專題2024-2025學年七年級下學期期中數學常考點分類專

題（拓展培優篇（考查范圍：整式的乘除、實數、平面直角

坐標系）

第一部分【考點目錄】

一、選擇填空題

【知識點一】相交線與平行線

【考點1】余角、補角、垂直、對頂角綜合求解

【考點2】平行線性質與判定綜合求解

【考點3】利用垂線段最短求最值

【考點4】平行線的性質與平移綜合求解

【考點5】利用相交線與平行線中的折疊求解

【考點6】利用相交線與平行線中的旋轉求解

【考點7】相交線與平行線中的動點問題

【知識點二】實數

【考點8】求一個數的平方根、算術平方根、立方根

【考點9】利用算術平方根的非負性求解

【考點10】算術平方根和立方根綜合求解

【考點11】實數的混合運算

【考點12］實數運算規律探究

【知識點三】平面直角坐標系

【考點13］平面直角坐標系概念

【考點14］平面直角坐標系幾何綜合

【考點15】用坐標表示平移3

【考點16］平面直角坐標系中的幾何變換

二、解答題

【考點17】實數的混合運算

【考點18］無理數的估算、無理數整數部分綜合運算

【考點19］平面直角坐標系與圖形綜合

試卷第1頁，共22頁

【考點20】相交線與平行線壓軸軸（問題探究、閱讀探究、延伸探究）

第二部分【題型梳理與方法展示】

【知識點一】相交線與平行線

【考點1】余角、補角、垂直、對頂角綜合求解

（24-25七年級上?河北石家莊?期末）

1.如圖，點。在直線上，OC1OD,若NBOD=25°,則//OC的補角的大小為（）

（24-25七年級下?全國?周測）

2.跨物理學科如圖，小軒的乒乓球掉到沙發下，他借助平面鏡反射的原理找到了乒乓球

的位置.已知法線。CLMV,反射光線NO與水平線的夾角56。，則平面鏡與

水平線8。的夾角/DON的大小為（入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角）

A.24°B.28°C.34°D.56°

（24-25七年級下?天津南開?開學考試）

3.如圖，點。為直線48上一點，OCLAB,OW_LON,若/MOC:/4ON=5:13,則/BCW

試卷第2頁，共22頁

4.已知直線AB,CD相交于點。，OE平分/NOC,射線。尸J.C。于點。，且

ABOF=40°,貝!|NCOE=.

【考點2】平行線性質與判定綜合求解

（24-25七年級下?全國?單元測試）

5.如圖，已知/8〃C。，E,尸是直線48上方兩點，連接4E,CE,AF,CF,已知《尸

平分NB4E,且NECF=；/ECD.若/E=15。，4ECD=15°,求/尸的度數為（）

⑵-22七年級下?四川綿陽?期中）

6.如圖，己知直線43〃CD,則/&、、//之間的關系是（）

A.Za+Z^-2Z/=180°B./.fi-Z.a=Z/

C.Na+"+々=360°D.Z/7+Z/-Za=18O°

（2025七年級下?全國?專題練習）

7.如圖，在三角形/BC中，點分別在48,8C上，S.DE//AC,Z1=Z2.

（1）N尸與8C的位置關系是；

（2）如果N8=30°,且N2=80。，那么NB/C=.

（24-25七年級上?浙江金華?期末）

8.如圖，ACYBC,CDVAB,DELAC,則結論：0Z1=Z2；②N2=NN；

試卷第3頁，共22頁

?DE//BC；④NB+/DC￡=90。中，正確的結論為.（填序號）.

【考點3】利用垂線段最短求最值

（20-21七年級下?湖北武漢?期中）

9.如圖，△/2C中，ZACB=9Q°,NC=3,BC=4,48=5,尸為直線48上一動點，連

接PC,則線段PC的最小值是（）

A.3B.2.5C.2.4D.2

（24-25九年級上?江西南昌?期中）

10.如圖，在RtA^BC中，N/C8=90。，=30。，點。是邊8c上一點，連接AD，將AABD

繞著點N逆時針旋轉60。得到△/斯，連接CF,若4B=8cm,則線段CF長度的最小值為

（）

A.8cmB.4cmC.2cmD.1cm

（2025七年級下?全國?專題練習）

11.如圖，△NBC中，ZACB=90°,/C=3,BC=4,AB=5,尸為直線上一動點,

連接PC,則線段尸C的最小值是.

試卷第4頁，共22頁

B

P

【考點4］平行線的性質與平移綜合求解

（24-25七年級上?上海閔行?階段練習）

12.如圖，△ABC與AMR是兩個形狀、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、廠在同一

條直線上，點C與點。重合，其中8C=3cm,AB=4cm,AC=5cm.將△NBC沿射線B尸

方向平移到△48?的位置，連接EC-若C/=2cm,則△CEG的面積是cm2

（23-24七年級下?遼寧大連?期末）

13.如圖，在△NSC中，ZABC=5Q°,將線段/C沿線段C2平移得到線段。E（點。與點

C對應，且不與點及c重合），連接4瓦//￡。和N/8C的平分線相交于點尸.若NC=a,

.（用含1的式子表示）

（21-22七年級下?浙江臺州?階段練習）

14.如圖，是一塊長。米，寬b米的長方形花園，其中1、2、3、4四塊三角形區域種著不

同品種花卉，5區域是一條小路，小路的左邊線EG向右平移一定的距離就是它的右邊線

FC.記1,2,3,4,5五個區域面積分別為H,S2,S3,S4,Ss,已知a6=75,S2=5,

'=3號，則

試卷第5頁，共22頁

（1）EF與4D的位置關系為

（2）小路面積S5為—m1.

【考點5】利用相交線與平行線中的折疊求解

（24-25七年級下?全國?單元測試）

15.如圖，把一張兩邊分別平行的紙條折疊，跖為折痕，ED交BF于點、G,且

ZEFB=50°.則下列結論：①ZDE尸=50°；②N4EZ）=80。；③48尸C=80°；

④4DG尸=100。.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

（23-24七年級下?湖南衡陽?階段練習）

16.如圖，在△4BC中，已知3c=7,點￡,尸分別在邊8c上，將沿直線E尸

折疊，使點8落在點。處，。尸向右平移若干單位長度后恰好能與邊/C重合，連接

若,則/C+3/。的值為（）

A.12B.16C.17D.18

（24-25八年級上?浙江溫州?階段練習）

17.如圖，己知在Rt^4BC中，ZA=90°,。為N8邊上一點，連接CD,將△NBC沿CO

試卷第6頁，共22頁

向上折疊，若N1=N2,貝|N3=

（23-24七年級下?遼寧鐵嶺?階段練習）

18.如圖，將長方形紙片沿斯折疊后，點/,8分別落在H,9的位置，再沿

邊將折疊到處，已知/1=48。，貝!jNFE7/=

A'

A［E空/\GD

BFC

【考點6】利用相交線與平行線中的旋轉求解

（24-25七年級上?江蘇揚州?期末）

19.如圖，OC是一條射線，將一把直角三角尺（/048=30。,/。氐4=60。）的直角頂點放在。

處，4OC=40。，將OC繞著點。按每秒15。的速度順時針旋轉360。，設旋轉時間為/秒，

分別作出N80C、//OC的角平分線。￡、OF.在旋轉過程中，當OE或O尸中有一條射

線與平行時，t的值為（）.（注：本題中所有的角均是指大于。度且小于或等于180

度的角）

「22-40D.,或。

C.可或行

33

（24-25七年級上?浙江嘉興?階段練習）

20.如圖，一副三角板的兩個直角頂點C（尸）疊放在一起，其中//=30。，

48=60。，/￡>=/￡=45。，三角板A8C不動，三角板。斯可繞點C旋轉，則下列結論:

①NBCE+//CZ）隨NNC。的變化而變化；②當Z8CE=3N/CD時，一定垂直于

試卷第7頁，共22頁

AC.其中正確的結論是（）

A.①正確，②正確B.①錯誤，②正確C.①正確，②錯誤D.①錯誤，②錯誤

（24-25七年級上?江蘇鎮江?期末）

21.如圖，點。在直線N8上，過。在A8上方作射線OC,ZBOC=120°,直角三角板的

直角頂點與點O重合，邊與重合，邊OV在直線AB的下方.如果三角板繞點。按

10度/秒的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第秒時，OC1ON.

（24-25七年級上?江蘇宿遷?期末）

22.絢麗多彩的舞臺離不開燈光的氛圍，不同類型的燈，呈現出不同舞臺燈光.光速燈發出

的光速是一根明亮的細長的光柱，如圖，在舞臺上方平行的燈軌。、6上分別安置了可以旋

轉的光速燈/和C,光速燈/的光束按每秒6。的速度順時針旋轉180。便立即回轉，光

速燈C的光束自CZ）以每秒2。的速度順時針旋轉180。便立即停止，若光速燈C先旋轉6秒,

光速燈/才開始旋轉，當光速燈/旋轉時間為秒時，兩束光線平行.

AB

----------------------------a

【考點7】相交線與平行線中的動點問題

（23-24七年級下?重慶?階段練習）

23.如圖，點￡在D4延長線上，CE,交于點尸，且NBCE=NAEF,NB=ND,NEFA

比/FCD的余角小30。，P為線段DC上一動點，。為PD上一點，且滿足/尸0P=/。燈,

試卷第8頁，共22頁

EW■為/EFP的平分線.下列結論：①DE〃BC；@AB//CD；③下0平分ZAFP；④

/B+/E=140。；⑤尸N=15。.其中結論正確的序號是（）

A.①②③B.①②③④C.①②③⑤D.①②③④⑤

（23-24七年級下?河南商丘?期中）

24.如圖，AB//CD,連接2D,￡是線段8。上一動點，AF,CF分別平分NA4E,

ZDCE,若乙4EC=46。，則乙4尸C的度數為（）

C.30°D.45°

（2025七年級下?全國?專題練習）

25.如圖，AB//CD,點、E,尸在直線上（尸在￡的左側），點G在直線CD上,

EH1HG,垂足為〃，尸為線段E"上的一動點，連接GP,GF,NFGH與N8FG的角

平分線交于點0,且點。在直線N2,CD之間的區域，下列結論:

①ZBEH+ZDGH=90°；

②ZCGH+2NFQG=270°；

③若ZPGH=3ZDGH,貝lj3ZBEH+ZEPG=360°；

?若NPGH=nNDGH,貝l|+」一/PG。=90。，其中”為正整數.

n+1

上述說法正確的是（寫出所有正確結論的序號）.

（23-24七年級下?江蘇蘇州?期中）

試卷第9頁，共22頁

26.如圖，已知AM〃BN,ZA=x°.點P是射線4W上一動點（與點A不重合），BC,BD

分別平分ZAB尸和/P8N,交射線于點C,D,當點尸運動到使=//AD時，

/4D2的度數為（用含有x的代數式表示）

【知識點二】實數

【考點8］求一個數的平方根、算術平方根、立方根

（24-25七年級下?全國?課后作業）

27.若加是25的平方根，〃=（有/，則加，”的關系是（）

A.Tn=nB.m=+nC.m=-nD.\m\^n

（24-25八年級上?江蘇徐州?期末）

28.下列運算一定正確的是（）

A.正=±7B.(-V7)2=7

C?一J（_7『=7D.(/j=7

（24-25八年級上?湖北武漢?期中）

29.定義一種新運算。眾7＞：當42b時,。☆人=2。+6；當。時，a^b=2a-b.若

（X2+2x-7）^（2X2-4X+3）=3,貝|X的值是

【考點9］利用算術平方根的非負性求解

（23-24八年級上?重慶?期末）

30.若-2|+加7=0則帥的立方根為（）

A.4B.2C.-2D.8

（24-25七年級下?山東煙臺?開學考試）

31.若y=j3-5x+j5x-3+15,則上的算術平方根為.

X

（2024八年級上?全國?專題練習）

32.在平面直角坐標系中，有一點朋'（x/）,且滿足j2x-5+（5y+2『=0,則點M關于x

試卷第10頁，共22頁

軸對稱的點N在第象限.

（24-25七年級上?山東煙臺?期末）

33.已知實數。，6滿足關系式（"2『+卜+叫+j30-c=0,求c-/的立方根.

【考點10】算術平方根和立方根綜合求解

（23-24七年級下?山東濱州?期末）

34.已知4%+11的立方根是3,5加-3〃+2的算術平方根是4,則〃的值為（）

A.5B.3C.2D.9

（20-21七年級上?浙江杭州?期中）

35.已知。的算術平方根是12.3,b的立方根是T5.6,x的平方根是±1.23,V的立方根是456,

貝ijx和V分另IJ是（）

A.x=―-—,y=100/7B.x-1000a,y=--—

1000,1000

C.x=——,y=—1000/＞D.x=——,V=1000/7

100100

（21-22七年級下?四川綿陽?階段練習）

36.已知。、b、c在數軸上的位置如圖，化簡：

-\a+b\+y/（c-a+b）2-\b-c\+y/b^=.

____________IIII.

ab0c

（21-22七年級下?甘肅武威?期末）

37.已知實數”的立方根是4,則右的平方根是.

【考點11】實數的混合運算

（24-25七年級上?浙江杭州?期中）

38.計算值？+（-2）2義卜4|的值是（）.

A.8B.10C.12D.16

（24-25八年級上?河北秦皇島?期中）

39.若"為整數，且"＜舊＜〃+1,則〃=，加是后的小數部分，則

|n-y/V3|-m=.

（23-24八年級上?陜西西安?階段練習）

試卷第11頁，共22頁

40.若。是質的整數部分，b是百的小數部分.則a+6-百+1的平方根是

【考點12］實數運算規律探究

（2025七年級下?全國?專題練習）

11111,1

41.已知q為實數，規定運算：出=1-—，=1，%=1-----，〃5=1------

aa

a{。234

%=1--L,按上述方法，當。1=3時,

#22。25的值等于（）

an-X

21

A.-B.—C.-1D.0

32

（23-24七年級下?全國?期中）

42.如圖所示為一個按某種規律排列的數陣：

第一行1V2

第二行V32V5V6

第三行百瓜3V10VnV12

第四行屈屈正4后V18V19V20

根據數陣規律，第八行倒數第三個數是()

A.772B.V71C.V70D.769

（24-25七年級下?全國?單元測試）

43.已知按照一定規律排成的一列實數：-1,V2,V3,-2,75,V6,-V7,V8,V9,-A/10,....按此

規律可推得這一列數中的第2025個數是（）

A.72025B.々2025C.尋2025D.-#2025

（24-25七年級上?浙江溫州?期中）

44.在草稿紙上計算：①肝，②爐百，@713+23+3\...;觀察你計算的結果，用你

發現的規律直接寫出下面式子的值：713+23+33+43=—，713+23+33+---+263=

【知識點三】平面直角坐標系

【考點13］平面直角坐標系概念

（24-25八年級上?福建莆田?期中）

試卷第12頁，共22頁

45.如圖，在棋盤中建立直角坐標系xQy,三顆棋子/,O,2的位置分別是（-1,1）,（0,0）

和（1,0）.如果在其他格點位置添加一顆棋子C,使O,B,C四顆棋子成為一個軸對稱

圖形，請找出不滿足條件的棋子C的位置的坐標：（）

A.（-1,2）B.（0,-1）C.(-1,-1)D.(-1,0)

（24-25七年級下?全國?課后作業）

46.下列說法不正確的是（）

A.點/（/+1,-例-1）一定在第四象限

B.點尸（2,6）到x軸的距離為6

C.若尸（x,y）中孫=0,則P點在x軸上

D.若x-y=0,則點P（x,y）一定在第一，第三象限的角平分線上

（23-24七年級下?廣東廣州?單元測試）

47.如圖，己知4（1,0）、4”）、4（-如）、4（*1）、4（2,-1）、…則點4期在第

象限.

y

4

4x

【考點14］平面直角坐標系幾何綜合

（24-25九年級上?山東青島?期末）

試卷第13頁，共22頁

48.如圖，在直角坐標系中，矩形O43C的頂點。位于坐標原點，點A、C坐標分別為（-4,0）

和（0,6）.若矩形OAB'C'與矩形OABC關于點。位似,且矩形OA'B'C的面積等于矩形OABC

面積的3，則點8的對應點9的坐標是（）

A.(-1,1.5)B.(1,-1.5)

C.(15-1)或(一1,1.5)D.(TL5)或(1,7.5)

（24-25七年級上?山東泰安?階段練習）

49.如圖，長方形048C的邊CM、OC分別在x軸、丁軸上，點B的坐標為（3,2）.點。，￡

分別在48,8c邊上，BD=BE=1.沿直線將△ADE翻折，點8落在點夕處，則點夕

的坐標為（）

A.（1,1）B.（2,1）C.（1.5,1）D.（1.5,1.5）

（24-25九年級上?吉林?期末）

50.如圖，在平直角坐標系中，點工的坐標為（。，2）,點C的坐標為（1,0）.以CM,OC為邊

作矩形0/8C,若將矩形繞點。逆時針旋轉90。，得到矩形0HB'C',則點3'的坐標

為.

撲

A—|5

B\-------C

A'OCx

（24-25八年級上?安徽六安?階段練習）

試卷第14頁，共22頁

51.定義:在平面直角坐標系xQy中，已知點耳（a,b）,￡（c,6），4（Gd）,這三個點中任意兩點

間的距離的最小值稱為點片，匕4的“最佳間距”.例如：點片（-1,2）第（1,2）,4（1,3）的“最佳間

距”是1.

⑴點e,（-2,1）,a（-5,1）,a（-5,5）的“最佳間距”是；

（2）當點。（0,0）,成2力?,0）,尸（2%-27"+3）的“最佳間距”為1時，點尸的橫坐標為.

【考點15］用坐標表示平移

（24-25八年級上?安徽滁州?期中）

52.如圖，在平面直角坐標系中，將線段42平移后得到線段CD,點A和點8的對應點分

別是點。和點C.若點4-4,0）,5（-2,-3）,。（2,2）,則點C的坐標為（）

A.（3,-1）B.（-3,1）C.（-4,-2）D.（4,-1）

（24-25八年級上?山東濟南?期中）

53.如圖，在平面直角坐標系中，A（a,-5）,B（a+3,-5）,且a>0,尸為了軸上一動點.連接

AB,將線段43先向上平移2個單位，再向右平移1個單位得到線段CZ）,則下列結論：

①CD=3；②AOBA+ZOCD=ZBOC+180°；③若APCD的面積為6,則P點的坐標為（0,1）

或（0，-7）；④若尸點不在直線23、上，△PCZ）面積為X,△上45面積為九四邊形/2DC

面積為z,貝！）|x-y|=gz.其中正確的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

試卷第15頁，共22頁

（24-25八年級上?江蘇鹽城?期末）

54.在平面直角坐標系中,把點尸（。-1,3）向右平移5個單位得到點。（2-26,3），則2a+46+7

的值為.

（24-25八年級上?河北保定?期中）

55.平面直角坐標系中，我們將點尸（0,0）坐標進行坐標變換.第一次將尸向右平移1個單

位得到6（1,0）,第二次將6關于y軸對稱得到￡（-1,0）,第三次將鳥向上平移1個單位得

到4第四次將呂關于x軸對稱得到與（-1,-1）；依次重復上面的4種坐標變換得到

心、皂、B、4……;若點尸的起始位置從（。,0）改為。,0），則&25坐標為.

【考點16］平面直角坐標系中的幾何變換

（20-21七年級下?湖北孝感?期中）

56.如圖，在三角形48c中，/B4c=90°,AB=3,AC=4,BC=5,將三角形48c沿直

線5c向右平移3個單位得到三角形。斯，連接NZK則下列結論：

?AC//DF,AC=DF；

@ZEDF=90°；

③四邊形MKD的周長是18；

④M:EC=3:2；

⑤點A到3c的距離為2.4.

其中正確結論的個數有（）

A.5B.4C.3D.2

（20-21七年級下?河北石家莊?期中）

57.原來是重疊的兩個直角三角形，將其中的一個三角形沿著2C方向平移4個單位長度,

就得到如圖所示的圖形，下列結論：①NCIIDF②進=5③Cr=4④陰影部分面積為三,

正確的有（）

試卷第16頁，共22頁

A.1個B.2個C.3個D.4個

（20-21七年級下?江蘇南通?期末）

58.如圖，在A48C中，48=6,將A48C平移4個單位長度得到△JUB/G，M是N8的中

點，則M4/的最小值為.

二、解答題

【考點17］實數的混合運算

（24-25八年級上?北京豐臺?期中）

59.計算:

(I-、

/八2024/八3

⑵㈠))X--V-27x-

+(-281忖

（24-25八年級上?四川成都?期中）

60.計算:

(1)yjs1+^71—*\/3j--\[5+12—

⑵-叫+

(3)4X2-9=0

(4)2(X+1)3-54=0.

（24-25八年級上?陜西西安?期中）

試卷第17頁，共22頁

61.計算:

⑵飛加+"閩一員2通.

【考點18］無理數的估算、無理數整數部分綜合運算

（24-25八年級上?廣東深圳?期中）

62.大家知道0是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此行的小數部分我們不可能

全部地寫出來，于是小欣用血-1來表示行的小數部分，因為血的整數部分是1,將這個

數減去其整數部分，差就是小數部分.請解答：

（1）、項的整數部分是，小數部分是；

⑵如果近的小數部分為。，幅的整數部分為6,求a+6-4的值.

（24-25八年級上?江蘇南京?期中）

63.閱讀下面的文字，解答問題：

大家知道也是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此血的小數部分我們不可能全部

地寫出來，于是小明用（應-1）來表示逝的小數部分，你同意小明的表示方法嗎？

事實上，小明的表示方法是有道理，因為近的整數部分是1,將這個數減去其整數部分，

差就是小數部分.又例如：?.?”＜近＜次，即2＜行＜3,.??療的整數部分為2,小數部

分為（近-2）.

請解答：

⑴如果的小數部分為。，國的整數部分為6,求4+的值；

⑵已知：12+右=x+y,其中x是整數，且0＜”1,求無7的值.

（24-25七年級上?浙江寧波?期中）

64.閱讀下列材料：

通過探究知道：亞。1.414…，它是個無限不循環小數，也叫無理數，因此Q的小數部分

我們不可能全部寫出來，于是小明用血-1來表示0的小數部分，你同意小明的表示方法

試卷第18頁，共22頁

嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為逝的整數部分是1,將這個數減去其整數

部分，差就是小數部分，又例如：?.?22＜7＜32,即2＜后＜3,.?.近的整數部分是2,小數

部分是V7-2.

(1)6的整數部分是.

(2)已知8+&=x+y,其中x是一個整數，0＜了＜1,求2x+(y-Gy°”的值.

【考點19］平面直角坐標系與圖形綜合

(23-24八年級上?甘肅蘭州?期中)

65.在平面直角坐標系中(單位長度為1cm),已知點Z(O,m),N(〃,O),且

yJm—4+|n—6|=0,

(2)如圖，若點E是第一象限內一點，且EN_Lx軸，過點￡作x軸的平行線a,與y軸交于

點4,點尸從點E處出發，以每秒2cm的速度沿直線。向左移動，點0從原點。同時出發,

以每秒1cm的速度沿x軸向右移動.

①經過幾秒/尸=。。?

②若某一時刻以n、。、。、尸為頂點的四邊形的面積是lien?,求此時點尸的坐標？

(24-25八年級上?江西撫州?期中)

66.如圖，在平面直角坐標系中，長方形0/8C的頂點/、C分別在x軸、y軸上，CB//x

軸，8/軸，點8的坐標為?6),且(a-8)2+|6-6|=0.

試卷第19頁，共22頁

八y

備用圖

（1）直接寫出點/的坐標為，點B的坐標為.

（2）若動點尸從原點。出發，沿了軸以每秒1個長度單位的速度向上運動，在運動過程中形

成的三角形。尸/的面積是長方形043c面積的的;時，點尸停止運動，求點尸的運動時間;

（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在一點0,使三角形力尸。的面積與長方形O/8C的面

積相等？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

（24-25八年級上?浙江寧波?期中）

67.在平面直角坐標系xOy中，對于P,。兩點給出如下定義：若點尸到無、了軸的距離中

的最大值等于點。到X、7軸的距離中的最大值，則稱尸，。兩點為“等距點如圖中的尸,

0兩點即為“等距點”.

備用圖

⑴己知點A的坐標為（-4,2）,在點磯4,3）,F（2,-5）,G（4,-4）中，為點A的“等距點”的是

⑵若北（-2,-左一4）,《（4,4"2）兩點為“等距點”,求無的值.

（3）在（2）的條件下，在備用圖中畫出這些“等距點”，并求出所圍成的凸多邊形的面積.

【考點20】相交線與平行線壓軸軸（問題探究、閱讀探究、延伸探究）

（24-25七年級下?全國?課后作業）

68.（1）問題發現：如圖①，已知點凡G分別在直線/民CD上，且若

試卷第20頁，共22頁

NBFE=40。,NCGE=130。，則/GEF的度數為；

(2)拓展探究：如圖①，已知點尸，G分別在直線上，且/3〃C。，則

NGE尸,ZBFE,NCGE之間有怎樣的數量關系？寫出結論并說明理由.

結論：NGEF=.

理由：如圖②，過點、E作EH//AB,

:.NHEF=NBFE(),

VAB//CD,EH//AB,

■.EH//CD(),

.,.//ffiG+NCG￡=180。(),

ZHEG=1^0°-ZCGE,

ZGEF=NHEF+ZHEG=.

圖①圖②

(21-22七年級下?河北衡水?期末)

69.【發現】如圖1,CE平分乙4CD,4E平分乙BAC.

(1)當乙取。=乙4。￡=45。時，AB與CD的位置關系是；

當N￡/C=50。，乙4CE=40。時，與CD的位置關系是；

當乙EAC+MCE=90°,請判斷與CD的位置關系并說明理由；

(2)【探究】如圖2,ABWCD,M是4E上一點，乙l￡C=90。保持不變，移動頂點￡,使CE

平分ZMCD,血E與ZMCD存在怎樣的數量關系？并說明理由，

(3)【拓展】如圖3,ABWCD,P為線段NC上一定點，0為直線上一動點，且點0不與

點C重合.直接寫出NCPQ+NCQP與乙B/C的數量關系.

試卷第21頁，共22頁

BBB

DC\

圖1圖2圖3

（23-24七年級下?遼寧大連?階段練習）

70.（1）【閱讀探究】

如圖1,已知是一個平面鏡，光線尸。，在平面鏡上經點。反射后，形成反射光線

OQ.我們稱尸。為入射光線，。。為反射光線，鏡面反射有如下性質：入射光線與平面鏡的

夾角等于反射光線與平面鏡的夾角，即4=/2.

利用鏡面反射的性質，探究：當兩個平面鏡OC、夾角為。時，入射光線N8和反射光線

CD平行，探究此時兩平面鏡的夾角a的度數，并說明理由.

【方法運用】

（2）如圖3,放置4塊平面鏡，其中兩塊平面鏡NZ）〃3C,另一塊在兩直線/。和8C之間，

四塊平面鏡構成四邊形/BCD,光線從點。以適當的角度射出后，其傳播路徑為

OfPfQfAf尸-…直接寫出/OP。和/。及。的數量關系.

【應用拓展】

（3）如圖4,若鏡子■與CW的夾角NMON=135。，增加一塊平面鏡NP,設鏡子CW與NP

的夾角/。匹？=尸（90。<￡<180。），入射光線43與平面鏡0河的夾角43M=a,已知入射

光線從平面鏡開始反射，經過3次反射，當反射光線與入射光線平行時，求

〃的度數（用含有。的式子表示）.（友情提示：三角形內角和等于180。）

試卷第22頁，共22頁

1.B

【分析】本題考查了垂線以及余角和補角，熟練掌握余角和補角的性質是解題的關鍵；

根據垂直定義可得/COD=90。，從而利用角的和差關系可得NC03=65。，然后利用鄰補

角的定義，進行計算即可解答；

【詳解】解：：。。，。。，

ZCOD=90°,

■：ZBOD=25°,

ZCOB=ZCOD-ZBOD=65°,

//OC的補角的大小為65。；

故選：B

2.B

【分析】本題考查了求一個角的余角與補角、垂直、對頂角相等，熟練掌握求一個角的余角

與補角的方法是解題關鍵.先求出//。5=124。，再求出N/OC=N8OC=g//O6=62。,

根據垂直的定義可得/CO"=90。，從而可得/BOM=28。，最后根據對頂角相等即可得.

【詳解】解：）=56。，

ZAOB-180°一/4OD=124°,

???入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，

...ZAOC=ZBOC=-ZAOB=62°,

2

???OC1MN,

ZCOM=90°,

:"BOM=ZCOM-ZBOC=28°,

由對頂角相等得：/DON=NBOM=28°,

故選：B.

3.50°

【分析】本題考查的是垂直的定義，鄰補角的含義，角的和差運算，先證明

ZMOC=ZBON,可得N/ON+NCOM=180。，再進一步解答即可.

【詳解】解：?點。為直線上一點，OC1AB,OM1ON,

ZMOC+ZCON=90°=ZCON+ZBON,

ZMOC=ZBON,

答案第1頁，共50頁

ZAON+ZBON=180°,

■.ZAON+ZCOM=ISO°,

ZMOC:ZAON=5:13,

ZMOC=50°,

:.ZBON=50°；

故答案為：50°

4.65°或25°

【分析】本題主要考查了相交線和角平分線有關計算.熟練掌握垂線定義，角平分線定義,

余角補角定義，分類討論，是解本題的關鍵.

當點廠和點C在/8同側時，根據垂直定義得/CO尸=90°,結合48。尸=40。，得4OC=50°,

根據角平分線定義，得NCOE=25。；當點尸和點C在AB異側時，可得乙8。。=50。，得

ZAOC=130°,得/COE=65。.

【詳解】解：當點尸和點C在42同側時，

于點。，

ACOF=90°,

NBOF=40°,

...ZAOC=180°-(ZCOF+ZBOF)=50°,

???OE平分1/OC,

.-.ZCOE=~ZAOC=25°；

2

當點尸和點C在/8異側時，

???NCOF=90°,

：.NBOC=NCOF-ZBOF=50°,

NAOC=180。一ABOC=130。，

ZCOE=-ZAOC65°.

2

故答案為：65。或25。.

答案第2頁，共50頁

5.C

【分析】本題主要考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義，過E作過歹

忤FN〃AB,由NECF=；NECD,可得ZFCD=50。，由可得

ZMEC=ZECD=15°,ZEAB=ZMEA=60°,由尸N〃AB可得NFAB=NNFA=30。,

/NFC=/FCD=50。,最后根據/4FC=/NFC—/NE4求解即可.

【詳解】解：如圖，過E作〃/過產作RV〃45,

?:/ECF=L/ECD,/ECD=75。，

3

Z￡,CF=-x75°=25°,

3

??.ZFCD=/ECD-ZECF=50°,

???EM//AB,

???AMEA=/EAB,

???AB//CD,

：,EM//CD,

ZMEC=ZECD=15°,

???//EC=15。，

ZEAB=ZMEA=ZMEC-ZAEC=75°-15°=60°,

???AF平分NBAE,

/FAB=L/EAB=3。。,

2

,:FN〃AB,

??.NFAB=NNFA=30。，

答案第3頁，共50頁

???AB//CD,

：.FN//CD,

???ZNFC=ZFCD=50°,

??./AFC=/NFC-ZNFA=50°-30°=20°,

故選：C.

6.D

【分析】本題考查了平行線的性質，平行公理推論，過￡作斯〃48,財AB〃CD〃EF,

然后根據平行線的性質和角度和差即可求解，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，過E作EF〃4B,

???AB〃CD,

??.AB//CD//EF,

；.NCDE+/DEF=180。,ZA=ZAEF,

???/DEF=ADEA-ZAEF,

：.ZDEF=Z/3-Zaf

.??々+//一/。=180。，

故選：D.

7.AF//BC70。##70度

【分析】本題考查平行線的判定和性質，解題的關鍵是掌握平行線的判定定理和性質定理.

(1)由。￡〃/。可得N2=NC,等量代換得出/1=NC,即可證明4尸〃5C；

(2)由/尸〃5c可得/8+/氏4尸=180。，再根據/1=/2=80。，即可求解.

【詳解】解：(1)vDE//AC,

/.N2=NC,

Nl=N2,

Z1=ZC,

AF//BC,

答案第4頁，共50頁

故答案為：AF//BC；

(2)???AF//BC,

：.ZB+ZBAF=1^0°,

ZBAF=180°-ZS=180°-30°=150°,

VZ2=80°,Z1=Z2,

Z1=80°,

ABAC=NBAF-Zl=150°-80°=70°,

故答案為：70°.

8.①②③

【分析】本題主要考查了垂直、平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解題

關鍵.根據平行線的判定可得DE〃8C,由此即可判斷③正確；根據平行線的性質即可判

斷①正確；過點A作/尸_L/C,則/尸〃DE,根據平行線的性質可得NCU尸再

根據垂直的定義可得/8/C+/CM尸=90。，Z2+ZADE=90°,由此即可判斷②正確；假設

/B+/DCE=90°,則NB=/A4C,再根據平行線的性質可得=,從而可得

NB4C=NDAF=45。,由此即可判斷④錯誤.

【詳解】解：■.■ACLBC,DEYAC,

.■.DE//BC,則結論③正確；

Zl=Z2,則結論①正確；

如圖，過點A作/尸，/C,

-.AF//DE,

???ZDAF=ZADE,

又「力尸"LNC,CDLAB,

ZBAC+ZDAF=90。，Z2+ZADE=90°,

；.N2=NBAC,則結論②正確；

假設NB+/DCE=90。，

答案第5頁，共50頁

---ACLBC,

.?.N1+NOCE=90°,

???/B=N1,

由①②可知，Z1=Z2=ABAC,

:.乙B=ABAC,

■■AF//DE,

???ZB=ZDAF,

ABAC=ZDAF,

X-AF1AC,

ZFAC=90°,

."BAC=ZDAF=45°，但根據已知條件不能得出ABAC=45°,

?,?假設不成立，即結論④錯誤；

綜上，正確的結論為①②③，

故答案為：①②③.

9.C

【分析】當尸C1/8時，PC的值最小，利用面積法求解即可.

【詳解】解：在放中，乙4cB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,

???當尸CL42時，PC的值最小，

此時：A48C的面積=

...5PC=3X4,

.?.PC=2.4,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了垂線段最短和三角形的面積公式，解題的關鍵是學會利用面積法求

iW].

10.C

【分析】延長￡尸過點C作于點G,先證明點N、C、￡在同一直線上，根