2024-2025學年遼寧省遼南協作校高三（上）期末數學試卷（一模）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.復數z滿足13,，*：—，+1,則z的共輾復數在復平面上對應的點所屬象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合式和集合〃一J一」一2?I）},貝I/>,（）

A.{J|J<-v”.或v”<x<2!B.但I<&或、金二」v2）

C.%2J-2>D.{x\-y/2^x<2}

3.甲、乙、丙三人玩踢毯子游戲，每個人接到鍵子都等可能地把毯子傳給另外兩個人中的一個人，從甲開

始踢，則焦子第三次傳遞給甲的概率為（）

A.B.D.

6

4學校運動會十名護旗手身高（單位：刖）分別為175,178,177,174,176,175,179,180,178,176,

則十名護旗手身高的，分位數為（）

A.1773B.178C.|；s5D.179

5.右一.）.）1.tan2<>-，貝打的值是（）

3-17U<>

B盧C

A包D.'

2-if~-T3

6.函數/（工）M<'J的零點個數為（）

A.3B.2C.1D.0

7.橢圓II,,…的兩條互相垂直的切線的交點尸的軌跡是圓，,這個圓叫做

<J*0*

橢圓的蒙日圓.則斜率為2的橢圓;J：I的切線被它的蒙日圓截得的弦長大小為（）

8.直三棱柱I!!<中，1II<-fill,側棱長為2,該三棱柱的體積為則三棱柱

外接球的表面積的最小值為（）

A.16xB.36xC.D.豫二

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

第1頁，共17頁

9.已知平面向量W，「滿足<71,|A2,則下列說法正確的有（）

A.若<■?,r>一,則,「在八上的投影數量為、,

62

B.當（4才\3bIb時，則B，b'

C.若?,人"J，”的范圍為|I\ti

D.當」〃「）；m時，,；的最大值為3

?>

10.已知焦點為尸的拋物線C：一小,，1一，過焦點廠的直線/交拋物線C于兩點M、N,過M、N兩

點分別作拋物線的切線交于點Q已知當A/.V,,軸時，-士則下列結論正確的有（）

A.拋物線的方程是“，2,

B.若直線I的傾斜角為；則JQV'的面積是2、2

c./w,?/.v的最小值為:

D.若:,則直線的傾斜角的余弦值為'

11.已知數列卜"滿足〃--3,-I,“一V，則下列說法正確的有（）

A.若"1,則，?；=〃；=1

B.■?1,ntA',

C.數列"7的前40項和為840

D.若“1=1,則數列卜、1的前〃項和為如-2"，U.\,

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.二項式I的展開式中，、「項的系數為

13.直線/：”匕7的法向量力…，點八…在直線’的第一象限內的部分上運動，則〉;的

最小值為.

14.已知定義在R上的偶函數/:，,當，u時，…?且"時，，"山，，一「一.八」，恒

成立，且/11：—「-I,則j」時，不等式/.■J,的解集為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.I本小題13分?

將兩個完全相同的三角板按I圖①）的方式進行拼接，將三角板NCD沿CO折起，使/到達點尸的位置如

圖②I,使二面角r（1>〃的平面角為（川，H為PD中點..

第2頁，共17頁

1求證：平面PBD；

」折起后，點G是3c上靠近C點的四等分點，求直線G8與平面尸3c所成角的正切值.

圖①圖②

16.（本小題15分）

\1：1的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知“：i,/,=,1,^i|-Di-\'

5

I，求角B；

⑵若〃是的重心，求J"[/]的面積.

17.?本小題15分）

已知函數，一滿足）,一r11，」--1j*

“求J；h與/'-Il的值；

j判斷函數，，，零點的個數并證明；

（3）當;r<1,+oc）時,證明：,fii'ii<Im,■21.

18.（本小題17分，

為培養青少年航天科學素養，某航天科技館組織中學生航天科技大賽，每個地區選派5名學生組隊參賽，

比賽分為二人組筆試航天知識問答和三人組“編程調試與仿真設計”實操測試比賽兩場.在筆試知識問答中

每隊有兩名同學，只需抽一名選手參加，該選手答一道程序邏輯推理題目，若答對可以進入第二環節.在三

人組”編程調試與仿真設計”實操測試比賽中，規則是每組三個選手，先選派一人進行一次編程設計試驗,

若能運行成功記為通過.第一位選手通過，第二位選手則有三次上場機會，否則該組結束比賽.如果第二位選

手通過一次及以上測試，則每次通過后得4分，并為第三位選手爭取到兩次上場機會是否則第二位選手不

加分并結束該組比賽.第三位選手每次通過試驗均加10分，不通過不加分.兩位選手得分之和計為本場比賽

總得分.

“已知在二人組筆試航天知識問答中，某地區48兩人組隊，/、8第一環節答對問題的概率分別是“、

第二環節中共有6個題目，選手抽出三道題作答，答對一題得4分.已知6個題目中有4個題目/同學

第3頁，共17頁

熟悉并能答對，有3個題目B同學熟悉并能答對.設選派/同學和8同學參賽得分分別為X和匕求X的分

布列和期望，并求出y的期望；

;，現某組決定選派甲、乙、丙三位選手參加“編程調試與仿真設計”實操測試比賽，先后進入三個環節，

甲選手在第一個環節中通過測試的概率為‘，乙選手在第二個環節中通過每一次測試的概率均為‘，丙選手

I3

在第三個環節中通過每一次測試的概率均為1.

①在甲選手通過測試的條件下，求該組乙選手得分的分布列；

②求該隊在三人組“編程調試與仿真設計”實操測試比賽中的總得分期望.

19.I本小題17分?

已知雙曲線C的中心為坐標原點，與橢圓「：」/=|有共同的焦點，且點ivL」，在雙曲線C上.過點

八，?0.3-、作兩條相互垂直的直線/「人，直線八交漸近線于/、B兩點，直線人交漸近線于

E、G兩點，M、N分別是線段4g和EG的中點.

求雙曲線。的標準方程；

」若直線交工軸于點Qlf，3.V?,設，2

I-求,；

Ei記“，PQ,3,":i3A■?,求數列，的前幾項和、'.

第4頁，共17頁

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：由③=,二，得一黑一」，則,J+L

」，,1川2I”13131313

則z的共軌復數在復平面上對應的點的坐標為「',所屬象限是第一象限.

1313

故選：.1.

利用復數代數形式的乘除運算化簡，求出z的共輾復數在復平面上對應的點的坐標即可.

本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：集合,1-一，.'；r\」「，

則={J\J-\,2或/<-\2}，

集合8={xlx1-x-2<0}={J-1J2],

故I)>|I-\>

故選：「

先求出集合力,再結合補集、交集的定義，即可求解.

本題主要考查集合的運算，屬于基礎題.

3.【答案】A

【解析】解：設甲乙丙三人用。，6,c表示，

由題意建子傳遞方式有：

Ii,i..6I,I<,?.6.?i.<1,Ia.6.I,(fl,fe,C.d)fIu.<1..6I,IG'.r.H.*I,S.(<l,C./>,C),

健子第三次傳遞給甲的概率為r2

故選：、

根據古典概型計算公式求解即可.

本題考查古典概型、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

4.【答案】C

【解析】解：將數據從小到大排序：174,175,175,176,176,177,178,178,179,180,

1*1?Hs、，

故則十名護旗手身高的W,分位數-

第5頁，共17頁

故選：1r

結合百分位數的定義，即可求解.

本題主要考查百分位數的定義，屬于基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：I川「?-，

3-4sins

sin2n2sinac<jeio2me

則n一.一，①

<*<)K2<k12hiira3-Isinn

則「ST/(I,

故①式整理可得，Y-IIIr-」lill-.：0,解得7UH或'ill…-1舍去),

故，

(j

所以t.Ul.I?.IIIr.111''

663

故選：I]

根據已知條件，結合二倍角公式，即可求解.

本題主要考查三角函數的二倍角公式，屬于基礎題.

6.【答案】B

【解析】解：由/⑺=Q,得

r-0或，J>1>

)

解得」!或：-，，

所以/一共有兩個零點，

故選：II

由“，得I1"、或(一':\即可解得答案.

本題考查函數的零點，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：由題意可得蒙日圓的方程為「’?，/一G,

設斜率為2的切線方程為“3

聯立橢圓方程/，2//J-I>可得,J廠+、fr-21'-1IH

第6頁，共17頁

由直線與橢圓相切的條件可得'一-小”士-III

解得，+3,

可得切線方程為“-3,

圓心川山到切線的距離為",

V17V、

則切線被圓L截得的弦長為'n['\r

故選：i)

由題意可得蒙日圓的方程，設出切線方程與橢圓方程聯立，由判別式等于0可得參數的值，進而求出圓心

到直線的距離，由弦長，半徑及圓心到直線的距離的關系求出弦長.

本題考查了直線與橢圓的位置關系，直線與圓的位置關系，考查了點到直線的距離公式，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：設4場。，BG-b,又小BQ■W,側棱長為2,

所以三棱柱的體積為1八：S，所以"，=21,

22

又根據余弦定理可得Q+臚?&彳/2o6—就■■2^61

當且僅當八時，等號成立，

r34G_4G

所以三角形的半徑圓的半徑2.、:；v,l八「,

2

所以三角形$用「的半徑圓的半徑『的最小值為人」，

所以三棱柱」.1/k.外接球的半徑R的最小值為T.人」I，

所以三棱柱外接球的表面積的最小值為1--X-

故選：B.

設$,%—，；，〃「-/，，則易得3從而可得[[\--八'.“一\“3進而可得三角

=1AQ_AC?2t

形兒/水；的半徑圓的半徑'2'、工、.|八一，從而再根據球的表面積公式，即可求解.

2

本題考查三棱柱的外接球問題，屬中檔題.

9.【答案】AC

第7頁，共17頁

【解析】解：對于4,Ta|7||T|?M<7.T瓜,則“.在廠上的投影數量為

~a?bv3./十也

，故/正確;

Ib2

對于8,由?I“一、：；/,I.1,,得|I\；；"?’>=II，即1一、3/J“，所以(/./,—V,3,

所以"，「「"'：'因為.，「，,II-,所以?"「-，故3錯誤；

|7T6|2一、，6

對于C,當V"，/?'”/時，,/1=,f，；「“、.b=21.-,r//il.Jn

所以|不一片=/下_丁產=/?'_2及.丁+丁'="-方J故C正確；

對于。，當<1,b>€(―,")時，下.J=|^||f)|ctjg<不、j：Jiu-*i>€(-2.h>

J

所以|不_用=J(/_T)2=</_2才7+丁2=(5_2日.方”「，故D錯誤?

故選：.

由投影向量的概念計算即可判斷/；由向量垂直的性質建立方程，求解即可判斷5由向量模的求法即可判

斷C,/).

本題考查平面向量的數量積與夾角，模的求法，屬于中檔題.

10.【答案】ABC

【解析】解：對于/,當1,軸時，可知口\2/.-2,所以卜;1,所以拋物線方程為小L,故

A正確；

1

對于3,由/得拋物線焦點坐標為：J.w,由題意直線/斜率不為0,故設直線方程為：」u.(,.,

O?9

聯立<J消去％可得：/—2nly—1=0，

[/=s

設、一」「，不妨設V在第一象限，則，；,-."'S?/(.\:,

1

所以」,*」，/小4.7I=12nC*1,(1I-,,

II

所以\1\.1??/:*//Jrn-2,

當直線/的傾斜角為，時，E二1,-21,

I?

由爐2.「得：4\2「，由M在第一象限，i/1

?/"ji?

第8頁，共17頁

故在M的切線斜率為，，

、石勿

所以VQ"如/I,化簡可得：/'卜、,】H,

V1

同理可得所以NQ方程：」',..7-I--=0,

兩式相減可得："=''一12I,此時代入第一個方程可得：，一」，，

如M

由直線I:.U,可得"1',所以yII,

此時。到/的距離為：?221、）,

V2

所以Q."\的面積為:I\,入\故3正確；

對于C,!\!-I/\:-'-1<-2；?】一?：，又”一',

224

所以/.1/?I/一\-2、」?.I」>,,當且僅當/L_1取等號，故C正確；

對于。，若,則」-J.*11,結合八」」,可得：/1,?：1,

|Ar|222￡44

由/I-J-rniVi41-2rn；41,得已“，1-'，

4

所以…，即，,，所以直線的斜率為人二，即一“?人￡,

84

當t」【i"h2時,〃為銳角,即=八2,又、iiJ〃1,可得小;

cw。3

當tjm0=時，"為鈍角，即^--^2^/2f結合rin」。■cos,"-1，可得>故。錯?

cw03

故選:ABC.

對于4由通徑概念即可判斷；對于5,設TU—L,.\」“小，通過求導確定切線方程，求得。點的坐

標，結合弦長公式及點到線的距離公式即可判斷；對于C,結合拋物線的定義得到

/\1-I/V再由基本不等式即可求解；對于，通過:,求得加,進而可求

解.

本題考查了直線與拋物線的綜合，考查了方程思想，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：數列|:滿足…,（-1）"q=2n-1,ne>

對于/,若，，1,可得“：”11,即有“：’」，，，」「3,即有"1,

可得“?=6,“=1,“，-in,'I-I,故/正確；

第9頁，共17頁

由。-I'?3,I,111\",可得二I'111，,i'?'1-11,"?11,

,l'''，=ft?<i,<i?I?,“、1"i<i,"'11,…，

可得"J是首項為：“，公差為8的等差數列，即有g-，”1,故8正確；

對于C,數列卜「｝的前40項和為

["]+。2+++I+。7++…+("3T++。”/=1(>+2G+42+…

-IM'll-：n-：M、儲，故C錯誤；

對于。，若5=1,則數列”是首項為2,公差為8的等差數列，前〃項和為

2〃-‘En1?'^L'.*'2",故。正確.

故選：4皿

計算數列的前7項，可判斷4推得「八」是首項為7??.,公差為8的等差數列，可判斷2；推得數列

的每隔4項的和構成首項為10,公差為16的等差數列，可判斷C；由數列｛，…，是首項為2,公差為8

的等差數列，可判斷/).

本題考查數列的遞推式和等差數列的通項公式、求和公式，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題.

12.【答案】:‘

【解析】解：二項式?'I?'的展開式的通項公式為：/，?'1_,

令,，；:解得r：),

2"2

故6項的系數為砥#(-3八：

故答案為：:.

根據已知條件，結合二項式定理，即可求解.

本題主要考查二項式系數的性質，是基礎題.

13.【答案】2V2-1

【解析】解：由題意可得，直線/的斜率AI,即直線/的方程為，；I'■：,

即I，\1,fII,(I,

f?U)U1丁+fju\rIfjlxl

貝1??12t1l\1

2ry2xy21yV2ary

當且僅當—即「2、二1取等號.

I

故答案為：人？.)

第10頁，共17頁

先求出直線方程，然后結合基本不等式即可求解.

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于基礎題.

14.【答案】|X.⑴0.11

【解析】解：已知當萬,u時，，「一，f(j/0)+/")恒成立，

將其變形為「J/.1?/1.1?f(r)<0,

進一步整理得PJ'-1l/1i,1?-l-Jl-1I/'J-0.

令，-------"3———，

當」.H時，,-.'I，」7?I),，下。，

可得II，所以〃l，J在I”.-x上單調遞減.

因為/一是定義在R上的偶函數，即刀rfl/I.

那么小，=--ZlfL=-g(X),

e-*—e*e*-

所以，:一是奇函數.所以中一在i'川上也是單調遞減.

己知-1,則51，''一：，，

e-e"1e-e"1

當/?0時,e*,t,，f(x)>0,則/")ii,

/-c~r

所以不等式…一：’可化為'',,即，，一

L-F,

因為g")在(0.+x)上單調遞減,則。VJ1

當」“時，,?；?-0,得小J?」，則J</?1?。，

所以不等式…-17可化為',，,即，，，，則一，L

L一￡'

綜上，不等式JIzI-111-,'的解集為I-X.”I1UL1I

故答案為：(xJI(0,1).

首先通過對給定不等式進行變形構造新函數，利用導數判斷新函數的單調性，再結合函數的奇偶性，將所

求不等式進行轉化，最后求解不等式得到解集.

本題主要考查利用導數研究函數的單調性，函數奇偶性與單調性的綜合，考查運算求解能力，屬于中檔題.

15.【答案】11)證明:.?△皿，和ai><為兩個完全

相同的三角板，

?拼接前有CDLAD，CDLBD，

翻折后有('[>1HD,

第11頁，共17頁

/7)HDn，平面尸3。，二平面

「〃一平面P8”

-'解：由①知</L/">,</>/；"，，

,二面角pCD”的平面角為，/7)〃，即.廣。“60*,

又PD111>，八為等邊三角形，

由II知，/，平面尸AD,

I?「力二平面3。，"平面，31.平面P8。，

故以。為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

設PD=DB_DC_2，則C<L2.m,/外2”.山，/MJI.V3H

1*1

.,點G是BC上靠近C點的四等分點，I..山，

、2,

/{('2.2.01-〃戶=，UI.\3nUTi(O.N.四,

?'22*

"JF?Ad=—9r42〃=0

(7r?百妙=一1+V3z=o

取I,則.■0■(J,所以“，

設直線G〃與平面P8C所成角為，，，，/，|“：，

3vzsy/3

nl—，一，IG/77T|一〒+2'、b

…:而“.二廣-F，

凈彳一

A?

‘hill”'

6

故直線G"與平面P8C所成角的正切值為Y6

6

【解析】根據翻折前后不變的位置關系可得<〃"［，，</)〃〃，再由線面垂直的判定定理，即可得

證；

」由二面角的定義知./，/小山，再證平面/"1).平面P8D,然后以。為坐標原點建系，利用向量法

求線面角即可.

本題考查立體幾何的綜合應用，熟練掌握線面垂直的判定定理，二面角的定義，以及利用向量法求線面角

是解題的關鍵，考查空間立體感，邏輯推理鞫能力和運算能力，屬于中檔題.

第12頁，共17頁

16.【答案】解：1J在A41中，“3，6\7,則.b，可得4>8,

又因為「gIH?'.，所以、in：.I//1\11-〃1二1'，

55

由正弦定理可得;-*，即衛=黑，可得由i4.￥LnO，

bsinuv5MDn5

因為、in.4=ml-〃i+IIMmA-〃i<?《f〃+u“r|.1-〃；、iu

anh、“2M:..\?..

即_'-Hi/>.，s“，_*-IIJh，

555

可得hill/，1,而“,E-，，

所以〃i；

」由余弦定理可得小人,…、"，即-r,?.'2,

2

即，,；.?in可得「-\2或h->，

當〃=v'2時,、1，〃,：“「、iu〃:?.1?\2?'；:，

由題意可得此時、「」「、：“，-

OA

’11',r*2

當，2V2時，、J”〃，］?J?八2-'；>

由題意可得此時、「，卜1；

綜上所述：7”「的面積為1或1.

?7

【解析】?由題意可得7川I-〃?的值，再由正弦定理可得、m〃與、m/，的關系，再由

-in1-inI，；?"的轉化，可得sub的值，進而可得角3的大小；

|2：1由余弦定理可得C的值，分別求出\M的面積，再由重心的性質可得、」小一求出「t\〃'

的面積.

本題考查正弦定理，余弦定理及兩角和的正弦公式的應用，三角形面積公式的應用,屬于中檔題.

17.【答案】解：I1，/t11!?.J-?,

則/i，；/,111.-'-

令/I,有“111，fl1.求得丁13

令r--I,有/I-M—門11,-/'I-1/-2,即/1>6

解得f(1)=6^.

-,r'在R上無零點，證明如下：

由11可得??C*-r-'\1Or*412+2x,

第13頁，共17頁

令"I」,—f」」：—ti,，則"，」:—t“''+2'(I,

所以「「，在R上單調遞增.

因為/'(-2i-b-H-0,f'i-11=2>II,

e

故，'2h,使”,II,

，、「時，''"，J「單調遞減；

，J-'時，「，“/，」,單調遞增，

所以/3“““=/伍)二32i+#,

又當A?：2.I1時，-I),2。-卜一u，

所以：'」，

故J，II恒成立，所以,，，在R上無零點.

Mi證明：令人1,?，-11■■:，，

則小：，-<,I,當/-I一1.一時，，：.U,當J三UL-\，時，'11II,

所以i”/l在1-」上單調遞減，在W.、上單調遞增，所以，「1M「，

故有，，jrtI①.

令I-IIIII-2II/II,

.1X*1

則”"」[1-,

x+2x+2

當J-I時，ruIJ?

所以““.r1在I1x上單調遞增，........”

故有‘"1lu|.r+2]②，

由①②可得，：：.，,-1,

所以“'-t,(In：.,-2>,

又J、1時，I恒成立，

所以，”2.i-J-Im；-2i,

即/(*)>(H加"+2)—1.

【解析】1對…，求導，令j=】，可求得/’「八，再令J二-1,可求得/「，；

2判斷在R上無零點，由11可得」「的解析式，再利用導數求出力」?,即可得證；

山構造函數3「I，，,h，?-1，，利用導數可得，「，I,構造函數

HII?I-Illi'2|1'■-11,利用導數可得」,I，I川」，，，綜合可得，：："「-，，由此可得

21tir111,-2i,再由/1時，「恒成立，即可證明不等式成立.

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本題主要考查導數的運算，函數零點個數的判斷與證明，不等式的證明，考查運算求解能力與邏輯推理能

力，屬于難題.

18.【答案】解：1I同學參賽得分X的所有可能取值為0,4,8,12,

所以/訃⑴P（X=4）=Jx粵=（，

41C￡

P（、—Ux安-，3/2c

12111c：20

所以X的分布列為：

X04812

133

P

4202020

則』'\116,/！\.；；.；

4636

12）①設乙選手在三次測試中得分為￡,貝「的所有可能取值為0,4,8,I..'

.1?1

/賓I-''-<'.，

所以I的分布列為：

s04812

-；1

P

279927

②設該隊在“編程調試與仿真設計”實操測試比賽中總得分為“，

則”所有取值為0,4,8,12,14,18,22,24,28,32.

在甲選手已通過測試的條件下概率如下：

山:

OLi

1',r〃…11.

P(n-18)-C'(1)*-5-

?>AA04

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p[i)=2s)=(少尸=

所以。的分布列為:

n04812141822242832

11