第四章

三角函數、解三角形第11節三角函數模型及解三角形的實際應用INNOVATIVEDESIGN1.會用三角函數解決簡單的實際問題,體會利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學模型.

2.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識以及方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時對點精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.仰角和俯角

在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角,目標視線在水平視線上方叫仰角,目標視線在水平視線______叫俯角(如圖1).下方2.方位角

從正北方向起按順時針轉到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點的方位角為α(如圖2).3.方向角

正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角,如南偏東30°,北偏西45°等.4.坡度:坡面與水平面所成的二面角的正切值.常用結論與微點提醒1.不要搞錯各種角的含義,不要把這些角和三角形內角之間的關系弄混.2.解決與平面幾何有關的計算問題關鍵是找清各量之間的關系,從而應用正、余弦定理求解.

√××√D2.(人教A必修二P51T3改編)如圖,兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40°方向,燈塔B在觀察站南偏東60°方向,則燈塔A在燈塔B(

)A.北偏東10°方向

B.北偏西10°方向C.南偏東80°方向

D.南偏西80°方向解析

由題可知,∠CAB=∠CBA=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此燈塔A在燈塔B南偏西80°方向.A3.(人教A必修二P49例10改編)如圖所示,為測量某樹的高度,在地面上選取A,B兩點,從A,B兩點分別測得樹尖P的仰角為30°,45°,且A,B兩點之間的距離為60

m,則樹的高度為(

)

4.(蘇教必修二P108T10改編)如圖,在高速公路建設中需要確定隧道的長度,工程技術人員已測得隧道兩端的兩點A,B到點C的距離AC=BC=1

km,且C=120°,則A,B兩點間的距離為

km.

考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一

三角函數模型例1

(多選)如圖所示,一半徑為4米的水輪,水輪圓心O距離水面2米,已知水輪每60秒逆時針轉動一圈,如果當水輪上點P從水中浮現時(圖中點P0)開始計時,則(

)ABC

思維建模三角函數模型的應用體現在兩方面:一是已知函數模型求解數學問題;二是把實際問題抽象轉化成數學問題,利用三角函數的有關知識解決問題.

BC

考點二

解三角形應用舉例D

解析

設炮彈第一次命中點為C,根據題意畫出示意圖,如圖.

B

角度3

測量角度問題例4

已知島A南偏西38°方向,距島A3海里的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10海里/時的速度向島嶼北偏西22°方向行駛,問緝私艇朝何方向以多大速度行駛,恰好用0.5小時能截住該走私船?

解

如圖,設緝私艇在C處截住走私船,D為島A正南方向上一點,緝私艇的速度為每小時x海里,則BC=0.5x,AC=5,依題意,AB=3,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos

120°,所以BC2=49,所以BC=0.5x=7,解得x=14.

思維建模解三角形應用問題的要點(1)從實際問題中抽象出已知的角度、距離、高度等條件,作為某個三角形的元素.(2)利用正弦定理、余弦定理解三角形,得到實際問題的解.

D

(2)(2025·岳陽質檢)岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上,下瞰洞庭,前望君山.因范仲淹的《岳陽樓記》著稱于世,自古有“洞庭天下水,岳陽天下樓”之美譽.小明為了測量岳陽樓的高度AB,他首先在C處,測得樓頂A的仰角為60°,然后沿BC方向行走22.5米至D處,又測得樓頂A的仰角為30°,則樓高AB為________米.

課時對點精練3KESHIDUIDIANJINGLIAN一、單選題1.如圖所示是某彈簧振子做簡諧運動的部分圖象,則下列判斷錯誤的是(

)CA.該彈簧振子的振幅為2

cmB.該彈簧振子的振動周期為1.6

sC.該彈簧振子在0.2

s和1.0

s時振動速度最大D.該彈簧振子在0.6

s和1.4

s時的位移為零解析

由圖象及簡諧運動的有關知識得,該彈簧振子的振幅為2

cm,振動周期為2×(1.0-0.2)=1.6

s.當t=0.2

s或1.0

s時,振動速度為零,該彈簧振子在0.6

s和1.4

s時的位移為零.A,B,D正確,C錯誤.

A

BA.91米 B.101米C.111米 D.121米

4.阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業工程裝置.我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置如圖①所示.由物理學知識可知,某阻尼器的運動過程可近似為簡諧運動,其離開平衡位置的位移y(m)和時間t(s)的函數關系為y=sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<π),如圖②,若該阻尼器的擺動過程中連續三次到達同一位置的時間分別為t1,t2,t3(0<t1<t2<t3),且t1+t2=2,t2+t3=5,則在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5

m的總時間為(

)C

5.(2025·南京模擬)我國油紙傘的制作工藝巧妙.如圖①,傘不管是張開還是收攏,傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘骨所成的角,即∠BAC,且AB=AC,從而保證傘圈D能夠沿著傘柄滑動.如圖②,傘完全收攏時,傘圈D已滑動到D'的位置,且A,B,D'三點共線,AD'=40

cm,B為AD'的中點,當傘從完全張開到完全收攏,傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離為24

cm,則當傘完全張開時,∠BAC的余弦值是(

)A

6.(2025·江西聯考)《孔雀東南飛》中寫道“十三能織素,十四學裁衣,十五彈箜篌,十六誦詩書”.箜篌歷史悠久、源遠流長,音域寬廣、音色柔美清澈,表現力強.如圖是箜篌的一種形制,對其進行繪制,發現其近似一扇形,在圓弧的兩個端點A,B處分別作切線相交于點C,測得切線AC=99.9

cm,BC=100.1

cm,

AB=180

cm,根據測量數據可估算出該圓弧所對圓心角的余弦值為(

)AA.0.62 B.0.56 C.-0.56 D.-0.62解析

如圖,由題意可知∠OAC=∠OBC=90°,

7.某班課外學習小組利用“鏡面反射法”來測量學校內建筑物的高度.步驟如下:①將鏡子(平面鏡)置于平地上,人后退至從鏡中能看到房頂的位置,測量出人與鏡子的距離;②將鏡子后移,重復①中的操作;③求建筑物高度.如圖所示,前后兩次人與鏡子的距離分別為a1

m,a2

m(a2>a1),兩次觀測時鏡子間的距離為a

m,人的“眼高”為h

m,則建筑物的高度為(

)A

∽解析

設建筑物的高度為x,如圖所示,

C

BD

AC解析

如圖,由題意可知∠ADB=60°,∠BAD=75°,∠CAD=30°,

ABDA.∠BCD,∠BDC

B.∠ACD,∠ADCC.∠BCD,∠ACD

D.∠BCD,∠ADC

三、填空題12.(2025·武漢質檢)中華人民共和國國歌有84個字,37小節,奏唱大約需要46

s,某校周一舉行升旗儀式,旗桿正好處在坡度為15°的看臺的某一列的正前方,從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°,第一排和最后一排的距離

1

200800π

14.如圖,某湖有一半徑為100

m的半圓形岸邊,現決定在圓心O處設立一個水文監測中心(大小忽略不計),在其正東方向相距200

m的點A處安裝一套監測設備.為了監測數據更加準確,在半圓弧上的點B以及湖中的點C處再分別安裝一套監測設備,且滿足AB=AC,∠BAC=90°.定義:四邊形OACB及其內部區域為“直接監測覆蓋區域”.設∠AOB=θ,則“