+V7,+oo)

8.如圖，矩形/BCD中，已知48=2,BC=4,￡為8C的中點.將△4BE沿著向上翻折至

得到四棱錐"-4ECD,平面/EN與平面/ECD所成銳二面角為。，直線ME與平面/ECO所成角為。,

則下列說法錯誤的是（）

第1頁，共15頁

A.若廣為/￡＞中點，則AABE無論翻折到哪個位置都有平面平面〃5尸

B.若。為中點，則△ABE無論翻折到哪個位置都有CQ〃平面/EN

C.Vasina=sin/3

D.存在某一翻折位置，使魚cosa=cos0

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.下列統計量中，能度量樣本的，72,…，出的離散程度的是()

A.樣本3,X2,%的極差

B.樣本21,X2,…，g的中位數

C.樣本3,x2,g的標準差

D.樣本①1+1,22+1，23+1,…，①"+1的方差

10.已知向量W=(1,2),下=(2,—4),且丁與了的夾角為a,則()

A.記一了=(1,—2)B.|T|=2|0*1

_:3

C.~(t//bD.cosa=——

11.在某市高三年級舉行的一次調研考試中，共有30000人參加考試.為了解考生的某科成績情況，抽取了樣

本容量為〃的部分考生成績，已知所有考生成績均在[50,100],按照

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出如圖所示的頻率分布直方圖.若在樣本中，成績落在區

間[50,60)的人數為16,則由樣本估計總體可知下列結論正確的為()

A./=0.016B.n=1000

C.考生成績的第70百分位數為76D.估計該市全體考生成績的平均分為71

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

7T

12.函數/(乃=sin(2，—/的最小正周期是.

第2頁，共15頁

13.已知實數ae（l,3）,be《,：），則:的取值范圍為.

14.已知數列｛廝｝的通項公式an=/sin（57r）,neN*,則｛廝｝的前22項和S22=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題13分）

為落實國家“精準扶貧”政策，讓市民吃上放心蔬菜，某企業于2018年在其扶貧基地投入200萬元研發資

金，用于蔬菜的種植及開發，并計劃今后十年內在此基礎上，每年投入的資金比上一年增長10%.

（1）寫出第x年（2019年為第一年）該企業投入的資金數貝萬元）與x的函數關系式，并指出函數的定義域；

（2）該企業從第幾年開始（2019年為第一年），每年投入的資金數將超過400萬元？

（參考數據1g0.112一0.959,1g1.1?0.041,1g11?1.041,lg2^0.301）

16.（本小題15分）

已知函數/（x）=-2-\/3sin2a;+sin2x+瓜

（1）求函數/（乃的最小正周期和最小值；

⑵在給出的直角坐標系中，用描點法畫出函數沙=在區間［0,封上的圖象.

17.（本小題15分）

已知數列｛廝｝是公差不為零的等差數列，滿足向=1,&4+05=a9,正項數列｛K｝的前〃項和為Sn，且

（1）求數列｛a,J和｛K｝的通項公式；

⑵在瓦和電之間插入1個數C11,使仇，C11,與成等差數列；在與和勾之間插入2個數C21,C22,使歷，

C21,。22,3成等差數列；…；在現和隊+1之間插入〃個數金1,%,…，。加，使"cnl,金2,…，Gin,

心+1成等差數列.

第3頁，共15頁

(i)求Cnk;

(ii)求Cn+。21+C22+,?,+Cnl+Cn2+,?,+Cnn的值.

18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面48CD為直角梯形，AD//BC,底面A8CD,AADC90%

AD=2BC,0為/。的中點，M為棱尸C的中點.

(1)證明：P4〃平面

(2)已知PD=DC=AD=2,求點P到平面BMQ的距離.

19.(本小題17分)

b_1

在銳角△48。中，它的內角/,B,C的對邊分別為a,b，C，且(a+c)sin4—cos(B+|7r)

(1)求證：cosB=1-2sin2A;

1

(2)若m<----<n,求機一九的最大值.

tanAtanB

第4頁，共15頁

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解:Z1=(1—，)(一1+7E)=—1+7+8,=6+甌,

則囪=+82=10，

':①=a一\，

：區|=\J(\/3)2+(-1)2=2，

故⑸一如=8.

故選：C.

根據已知條件，運用復數的運算法則，以及復數模的公式，即可求解.

本題考查復數的運算與復數的模，屬于基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：?.?集合4={(①⑼|/+g2=0,B==X-\-y/2},

把g=/+代入/+y2=1，得2a?+2瓜工+1=0，

△=(2"2_4*2x1=0,

二集合4nB中元素的個數為1.

故選：B.

把沙=2+四代入，2+/=1,得2/+2V^r+1=0，求出根的判別式為0，由此能求出集合4nB中

元素的個數.

本題考查交集中元素個數的求法，考查交集定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

3.【答案】B

412

【解析】解：因為sin(a+0)=己COS(Q_0)=逅,

0lo

7T7T

又］＜a+0＜再。—

35

所以cos(a+0)=-sin(a—/?)=—,

0lu

則sin2a=sin(a+0+a—0)

=sin(a+0)cos(a—0)+cos(a+(3)sin(a—/?)

第5頁，共15頁

33

-65-

故選：B.

根據和差角公式即可求解.

本題考查了同角三角函數基本關系式以及兩角和的正弦公式在三角函數求值中的應用，考查了計算能力和

轉化思想，屬于基礎題.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了集合與集合的關系，充分條件必要條件的判定，屬于基礎題.

根據集合與集合的關系，求出。的值，再根充分條件必要條件的定義即可判斷.

【解答】解：aGR,若集合”={1,研，7V={-1,0,1},

若MJN,則a=O或a=—1,

故“MUN”是“a=0”的必要不充分條件.

故選：B.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了余弦函數的周期性，求余弦函數的值域或最值，屬于基礎題.

由周期公式求得/，結合換元法即可求得最大值.

【解答】

解：由題意丁=列=不，解得0=2，所以/(2)=cos(2x+1)+1,

匚江］,c7F「7T47r

當cC0,5時，t=2x+—E—,—,

/OOO

所以當+J=［時，/(，)最大值為cos.+l=：,當且僅當x=0時等號成立.

故選：C.

6.【答案】B

【解析】解：對于/,如果不能推出a〉b>0,如果a〉b〉O,則必定有!<；,既不是充分條

abab

件也不是必要條件，錯誤；

對于3,如果ln(a+1)>ln(b+1),根據對數函數的單調性可知a+1>b+1〉0》a〉6〉—1,但不能

推出a〉b〉0,但是a>b>0=>a>b>—1,正確；

對于C,因為03〉陰〉0等價于a〉b〉o,是充分必要條件，錯誤；

第6頁，共15頁

對于。，如果7^二1>，口，則必有a>b》l>0,是充分不必要條件，故錯誤.

故選：B.

根據充分條件和必要條件的定義，不等式的性質及對數函數和幕函數的單調性每個選項判斷即可.

本題考查了充分條件和必要條件的定義，對數函數和塞函數的單調性，是基礎題.

7.【答案】D

【解析】解：因為3sinc—acos,+2a>6,即(2—cos;r)a》3(2—sin/),

注意到2—cos/>0,可得a》3(2-smQ,

2—cosx

令t=:則,表示點4(2,2)與點P(cos2,sine)連線的斜率，

2—cosx

且sin?x+cos?2=1,所以點尸在圓。：/+峭=1上，

所以f表示點4(2,2)與圓。：/+才=1上的動點尸連線的斜率.

因為直線NP與圓。有公共點，

直線AP的方程為沙一2=*7—2),即施一沙+2—2力=0,

則與駕(1,解得4-84+6,

，祥+133

即】=：—sin’的最大值為土所以a23xi±U=4+，7.

故選：D.

根據參變分離可得a》3?—2,t=：—sme表示點4⑵2)與點F(cosx,sine)連線的斜率.

2—cosx2—cosx

根據直線與圓的位置關系運算求解即可.

本題主要考查了不等式恒成立求解參數，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：對于4若/為/￡>的中點，連接BF交AE于H,

則AELMH，又MHCFH=H，

.,.AELL平面AfflR而AEU平面.,.平面4E7W1平面

故/正確；

對于8,取的中點尸，連接P。，則PQ〃4D,且PQ=：AD,

又CE“AD,aCE=、AD,:.PQ“CE,且PQ=CE,則四邊形ECPQ為平行四邊形,

可得CQ〃尸E，而。QC平面NEM,「七二平面/￡”,，。(2〃平面/￡”,故8正確;

對于C,由判斷/時可知，AElnMBF,而4EU平面48CD，則平面平面/2CD，

第7頁，共15頁

過M作MO_L平面/BCD,則。在8尸上，

平面與平面AECD所成銳二面角為a為（或其補角），

==

則sina=H，^[Ey/^MH,則sina=魚sin/?，故C錯誤；

對于。，若改cosa=cos0，又cosa=;3=yy萬=ge，則。E=20H,故。正確.

1MHME72MH

故選：c.

連接3尸交/￡于X,證明AE_L平面〃3下，再由面面垂直的判定判斷/；取的中點P,連接尸。，證明

四邊形ECP。為平行四邊形，可得CQ〃PE,再由線面平行的判定判斷3；證明sina=\^sin0判斷C錯

誤；求出當0E=20H時，有，]cosa=cos0判斷。.

本題考查空間中面面垂直、線面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了空間角的求法，是中

檔題.

9.【答案】ACD

【解析】解：對于/,極差為一組數據中最大值與最小值的差，極差越大數據越分散，極差越小數據越集中，

故該樣本的極差能度量該樣本的離散程度，故/正確；

對于3,中位數為一組數據中中間的數，故該樣本的中位數刻畫了該樣本的集中趨勢，故2錯誤；

對于C,標準差刻畫了數據的離散程度或波動幅度，標準差越大，數據離散程度越大，標準差越小，數據

的離散程度越小，故該樣本的標準差能度量該樣本的離散程度，故C正確；

對于。，在刻畫數據的分散程度上，方差和標準差是一樣的，又樣本為+1,x2+l,的+1,…，xn+l

的方差與樣本3,22,…，的方差是一樣的，故樣本的+1,X2+1,23+1，…，出+1的方差能度

量樣本為，X2,",的的離散程度，故。正確.

故選：ACD.

根據極差，中位數，標準差，方差的含義，即可依次求解.

本題主要考查了極差，中位數，標準差，方差的定義，屬于基礎題.

10.【答案】BD

【解析】【分析】

根據題意，依次分析選項是否正確，綜合可得答案.

本題考查向量的坐標計算，涉及向量平行的判斷以及向量夾角的計算，屬于基礎題.

【解答】

解：根據題意，依次分析選項：

第8頁，共15頁

對于4,向量過=(1,2),b=(2,—4),~CL—b=(—1,6)，A錯誤;

對于8,|b|=，4+16=2\/5?|~^|—A/1+4=則|b|=2|/|，B正確,

對于C,向量才=(1,2),7=(2,—4),1x(—4)#2x2,3與了不共線，。錯誤;

記?71x2+2x(-4)3

對于。,建'0正確;

故選：BD.

11.【答案】ACD

【解析】解：對于4因為儂+0.030+0.040+0.010+0.004)x10=1,解得;r=0.016,故N正確；

對于3,因為成績落在區間［50,60)內的人數為16,所以樣本容量冗=「=100,故2錯誤；

U.U1.0XJLU

對于C,因為(0.016+0.030)x10=0.46<0.7,(0.016+0.030+0.040)x10=0.86>0.7

所以考生成績的第70百分位數落在區間［70,80),

設考生成績的第70百分位數為x,則0.46+(x-70)x0.04=0.7,

解得x—76>

即考生成績的第70百分位數為76,故C正確；

對于。，學生成績平均分為

0.016x10x55+0.030x10x65+0.040x10x75+0.010x10x850.004x10x95=70.6,故D正確.

故選：ACD.

根據頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和為1,即可判斷/，根據成績落在區間［50,60)內的人數和頻

率可判斷8,根據百分位數的定義和平均數的定義可判斷CD.

本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查了平均數和百分位數的計算，屬于基礎題.

12.【答案】7T

【解析】【分析】

本題主要考查三角函數的周期性，屬于基礎題.

根據三角函數的周期公式進行求解即可.

【解答】

解：由正弦函數的周期公式得函數的周期7=箸=不

故答案為：7T.

13.【答案】(4,24)

第9頁，共15頁

【解析】解：1,；)，

o4

則—e(4,8).

ae(1,3),

貝畤C(4,24).

故答案為：(4,24).

根據不等式的性質即可求解.

本題考查了不等式性質的運用和計算.屬于基礎題.

14.【答案】241

【解析】解：當n=2人且上6?/*時，Q九="sinkTr=0，

2fc2

當n=2k+1且％eN時，an=nsin(A；7r+=(-l)n,

所以S22=的+ci3+&5??,+O2i—(-1)°x+(—1)1x32+(—I)?x52+■■,+(—1嚴x212

=1+(5-3)(5+3)+…+(21-19)(21+19)=1+2x(8+16+24+32+40)=241.

故答案為：241.

討論？i=2k、n=2k+1對應廝的通項可得S22=的+。3+…+&21，結合等差數列前"項和公式求值

即可.

本題考查了等差數列的求和公式，屬于中檔題.

15.【答案】解：(1)第一年投入的資金數為200x(1+10%)萬元，

第二年投入的資金數為200x(1+10%戶萬元，

第x年(2019年為第一年)該企業投入的資金數貝萬元)與x的函數關系式沙=200(1+10%)"萬元，

其定義域為｛/CN*忸<10｝；

(2)由200(1+10%廠>400可得1.1，〉2，即立>當3x黑魯?7.3,

1g1.10.041

即企業從第8年開始(2019年為第一年)，每年投入的資金數將超過400萬元.

【解析】⑴根據題意可得？/=100。+10%)，萬元，其定義域為5eN*,w10｝，

⑵由200(1+10%)”>400,解得即可.

本題考查了函數的應用，對數的運算性質、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

第10頁，共15頁

16.【答案】解：⑴/⑶=A/3(1—2sin2x)+sin2x=sin2x+V3cos2x=2sin(23+—)???(2分)

3

二函數的最小正周期T=7T，/Q)min=-2…(6分)

7T

⑵由y=2sin(2a+w)知,列表如下：

O

7T7T77r57r

X07T

12312"6"

yV320-20A/3

(9分)

【解析】(1)先利用三角恒等變換公式對函數的解析式進行化簡，用二倍角公式和兩個角的和的正弦公式，

再依據化簡后的解析式求三角函數的周期.

(2)要畫出函數在區間上的圖象，在所給的區間上找出函數值域的幾個特殊點，最大值和最小值點，在坐標

系中描出點畫出函數圖象.

本題考查三角函數的最值，以及函數的圖象的作法，解題的關鍵是對函數的解析式進行化簡，以及熟練掌

握正弦函數的性質，作三角函數函數的圖象一般用五點法作圖，化簡函數/(2)的解析式是解題的突破口.

17.【答案】解：⑴設數列｛廝｝的公差為力

由題意知，的+3d+di+4d=仇+8d,因為。1=1,

所以l+3d+l+4d=l+8d,解得d=l,

所以an=1+(n-1)x1=n；

n

因為數列｛5｝的前〃項和為Sn,且滿足Sn=3-1,

所以當72=1時，=31-1=2,

第11頁，共15頁

當幾》2時，bn=Sn-S.i=3"—1—3-1+1=2x3NT,

驗證，當n=1時，bi=2,滿足上式,

故機=2義3-1;

(2)(i)在現和K+1之間插入〃個數金1,，n2,…，cnn,使K，cnl,cn2,…，cnn,成等差數列,

n1

設公差為*則或=1+1一=2x3-2x3吁1_4x3"-

n+1n+1n+1

所以c=b+kd=2x3“T+=2、+l+-x2x3"-1；

nknnn+1n+1

/??、、乩n(n—1)73+n

(11)墳赫=Cnl+Cn2+,一+品。=ncnl+---dn=nX-X2X3

Ml)x4X3』

=4nx3n-1，

2n+

則CH+C21+C22+,?,+Cni+Cn2+,?,+Cnn=Cn+(。21+。22)+…+&1+。成+…+Cnn)

=Mi+M2+,,,+Mn,

設Tn=Mi+M2+,?,+Mn，

n-1

所以4=4義3°+8x31+12x32+.??+(4/一4)3九一2+4nx3,

34=4x31+8x32+12x33+-+(4n-4)x3n-1+4nx3%

12n-1n1231

兩式相減得，—2Tn=4+4X3+4X3+---+4X3-4nx3=4(3°+3+3+3+???+B^)

]_3n

-4nx3"=4x----4nx3n=(2-4n)x3n-2,

所以4=1+(2冗一1)x3".

【解析】本題考查數列的通項公式與前〃項和的求法，錯位相減法求和，屬于較難題.

(1)根據等差數列基本量的運算求得公差力再由等差數列的通項公式可得廝=心利用

bn=Sn—求與，即可，注意檢驗冗=1的情形；

(2)(i)設等差數列現，Cnl,cn2,…，Cnn,6升1的公差為辦，結合心=叱?與等差數列的通項公式,

n+1

可得^nk;

(ii)利用等差數列的前〃項和公式求得金1+金2+-?+的，再采用錯位相減法，求解即可.

第12頁，共15頁

18.【答案】解：（1）連接/C交8。于N,連接

-：AD//BC,AD=2BC，。為AD中點，

:.BC=DQ,四邊形BCD。為平行四邊形，

：.CD//BQ,又。為中點，

,N為/C中點.

?.?Af為尸。的中點，

為△尸4。的中位線，

故MNUPA,

又MNC平面BMQ,PA，平面BMQ,

所以P4//平面

（2）由（1）可知,PA〃平面

.?.點P到平面BMQ的距離等于點A到平面BMQ的距離，設為d,

.Vp-BMQ—VA-BMQ—VM-ABQ,

取CD中點K,連接MK、KQ、KB,

???”為尸C中點，K為CD中點,

：.MK//PD,且尸O=2MK=2,MK=1,

又POJ_底面48CD，所以底面ABCD.

又BC=；AD=1,PD=CD=2,NAD。=90°，

第13頁，共15頁

AQ=1,BQ=2,S^ABQ=；xlx2=l,

RtAQDA^中,DQ=DK=1,QK-A/2,

RtZWKQ中，MQ=，口K2+Q>2=遮,

RtZ\6CK中，CK=CB=1,KB=?

RtZWKB中，MB='ME+KB2=通,

等腰△M5Q中，MN=、MB2_NB2=傷

「?Vp-BMQ=VA-BMQ—VM-ABQ

=a-

oS^ABQ-MKo=-

—a,S/\BQM-d=-x-x2xV2-d=~^~d^

oJ/o

則點P到平面BMQ的距離為g.

【解析】本題考查了線面平行的判定定理的運用以及利用三棱錐的體積求點到平面的距離，屬于拔高題.

(1)連接/。交30于N,連接只要證明MN〃P4,利用線面平行的判定定理可證；

(2)由(1)可知，PA//nBMQ,所以點尸到平面a00的距離等于點4到平面的陽的距離，進而利用等

體積法可進行求解.

b11八.d

19.【答案】(1)證明：根據(a+c)sin4=巾，3、=初,結合正弦定理得上-=竺==)

')cos(B+-7f)Q+csmBb

整理得廬=Q(Q+c)=Q2+QC,

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,所以Q?+Q。=Q2+—2QCCOSB，可得c?=Q。+2accosB,

結合8為銳角，化簡得cos5=C+=「>0,所以c〉a,9>l,

2ac2aa

由c?=QC+2QCcos_B，可得c=Q+2QCOS